中考数学专题17 反比例函数及其应用（学案含解析）

这是一份中考数学专题17 反比例函数及其应用（学案含解析），共79页。学案主要包含了三象限，或第二等内容，欢迎下载使用。

中考数学一轮复习学案
17 反比例函数及其应用

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
反比例函数的意义和函数表达式
结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式．
常以选择题、填空题的形式考查反比例函数的意义和函数解析式的求法，部分地市以解答题的形式考查．
2
反比例函数的图象和性质
能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式y＝（k≠0）探索并理解其性质（k>0或k<0时，图象的变化情况）．
常以选择题、填空题和解答题的形式考查反比例函数的图象和性质，部分地市注重分类讨论和数形结合数学思想的考查．
3
反比例函数的应用
能用反比例函数知识解决某些实际问题．
多以选择题、填空题、解答题的形式考查反比例函数在实际生活中的应用．

思维导图


知识点1： 反比例函数的图象及性质


知识点梳理

1. 反比例函数的概念：
一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成y=kx-1或xy=k（k≠0）的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2. 反比例函数的图象：
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称．关于直线y=x，y=-x成轴对称．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
3. 反比例函数的性质：
（1）当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限．在每个象限内，y随x的增大而减小．在两支上，第一象限y值大于第三象限y值．
（2）当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限．在每个象限内，y随x的增大而增大．在两支上，第二象限y值大于第四象限y值．
【注意】（1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数的增减性由系数k决定；（2）反比例函数图象的两支在两个象限内，根据自变量的值比较相应函数值的大小时，应注意象限问题．
典型例题

【例1】（2022•云南）反比例函数的图象分别位于（ ）
A．第一、第三象限 B．第一、第四象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【分析】根据反比例函数的性质，可以得到该函数图象位于哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解：反比例函数，k＝6＞0，
∴该反比例函数图象位于第一、三象限，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确当k＞0，反比例函数图象位于第一、三象限．
【例2】（2022•阜新）已知反比例函数（k≠0）的图象经过点（－2，4），那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）
A．（4，2） B．（1，8） C．（－1，8） D．（－1，－8）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】先把点（－2，4）代入反比例函数的解析式求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵反比例函数（k≠0）的图象经过点（－2，4），
∴k＝－2×4＝－8，
A、∵4×2＝8≠－8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B、∵1×8＝8≠－8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、－1×8＝－8，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D、(－1)×(－8)＝8≠－8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数（k≠0）中， k＝xy为定值是解答此题的关键．
【例3】（2022•上海）已知反比例函数（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）
A．（2，3） B．（－2，3） C．（3，0） D．（－3，0）
【考点】反比例函数的性质
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：因为反比例函数（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，
所以k＜0，
A、2×3＝6＞0，故本选项不符合题意；
B、－2×3＝－6＜0，故本选项符合题意；
C、3×0＝0，故本选项不符合题意；
D、－3×0＝0，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质：当k＞0时，在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．
【例4】（2022•黔西南州）在平面直角坐标系中，反比例函数（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋2的图象经过的象限是（ ）

A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【考点】一次函数的性质；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【分析】先根据反比例函数的图象位于二，四象限，可得k＜0，由一次函数y＝kx＋2中，k＜0，2＞0，可知它的图象经过的象限．
【解答】解：由图可知：k＜0，
∴一次函数y＝kx＋2的图象经过的象限是一、二、四．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的性质，掌握反比例函数与一次函数系数与图象的位置是解本题的关键．
【例5】（2022•襄阳）若点A（－2，y1），B（－1，y2）都在反比例函数的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解．
【解答】解：∵点A（－2，y1），B（－1，y2）都在反比例函数的图象上，k＝2＞0，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
∵－2＜－1，
∴y1＞y2，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【例6】（2022•广东）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（ ）
A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
【考点】反比例函数的性质
【分析】根据k＞0可知增减性：在每一象限内，y随x的增大而减小，根据横坐标的大小关系可作判断．
【解答】解：∵k＝4＞0，
∴在第一象限内，y随x的增大而减小，
∵（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数图象上，且1＜2＜3＜4，
∴y4最小．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象的增减性是解答此题的关键．
【例7】（2022•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx＋1（k≠0）和（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【分析】分k＞0或k＜0，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx＋1经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；
当k＜0时，一次函数y＝kx＋1经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限；
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握k＞0，图象经过第一、三象限，k＜0，图象经过第二、四象限是解题的关键．
【例8】（2022•绥化）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b2－4ac与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象；抛物线与轴的交点
【分析】由二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分函数图象判断a，b2－4ac及4a＋2b＋c的符号，即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分函数图象顶点在x轴下方，开口向上，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，b2－4ac＞0，
∴一次函数y＝ax＋b2－4ac的图象位于第一，二，三象限，
由二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分函数图象可知，点（2，4a＋2b＋c）在x轴上方，
∴4a＋2b＋c＞0，
∴的图象位于第一，三象限，
据此可知，符合题意的是B，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数，二次函数，反比例函数的图象，解题的关键是掌握三种图象的性质．
【例9】（3分）（2021•呼和浩特12/24）正比例函数y=k1x与反比例函数的图象交于A，B两点，若A点坐标为（，），则k1+ k2= ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据待定系数法求得k1、k2，即可求得k1+ k2的值．
【解答】解：∵正比例函数y=k1x与反比例函数的图象交于A，B两点，若A点坐标为（，），
∴，，
∴k1=-2，k2=-6，
∴k1+ k2=-8，
故答案为-8．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【例10】（10分）（2021•安徽19/23）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数的图象都经过点A（m，2）．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数即可求出m，即可找到点A的坐标；将点A坐标代入正比例函数即可求解．
（2）先画出正比例函数图象，根据图形即可作答．
【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数得：2m＝6．
∴m＝3．
∴A（3，2）
将点A坐标代入正比例函数得：2＝3k．
∴k=．
（2）如图：

∴正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围：x＞3或﹣3＜x＜0．
【点评】本题考查待定系数法求函数的待定系数，一次函数与反比例函数的交点知识，关键在于求出或者找到交点坐标．
【例11】（8分）（2021•广东21/25）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数图象的一个交点为P（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若PA=2AB，求k的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）把P（1，m）代入反比例函数解析式即可求得；
（2）分两种情况，通过证得三角形相似，求得BO的长度，进而即可求得k的值．
【解答】解：（1）∵P（1，m）为反比例函数图象上一点，
∴代入得，
∴m =4；
（2）令y =0，即kx+b=0，
∴，A（，0），
令x =0，y =b，
∴B（0，b），
∵PA=2AB，
由图象得，可分为以下两种情况：
①B在y轴正半轴时，b＞0，
∵PA=2AB，
过P作PH⊥x轴交x轴于点H，

又B1O⊥A1H，∠PA1O=∠B1A1O，
∴△A1OB1∽△A1HP，
∴，
∴，
∴b=2，
∴A1O= OH=1，
∴，
∴k=2；
②B在y轴负半轴时，b＜0，过P作PQ⊥y轴，

∵PQ⊥B2Q，A2Q⊥B2Q，∠A2B2O=∠AB2O，
∴△A2OB2∽△PQB2，
∴，
∴，，
∴b=-2，
∴k=6，
综上，k=2或k=6．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得AO的长度的解题的关键．
知识点2： 反比例函数解析式的确定


知识点梳理

1. 反比例函数解析式的确定：
确定的方法仍是待定系数法．由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2. 求反比例函数表达式的一般步骤：
（1）设出函数的一般形式．
（2）根据已知条件（自变量与函数的对应值）代入表达式得到关于k的方程．
（3）解方程，求得k的值．
（4）将所求得的k的值代入到函数表达式中．
典型例题

【例12】（2022•盐城）已知反比例函数的图象经过点（2，3），则该函数表达式为 ．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式
【分析】利用反比例函数的定义列函数的解析式，运用待定系数法求出函数的解析式即可．
【解答】解：令反比例函数为（k≠0），
∵反比例函数的图象经过点（2，3），
∴，
k＝6，
∴反比例函数的解析式为．
故答案为：．
【点评】考查反比例函数的解析式，关键要掌握利用待定系数法求解函数的解析式．
【例13】（2022•遵义）反比例函数（k≠0）与一次函数y＝x－1交于点A（3，n），则k的值为 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】由一次函数的解析式求得A点的坐标，然后利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：∵一次函数y＝x－1经过点A（3，n），
∴n＝3－1＝2，
∵反比例函数（k≠0）经过A（3，2），
∴k＝3×2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，熟知待定系数法是解题的关键．
【例14】（2分）（2021•北京12/28）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣m＝1×2，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：∵反比例函数（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），
∴﹣m＝1×2，解得m＝﹣2，
即m的值为﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
【例15】（2022•湖北）在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2―kx＋4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ．
【考点】完全平方式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【分析】由整式x2―kx＋4是一个完全平方式，可得k＝±4，由反比例函的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，可得k－1＞0，解得k＞1，则k＝4，即可得反比例函数的解析式．
【解答】解：∵整式x2―kx＋4是一个完全平方式，
∴k＝±4，
∵反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
∴k－1＞0，
解得k＞1，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为．
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数的图象与性质、完全平方式，熟练掌握反比例函数的图象与性质、完全平方式是解答本题的关键．
【例16】（2022•西宁）如图，正比例函数y＝4x与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（a，4），点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C（2，0）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质
【分析】（1）先求a，再求解析式．
（2）数形结合，利用平行四边形的性质求D的坐标．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝4x与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（a，4），
∴4＝4a，
∴a＝1，
∴A（1，4），
∴k＝4×1＝4．
∴反比例函数的表达式为：．
（2）当x＝2时，，
∴B（2，2）．
∴BC＝2．
∵D在第一象限，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∵BC⊥x轴，
∴D的坐标为（1，2）或（1，6）．
【点评】本题考查求反比例函数表达式及点的坐标，掌握待定系数法，充分利用平行四边形性质是求解本题的关键．
知识点3： 反比例函数系数k的几何意义


知识点梳理

1. 反比例函数中反比例系数的几何意义：
如下图，过反比例函数（k≠0）图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|．
∵，∴xy=k,S=|k|．

2. 常见的与反比例函数有关的图形面积：

典型例题

【例17】（2022•邵阳）如图是反比例函数的图象，点A（x，y）是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（ ）

A．1 B． C．2 D．
【考点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】由反比例函数的几何意义可知，k＝1，也就是△AOB的面积的2倍是1，求出△AOB的面积是．
【解答】解：∵A（x，y），
∴OB＝x，AB＝y，
∵A为反比例函数图象上一点，
∴xy＝1，
∴，
故选：B．
【点评】考查反比例函数的几何意义，反比例函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握k的绝对值，等于△AOB的面积的2倍．
【例18】（2022•牡丹江）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上， ，若反比例函数（k≠0）图象的一支经过点A，则k的值是（ ）

A． B． C． D．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的性质
【分析】根据正三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，得出，即可求出k的值．
【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于点C，
∵△OAB是正三角形，
∴OC＝BC，
∴，
又∵k＞0，
∴，
故选：D．

【点评】本题考查等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，掌握等边三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．
【例19】（3分）（2021•西藏11/27）如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为， BA垂直x轴于点A，OB与双曲线相交于点C，且BC：OC=1：2．则k的值为（ ）

A．-3 B． C．3 D．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【分析】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，

∵，
∴，
∵BA⊥x轴，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△AOB，
∴，
∵，
∴，
∵双曲线在第二象限，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出S△DOC是解决问题的关键．
知识点4： 反比例函数的实际应用


知识点梳理

1. 反比例函数应用问题的求解思路：
建立反比例函数模型→求出反比例函数解析式→结合函数解析式、函数性质做出解答．
2. 利用反比例函数解决实际问题，关键是建立函数模型：
建立函数模型的思路主要有两种：
（1）已知函数类型，直接设出函数的解析式，根据题目提供的信息求得k的值；
（2）题目本身未明确表明变量间的函数关系，此时需通过分析，先确定变量间的关系，再求解析式．
典型例题

【例20】（2022•宁夏）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总 (R总＝R＋R0)是反比例关系，电流I与R总也是反比例关系，则I与V的函数关系是（ ）

A．反比例函数 B．正比例函数
C．二次函数 D．以上答案都不对
【考点】反比例函数的应用；二次函数的应用
【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得（为常数），即可得到答案．
【解答】解：由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，设V·R总＝k（k为常数），
由电流I与R总是反比例关系，设I·R总＝k＇（k为常数），
∴，
∴（为常数），
∴I与V的函数关系是正比例函数，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念．
【例21】（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25 m2时，该物体承受的压强p的值为 Pa．

【考点】反比例函数的应用
【分析】设，把（0.1，1000）代入得到反比例函数的解析式，再把S＝0.25代入解析式即可解决问题．
【解答】解：设，
∵函数图象经过（0.1，1000），
∴k＝100，
∴，
当S＝0.25 m2时，物体所受的压强（Pa），
故答案为：400．
【点评】本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
【例22】（2022•德州）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）请求出这个反比例函数的解析式；
（2）蓄电池的电压是多少？
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10 A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？

【考点】反比例函数的应用
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，将点（8，6）代入，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）根据电压＝电流×电阻即可求解；
（3）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设，
∵图象经过（8，6），
∴，
解得k＝6×8＝48，
∴；
（2）蓄电池的电压是6×8＝48；
（3）∵I≤10，，
∴，
∴R≥4.8，
即用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
【例23】（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx＋b（k＞0）的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE－PB|最大时，求点P的坐标．

【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）设点A的坐标为（m，），根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E（2m，），于是得到点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①根据正方形的性质得到AD＝CE，AD垂直平分CE，求得，设点A的坐标为（m，），得到m＝2（负值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx＋b得，解方程组即可得到结论；
②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE－PD|＝|PE－PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y＝x－2，于是得到结论．
【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，
理由：∵一次函数y＝kx＋b（k＞0）的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点A，
∴设点A的坐标为（m，），
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
如图．连接CE交AD于H，

∴CH＝EH，
∵BC＝CD，OC⊥BD，
∴OB＝OD，
∴，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，
∴E（2m，），
∵，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD＝CE，AD垂直平分CE，
∴，
设点A的坐标为（m，），
∴CH＝m，，
∴，
∴m＝2（负值舍去），
∴A（2，4），C（0，2），
把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx＋b得，
，
∴；
②延长ED交y轴于P，

∵CB＝CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE－PD|＝|PE－PB|，
则点P即为符合条件的点，
由①知，A（2，4），C（0，2），
∴D（2，0），E（4，2），
设直线DE的解析式为y＝ax＋n，
∴，
∴，
∴直线DE的解析式为y＝x－2，
当x＝0时，y＝－2，
∴P（0，－2）．
故当|PE－PB|最大时，点P的坐标为（0，－2）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
巩固训练

1．（2022•襄阳）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　

A． B．
C． D．
2．（2022•菏泽）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是　　

A． B． C． D．
3．（2022•安顺）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是　　

A．
B．
C．
D．
4．（2022•西藏）在同一平面直角坐标系中，函数与（其中，是常数，的大致图象是　　
A． B．
C． D．
5．（2022•贺州）已知一次函数的图象如图所示，则与的图象为　　

A． B．
C． D．
6．（2022•广西）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　

A． B．
C． D．
7．（2022•滨州）在同一平面直角坐标系中，函数与为常数且的图象大致是　　
A． B．
C． D．
8．（2022•德阳）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022•荆门）如图，点，为函数图象上的两点，过，分别作轴，轴，垂足分别为，，连接，，，线段交于点，且点恰好为的中点．当的面积为时，的值为　　

A． B． C． D．
10．（2022•枣庄）如图，正方形的边长为5，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则的值为　　

A．4 B． C． D．3
11．（2022•长春）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其纵坐标为2，过点作轴，交轴于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点也在该反比例函数的图像上，则的值为　　

A． B． C． D．4
12．（2022•贵阳）如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是　　

A．点 B．点 C．点 D．点
13．（2022•海南）若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是　　
A． B． C． D．
14．（2022•娄底）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点、，且，过点、的直线与两坐标轴相交于、两点，连接、，则下列结论中成立的有　　
①点、在反比例函数的图象上；
②为等腰直角三角形；
③；
④的值随的增大而增大．
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
15．（2022•武汉）已知点，，，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是　　
A． B． C． D．
16．（2022•宿迁）如图，点在反比例函数的图象上，以为一边作等腰直角三角形，其中，，则线段长的最小值是　　

A．1 B． C． D．4
17．（2022•天津）若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
18．（2022•攀枝花）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，当时，的取值范围是　　

A．或 B．或
C．或 D．或
19．（2022•东营）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为2，点的横坐标为，则不等式的解集是　　

A．或 B．或 C．或 D．
20．（2022•朝阳）如图，正比例函数为常数，且和反比例函数为常数，且的图象相交于和两点，则不等式的解集为　　

A．或 B． C．或 D．或
21．（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于、两点．若，则的值为　　

A．38 B．22 C． D．
22．（2022•无锡）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，其中点、的坐标为，、，则的面积是　　
A．3 B． C． D．
23．（2022•荆州）如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为　　

A． B．或 C．或 D．或
24．（2022•怀化）如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于、两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为　　

A．8 B．9 C．10 D．11
25．（2022•日照）如图，矩形与反比例函数是非零常数，的图象交于点，，与反比例函数是非零常数，的图象交于点，连接，．若四边形的面积为3，则　　

A．3 B． C． D．
26．（2022•通辽）如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图象经过，两点，则的值是　　

A． B． C． D．
27．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则的值是　　

A．2 B．1 C． D．
28．（2022•益阳）反比例函数的图象分布情况如图所示，则的值可以是 （写出一个符合条件的值即可）．

29．（2022•镇江）反比例函数的图像经过，、，两点，当时，，写出符合条件的的值 （答案不唯一，写出一个即可）．
30．（2022•济宁）如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，则的面积是 ．

31．（2022•福建）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数）
32．（2022•成都）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是 ．
33．（2022•巴中）将双曲线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新双曲线与直线，，2，3，，相交于2022个点，则这2022个点的横坐标之和为 ．
34．（2022•内江）如图，已知一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象在第一象限交于点．若一次函数的值随值的增大而增大，则的取值范围是 ．

35．（2022•黔东南州）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则 ．

36．（2022•陕西）已知点在一个反比例函数的图象上，点与点关于轴对称．若点在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ．
37．（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上，，以为边向上作正方形．若图象经过点的反比例函数的解析式是，则图象经过点的反比例函数的解析式是 ．

38．（2022•盘锦）如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，点在轴正半轴上，点的坐标是，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点在边上，且，过点作轴，交反比例函数的图象于点，求点的坐标．

39．（2022•湖北）如图，，，点，分别在函数和的图象上，且点的坐标为．
（1）求，的值；
（2）若点，分别在函数和的图象上，且不与点，重合，是否存在点，，使得．若存在，请直接写出点，的坐标；若不存在，请说明理由．

40．（2022•河南）如图，反比例函数的图象经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3）线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：．

41．（2022•温州）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点．
（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
（2）求当，且时自变量的取值范围．

42．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．

巩固训练解析

1．（2022•襄阳）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　

A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数的图象
【分析】根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出，根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】解：二次函数图象开口方向向下，
，
对称轴为直线，
，
与轴的负半轴相交，
，
的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数图象在第二四象限，
只有选项图象符合．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与轴的交点坐标等确定出、、的情况是解题的关键．
2．（2022•菏泽）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是　　

A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象；二次函数的图象；反比例函数的图象
【分析】先根据二次函数的图象，确定、、的符号，再根据、、的符号判断反比例函数与一次函数的图象经过的象限即可．
【解答】解：由二次函数图象可知，，
由对称轴，可知，
所以反比例函数的图象在一、三象限，一次函数图象经过二、三、四象限．
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出、、的取值范围．
3．（2022•安顺）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是　　

A．
B．
C．
D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数的图象
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出，，的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：二次函数的图象开口向上，
，
该抛物线对称轴位于轴的右侧，
、异号，即．
抛物线交轴的负半轴，
，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数在二、四象限．
故选：．
【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．
4．（2022•西藏）在同一平面直角坐标系中，函数与（其中，是常数，的大致图象是　　
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【分析】根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【解答】解：若，，
则经过一、二、三象限，反比例函数位于一、三象限，
若，，
则经过一、三、四象限，反比例函数数位于二、四象限，
若，，
则经过一、二、四象限，反比例函数位于二、四象限，
若，，
则经过二、三、四象限，反比例函数位于一、三象限，
故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，熟知一次函数、反比例函数的性质是解题的关键．
5．（2022•贺州）已知一次函数的图象如图所示，则与的图象为　　

A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象
【分析】本题形数结合，根据一次函数的图象位置，可判断、的符号；再由一次函数，反比例函数中的系数符号，判断图象的位置．经历：图象位置系数符号图象位置．
【解答】解：根据一次函数的图象位置，可判断、．
所以．
再根据一次函数和反比例函数的图像和性质，
故选：．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的性质及数形结合思想的运用，故牢记函数的图像和性质是解题的关键．
6．（2022•广西）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　

A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数的图象
【分析】本题形数结合，根据反比例函数的图象位置，可判断；再由二次函数的图象性质，排除，，再根据一次函数的图象和性质，排除．
【解答】解：反比例函数的图象位于一、三象限，
；
、的抛物线都是开口向下，
，根据同左异右，对称轴应该在轴的右侧，
故、都是错误的．
、的抛物线都是开口向上，
，根据同左异右，对称轴应该在轴的左侧，
抛物线与轴交于负半轴，

由，，排除．
故选：．
【点评】此题考查一次函数，二次函数及反比例函数中的图象和性质，因此，掌握函数的图象和性质是解题的关键．
7．（2022•滨州）在同一平面直角坐标系中，函数与为常数且的图象大致是　　
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质即可判断．
【解答】解：当时，则，一次函数图象经过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，所以选项正确，选项错误；
当时，一次函数图象经过第一、二，四象限，所以、选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数为双曲线，当时，图象分布在第一、三象限；当时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
8．（2022•德阳）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的特点，可以从，和，两方面分类讨论得出答案．
【解答】解：分两种情况：
（1）当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无选项符合；
（2）当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
9．（2022•荆门）如图，点，为函数图象上的两点，过，分别作轴，轴，垂足分别为，，连接，，，线段交于点，且点恰好为的中点．当的面积为时，的值为　　

A． B． C． D．
【考点】三角形的面积；反比例函数的性质
【分析】根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数的几何意义解答即可．
【解答】解：点为的中点，
的面积的面积，
点，为函数图象上的两点，
，
，
，
，
，
，
则，
．
故选：．
【点评】本题考查的是反比例函数系数的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
10．（2022•枣庄）如图，正方形的边长为5，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则的值为　　

A．4 B． C． D．3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质
【分析】过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值．
【解答】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，
，
故选：．

【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键．
11．（2022•长春）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其纵坐标为2，过点作轴，交轴于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点也在该反比例函数的图像上，则的值为　　

A． B． C． D．4
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化旋转
【分析】作轴于，根据题意，，，由于将线段绕点顺时针旋转得到线段，得出，，即可得出，即可得出，，得到，，代入反比例函数解析式即可求得的值．
【解答】解：作轴于，
在反比例函数的图象上，其纵坐标为2，过点作轴，交轴于点，
，，
，
将线段绕点顺时针旋转得到线段．
，，
，
，
，
，，
点也在该反比例函数的图象上，
，
解得，
故选：．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化旋转，表示出点的坐标是解题的关键．
12．（2022•贵阳）如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是　　

A．点 B．点 C．点 D．点
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的图象进行判断即可．
【解答】解：如图，反比例函数的图象是双曲线，若点在反比例函数的图象上，则其纵横坐标的积为常数，即，
通过观察发现，点、、可能在图象上，点不在图象上，
故选：．

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象以及图象上点的坐标特征是正确判断的前提．
13．（2022•海南）若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是　　
A． B． C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】将代入即可求出的值，再根据解答即可．
【解答】解：反比例函数的图象经过点，
，
、，故不正确，不符合题意；
、，故不正确，不符合题意；
、，故正确，符合题意，
、，故不正确，不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
14．（2022•娄底）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点、，且，过点、的直线与两坐标轴相交于、两点，连接、，则下列结论中成立的有　　
①点、在反比例函数的图象上；
②为等腰直角三角形；
③；
④的值随的增大而增大．
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【考点】等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断①；根据、点的坐标特征即可判断②③；求得直线、的解析式，根据正比例函数的系数即可判断．
【解答】解：点、，且，则，
点、在反比例函数的图象上，故①正确；
设直线为，则，解得，
直线为，
当时，；当时，，
，，
，
，
为等腰直角三角形，故②正确；
点、，且，
、都在第一象限，
，故③正确；
直线为，直线为，
当时，的值随的增大而减小，当时，的值随的增大而增大，
故④错误；
故选：．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定等，数形结合是解题的关键．
15．（2022•武汉）已知点，，，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是　　
A． B． C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据判断出，、，所在的象限即可得到答案．
【解答】解：反比例函数中的，
该双曲线位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，
点，，，在反比例函数的图象上，且，
点位于第三象限，点位于第一象限，
．
故选：．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
16．（2022•宿迁）如图，点在反比例函数的图象上，以为一边作等腰直角三角形，其中，，则线段长的最小值是　　

A．1 B． C． D．4
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；垂线段最短；三角形三边关系；等腰直角三角形
【分析】根据三角形是等腰直角三角形，当最小时，最小，再根据两点间的距离公式解答即可．
【解答】解：三角形是等腰直角三角形，
当最小时，最小，
设点坐标为，
，
，
即：，
，
，
两边同时开平方得：，
当时，有最小值，
解得，（舍去），
点坐标为，，
，
三角形是等腰直角三角形，为斜边，
．
故选：．

【点评】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
17．（2022•天津）若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
【解答】解：点，，，，，都在反比例函数的图象上，
，，．
，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数图象点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是求解本题的关键．
18．（2022•攀枝花）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，当时，的取值范围是　　

A．或 B．或
C．或 D．或
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据图象即可求得．
【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
，
由图象可知，当时，的取值范围是或，
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用函数的对称性求得点的坐标，以及数形结合思想的运用是解题的关键．
19．（2022•东营）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为2，点的横坐标为，则不等式的解集是　　

A．或 B．或 C．或 D．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式的解集，此题得解．
【解答】解：观察函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，
不等式的解集为：或，
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
20．（2022•朝阳）如图，正比例函数为常数，且和反比例函数为常数，且的图象相交于和两点，则不等式的解集为　　

A．或 B． C．或 D．或
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得，然后根据函数的图象的交点坐标即可得到结论．
【解答】解：正比例函数为常数，且和反比例函数为常数，且的图象相交于和两点，
，
不等式的解集为或，
故选：．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
21．（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于、两点．若，则的值为　　

A．38 B．22 C． D．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】利用的几何意义解题即可．
【解答】解：直线轴，
，
，．
又，
，
即，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
22．（2022•无锡）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，其中点、的坐标为，、，则的面积是　　
A．3 B． C． D．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出，进而求出点、的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：点，在反比例函数上，
，
解得：，
点的坐标为：，，点的坐标为，
，
故选：．
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点、反比例函数图象上点的坐标特征，求出点、的坐标是解题的关键．
23．（2022•荆州）如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为　　

A． B．或 C．或 D．或
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】结合图象，数形结合分析判断．
【解答】解：由图象，函数和的交点横坐标为，1，
当或时，，即，
故选：．
【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质，利用数形结合思想解题是关键．
24．（2022•怀化）如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于、两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为　　

A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】设点的坐标为，然后根据三角形面积公式列方程求解．
【解答】解：设点的坐标为，
，且，
，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．
25．（2022•日照）如图，矩形与反比例函数是非零常数，的图象交于点，，与反比例函数是非零常数，的图象交于点，连接，．若四边形的面积为3，则　　

A．3 B． C． D．
【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数的几何意义即可得出结论．
【解答】解：、的图象均在第一象限，
，，
点、均在反比例函数是非零常数，的图象上，
，
矩形的顶点在反比例函数是非零常数，的图象上，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
26．（2022•通辽）如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图象经过，两点，则的值是　　

A． B． C． D．
【考点】反比例函数系数的几何意义；平行四边形的性质
【分析】过点作轴，延长交于点，易证，求得，根据，求得，得到点的纵坐标为，设，则，，由反比例函数的图象经过，两点，从而求出，进而可得的值．
【解答】解：过点作轴，延长交于点，
四边形为平行四边形，
，，
，
与轴平行，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的纵坐标为，
设，则，，
反比例函数的图象经过，两点，
，
，
，
故选：．

【点评】本题主要考查反比例函数，掌握平行四边形的性质和反比例函数图象的坐标特征是解题的关键．
27．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则的值是　　

A．2 B．1 C． D．
【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质
【分析】设，根据四边形是平行四边形，推出，表示出点的坐标，求出，再根据平行四边形面积公式列方程，解出即可．
【解答】解：设，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
平行四边形的面积是5，
，
解得，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数比例系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形性质，掌握反比例函数比例系数的几何意义及函数图象上点的坐标特征，设出点的坐标、根据平行四边形面积公式列方程是解题的关键．
28．（2022•益阳）反比例函数的图象分布情况如图所示，则的值可以是 （写出一个符合条件的值即可）．

【考点】反比例函数的图象
【分析】根据反比例函数的图象所处的位置确定的符号，从而确定的范围，可得答案．
【解答】解：由反比例函数的图象位于第二，四象限可知，，
，
的值可以是1，
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】考查了反比例函数的性质及图象，解题的关键是掌握反比例函数的性质，难度不大．
29．（2022•镇江）反比例函数的图像经过，、，两点，当时，，写出符合条件的的值 （答案不唯一，写出一个即可）．
【考点】反比例函数的性质
【分析】先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数与函数图象的关系解答即可．
【解答】解：反比例函数的图像经过，、，两点，当时，，
此反比例函数的图象在二、四象限，
，
可为小于0的任意实数，例如，等．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
30．（2022•济宁）如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，则的面积是 ．

【考点】反比例函数的性质；三角形的面积
【分析】根据三角形的中线把三角形分成相等的两部分，得到，，即可得到，由反比例函数系数的几何意义即可求得结论．
【解答】解：点是的中点，
，，
，
，
点在双曲线上，轴，
，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积，证得是解题的关键．
31．（2022•福建）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数）
【考点】反比例函数的性质
【分析】根据图象位于第二、四象限，易知，写一个负数即可．
【解答】解：该反比例图象位于第二、四象限，
，
取值不唯一，可取，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查反比例函数的性质，根据图象分别位于第二、第四象限，找到的范围即可．
32．（2022•成都）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是 ．
【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．
【解答】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当时，的图象位于第二、四象限．
33．（2022•巴中）将双曲线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新双曲线与直线，，2，3，，相交于2022个点，则这2022个点的横坐标之和为 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】直线，，2，3，，可由直线，，2，3，，向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，这与双曲线的平移方式相同，从而可知新双曲线与直线，，2，3，，的交点也可以由双曲线与直线，，2，3，，的交点以同样的方式平移得到，从而得知新双曲线与直线，，2，3，，的交点横坐标之和是4，再用4乘以1011得解．
【解答】解：直线，，2，3，，可由直线，，2，3，，向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，
直线，，2，3，，到直线，，2，3，，的平移方式与双曲线双曲线的相同，
新双曲线与直线，，2，3，，的交点也可以由双曲线与直线，，2，3，，的交点以同样的方式平移得到，
设双曲线与直线，，2，3，，的交点的横坐标为，，，2，3，，，
则新双曲线与直线，，2，3，，的交点的横坐标为，，2，3，，，
根据双曲线与直线，，2，3，，图像都关于原点对称，可知双曲线与直线，，2，3，，的交点也关于原点对称，
，，2，3，，，
，2，3，，，
即新双曲线与直线，，2，3，，的交点的横坐标之和都是4，
这2022个点的横坐标之和为：．
故答案是：4044．
【点评】本题考查正比例函数与反比例函数的图象交点问题和平移，掌握正比例函数与反比例函数的图象和平移规则是解题的关键．
34．（2022•内江）如图，已知一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象在第一象限交于点．若一次函数的值随值的增大而增大，则的取值范围是 ．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】过点分别作轴，轴的平行线，与双曲线分别交于点，，利用解析式分别求得，坐标，依据题意确定点的移动范围，从而得出结论．
【解答】解：过点作轴，交双曲线于点，过点作轴，交双曲线于点，如图，

，反比例函数，
，，．
一次函数的值随值的增大而增大，
点在，之间，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法，反比例函数的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，确定点的移动范围是解题的关键．
35．（2022•黔东南州）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则 ．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；等腰直角三角形
【分析】如图，过点作于，根据直角三角形斜边中线的性质可得，得点和的坐标，根据中点坐标公式可得点的坐标，从而得结论．
【解答】解：如图，过点作于，

等腰直角三角形的斜边轴于点，
，
，
，，，
是的中点，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
36．（2022•陕西）已知点在一个反比例函数的图象上，点与点关于轴对称．若点在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ．
【考点】正比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；关于轴、轴对称的点的坐标
【分析】根据轴对称的性质得出点，代入求得，由点在一个反比例函数的图象上，从而求得反比例函数的解析式．
【解答】解：点与点关于轴对称，点，
点，
点在正比例函数的图象上，
，
，
点在一个反比例函数的图象上，
反比例函数的表达式为，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求得的坐标是解题的关键．
37．（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上，，以为边向上作正方形．若图象经过点的反比例函数的解析式是，则图象经过点的反比例函数的解析式是 ．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【分析】如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点．由，可以假设，，利用全等三角形的性质分别求出，，可得结论．
【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点．

，
可以假设，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
点在上，
，
同法可证，
，，
，
设经过点的反比例函数的解析式为，则有，
，
经过点的反比例函数的解析式是．
故答案为：．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
38．（2022•盘锦）如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，点在轴正半轴上，点的坐标是，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点在边上，且，过点作轴，交反比例函数的图象于点，求点的坐标．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质
【分析】（1）过点作轴，垂足为，设点为，根据菱形的性质和勾股定理求出，然后求出点的坐标，即可求出解析式；
（2）作轴，轴，垂足分别为、，先证明，求出，，然后得到点的纵坐标，再求出点的坐标即可．
【解答】解：（1）根据题意，过点作轴，垂足为，如图：
四边形是菱形，
设点为，
，
点为，
，，
在直角中，由勾股定理，则，即，
解得：，
，
点的坐标为，
把点代入，得，
反比例函数的解析式为；
（2）作轴，轴，垂足分别为、，如图，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
，，
，
，，
点的纵坐标为，
轴，
点的纵坐标为，
，解得，
点的坐标为．

【点评】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练理解题意，正确的作出辅助线，从而进行解题．
39．（2022•湖北）如图，，，点，分别在函数和的图象上，且点的坐标为．
（1）求，的值；
（2）若点，分别在函数和的图象上，且不与点，重合，是否存在点，，使得．若存在，请直接写出点，的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；全等三角形的判定；等腰直角三角形
【分析】（1）作辅助线，构建三角形全等，证明，可解答；
（2）根据和反比例函数的对称性可得：与关于轴对称，与关于轴对称，可得结论．
【解答】解：（1）如图1，过点作轴于，过点作轴于，

，
，，，
，
，
，，
，
，，
，
；
（2）存在，
如图2，，

，
与关于轴对称，与关于轴对称，
，．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，反比例函数的对称的性质，熟练掌握反比例函数是轴对称图形是解本题的关键．
40．（2022•河南）如图，反比例函数的图象经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3）线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；平行线的判定；作图—基本作图
【分析】（1）直接把点的坐标代入求出即可；
（2）利用尺规作出线段的垂直平分线即可；
（3）证明，可得结论．
【解答】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；

（2）解：如图，直线即为所求．

（3）证明：平分，
，
直线垂直平分线段，
，
，
，
．
【点评】本题考查作图基本作图，反比例函数的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
41．（2022•温州）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点．
（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
（2）求当，且时自变量的取值范围．

【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，利用描点法补充函数图象；
（2）利用数形结合思想确定关键点，从而求得相应的自变量的取值范围．
【解答】解：（1）把点代入，
，
解得：，
反比例函数的表达式为，
补充其函数图象如下：

（2）当时，，
解得：，
当，且时，或．
【点评】本题考查反比例函数，掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的图象性质，利用数形结合思想解题是关键．
42．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．

【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）将点坐标分别代入一次函数解析式和反比例函数解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和勾股定理可求解；
（3）分别求出，，的解析式，联立方程组可求解．
【解答】解：（1）一次函数的图象过点，
，
，
点，
反比例函数的图象过点，
；
反比例函数的解析式为：，
联立方程组可得：，
解得：，，
点；
（2）如图，过点作轴于，过点作轴于，

，
，
，
当时，则，
点，
，
当时，则，
点，，
，
综上所述：的长为或；
（3）如图，当时，设直线与轴交于点，过点作轴于，设与轴的交点为，连接，交于点，

直线与轴交于点，
点，
点，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
点，
直线的解析式为：，
联立方程组得：，
解得：，，
点，
直线的解析式为：，
垂直平分，
设的解析式为，
，
，
点，，
点是的中点，点，
点．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键