中考数学专题16 二次函数的应用（学案含解析）

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中考数学一轮复习学案
16 二次函数的应用

典型例题
中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
二次函数的应用
①会利用二次函数图象求一元二次方程的近似解；
②能用二次函数知识解决某些实际问题．
多以选择题、填空题、解答题的形式考查二次函数与方程、不等式的关系及二次函数在实际生活中的应用．

知识点1： 二次函数与方程、不等式关系



知识点梳理


1. 二次函数与一元二次方程的关系：
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标．
因此一元二次方程中的=b2-4ac，在二次函数中表示图象与x轴是否有交点．
当>0时，图象与x轴有两个交点；当=0时，图象与x轴有一个交点；当<0时，图象与x轴没有交点．
①如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；
②如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴只有一个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个 相等 的实数根；
③如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 没有 实数根．
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数
判别式b2-4ac的符号
方程ax2+bx+c=0的实数根个数
2个
b2-4ac>0
两个不相等的实数根 
1个
b2-4ac=0
两个 相等 的实数根 
没有
b2-4ac<0
  没有 实数根
2. 二次函数与不等式的关系:
（1）ax2+bx+c>0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；
（2）ax2+bx+c<0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围．
典型例题

【例1】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a＋b＋c＞0；③2a－c＞0；④不等式的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）
【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵当x＝1时，y＜0，
∴a＋b＋c＜0，
∴②错误．
∵抛物线过点（2，0），
∴4a＋2b＋c＝0，
∴，
∵a＋b＋c＜0，
∴，
∴2a－c＞0，
∴③正确．
如图：

设y1＝ax2＋bx＋c，，
由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，
故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
【例2】（3分）（2021•天津12/25）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（-1，-1），（0，1），当x=-2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c-3=0有两个不等的实数根；
③a+b+c＞7．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】根的判别式；抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】①当x=0时，c=1，由点（-1，-1）得a=b-2，由x=-2时，与其对应的函数值y＞1可得b＞4，进而得出abc＞0；
②将a=b-2，c=1代入方程，根据根的判别式即可判断；
③将a=b-2，c=1代入a+b+c，求解后即可判断．
【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（-1，-1），（0，1），
∴c=1，a-b+c=-1，
∴a=b-2，
∵当x=-2时，与其对应的函数值y＞1．
∴4a-2b+1＞1，
∴4(b-2)-2b+1＞1，解得：b＞4，
∴a=b-2＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵a=b-2，c=1，
∴(b-2)x2+bx+1-3=0，即(b-2)x2+bx-2=0，
∴，
∵b＞4，
∴，
∴关于x的方程ax2+bx+c-3=0有两个不等的实数根，故②正确；
③∵a=b-2，c=1，
∴a+b+c=b-2+b+1=2b-1，
∵b＞4，
∴2b-1＞7，
∴a+b+c＞7．
故③正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
【例3】（3分）（2020•呼和浩特6/24）已知二次函数y=(a-2)x2-(a+2)x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程(a-2)x2-(a+2)x+1=0的两根之积为（ ）
A．0 B．-1 C． D．
【考点】二次函数的性质；根与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果．
【解答】解：∵二次函数y=(a-2)x2-(a+2)x+1，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x =0，即y轴，
则，
解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程(a-2)x2-(a+2)x+1=0为-4x2+1=0，
则两根之积为，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是得出二次函数图象的对称轴为y轴．
【例4】（10分）（2021•河南22/23）如图，抛物线y=x2+mx与直线y=-x+b相交于点A（2，0）和点B．
（1）求m和b的值；
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞-x+b的解集；
（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．

【考点】二次函数综合题
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出点B的坐标为（-1，3），再观察函数图象即可求解；
（3）分类求解确定MN的位置，进而求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=4+2m，解得：m=-2，
将点A的坐标代入直线表达式得：0=-2+b，解得b =2；
故m=-2，b =2；
（2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：y=-x+2，y=x2-2x，
联立上述两个函数表达式并解得（不合题意的值已舍去），
即点B的坐标为（-1，3），
从图象看，不等式x2+mx＞-x+b的解集为x＜-1或x＞2；
（3）当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∵MN的距离为3，而AB的距离为3，故此时只有一个交点，即-1≤xM＜2；
当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点A的右侧时，当xM =3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，-1），即xM =3时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
综上，-1≤xM＜2或xM =3．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，其中（3），分类求解确定MN的位置是解题的关键．
知识点2： 二次函数的实际应用



知识点梳理


二次函数的应用问题求解思路：
建立 二次函数 模型→求出二次函数 解析式 →结合函数解析式、函数性质做出解答．
典型例题

【例5】（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝－5t2＋20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
【考点】二次函数的应用
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．
【解答】解：h＝－5t2＋20t＝－5(t－2)2＋20，
∵－5＜0，
∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【例6】（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额－总成本）．

【考点】二次函数的应用
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx＋b，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝－x＋30，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
w＝(x－8)y＝(x－8)(－x＋30)＝－x2＋38x－240＝－(x－19)2＋121，
∵－1＜0，
∴当x＝19时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润＝单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
【例7】（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）

A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
【考点】二次函数的应用；认识平面图形
【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．
【解答】解：方案1：设AD＝x米，则AB＝(8－2x)米，

则菜园面积＝(8－2x)＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8，
当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；
方案2：解法一：如图，过点B作BH⊥AC于H，则BH≤AB＝4，
∵，
∴当BH＝4时，△ABC的面积最大为；

解法二：过点A作AD⊥BC于D，
设CD＝x，AD＝y，则x2＋y2＝16，

∴，
∵(x－y)2＝x2＋y2－2xy≥0，
∴16－2xy≥0，
∴xy≤8，
∴当且仅当时，菜园最大面积＝8米2；
方案3：半圆的半径米，
∴此时菜园最大面积米2＞8米2；
故选：C．

【点评】本题考查了计算几何图形的面积的问题，根据题意计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．
【例8】（2022•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【考点】二元一次方程组的应用；二次函数的应用
【分析】（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据两次进货情况，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据：利润＝（每台实际售价－每台进价）×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；
【解答】解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得，，
解得，
答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，利润为w元，
根据题意得，w＝(54－a－30)(20＋5a)＝－5a2＋100a＋480＝－5(a－10)2＋980，
∵－5＜0，
∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组及二次函数的实际应用，理解题意准确抓住相等关系，据此列出方程或函数关系式是解题的关键．
【例9】（2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量＝425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润×每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx＋b，
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝－5x＋150；
（2）(－5x＋150)(x－8)＝425，
解得：x1＝13，x2＝25（舍去），
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）w＝y(x－8)，
＝(－5x＋150)(x－8)，
w＝－5x2＋190x－1200，
＝－5(x－19)2＋605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系．
【例10】（2022•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
【考点】分式方程的应用；二次函数的应用
【分析】（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，则可列出w关于y的函数关系式，再根据“每周最多能卖90个”得出y的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，
根据题意可得，，
解得x＝40．
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴1.1x＝44．
∴第二批每个挂件的进价为40元．
（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，
根据题意可知，w＝(y－40)[40+10(60－y)]＝－10(y－52)2＋1440，
∵－10＜0，
∴当x≥52时，y随x的增大而减小，
∵40+10(60－y)≤90，
∴y≥55，
∴当y＝55时，w取最大，此时w＝－10(55－52)2＋1440＝1350．
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
【点评】本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．
巩固训练

1．（2022•丹东）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析如下结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④若一次函数的图象经过点，则点在第四象限；⑤点是抛物线的顶点，若，则．其中正确的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022•自贡）已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于，两点在的右侧），下列结论：
①；
②当时，一定有随的增大而增大；
③若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3；
④当四边形为平行四边形时，．
其中正确的是　　
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
3．（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，与的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为 时，竖直高度达到最大值．

4．（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度（单位：与水平距离（单位：之间的关系是，则铅球推出的水平距离的长是 ．

5．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．

6．（2022•新疆）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 ．

7．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 ．

8．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是 ．

9．（2022•南充）如图，水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距点；喷头高时，水柱落点距点．那么喷头高 时，水柱落点距点．

10．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米与物体运动的时间（秒之间满足函数关系，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ．

11．（2022•攀枝花）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角
的跳台点以速度沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在点着陆，．且．忽略空气阻力，请回答下列问题：
（1）求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少？
（2）以为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
（3）若该运动员在空中共飞行了，求他飞行后，垂直下降了多少？

12．（2022•巴中）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为元，销售猪肉粽的利润为元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
13．（2022•宁夏）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为4米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为2.5米，若斜坡的坡度（即．

求：（1）点的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．（精确到0.1米）
（参考数据：
14．（2022•黄石）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数（单位：人）与时间（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：，数据如表．
时间（分钟）
0
1
2
3

8

累计人数（人
0
150
280
390

640
640
（1）求，，的值；
（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数累计人数已检测人数）；
（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
15．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．

（1）求线段的函数表达式（写出的取值范围）．
（2）当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当为多少时，运动员的成绩恰能达标（精确到？（参考数据：，
16．（2022•鞍山）某超市购进一批水果，成本为8元，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价（元与时间第天之间满足函数关系式，为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量与时间第天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
时间第天

2
5
9

销售量

33
30
26

（1）求与的函数解析式；
（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
17．（2022•丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量（件与销售单价（元件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价（元件）

35
40
45

每天销售数量（件

90
80
70

（1）直接写出与的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
18．（2022•锦州）某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量（件与销售单价（元满足一次函数关系，且当时，；当时，．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
19．（2022•荆门）某商场销售一种进价为30元个的商品，当销售价格（元个）满足时，其销售量（万个）与之间的关系式为．同时销售过程中的其它开支为50万元．
（1）求出商场销售这种商品的净利润（万元）与销售价格函数解析式，销售价格定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？
（2）若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
20．（2022•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求关于的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
21．（2022•盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量（个与销售单价（元之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？

22．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．

小亮认为，可以从，，中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
（1）小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由；
（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
23．（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价（元千克）与购进数量（箱之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
24．（2022•营口）某文具店最近有，两款纪念册比较畅销．该店购进款纪念册5本和款纪念册4本共需156元，购进款纪念册3本和款纪念册5本共需130元．在销售中发现：款纪念册售价为32元本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；款纪念册售价为22元本时，每天的销售量为80本，款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
售价（元本）

22
23
24
25

每天销售量（本

80
78
76
74

（1）求，两款纪念册每本的进价分别为多少元；
（2）该店准备降低每本款纪念册的利润，同时提高每本款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设款纪念册每本降价元；
①直接写出款纪念册每天的销售量（用含的代数式表示）；
②当款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？
25．（2022•铜仁市）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
（1）求每天销量（吨与批发价（千元吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
26．（2022•辽宁）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量（千克）与每千克售价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价（元

20
22
24

日销售量（千克）

66
60
54

（1）求与之间的函数关系式；
（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
27．（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系．

某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离
0
2
5
8
11
14
竖直高度
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为，第二次训练的着陆点的水平距离为，则 （填“”“ ”或“” ．
28．（2022•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量（件与销售单价（元之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

29．（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为轴，过起跳点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡的坡角为，，某运动员在处起跳腾空后，飞行至着陆坡的处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解析式为．
（1）求，的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆．
①求关于的函数解析式；
②当为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是多少？

30．（2022•沈阳）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？
（2）矩形框架面积的最大值为 　150　平方厘米．

31．（2022•大庆）某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树且为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
（1）图中点所表示的实际意义是 ，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少 　　；
（2）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大产量是多少？

32．（2022•贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为元时，求该商品销售量与之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是多少元？
33．（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长，木栅栏长，在与墙垂直的一边留出宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．

34．（2022•湖北）某超市销售一种进价为18元千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元千克）有如下表所示的关系：
销售单价（元千克）

20
22.5
25
37.5
40

销售量（千克）

30
27.5
25
12.5
10

（1）根据表中的数据在如图中描点，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出关于的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为（元（不计其它成本）．
①求出关于的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求（元时的销售单价．

35．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为，求此时的值；
（2）当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

36．（2022•广西）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量（盒与销售单价（元之间的函数图象如图所示．
（1）求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．

37．（2022•荆州）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量（万件）与售价（元件）之间满足函数关系式，第一年除60万元外其他成本为8元件．
（1）求该产品第一年的利润（万元）与售价之间的函数关系式；
（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元件．
①求该产品第一年的售价；
②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
38．（2022•河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头水平距离．身高的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．

39．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池，且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？

40．（2022•随州）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应个为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第天，且为正整数）的供应量（单位：个）和需求量（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量与满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）
第天
1
2

6

11

15
供应量（个
150







需求量（个
220
229

245

220

164
（1）直接写出与和与的函数关系式；（不要求写出的取值范围）
（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）
（3）在第（2）问取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．
41．（2022•湖北）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用（元与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元．
（1）当时，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用（元最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积的取值范围．

42．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：．
（1）若，．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围．
（2）若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．

43．（2022•陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点、处分别安装照明灯．已知点、到的距离均为，求点、的坐标．

44．（2022•宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量千克与每平方米种植的株数，且为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求关于的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
45．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
（1）的值为 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达点，且此时，，求基准点的高度；
②若时，运动员落地点要超过点，则的取值范围为 　　；
（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由．

46．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．

素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．

问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
47．（2022•金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点（图，发现该蔬菜需求量（吨关于售价（元千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为，部分对应值如下表：
售价（元千克）

2.5
3
3.5
4

需求量（吨

7.75
7.2
6.55
5.8

②该蔬菜供给量（吨关于售价（元千克）的函数表达式为，函数图象见图1．
③月份该蔬菜售价（元千克）、成本（元千克）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2．
请解答下列问题：
（1）求，的值．
（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．

48．（2022•滨州）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数是销售价格（单位：元）的一次函数．
（1）求关于的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
49．（2022•淮安）如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点．
（1）求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
（2）点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标；
（3）如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长．

50．（2022•内蒙古）如图，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，与轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式和点的坐标；
（2）若点在直线上方的抛物线上运动（与点，不重合），求使面积最大时点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）
（3）设点在轴上，点在抛物线上，要使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点的坐标．（请在图2中探索）

51．（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

52．（2022•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
（2）如图甲，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，过点作，垂足为，过点作，交轴于点，连接交于点，连接．设的面积为，的面积为，是否存在点，使得最大，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．


53．（2022•青海）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线的对称轴与直线的交点，点是抛物线的顶点，求的长；
（3）设点是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨）


巩固训练解析

1．（2022•丹东）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析如下结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④若一次函数的图象经过点，则点在第四象限；⑤点是抛物线的顶点，若，则．其中正确的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数综合题
【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；
②正确，利用对称轴公式，可得，可得结论；
③错误，应该是时，随的增大而增大；
④正确，判断出，可得结论；
⑤正确，设抛物线的解析式为，可得，，过点作轴于点，设对称轴交轴于点．利用相似三角形的性质，构建方程求出即可．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
对称轴是直线，
，

抛物线交轴的负半轴，
，
，故①正确，
，，
，故②正确，
观察图象可知，当时，随的增大而减小，故③错误，
一次函数的图象经过点，
，
，此时在第四象限，故④正确．
抛物线经过，，
可以假设抛物线的解析式为，
，，
过点作轴于点，设对称轴交轴于点．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故⑤正确，
故选：．

【点评】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
2．（2022•自贡）已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于，两点在的右侧），下列结论：
①；
②当时，一定有随的增大而增大；
③若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3；
④当四边形为平行四边形时，．
其中正确的是　　
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【考点】二次函数综合题
【分析】根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到①正确；当顶点运动到轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；当顶点在点时，能取到最小值，当顶点在点时，能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，即可判断③正确；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，判断出④正确．
【解答】解：点，的坐标分别为和，
线段与轴的交点坐标为，
又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为，
，（顶点在轴上时取“” ，故①正确；
抛物线的顶点在线段上运动，开口向上，
当时，一定有随的增大而增大，故②错误；
若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则，
抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为3，
点的横坐标最大值为3，故③正确；
令，则，
，
根据顶点坐标公式，，
，即，
，
四边形为平行四边形，
，
，
解得，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：．

【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在轴上的情况．
3．（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，与的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为 时，竖直高度达到最大值．

【考点】二次函数的应用
【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．
【解答】解：，
，
当时，有最大值，最大值为4，
当她与跳台边缘的水平距离为时，竖直高度达到最大值．
故答案为：8．
【点评】本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键．
4．（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度（单位：与水平距离（单位：之间的关系是，则铅球推出的水平距离的长是 ．

【考点】二次函数的应用
【分析】根据题目中的函数解析式和图象可知，的长就是抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的值，然后令求出相应的的值，即可得到的长．
【解答】解：，
当时，，
解得，，
，
故答案为：10．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确的长就是抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的值．
5．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．

【考点】二次函数的应用
【分析】根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把代入抛物线解析式得出，即可得出答案．
【解答】解：以水面所在的直线为轴，以过拱顶且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，为原点，

由题意可得：米，坐标为，
通过以上条件可设顶点式，
把点坐标代入抛物线解析式得，
，
解得：，
所以抛物线解析式为，
当时，，
水面下降米，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
6．（2022•新疆）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 ．

【考点】二次函数的应用
【分析】设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．
【解答】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
矩形围栏的面积为，
，
当时，矩形有最大面积为，
故答案为：32．
【点评】本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键．
7．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 　．

【考点】二次函数的应用
【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
【解答】解：，
且，
当时，取最大值20，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
8．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是 ．

【考点】二次函数的应用
【分析】根据所建坐标系，水平距离就是时离他最远的距离．
【解答】解：当时，，
，
，
解得：，，
故他距篮筐中心的水平距离是．
故答案为：4．
【点评】此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．
9．（2022•南充）如图，水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距点；喷头高时，水柱落点距点．那么喷头高 时，水柱落点距点．

【考点】二次函数的应用
【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设，将代入解析式得出；喷头高时，可设；将代入解析式得，联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为，将代入可求出．
【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高时，可设，
将代入解析式得出，
整理得①；
喷头高时，可设；
将代入解析式得②，
联立可求出，，
设喷头高为时，水柱落点距点，
此时的解析式为，
将代入可得，
解得．
故答案为：8．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
10．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米与物体运动的时间（秒之间满足函数关系，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ．

【考点】二次函数的应用
【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解．
【解答】解：物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，
抛物线的顶点的纵坐标为20，且经过点，
，
解得：，（不合题意，舍去），
抛物线的解析式为，
，
抛物线的最高点的坐标为．
，
当时，的取值范围是：；
当时，，当时，，
，，
当时，的取值范围是：．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键．
11．（2022•攀枝花）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角
的跳台点以速度沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在点着陆，．且．忽略空气阻力，请回答下列问题：
（1）求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少？
（2）以为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
（3）若该运动员在空中共飞行了，求他飞行后，垂直下降了多少？

【考点】二次函数的应用；解直角三角形
【分析】（1）如图，以为原点，建立平面直角坐标系，过点作轴于点．解直角三角形求出即可；
（2）设抛物线的解析式为，求出点的坐标，代入求出即可；
（3）求出，的值即可判断．
【解答】解：（1）如图，以为原点，建立平面直角坐标系．
过点作轴于点．
在中，，
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了；
（2）在中，，
，
由题意抛物线顶点为，经过．
设抛物线的解析式为，
则有，
，
抛物线的解析式为．
（3）当时，，
他飞行后，垂直下降了．

【点评】本题考查二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会构建平面直角坐标系解决问题，属于中考常考题型．
12．（2022•巴中）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为元，销售猪肉粽的利润为元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
【考点】二元一次方程组的应用；二次函数的应用
【分析】（1）设每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元，根据猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即可．
（2）根据当时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为元时，每天可售出猪肉粽盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解．
【解答】解：设每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元，
由题意得：，
解得：，
每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元；
（2），
，
当时，有最大值，最大值为1800元．
该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数关系式是解此题的关键．
13．（2022•宁夏）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为4米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为2.5米，若斜坡的坡度（即．

求：（1）点的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．（精确到0.1米）
（参考数据：
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）由抛物线的图象可直接得出结论；
（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点的坐标代入即可得出结论；
（3）根据勾股定理可得出和的长，进而得出点的坐标，由的长为点的横坐标减去的长可得出结论．
【解答】解：（1），且点在轴正半轴，
．
（2）抛物线最高点的坐标为，
设抛物线的解析式为：，
，
，解得．
抛物线的解析式为：．
（3）在中，，，
，．
点的纵坐标为，
令，
解得，或（不合题意，舍去），
．
．
的长约为7.2米．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点等相关内容，得出点的坐标是解题关键．
14．（2022•黄石）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数（单位：人）与时间（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：，数据如表．
时间（分钟）
0
1
2
3

8

累计人数（人
0
150
280
390

640
640
（1）求，，的值；
（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数累计人数已检测人数）；
（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可得到答案；
（2）根据排队人数累计人数已检测人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二次函数和一次函数的性质，找到排队人数最多时有多少人；8分钟后入校园人数不再增加，检测完所有排队同学即完成所有同学体温检测；
（3）设从一开始就应该增加个检测点，根据不等关系“要在20分钟内让全部学生完成核酸检测”，建立关于的一元一次不等式，结合为整数可得到结果．
【解答】解：（1）由题意，，
解得，；
（2）设第分钟时的排队人数为，
根据题意得：，
，
当时，
，
当时，，
当时，，
，
随的增大而减小，
，
故排队人数最多时有490人；
（3）要全部学生都完成核酸检测，根据题意得：，
解得：，
所以全部学生都完成核酸检测要32分钟；
开始就应该至少增加个检测点，根据题意得：
，
解得：，
为整数，
，
答：从一开始就应该至少增加3个检测点．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出与之间的函数关系式是本题的关键．
15．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．

（1）求线段的函数表达式（写出的取值范围）．
（2）当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当为多少时，运动员的成绩恰能达标（精确到？（参考数据：，
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）由图2可知：，，利用待定系数法可得出结论；
（2）当时，，联立，可得出点的横坐标，比较即可得出结论；
（3）①猜想与成反比例函数关系．将代入表达式，求出的值即可．将代入进行验证即可得出结论；
②由在线段上，得，代入得，得．由得，比较即可．
【解答】解：（1）由图2可知：，，
设，
将，代入得：，解得，
线段的函数表达式为．
（2）当时，，
由题意得，
解得（舍去），．
的横坐标为22.5．
，
成绩未达标．
（3）①猜想与成反比例函数关系．
设，
将代入得，解得，
．
将代入验证：，
能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式．
②由在线段上，得，代入得，得．
由得，
又，
．
当时，运动员的成绩恰能达标．
【点评】本题属于函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的应用及二次函数综合应用，熟知待定系数法求函数解析式是解题关键．
16．（2022•鞍山）某超市购进一批水果，成本为8元，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价（元与时间第天之间满足函数关系式，为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量与时间第天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
时间第天

2
5
9

销售量

33
30
26

（1）求与的函数解析式；
（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设销售这种水果的日利润为元，得出，再结合，为整数，利用二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设每天销售量与时间第天之间满足的一次函数关系式为，
根据题意，得：，
解得，
，为整数）；
（2）设销售这种水果的日利润为元，
则

，
，为整数，
当或时，取得最大值，最大值为378，
答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元．
【点评】本题主要考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．（2022•丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量（件与销售单价（元件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价（元件）

35
40
45

每天销售数量（件

90
80
70

（1）直接写出与的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用
【分析】（1）设每天的销售数量（件与销售单价（元件）之间的关系式为，用待定系数法可得；
（2）根据题意得，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
（3）设每天获利元，，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【解答】解：（1）设每天的销售数量（件与销售单价（元件）之间的关系式为，
把，代入得：
，
解得，
；
（2）根据题意得：，
解得，，
规定销售单价不低于成本且不高于54元，
，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利元，
，
，对称轴是直线，
而，
时，取最大值，最大值是（元，
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点评】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
18．（2022•锦州）某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量（件与销售单价（元满足一次函数关系，且当时，；当时，．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）设与之间的函数关系式为，然后代值求解即可；
（2）设每天获得的利润为元，由（1）可得进而根据二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为，
由题意得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
（2）设每天获得的利润为元，
由（1）可得：，
，且，
当时，有最大值，最大值为160．
答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键．
19．（2022•荆门）某商场销售一种进价为30元个的商品，当销售价格（元个）满足时，其销售量（万个）与之间的关系式为．同时销售过程中的其它开支为50万元．
（1）求出商场销售这种商品的净利润（万元）与销售价格函数解析式，销售价格定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？
（2）若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
【考点】一元一次不等式的应用；二次函数的应用
【分析】（1）根据总利润单价利润销量，可得与的函数解析式，再求出时，最大，代入即可；
（2）当时，解方程得出的值，再根据函数的增减性和开口方向得出的范围，结合与的函数关系式，从而解决问题．
【解答】解：（1）

，
当时，最大，最大利润为；
（2）当时，，
解得，，
净利润预期不低于17.5万元，且，
，
．随的增大而减小，
时，销售量最大．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，正确列出关于的函数的解析式是解题的关键．
20．（2022•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求关于的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得：，
解得：，
关于的函数表达式为；
（2）该女生在此项考试中是得满分，理由：
令，则，
解得：，（舍去），
，
该女生在此项考试中是得满分．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
21．（2022•盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量（个与销售单价（元之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？

【考点】二次函数的应用
【分析】（1）直接用待定系数法，求出一次函数的关系式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
【解答】解：（1）设一次函数的关系式为，
由题图可知，函数图象过点和点．
把这两点的坐标代入一次函数，
得，
解得，
一次函数的关系式为；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，
由题意得，
，
解得：，，
当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）根据题意，则，
整理得：；
，
当时，有最大值，最大值为800；
当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式，从而进行解题．
22．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．

小亮认为，可以从，，中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
（1）小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由；
（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
【考点】一次函数的应用；反比例函数的应用；二次函数的应用
【分析】（1）由当时，的性质可得答案；
（2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知，①号田为，②号田为，用待定系数法可得模拟①号田的函数表达式为，模拟①号田的函数表达式为；
（3）设①号田和②号田总年产量为吨，，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）认同，理由是：当时，中，随的增大而减小，而从图中描点可知，增大随之增大，故不能选；
（2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知，①号田为，②号田为，
把，代入得：
，
解得，
；
把，代入得：
，
解得，
，
答：模拟①号田的函数表达式为，模拟②号田的函数表达式为；
（3）设①号田和②号田总年产量为吨，
由（2）知，，
，抛物线对称轴为直线，而为整数，
当或8时，取最大值，最大值为7.6，
答：①号田和②号田总年产量在2023年或2024年最大，最大是7.6吨．
【点评】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数，反比例函数，二次函数的性质．
23．（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价（元千克）与购进数量（箱之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元得：，
（2）设李大爷每天所获利润是元，由总利润每千克利润销量得，利用二次函数性质可得李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．
【解答】解：（1）根据题意得：，为整数），
答：这种水果批发价（元千克）与购进数量（箱之间的函数关系式为，为整数）；
（2）设李大爷每天所获利润是元，
由题意得：，
，为正整数，且，
时，取最大值，最大值为（元，
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．
【点评】本题考查一次函数及二次函数的应用，解题的根据是理解题意，列出函数关系式，能利用二次函数性质解决问题．
24．（2022•营口）某文具店最近有，两款纪念册比较畅销．该店购进款纪念册5本和款纪念册4本共需156元，购进款纪念册3本和款纪念册5本共需130元．在销售中发现：款纪念册售价为32元本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；款纪念册售价为22元本时，每天的销售量为80本，款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
售价（元本）

22
23
24
25

每天销售量（本

80
78
76
74

（1）求，两款纪念册每本的进价分别为多少元；
（2）该店准备降低每本款纪念册的利润，同时提高每本款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设款纪念册每本降价元；
①直接写出款纪念册每天的销售量（用含的代数式表示）；
②当款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）设款纪念册每本的进价为元，款纪念册每本的进价为元，根据购进款纪念册5本和款纪念册4本共需156元，购进款纪念册3本和款纪念册5本共需130元得，可解得款纪念册每本的进价为20元，款纪念册每本的进价为14元；
（2）①根据两款纪念册每天销售总数不变，可得款纪念册每天的销售量为本；
②设款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是，待定系数法可得，即可得款纪念册每天的销售量为本时，每本售价是元，设该店每天所获利润是元，则
，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设款纪念册每本的进价为元，款纪念册每本的进价为元，
根据题意得：，
解得，
答：款纪念册每本的进价为20元，款纪念册每本的进价为14元；
（2）①根据题意，款纪念册每本降价元，可多售出本款纪念册，
两款纪念册每天销售总数不变，
款纪念册每天的销售量为本；
②设款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是，
根据表格可得：，
解得，
，
当时，，
即款纪念册每天的销售量为本时，每本售价是元，
设该店每天所获利润是元，
由已知可得
，
，
时，取最大值，最大值为1264元，
此时款纪念册售价为（元，
答：当款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．
【点评】本题考查二元一次方程组和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出方程组和函数关系式．
25．（2022•铜仁市）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
（1）求每天销量（吨与批发价（千元吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润销售量（批发价成本价），列出销售利润（千元）与批发价（千元吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【解答】解：（1）根据题意得，
所以每天销量（吨与批发价（千元吨）之间的函数关系式，
自变量的取值范围是；
（2）设每天获得的利润为千元，根据题意得
，
，
当，随的增大而增大．
，
当时，有最大值，最大值为，
将批发价定为5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
【点评】本题考查二次函数应用，以及利用二次函数的性质求最大值，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
26．（2022•辽宁）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量（千克）与每千克售价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价（元

20
22
24

日销售量（千克）

66
60
54

（1）求与之间的函数关系式；
（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）设与之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润每千克利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为，
由表中数据得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为元，
由题意得：，
市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，
，
，
当时，随的增大而增大，
当时，最大，最大值为420，
当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【点评】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
27．（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系．

某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离
0
2
5
8
11
14
竖直高度
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为，第二次训练的着陆点的水平距离为，则 （填“”“ ”或“” ．
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出、的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出的值即可得出函数解析式；
（2）设着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用表示出和，然后进行比较即可．
【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，
，，
即该运动员竖直高度的最大值为，
根据表格中的数据可知，当时，，代入得：
，
解得：，
函数关系式为：；
（2）设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，，
解得：或，
根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离，
第二次训练时，，
解得：或，
根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用表示出和是解题的关键．
28．（2022•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量（件与销售单价（元之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用
【分析】（1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式；
（2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．
【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：，
解得：，
故与的函数关系式为；
（2）设每天销售这种商品所获的利润为，
，


，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为700，
售价定为18元件时，每天最大利润为700元．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润单件利润销售量列出函数解析式．
29．（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为轴，过起跳点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡的坡角为，，某运动员在处起跳腾空后，飞行至着陆坡的处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解析式为．
（1）求，的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆．
①求关于的函数解析式；
②当为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是多少？


【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据题意，可以求得点和点的坐标，然后代入二次函数解析式，即可得到、的值；
（2）①根据题意，可以得到关于的函数图象经过的两个点，然后根据待定系数法，即可得到关于的函数的解析式；
②先求出直线的解析式，再根据题意，可以表示出，然后根据二次函数的性质，可以求得当为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，并求出这个最大值．
【解答】解：（1）作轴于点，
，着陆坡的坡角为，，
点的坐标为，，，
，
点的坐标为，，
点，点，在二次函数的图象上，
，
解得，
即的值是，的值是65；
（2）①设关于的函数解析式是，
因为点，，在该函数图象上，
，
解得，
即关于的函数解析式是；
②设直线的解析式为，
点，点，在该直线上，
，
解得，
即直线的解析式为，
则，
当时，取得最值，此时，
，
时，取得最值，符合题意，
将代入，得：，
解得，
即当为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是．

【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
30．（2022•沈阳）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？
（2）矩形框架面积的最大值为 平方厘米．

【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用
【分析】（1）设框架的长为，则宽为，根据面积公式列出一元二次方程，解之即可；
（2）在（1）的基础上，列出二次函数，再利用二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）设框架的长为，则宽为，
，
解得或，
或，
的长为12厘米或8厘米；
（2）由（1）知，框架的长为，则宽为，
，即，
，
要使框架的面积最大，则，此时，最大为150平方厘米．
故答案为：150．
【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．
31．（2022•大庆）某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树且为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
（1）图中点所表示的实际意义是 ，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少 ；
（2）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大产量是多少？

【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据题意可知点所表示的实际意义，列算式求出每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少多少；
（2）先求出点坐标，再求出与之间的函数关系式，再求出自变量的取值范围；
（3）根据题意写出二次函数解析式，根据其性质，求出当增种果树多少棵时，果园的总产量最大，及最大产量是多少．
【解答】解：（1）根据题意可知：点所表示的实际意义是增种果树28棵，每棵果树平均产量为，
，
每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少，
故答案为：增种果树28棵，每棵果树平均产量为，；
（2）设在10棵的基础上增种棵，

根据题意可得，
解得，
，
设与之间的函数关系式：，
把，，
，
解得，，
与之间的函数关系式：；
自变量的取值范围：；
（3）设增种果树棵，

，
，
，
，
当增种果树50棵时，果园的总产量最大，最大产量是．
【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数解析式，用二次函数的性质求出最大产量是解题关键．
32．（2022•贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为元时，求该商品销售量与之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是多少元？
【考点】一次函数的应用；二次函数的应用
【分析】（1）根据题意，得，化简即可；
（2）根据题意，得，化成顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得
，
与之间的函数关系式：；
（2）根据题意，得
，
，
抛物线开口向下，有最大值，
当时，，
答：每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
33．（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长，木栅栏长，在与墙垂直的一边留出宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．

【考点】二次函数的应用
【分析】设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列函数关系式，从而利用二次函数的性质求其最值．
【解答】解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，由题意可得：
，
即，
，
当时，有最大值为288，
当时，（符合题意），
鸡场的最大面积为．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的性质是解题关键．
34．（2022•湖北）某超市销售一种进价为18元千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元千克）有如下表所示的关系：
销售单价（元千克）

20
22.5
25
37.5
40

销售量（千克）

30
27.5
25
12.5
10

（1）根据表中的数据在如图中描点，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出关于的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为（元（不计其它成本）．
①求出关于的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求（元时的销售单价．


【考点】一次函数的图象；二次函数的应用
【分析】（1）描点，用平滑曲线连接这些点即可得出函数图象是一次函数，待定系数法求解可得；
（2）①根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况；
②根据题意列方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，

设，
把和代入中得：
，
解得：，
；
（2）①，
，
当时，有最大值，
即超市每天销售这种商品获得最大利润时，销售单价为34元；
②当时，，
，
，，
超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
35．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为，求此时的值；
（2）当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用
【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为，长为，可得，解方程取符合题意的解，即可得的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是，根据墙的长度为10，可得，而，由二次函数性质即得当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为，长为，
，
解得或，
经检验，时，不符合题意，舍去，
，
答：此时的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是，
墙的长度为，
，
根据题意得：，
，
当时，取最大值，最大值为，
答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
36．（2022•广西）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量（盒与销售单价（元之间的函数图象如图所示．
（1）求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．

【考点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的应用
【分析】（1）可用待定系数法来确定与之间的函数关系式，根据图象可得的取值范围即可；
（2）根据利润销售量单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
【解答】解：（1）设函数解析式为，由题意得：
，
解得：，
，
当时，，
，
与之间的函数关系式为；
（2）设销售利润为元，
，
抛物线开口向下，
，
当时，有最大值，是3125，
当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3125元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二次函数的最值问题，在本题中，还需注意的是自变量的取值范围．
37．（2022•荆州）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量（万件）与售价（元件）之间满足函数关系式，第一年除60万元外其他成本为8元件．
（1）求该产品第一年的利润（万元）与售价之间的函数关系式；
（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元件．
①求该产品第一年的售价；
②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据总利润每件利润销售量投资成本，列出式子即可；
（2）①构建方程即可求出该产品第一年的售价；
②根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数性质即可解决问题；
【解答】解：（1）根据题意得：；
（2）①该产品第一年利润为4万元，
，
解得：，
答：该产品第一年的售价是16元件．
②第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过13万件，
，
解得，
设第二年利润是万元，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，又，
时，有最小值，最小值为（万元），
答：第二年的利润至少为61万元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题，属于中考常考题型．
38．（2022•河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头水平距离．身高的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．

【考点】二次函数的应用
【分析】（1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式为；
（2）当时，，解得或，即得她与爸爸的水平距离为或．
【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，将代入得：
，
解得，
，
答：抛物线的表达式为；
（2）当时，，
解得或，
她与爸爸的水平距离为或，
答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是或．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
39．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池，且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？

【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用
【分析】（1）设水池的长为，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论；
（2）设长为，则长度为，得出面积关于的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1），
Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为，
设水池的长为，则水池的面积为，
，
解得，
，
，
即的长为、的长为；
（2）设长为，则长度为，
总种植面积为，
，
当时，总种植面积有最大值为，
即应设计为总种植面积最大，此时最大面积为．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练根据二次函数的性质求最值是解题的关键．
40．（2022•随州）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应个为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第天，且为正整数）的供应量（单位：个）和需求量（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量与满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）
第天
1
2

6

11

15
供应量（个
150







需求量（个
220
229

245

220

164
（1）直接写出与和与的函数关系式；（不要求写出的取值范围）
（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）
（3）在第（2）问取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）由已知直接可得，设，用待定系数法可得；
（2）求出前9天的总供应量为个，前10天的供应量为个，根据前9天的总需求量为2136个，前10天的总需求量为（个，可得，而为正整数，即可解得的值为20或21；
（3）最小值为20，从而第4天的销售量即供应量为，销售额为21000元，第12天的销售量即需求量为，销售额为20900元．
【解答】解：（1）根据题意得：，
设，将，，代入得：
，
解得，
；
（2）前9天的总供应量为个，
前10天的供应量为个，
在中，令得，
前9天的总需求量为2136个，
前10天的总需求量为（个，
前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量，
，
解得，
为正整数，
的值为20或21；
（3）由（2）知，最小值为20，
第4天的销售量即供应量为，
第4天的销售额为（元，
而第12天的销售量即需求量为，
第12天的销售额为（元，
答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元．
【点评】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式组解决问题．
41．（2022•湖北）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用（元与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元．
（1）当时，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用（元最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积的取值范围．

【考点】二次函数的应用
【分析】（1）分段利用图象的特点，利用待定系数法，即可求出答案；
（2）先求出的范围；
①分两段建立与的函数关系，即可求出各自的的最小值，最后比较，即可求出答案案；
②分两段利用，建立不等式求解，即可求出答案．
【解答】解：（1）当时，；
当时，
设函数关系式为，
线段过点，，
，
，
，
即；
（2）甲种花卉种植面积不少于，
，
乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
，
，
即；
①当时，
由（1）知，，
乙种花卉种植费用为15元．
，
当时，；
当时，
由（1）知，，
，
当时，，
，
种植甲种花卉，乙种花卉时，种植的总费用最少，最少为5625元；
②当时，
由①知，，
种植总费用不超过6000元，
，
，
即满足条件的的范围为，
当时，
由①知，，
种植总费用不超过6000元，
，
（不符合题意，舍去）或，
即满足条件的的范围为，
综上，满足条件的的范围为或．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，用分段讨论的思想解决问题是解本题的关键．
42．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：．
（1）若，．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围．
（2）若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．

【考点】二次函数的应用
【分析】（1）①由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；
②由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标；
③根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点、恰好分别在两条抛物线上，故设点，，，，则有，从而得出答案．
【解答】解：（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
，
，
上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得，（舍去），
喷出水的最大射程为；
②对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
点的坐标为；
③，
点的纵坐标为0.5，
，
解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为2，
综上所述，的取值范围是；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点、恰好分别在两条抛物线上，
设点，，，，
则有，
解得，
点的纵坐标为，
，
的最小值为．
【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
43．（2022•陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点、处分别安装照明灯．已知点、到的距离均为，求点、的坐标．

【考点】二次函数的应用
【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入，可得，即可解决问题；
（2）把，代入抛物线的解析式，解方程可得结论．
【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点，
可以假设抛物线的解析式为，
把代入，可得，
抛物线的解析式为；
（2）令，得，
解得，，
，，，．
【点评】本题考查二次函数的应用，待定系数法，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
44．（2022•宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量千克与每平方米种植的株数，且为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求关于的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得，
（2）设每平方米小番茄产量为千克，由产量每平方米种植株数单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
，
答：关于的函数表达式为，，且为整数）；
（2）设每平方米小番茄产量为千克，
根据题意得：，
，
当时，取最大值，最大值为12.5，
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
45．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
（1）的值为 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达点，且此时，，求基准点的高度；
②若时，运动员落地点要超过点，则的取值范围为 ；
（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由．

【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据起跳台的高度为，即可得；
（2）①由，，知，根据基准点到起跳台的水平距离为，即得基准点的高度为；
②运动员落地点要超过点，即是时，，故，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，即是抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点能超过点．
【解答】解：（1）起跳台的高度为，
，
把代入得：
，
故答案为：66；
（2）①，，
，
基准点到起跳台的水平距离为，
，
基准点的高度为；
②，
，
运动员落地点要超过点，
时，，
即，
解得，
故答案为：；
（3）他的落地点能超过点，理由如下：
运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，
抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得：
，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
，
他的落地点能超过点．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
46．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．

素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．

问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【考点】坐标与图形变化对称；二次函数的应用
【分析】任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
任务2：根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，计算悬挂点的纵坐标的最小值是；
任务3：介绍两种方案：分别挂7盏和8盏．
【解答】解：任务
以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为，且过点，

设抛物线的解析式为：，
把点代入得：，
，
抛物线的函数表达式为：；
任务
该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，
当悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标的最小值是，
当时，，
，
悬挂点的横坐标的取值范围是：；
任务
方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，

，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，，
顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
共可挂7盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为：；
方案二：如图3，

若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
共可挂8盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为：．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键．
47．（2022•金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点（图，发现该蔬菜需求量（吨关于售价（元千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为，部分对应值如下表：
售价（元千克）

2.5
3
3.5
4

需求量（吨

7.75
7.2
6.55
5.8

②该蔬菜供给量（吨关于售价（元千克）的函数表达式为，函数图象见图1．
③月份该蔬菜售价（元千克）、成本（元千克）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2．
请解答下列问题：
（1）求，的值．
（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．

【考点】二次函数的应用
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设这种蔬菜每千克获利元，根据列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论；
（3）根据题意列出方程，求出的值，再求出总利润即可．
【解答】解：（1）把，代入，
，
②①，得，
解得：，
把代入①，得，
的值为，的值为9；
（2）设这种蔬菜每千克获利元，根据题意，
，
，且，
当时，有最大值，
答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；
（3）当时，，
解得：，（舍去），
此时售价为5元千克，
则（吨（千克），
令，解得，
，
总利润为（元，
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用，利用待定系数法求出函数解析式，掌握二次函数的性质，并结合数形结合思想解释是关键．
48．（2022•滨州）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数是销售价格（单位：元）的一次函数．
（1）求关于的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的应用
【分析】（1）根据题意利用待定系数法可求得与之间的关系；
（2）写出利润和之间的关系可发现是二次函数，求二次函数的最值问题即．
【解答】解：（1）设，把，，和，代入，可得，
解得：，
；
（2）设每月所获的利润为元，



．
当时，有最大值，最大值为3630．
【点评】主要考查利用函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
49．（2022•淮安）如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点．
（1）求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
（2）点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标；
（3）如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长．

【考点】二次函数综合题
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设，则，，则，，由题意可得方程，求解方程即可；
（3）由题意可知点在平行于的线段上，设此线段与轴的交点为，由，求出点，作点关于的对称点，连接与交于点，则，利用对称性和，求出，求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程组，可求点，，再求．
【解答】解：（1）将点，代入，
，
解得，
，
，
顶点坐标；
（2）设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，则，，
，，
，
，
解得或或或，
点横坐标为或或或；
（3），点与点关于轴对称，
，
令，则，
解得或，
，
，
，
点在平行于的线段上，设此线段与轴的交点为，
，
，
，
，
，
，
，
作点关于的对称点，连接与交于点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
同理可求直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
，，
．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
50．（2022•内蒙古）如图，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，与轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式和点的坐标；
（2）若点在直线上方的抛物线上运动（与点，不重合），求使面积最大时点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）
（3）设点在轴上，点在抛物线上，要使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点的坐标．（请在图2中探索）

【考点】二次函数综合题
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作直线，过点作轴交于点，求出直线的解析式，设，则，可得，再求解即可；
（3）设，，分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．
【解答】解：（1）将，代入，
，
解得，
，
令，则，
；
（2）作直线，过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
，
解得，

设，则，
，
，
当时，的面积有最大值，
此时，；
（3）令，则，
解得或，
，
设，，
①当为平行四边形的对角线时，，
；
②当为平行四边形的对角线时，，
解得，
；
③当为平行四边形的对角线时，，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
51．（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据待定系数法，将点，点代入抛物线解析式，解关于，的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；
（2）设出点的坐标，确定出，由，列出方程求解即可；
（3）过作于，过作轴，交轴于，过作于，证明，由全等三角形的性质得出，，求出点的坐标，由待定系数法求出直线的解析式，联立直线和抛物线解析式即可得出点的坐标．
【解答】解：（1）将点，，代入到中得：
，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）设点，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
，
轴，轴，
，
当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，解得或2或或，
点的横坐标为1或2或或；
（3）①当在下方时，如图，过作于，过作轴，交轴于，过作于，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
，，
，解得，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式得，
解得或，
，；
②当在上方时，如图，过作于，过作轴，交轴于，过作于，

同理得，．
综上，存在，点的坐标为，或，．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法确定出解析式是解本题的关键．
52．（2022•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
（2）如图甲，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，过点作，垂足为，过点作，交轴于点，连接交于点，连接．设的面积为，的面积为，是否存在点，使得最大，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．


【考点】二次函数综合题
【分析】（1）将代入，求出函数解析式即可求解；
（2）作点关于的对称点，连接交于点，连接，当、、三点共线时，有最小值，分别求出直线的解析式和直线的解析式，两直线的交点即为点；
（3）连接，过点作轴交于点，设，则，由，求出，再由，可得，则，当时，有最大值，同时可求点坐标．
【解答】解：（1）将代入，
，
解得，
，
令，则，
，
令，则，
解得或，
；
（2）存在点使最小，理由如下：
作点关于的对称点，连接交于点，连接，
由对称性可知，，
，
当、、三点共线时，有最小值，
，，
，
，
由对称性可知，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
联立方程组，
解得，
，；
（3）存在点，使得最大，理由如下：
连接，过点作轴交于点，
设，则，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
、两点关于轴对称，
，
，
点在第一象限内，
，
当时，有最大值，
此时．


【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，平行线的性质是解题的关键．
53．（2022•青海）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线的对称轴与直线的交点，点是抛物线的顶点，求的长；
（3）设点是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨）


【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数的性质，可求出抛物线顶点的坐标及抛物线的对称轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，结合点的坐标，即可求出线段的长；
（3）又点，的坐标可求出线段的长，设点的坐标为，利用三角形的面积计算公式，结合，即可得出关于的方程，解之即可得出值，进而可得出点的坐标．
【解答】解：（1）将，代入，
得：，解得：，
该抛物线的解析式为．
（2）抛物线的解析式为，
抛物线的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线．
当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，解得：，
直线的解析式为．
当时，，
点的坐标为，
．
（3）点的坐标为，点的坐标为，
．
设点的坐标为．
，
，
即或，
解得：，，，，
存在满足的点，点的坐标为，或，或或．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用二次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标；（3）利用三角形的面积计算公式，找出关于的一元二次方程