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    中考数学专题21 圆(学案含解析)

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    这是一份中考数学专题21 圆(学案含解析),共70页。

    中考数学一轮复习学案
    21 圆

    中考命题说明



    考点
    课标要求
    考查角度
    1
    圆心角、圆周角
    ①理解圆及其有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系;②了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.
    常以选择题、填空题、解答题的形式考查圆心角、圆周角定理的简单运用.
    2
    圆的对称性
    探索圆的性质,理解并会运用垂径定理及其推论.
    常以选择题、填空题、解答题的形式考查垂径定理及其推论的综合运用.
    3
    点与圆、直线与圆的位置关系
    ①探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系;②了解切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系;能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线;③了解三角形的内心和外心.
    常以选择题、填空题、解答题的形式考查直线与圆的位置关系、圆的切线的性质、判定以及三角形的内心和外心.
    4
    圆与圆的位置关系
    探索并了解圆与圆的位置关系.
    常以选择题、填空题的形式考查圆与圆的位置关系.
    5
    弧长和扇形的面积
    会计算弧长及扇形的面积,会计算圆锥的侧面积和全面积.
    常以选择题、填空题的形式考查弧长、扇形的面积和圆锥的侧面积、全面积.

    知识点1:与圆有关的概念


    知识点梳理

    1. 圆的定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.

    2. 弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.(如下图中的AB).

    3. 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
    4. 直径:经过圆心的弦叫做直径(如上图中的CD).直径等于半径的2倍.
    5. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.
    6. 弧、优弧、劣弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.弧用符号“”表示,以A,B为端点的弧记作“”,读作“圆弧AB”或“弧AB” .
    大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示).
    7. 等弧:在 同圆 或 等圆 中,能够互相重合的弧叫做等弧.
    8. 等圆:能够重合的两个圆叫做等圆.
    9. 垂径定理及其推论:
    垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
    推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
    (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
    (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
    推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
    10. 圆的对称性:
    (1)圆的轴对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.
    (2)圆的中心对称性:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.
    典型例题

    【例1】(2022•荆门)如图,CD是圆O的弦,直径AB⊥CD,垂足为E,若AB=12,BE=3,则四边形ACBD的面积为( )

    A. B. C. D.
    【考点】勾股定理;垂径定理
    【分析】根据AB=12,BE=3,求出OE=3,OC=6,并利用勾股定理求出EC,根据垂径定理求出CD,即可求出四边形的面积.
    【解答】解:如图,连接OC,

    ∵AB=12,BE=3,
    ∴OB=OC=6,OE=3,
    ∵AB⊥CD,
    在Rt△COE中,,
    ∴,
    ∴四边形ACBD的面积.
    故选:A.
    【点评】本题考查了垂径定理,解题的关键是熟练运用定理.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
    【例2】(2022•青海)如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果C是⊙O中弦AB的中点,CD经过圆心O交⊙O于点D,并且AB=4 m,CD=6 m,则⊙O的半径长为 m.

    【考点】勾股定理;垂径定理
    【分析】连接OA,如图,设⊙O的半径为r m,根据垂径定理的推论得到CD⊥AB,在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+(6-r)2=r2,然后解方程即可.
    【解答】解:连接OA,如图,设⊙O的半径为r m,

    ∵C是⊙O中弦AB的中点,CD过圆心,
    ∴CD⊥AB,,
    在Rt△AOC中,∵OA=r m,OC=(6-r) m,
    ∴22+(6-r)2=r2,
    解得,
    即⊙O的半径长为.
    故答案为:.
    【点评】本题考查了垂径定理的推论:平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
    【例3】(3分)(2021•青海6/25)如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面,“图上”太阳与海平线交于A,B两点,他测得“图上”圆的半径为10厘米,AB=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟,则“图上”太阳升起的速度为(  )

    A.1.0厘米/分 B.0.8厘米/分 C.1.2厘米/分 D.1.4厘米/分
    【考点】垂径定理的应用.
    【分析】连接OA,过点O作OD⊥AB于D,由垂径定理求出AD的长,再由勾股定理求出OD的长,然后计算出太阳在海平线以下部分的高度,即可求解.
    【解答】解:设“图上”圆的圆心为O,连接OA,过点O作OD⊥AB于D,如图所示:

    ∵AB=16厘米,
    ∴AD=AB=8(厘米),
    ∵OA=10厘米,
    ∴OD(厘米),
    ∴海平线以下部分的高度=OA+OD=10+6=16(厘米),
    ∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟,
    ∴“图上”太阳升起的速度=16÷16=1.0(厘米/秒),
    故选:A.
    【点评】本题考查的是垂径定理的运用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
    知识点2: 与圆有关的角


    1. 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.
    2. 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
    推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
    3. 圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
    4. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
    推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
    推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
    推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
    典型例题

    【例4】(3分)(2021•广东7/25)如图,AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD=1,则⊙O的直径为( )

    A. B. C.1 D.2
    【考点】圆周角定理
    【分析】如图,过点D作DT⊥AB于T.证明DT=DC=1,推出AD=2DT,推出∠A =30°,可得结论.
    【解答】解:如图,过点D作DT⊥AB于T.

    ∵AB是直径,
    ∴∠ACB =90°,
    ∴DC⊥BC,
    ∵DB平分∠CBA,DC⊥BC,DT⊥AB,
    ∴DT=DC=1,
    ∵AC=3,
    ∴AD=AC-CD =2,
    ∴AD=2DT,
    ∴∠A =30°,
    ∴,
    故选:B.
    【点评】本题考查圆周角定理,角平分线的性质定理,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,利用角平分线的性质定理解决问题.
    【例5】(4分)(2021•重庆A卷5/26)如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠A=80°,则∠C的度数是(  )

    A.80° B.100° C.110° D.120°
    【考点】圆内接四边形的性质.
    【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°,再代入求出答案即可.
    【解答】解:∵四边形ABCD内接于⊙O,
    ∴∠A+∠C=180°,
    ∵∠A=80°,
    ∴∠C=100°,
    故选:B.
    【点评】本题考查了圆内接四边形的性质,注意:圆内接四边形的对角互补.
    【例6】(10分)(2021•安徽20/23)如图,圆O中两条互相垂直的弦AB,CD交于点E.
    (1)M是CD的中点,OM=3,CD=12,求圆O的半径长;
    (2)点F在CD上,且CE=EF,求证:AF⊥BD.

    【考点】勾股定理;垂径定理;圆周角定理.
    【分析】(1)连接OD,由垂径定理推论可得∠OMD=90°,在Rt△OMD中用勾股定理即可得半径;
    (2)连接AC,延长AF交BD于G,由已知可证△ACF是等腰三角形,∠FAE=∠CAE,又弧BC=弧BC,有∠CAE=∠CDB,故∠FAE=∠CDB,即可由∠CDB+∠B=90°,得∠AGB=90°,从而得证AF⊥BD.
    【解答】解:(1)连接OD,如图:

    ∵M是CD的中点,CD=12,
    ∴DM=CD=6,OM⊥CD,∠OMD=90°,
    Rt△OMD中,,且OM=3,
    ∴,即圆O的半径长为;
    (2)连接AC,延长AF交BD于G,如图:

    ∵AB⊥CD,CE=EF,
    ∴AB是CF的垂直平分线,
    ∴AF=AC,即△ACF是等腰三角形,
    ∵CE=EF,
    ∴∠FAE=∠CAE,
    ∵,
    ∴∠CAE=∠CDB,
    ∴∠FAE=∠CDB,
    Rt△BDE中,∠CDB+∠B=90°,
    ∴∠FAE+∠B=90°,
    ∴∠AGB=90°,
    ∴AG⊥BD,即AF⊥BD.
    【点评】本题考查垂径定理及推论,涉及勾股定理、等腰三角形的性质及判定,解题的关键是证明∠FAE=∠CDB.
    【例7】(10分)(2021•上海23/25)如图,在圆O中,弦AB等于弦CD,且相交于点P,其中E、F为AB、CD中点.
    (1)证明:OP⊥EF;
    (2)联结AF、AC、CE,若AF∥OP,证明:四边形AFEC为矩形.

    【考点】圆的综合题
    【分析】(1)利用全等三角形的性质证明OE=OF,PE=PF,可得结论.
    (2)连接AC,设EF交OP于J,想办法证明PE=PF =PA=PC,可得结论.
    【解答】(1)证明:连接OP,EF,OE,OF,OB=OD.

    ∵AE=EB,CF=FD,AB=CD,
    ∴OE⊥AB,OF⊥CD,BE=DF,
    ∴∠OEB=∠OFD=90°,
    ∵OB=OD,
    ∴Rt△OEB≌Rt△OFB(HL),
    ∴OE=OF,
    ∵∠OEP=∠OFD=90°,OP=OP,
    ∴Rt△OPE≌Rt△OPF(HL),
    ∴PE=PF,
    ∵OE=OF,
    ∴OP⊥EF.
    (2)证明:连接AC,设EF交OP于J.

    ∵AE=EB,CF=FD,AB=CD,
    ∴AE=CF,BE=DF,
    ∵PE=PF,
    ∴PA=PC,
    ∵PE=PF,OE=OF,
    ∴OP垂直平分线段EF,
    ∴EJ=JF,
    ∵OP∥AF,
    ∴EP=PA,
    ∴PC=PF,PA=PE,
    ∴四边形AFEC是平行四边形,
    ∵EA=CF,
    ∴四边形AFEC是矩形.
    【点评】本题属于圆综合题,考查了全等三角形的判定和性质,垂径定理,平行线分线段成比例定理,矩形的判定,平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
    知识点3:与圆有关的位置关系


    知识点梳理

    1.点与圆的位置关系:
    (1)设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,则有:
    ①点P在圆外⇔d>r;
    ②点P在圆内⇔d<r;
    ③点P在圆上⇔d=r.
    (2)不在同一直线上的三点确定一个圆.
    2.直线与圆的位置关系:
    (1)直线和圆有三种位置关系,具体如下:
    ①相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点.
    ②相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线.
    ③相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
    (2)如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:
    ①直线l与⊙O相交⇔d ②直线l与⊙O相切⇔d=r;
    ③直线l与⊙O相离⇔d>r;
    (3)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
    (4)切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
    (5)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
    (6)三角形的外心:三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点.
    (7)三角形的内心:三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.
    3.圆和圆的位置关系:
    (1)圆和圆的位置关系:
    ①如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种.
    ②如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种.
    ③如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交.
    (2)圆心距:两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距.
    (3)圆和圆位置关系的性质与判定:设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么
    ①两圆外离⇔d>R+r
    ②两圆外切⇔d=R+r
    ③两圆相交⇔R-r ④两圆内切⇔d=R-r(R>r)
    ⑤两圆内含⇔dr)
    (4)两圆相切、相交的重要性质:如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.
    典型例题

    【例8】(2分)(2021•青海16/25)点P是非圆上一点,若点P到⊙O上的点的最小距离是4 cm,最大距离是9 cm,则⊙O的半径是 .
    【考点】点与圆的位置关系.
    【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论:①当点P在圆内时,直径=最小距离+最大距离;②当点P在圆外时,直径=最大距离﹣最小距离.
    【解答】解:分为两种情况:

    ①当点在圆内时,如图1,
    ∵点到圆上的最小距离PB=4 cm,最大距离PA=9 cm,
    ∴直径AB=4 cm +9 cm=13 cm,
    ∴半径r=6.5 cm;
    ②当点在圆外时,如图2,
    ∵点到圆上的最小距离PB=4 cm,最大距离PA=9 cm,
    ∴直径AB=9 cm﹣4 cm=5 cm,
    ∴半径r=2.5 cm;
    故答案为:6.5 cm或2.5 cm.
    【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系,注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.
    【例9】(5分)(2021•安徽13/23)如图,圆O的半径为1,△ABC内接于圆O.若∠A=60°,∠B=75°,则AB= .

    【考点】圆周角定理;三角形的外接圆与外心.
    【分析】连接OA,OB,由三角形内角和可得出∠C=45°,再根据圆周角定理可得∠AOB=90°,即△OAB是等腰直角三角形,又圆半径为1,可得出结论.
    【解答】解:如图,连接OA,OB,

    在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=75°,
    ∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=45°,
    ∴∠AOB=90°,
    ∵OA=OB,
    ∴△OAB是等腰直角三角形,
    ∴AB=OA=.
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查三角形内角和定理,圆周角定理,等腰直角三角形的性质等内容,作出正确的辅助线是解题关键.
    【例10】(4分)(2021•广东17/25)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,则线段CD长度的最小值为 .
    【考点】勾股定理;圆周角定理;点与圆的位置关系
    【分析】根据∠ADB=45°,AB=2,作△ABD的外接圆O,连接OC,当O、D、C三点共线时,CD的值最小.将问题转化为点圆最值.可证得△AOB为等腰直角三角形,,同样可证△OBE也为等腰直角三角形,OE=BE=1,由勾股定理可求得OC的长为,最后CD最小值为.
    【解答】解:如图所示.

    ∵∠ADB=45°,AB=2,作△ABD的外接圆O(因求CD最小值,故圆心O在AB的右侧),连接OC,
    当O、D、C三点共线时,CD的值最小.
    ∵∠ADB=45°,
    ∴∠AOB=90°,
    ∴△AOB为等腰直角三角形,
    ∴.
    ∵∠OBA=45°,∠ABC=90°,
    ∴∠OBE=45°,作OE⊥BC于点E,
    ∴△OBE为等腰直角三角形.
    ∴OE=BE=sin45°·OB=1,
    ∴CE=BC-BE=3-1=2,
    在Rt△OEC中,

    当O、D、C三点共线时,
    CD最小为.
    故答案为:.
    【点评】本题考查了动点与隐圆条件下的点圆最值,涉及到点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等基础知识点,难度较大,需要根据条件进行发散思维.解题关键在于确定出点D的运动轨迹为一段优弧.
    【例11】(2分)(2021•北京13/28)如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB= .

    【考点】圆周角定理;切线的性质.
    【分析】先根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°,然后根据四边形的内角和计算∠AOB的度数.
    【解答】解:∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,
    ∴OA⊥PA,OB⊥PB,
    ∴∠OAP=∠OBP=90°,
    ∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P=360°,
    ∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°.
    故答案为130°.
    【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.
    【例12】(3分)(2021•山西7/23)如图,在⊙O中,AB切⊙O于点A,连接OB交⊙O于点C,过点A作AD∥OB交⊙O于点D,连接CD.若∠B=50°,则∠OCD为( )

    A.15° B.20° C.25° D.30°
    【考点】切线的性质;圆周角定理
    【分析】连接OA,如图,根据切线的性质得到∠OAB=90°,则利用互余可计算出∠AOB=40°,再利用圆周角定理得到∠ADC=20°,然后根据平行线的性质得到∠OCD的度数.
    【解答】解:连接OA,如图,

    ∵AB切⊙O于点A,
    ∴OA⊥AB,
    ∴∠OAB=90°,
    ∵∠B=50°,
    ∴∠AOB=90°-50°=40°,
    ∴,
    ∵AD∥OB,
    ∴∠OCD=∠ADC=20°.
    故选:B.
    【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.
    【例13】(3分)(2021•陕西13/26)如图,正方形ABCD的边长为4,⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移(⊙O可以与该正方形的边相切),则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 .

    【考点】正方形的性质;直线与圆的位置关系;切线的性质;平移的性质.
    【分析】当⊙O与CB、CD相切时,点A到⊙O上的点Q的距离最大,如图,过O点作OE⊥BC于E,OF⊥CD于F,根据切线的性质得到OE=OF=1,利用正方形的性质得到点O在AC上,然后计算出AQ的长即可.
    【解答】解:当⊙O与CB、CD相切时,点A到⊙O上的点Q的距离最大.
    如图,过O点作OE⊥BC于E,OF⊥CD于F,

    ∴OE=OF=1,
    ∴OC平分∠BCD,
    ∵四边形ABCD为正方形,
    ∴点O在AC上,
    ∵AC, OC,
    ∴AQ=OA+OQ,
    即点A到⊙O上的点的距离的最大值为,
    故答案为.
    【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了正方形的性质.
    【例14】(4分)(2021•上海6/25)如图,长方形ABCD中,AB=4,AD=3,圆B半径为1,圆A与圆B内切,则点C、D与圆A的位置关系是( )

    A.点C在圆A外,点D在圆A内 B.点C在圆A外,点D在圆A外
    C.点C在圆A上,点D在圆A内 D.点C在圆A内,点D在圆A外
    【考点】点与圆的位置关系;矩形的性质;圆与圆的位置关系
    【分析】两圆内切,圆心距等于半径之差的绝对值,得圆A的半径等于5,由勾股定理得AC=5,由点与圆的位置关系,可得结论.
    【解答】解:两圆内切,圆心距等于半径之差的绝对值,
    设圆A的半径为R,
    则:AB=R-1,
    ∵AB=4,圆B半径为1,
    ∴R=5,即圆A的半径等于5,
    ∵AB=4,BC=AD=3,由勾股定理可知AC=5,
    ∴AC=5=R,AD=3<R,
    ∴点C在圆上,点D在圆内,
    故选:C.
    【点评】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系勾股定理,熟练掌握点与圆的位置关系是关键,还利用了数形结合的思想,通过图形确定圆的位置.
    【例15】(8分)(2021•呼伦贝尔•兴安盟24/26)如图,AB是⊙O的直径,,连接AC、CD、AD.CD交AB于点F,过点B作⊙O的切线BM交AD的延长线于点E.
    (1)求证:AC=CD;
    (2)连接OE,若DE=2,求OE的长.

    【考点】垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;切线的性质
    【分析】(1)根据圆心角、弧、弦之间的关系及垂径定理进行证明即可;
    (2)根据等边三角形的性质及三角形的内角和得到,再由BM⊥AB,CD⊥AB,得到BM∥CD,利用平行线的性质得到∠AEB=∠ADC=60°,进而利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解即可.
    【解答】证明:(1)∵,
    ∴AD=CD,B是CD的中点,
    ∵AB是直径,
    ∴AD=AC,
    ∴AD=CD;
    (2)如图,连接BD,

    ∵AD=CD=AC,
    ∴∠ADC=∠DAC=60°,
    ∵CD⊥AB,
    ∴,
    ∵BM切⊙O于点B,AB是直径,
    ∴BM⊥AB,
    ∵CD⊥AB,
    ∴BM∥CD,
    ∴∠AEB=∠ADC=60°,
    ∵AB是直径,
    ∴∠ADB=90°,
    在Rt△BDE中,
    ∵∠DBE=90°-∠DEB=30°,
    ∴BE=2DE=4,
    ∴,
    在Rt△BDA中,
    ∵∠DAB=30°,
    ∴,
    ∴,
    在Rt△OBE中,.
    【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系、垂径定理及切线的性质,解题的关键是根据题意作出辅助线BD,从而构造相关的直角三角形,利用其各边或各角之间的关系进行求解,注意运用数形结合的思想方法.
    知识点4:与圆有关的计算


    知识点梳理

    1.弧长及扇形的面积:
    (1)半径为r,n°的圆心角所对的弧长公式: .
    (2)半径为R,n°的圆心角所对的扇形面积公式: (l是扇形的弧长).
    2.圆锥的侧面积和全面积:圆锥的侧面展开图是一个扇形,若设圆锥的母线长为l,底面半径为r,那么这个扇形的半径为圆锥的母线长l,扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πr.
    (1)圆锥的侧面积公式: (其中l是圆锥的母线长,r是圆锥的底面半径).
    (2)圆锥的全面积公式:S圆锥全=侧面积+底面圆面积=πrl+πr2.
    3.求阴影部分面积的几种常见方法:
    (1)公式法;
    (2)割补法;
    (3)拼凑法;
    (4)等积变形构造方程法;
    (5)去重法.
    典型例题

    【例16(4分)(2021•云南7/23)如图,等边△ABC的三个顶点都在⊙O上,AD是⊙O的直径.若OA=3,则劣弧BD的长是( )

    A. B.π C. D.2π
    【考点】三角形的外接圆与外心;等边三角形的性质
    【分析】连接OB、BD,由等边△ABC,可得∠D=∠C=60°,且OB=OD,故△BOD是等边三角形,∠BOD=60°,又半径OA=3,根据弧长公式即可得劣弧BD的长.
    【解答】解:连接OB、BD,如图:

    ∵等边△ABC,
    ∴∠C=60°,
    ∵弧AB=弧AB,
    ∴∠D=∠C=60°,
    ∵OB=OD,
    ∴△BOD是等边三角形,
    ∴∠BOD=60°,
    ∵半径OA=3,
    ∴劣弧BD的长为,
    故选:B.
    【点评】本题考查等边三角形及圆的弧长,解题的关键是掌握弧长公式并能熟练应用.
    【例17】(3分)(2021•青海7/25)如图,一根5 m长的绳子,一端拴在围墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是(  )

    A.m2 B.m2 C.m2 D.m2
    【考点】扇形面积的计算.
    【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和.所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围.
    【解答】解:大扇形的圆心角是90度,半径是5,

    所以面积(m2);
    小扇形的圆心角是180°﹣120°=60°,半径是1 m,
    则面积(m2),
    则小羊A在草地上的最大活动区域面积(m2).
    故选:B.
    【点评】本题考查了扇形的面积的计算,本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的,然后分别计算即可.
    【例18】(3分)(2021•西藏15/27)已知一个圆锥的底面圆半径是2,母线长是6.则圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是 .
    【考点】圆锥的计算
    【分析】利用圆锥侧面展开扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算.
    【解答】解:设圆心角为n,
    底面半径是2,母线长是6,
    则底面周长,
    解得:n=120,
    故答案为:120°.
    【点评】本题考查了圆锥的计算,解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式子.
    【例19】(4分)(2021•重庆A卷16/26)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点A,C为圆心,AO长为半径画弧,分别交AB,CD于点E,F.若BD=4,∠CAB=36°,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)

    【考点】矩形的性质;扇形面积的计算
    【分析】由图可知,阴影部分的面积是扇形AEO和扇形CFO的面积之和.
    【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AC=BD=4,OA=OC=OB=OD,AB∥CE
    ∴OA=OC=2,∠ACD=∠CAB=36°,
    ∴图中阴影部分的面积为:,
    故答案为:.
    【点评】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
    【例20】(3分)(2021•呼伦贝尔•兴安盟12/26)如图,两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上,扇形CFD的圆心C是的中点,且扇形CFD绕着点C旋转,半径AE、CF交于点G,半径BE、CD交于点H,则图中阴影面积等于( )

    A. B. C.π-1 D.π-2
    【考点】全等三角形的判定与性质;扇形面积的计算;旋转的性质
    【分析】根据扇形的面积公式求出面积,再过点C作CM⊥AE,作CN⊥BE,垂足分别为M、N,然后证明△CMG与△CNH全等,从而得到中间空白区域的面积等于以为对角线的正方形的面积,从而得出阴影部分的面积.
    【解答】解:两扇形的面积和为:,
    过点C作CM⊥AE,作CN⊥BE,垂足分别为M、N,

    则四边形EMCN是矩形,
    ∵点C是的中点,
    ∴EC平分∠AEB,
    ∴CM=CN,
    ∴矩形EMCN是正方形,
    ∵∠MCG+∠FCN=90°,∠NCH+∠FCN=90°,
    ∴∠MCG=∠NCH,
    在△CMG与△CNH中,

    ∴△CMG≌△CNH(ASA),
    ∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积,
    ∴空白区域的面积为:,
    ∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和-2个空白区域面积的和=π-2.
    故选:D.
    【点评】此题主要考查了扇形的面积求法,正方形的面积的计算,全等三角形的判定和性质,得出四边形EGCH的面积是解决问题的关键.
    巩固训练

    1.(3分)(2021•赤峰10/26)如图,点,在以为直径的半圆上,且,点是上任意一点,连接、.则的度数为( )

    A. B. C. D.
    2.(3分)(2021•鄂尔多斯16/24)如图,已知正方形的边长为6,点是正方形内一点,连接,,且,点是边上一动点,连接,,则长度的最小值为   .

    3.(2分)(2021•吉林5/26)如图,四边形内接于⊙O,点为边上任意一点(点不与点,重合)连接.若,则的度数可能为( )

    A. B. C. D.
    4.(3分)(2021•海南10/22)如图,四边形是⊙O的内接四边形,是⊙O的直径,连接.若,则的度数是( )

    A. B. C. D.
    5.(4分)(2021•重庆B卷5/26)如图,AB是⊙O的直径,AC,BC是⊙O的弦,若∠A=20°,则∠B的度数为( )

    A. B. C. D.
    6.(4分)(2021•安徽10/23)在△ABC中,∠ACB=90°,分别过点B,C作∠BAC平分线的垂线,垂足分别为点D,E,BC的中点是M,连接CD,MD,ME.则下列结论错误的是(  )
    A.CD=2ME B.ME∥AB C.BD=CD D.ME=MD
    7.(3分)(2021•天津18/25)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,△ABC的顶点,均落在格点上,点在网格线上.
    (Ⅰ)线段的长等于   ;
    (Ⅱ)以为直径的半圆的圆心为,在线段上有一点,满足.请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点,并简要说明点的位置是如何找到的(不要求证明)    .

    8.(8分)(2021•重庆A卷26/26)在△ABC中,,是边上一动点,连接,将绕点逆时针旋转至的位置,使得.
    (1)如图1,当时,连接,交于点.若平分,,求的长;
    (2)如图2,连接,取的中点,连接.猜想与存在的数量关系,并证明你的猜想;
    (3)如图3,在(2)的条件下,连接,.若,当,时,请直接写出的值.

    9.(8分)(2021•重庆B卷26/26)在等边△ABC中,,,垂足为,点为边上一点,点为直线上一点,连接.
    (1)将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接.
    ①如图1,当点与点重合,且的延长线过点时,连接,求线段的长;
    ②如图2,点不与点,重合,的延长线交边于点,连接,求证:;
    (2)如图3,当点为中点时,点为中点,点在边上,且,点从中点沿射线运动,将线段绕点顺时针旋转得到线段,连接,当最小时,直接写出△DPN的面积.

    10.(3分)(2021•西藏8/27)如图,△BCD内接于⊙O,,交⊙O于点,连接,则的度数为( )

    A. B. C. D.
    11.(7分)(2021•北京28/28)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1.对于点A和线段BC,给出如下定义:若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′(B′,C′分别是B,C的对应点),则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”.
    (1)如图,点A,B1,C1,B2,C2,B3,C3的横、纵坐标都是整数.在线段B1C1,B2C2,B3C3中,⊙O的以点A为中心的“关联线段”是  B2C2 ;
    (2)△ABC是边长为1的等边三角形,点A(0,t),其中t≠0.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”,求t的值;
    (3)在△ABC中,AB=1,AC=2.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”,直接写出OA的最小值和最大值,以及相应的BC长.

    12.(3分)(2021•包头18/26)如图,在□ABCD中,,以为直径的⊙O与相切于点,连接.若,则□ABCD的周长为   .

    13.(8分)(2021•通辽24/26)如图,是⊙O的直径,过点作⊙O的切线,点是射线上的动点,连接,过点作BD∥OP,交⊙O于点,连接.
    (1)求证:是⊙O的切线;
    (2)当四边形是平行四边形时,求的度数.

    14.(10分)(2021•天津21/25)已知△ABC内接于⊙O,,,点是⊙O上一点.
    (Ⅰ)如图①,若为⊙O的直径,连接,求和的大小;
    (Ⅱ)如图②,若CD∥BA,连接,过点作⊙O的切线,与的延长线交于点,求的大小.

    15.(10分)(2021•广东24/25)如图,在四边形中,AB∥CD,,,点、分别在线段、上,且EF∥CD,,.
    (1)求证:;
    (2)求证:以为直径的圆与相切;
    (3)若,,求△ADE的面积.

    16.(3分)(2021•包头5/26)如图,在Rt△ABC中,,,,以点为圆心,的长为半径画弧,交于点,交于点,以点为圆心,的长为半径画弧,交于点,交于点,则图中阴影部分的面积为( )

    A. B. C. D.
    17.(3分)(2021•赤峰13/26)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的侧面积是( )

    A. B. C. D.
    18.(3分)(2021•呼伦贝尔•兴安盟15/26)将圆心角为的扇形围成底面圆的半径为的圆锥,则圆锥的母线长为   .
    19.(3分)(2021•呼和浩特13/24)已知圆锥的母线长为10,高为8,则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为   .(用含的代数式表示),圆心角为   度.
    20.(3分)(2021•鄂尔多斯13/24)如图,小梅把一顶底面半径为的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平,得到一个圆心角为的扇形纸片,那么扇形纸片的半径为  30 .

    21.(2分)(2021•河北16/26)如图,等腰△AOB中,顶角∠AOB=40°,用尺规按①到④的步骤操作:
    ①以O为圆心,OA为半径画圆;
    ②在⊙O上任取一点P(不与点A,B重合),连接AP;
    ③作AB的垂直平分线与⊙O交于M,N;
    ④作AP的垂直平分线与⊙O交于E,F.
    结论Ⅰ:顺次连接M,E,N,F四点必能得到矩形;
    结论Ⅱ:⊙O上只有唯一的点P,使得S扇形FOM=S扇形AOB.
    对于结论Ⅰ和Ⅱ,下列判断正确的是(  )

    A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对
    22.(3分)(2021•山西9/23)如图,正六边形的边长为2,以为圆心,的长为半径画弧,得,连接,,则图中阴影部分的面积为( )

    A. B. C. D.
    23.(3分)(2021•吉林14/26)如图,在Rt△ABC中,,,.以点为圆心,长为半径画弧,分别交,于点,,则图中阴影部分的面积为   (结果保留.

    24.(4分)(2021•重庆B卷16/26)如图,在菱形中,对角线,,分别以点,,,为圆心,的长为半径画弧,与该菱形的边相交,则图中阴影部分的面积为  .(结果保留

    25.(4分)(2021•广东13/25)如图,等腰直角三角形中,,.分别以点、点为圆心,线段长的一半为半径作圆弧,交、、于点、、,则图中阴影部分的面积为   .

    26.(3分)(2021•河南14/23)如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,点,,均在小正方形的顶点上,且点,在上,,则的长为   .

    27.(9分)(2021•江西21/23)如图1,四边形ABCD内接于⊙O,AD为直径,过点C作CE⊥AB于点E,连接AC.
    (1)求证:∠CAD=∠ECB;
    (2)若CE是⊙O的切线,∠CAD=30°,连接OC,如图2.
    ①请判断四边形ABCO的形状,并说明理由;
    ②当AB=2时,求AD,AC与围成阴影部分的面积.

    28.(9分)(2021•河北24/26)如图,⊙O的半径为6,将该圆周12等分后得到表盘模型,其中整钟点为An(n为1~12的整数),过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P.
    (1)通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长;
    (2)连接A7A11,则A7A11和PA1有什么特殊位置关系?请简要说明理由;
    (3)求切线长PA7的值.

    巩固训练解析

    1.(3分)(2021•赤峰10/26)如图,点,在以为直径的半圆上,且,点是上任意一点,连接、.则的度数为( )

    A. B. C. D.
    【考点】圆周角定理
    【分析】连接,如图,根据圆内接四边形的性质得到,再根据圆周角定理得到,则可计算出,然后根据圆周角定理得到的度数.
    【解答】解:连接,如图,

    四边形为的内接四边形,


    为直径,



    故选:B.
    【点评】本题考查了圆周角定理:求出的度数是解决问题的关键.
    2.(3分)(2021•鄂尔多斯16/24)如图,已知正方形的边长为6,点是正方形内一点,连接,,且,点是边上一动点,连接,,则长度的最小值为   .

    【考点】正方形的性质;轴对称最短路线问题
    【分析】根据正方形的性质得到,推出,得到点在以为直径的半圆上移动,如图,设的中点为,作正方形关于直线对称的正方形,则点的对应点是,连接交于,交于,则线段的长即为的长度最小值,根据勾股定理即可得到结论.
    【解答】解:

    四边形是正方形,





    点在以为直径的半圆上移动,
    如图,设的中点为,作正方形关于直线对称的正方形,则点的对应点是,
    连接交于,交半圆于,则线段的长即为的长度最小值,,
    ,,



    的长度最小值为,
    故答案为:.
    【点评】本题考查了轴对称最短路线问题,正方形的性质,勾股定理的综合运用.凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,结合轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点.
    3.(2分)(2021•吉林5/26)如图,四边形内接于⊙O,点为边上任意一点(点不与点,重合)连接.若,则的度数可能为( )

    A. B. C. D.
    【考点】圆周角定理;圆内接四边形的性质
    【分析】由圆内接四边形的性质得度数为,再由为△PCD的外角求解.
    【解答】解:四边形内接于⊙O,



    为△PCD的外角,
    ,只有D满足题意.
    故选:D.
    【点评】本题考查圆内接四边形的性质,解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补.
    4.(3分)(2021•海南10/22)如图,四边形是⊙O的内接四边形,是⊙O的直径,连接.若,则的度数是( )

    A. B. C. D.
    【考点】圆内接四边形的性质;圆周角定理
    【分析】根据圆内接四边形的性质求出,根据圆周角定理得到,结合图形计算,得到答案.
    【解答】解:四边形是⊙O的内接四边形,


    ,,
    是⊙O的直径,


    故选:A.
    【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
    5.(4分)(2021•重庆B卷5/26)如图,AB是⊙O的直径,AC,BC是⊙O的弦,若∠A=20°,则∠B的度数为( )

    A. B. C. D.
    【考点】圆周角定理
    【分析】根据直径所对的圆周角为90°,即可求解.
    【解答】解:∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠C=90°.
    ∵∠A=20°,
    ∴∠B=90°-∠A=70°.
    故选:A.
    【点评】本题考查圆周角定理,关键在于知道直径所对的圆周角为直角.
    6.(4分)(2021•安徽10/23)在△ABC中,∠ACB=90°,分别过点B,C作∠BAC平分线的垂线,垂足分别为点D,E,BC的中点是M,连接CD,MD,ME.则下列结论错误的是(  )
    A.CD=2ME B.ME∥AB C.BD=CD D.ME=MD
    【考点】全等三角形的判定与性质.
    【分析】根据题意作出图形,可知点A,C,D,B四点共圆,再结合点M是中点,可得DM⊥BC,又CE⊥AD,BD⊥AD,可得△CEM≌△BFM,可得EM=FM=DM,延长DM交AB于点N,可得MN是△ACB的中位线,再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半,可得DN=AN,得到角之间的关系,可得ME∥AB.
    【解答】解:根据题意可作出图形,如图所示,并延长EM交BD于点F,延长DM交AB于点N,

    在△ABC中,∠ACB=90°,分别过点B,C作∠BAC平分线的垂线,垂足分别为点D,E,
    由此可得点A,C,D,B四点共圆,
    ∵AD平分∠CAB,
    ∴∠CAD=∠BAD,
    ∴CD=DB,(故选项C正确)
    ∵点M是BC的中点,
    ∴DM⊥BC,
    又∵∠ACB=90°,
    ∴AC∥DN,
    ∴点N是线段AB的中点,
    ∴AN=DN,
    ∴∠DAB=∠ADN,
    ∵CE⊥AD,BD⊥AD,
    ∴CE∥BD,
    ∴∠ECM=∠FBM,∠CEM=∠BFM,
    ∵点M是BC的中点,
    ∴CM=BM,
    ∴△CEM≌△BFM(AAS),
    ∴EM=FM,
    ∴EM=FM=DM(故选项D正确),
    ∴∠FEM=∠MDE=∠DAB,
    ∴EM∥AB(故选项B正确),
    综上,可知选项A的结论不正确.
    故选:A.
    【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,中位线定理,全等三角形的性质与判定等,根据题中条件,作出正确的辅助线是解题关键.
    7.(3分)(2021•天津18/25)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,△ABC的顶点,均落在格点上,点在网格线上.
    (Ⅰ)线段的长等于   ;
    (Ⅱ)以为直径的半圆的圆心为,在线段上有一点,满足.请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点,并简要说明点的位置是如何找到的(不要求证明)    .

    【考点】勾股定理;圆周角定理
    【分析】(Ⅰ)利用勾股定理求解即可.
    (Ⅱ)取与网格线的交点,连接延长交于点,连接交于点,连接,延长交的延长线于,连接延长交于点,点即为所求.
    【解答】解:(Ⅰ).
    故答案为:.
    (Ⅱ)如图,取与网格线的交点,连接延长交于点,连接交于点,连接,延长交的的延长线于,连接延长交于点,点即为所求.

    故答案为:取与网格线的交点,连接延长交于点,连接交于点,连接,延长交的的延长线于,连接延长交于点,点即为所求.
    【点评】本题考查圆周角定理,勾股定理,等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
    8.(8分)(2021•重庆A卷26/26)在△ABC中,,是边上一动点,连接,将绕点逆时针旋转至的位置,使得.
    (1)如图1,当时,连接,交于点.若平分,,求的长;
    (2)如图2,连接,取的中点,连接.猜想与存在的数量关系,并证明你的猜想;
    (3)如图3,在(2)的条件下,连接,.若,当,时,请直接写出的值.

    【考点】几何变换综合题
    【分析】(1)连接,过点作于,判断出,再判断出,进而得出△ABD≌△ACE(SAS),得出,,再判断出,即可得出结论;
    (2)延长至点,使,连接,得出,再判断出△ADC≌△AEM(SAS),得出,即可得出结论;
    (3)如图3,连接,与的交点记作点,先判断出△ADE是等边三角形,得出,,,进而判断出点,,,四点共圆,得出,再判断出是的垂直平分线,也是的角平分线,设,则,进而得出,,,再构造直角三角形求出,即可得出结论.
    【解答】解:(1)连接,过点作于,

    平分,,







    由旋转知,,
    ∴△ABD≌△ACE(SAS),
    ,,


    平分,









    (2),
    理由:延长至点,使,连接,

    是的中点,




    ,,


    ∴△ADC≌△AEM(SAS),


    (3)如图3,连接,与的交点记作点,

    ,,


    ∴△ADE是等边三角形,
    ,,


    在△ABC中,,,



    点,,,四点共圆,





    是的垂直平分线,
    ,,







    设,则,
    由(2)知,,




    过点作于,
    在Rt△AHC中,,,

    根据勾股定理得,,
    在Rt△AHD中,根据勾股定理得,,



    【点评】此题是几何变换综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,勾股定理,等边三角形的判定和性质,判断出点,,,四点共圆是解本题的关键.
    9.(8分)(2021•重庆B卷26/26)在等边△ABC中,,,垂足为,点为边上一点,点为直线上一点,连接.
    (1)将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接.
    ①如图1,当点与点重合,且的延长线过点时,连接,求线段的长;
    ②如图2,点不与点,重合,的延长线交边于点,连接,求证:;
    (2)如图3,当点为中点时,点为中点,点在边上,且,点从中点沿射线运动,将线段绕点顺时针旋转得到线段,连接,当最小时,直接写出△DPN的面积.

    【考点】几何变换综合题
    【分析】(1)①过作于,先证明△BGF是等边三角形,求出长度,再证明,从而在Rt△BDC中,求出,即得,在Rt△CDH中,求出和,可得,Rt△GHD中,即可得到;
    ②过作交于,过作交于,连接,作中点,连接,由,得、、、共圆,可得,从而可证,由、、、共圆可得,故△GFP≌△HFM,,可得,,在Rt△BEP中,,Rt△MHB中,,即可得到;
    (2)以为顶点,为一边,作,交于,过作于,设交于,Rt△PMH中,,最小即是最小,此时、、共线,而将线段绕点顺时针旋转得到线段,可得,从而可证ML∥AC,四边形是矩形,由,得,由等边△ABC中,,点为中点时,点为中点,可得,,Rt△BGM中,,,可求,,Rt△MHP中,可得,从而可得,故.
    【解答】解:(1)①过作于,如图:

    线段绕点逆时针旋转得到线段,点与点重合,且的延长线过点,
    ,,
    ∴△BGF是等边三角形,
    ,,
    等边,,,
    ,,,




    Rt△BDC中,,

    Rt△CDH中,,,


    Rt△GHD中,;
    ②过作交于,过作交于,连接,作中点,连接,如图:

    绕点逆时针旋转得到线段,
    ∴△EGF是等边三角形,
    ,,,
    ∵△ABC是等边三角形,


    、、、共圆,

    而△ABC是等边三角形,,
    ,即,


    ①,
    ,,
    ,,

    、、、共圆,

    ,,

    ②,
    而③,
    由①②③得△GFP≌△HFM(AAS),

    ,中点,,



    Rt△MHB中,,

    ,即,
    Rt△BEP中,,
    Rt△MHB中,,


    (2)以为顶点,为一边,作,交于,过作于,设交于,如图:

    Rt△PMH中,,
    最小即是最小,此时、、共线,
    将线段绕点顺时针旋转得到线段,
    在射线上运动,则在射线上运动,根据“瓜豆原理”, 为主动点,是从动点,为定点,,则、轨迹的夹角,






    ∴ML∥AC,

    而,

    四边形是矩形,

    在△ABC中,,,

    又,

    等边△ABC中,,点为中点时,点为中点,
    ,,
    Rt△BGM中,,,
    ,,
    Rt△MHP中,,


    【点评】本题考查等边三角形性质及应用,涉及旋转变换、解直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识,难度较大,解题的关键是构造辅助线.
    10.(3分)(2021•西藏8/27)如图,△BCD内接于⊙O,,交⊙O于点,连接,则的度数为( )

    A. B. C. D.
    【考点】圆心角、弧、弦的关系;三角形的外接圆与外心
    【分析】连接,,根据圆周角定理得到,根据垂径定理得到,根据等腰三角形的性质即可得到结论.
    【解答】解:连接,,







    故选:.
    【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,垂径定理,等腰三角形性质,三角形的内角和定理,正确的作出辅助线是解题的关键.
    11.(7分)(2021•北京28/28)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1.对于点A和线段BC,给出如下定义:若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′(B′,C′分别是B,C的对应点),则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”.
    (1)如图,点A,B1,C1,B2,C2,B3,C3的横、纵坐标都是整数.在线段B1C1,B2C2,B3C3中,⊙O的以点A为中心的“关联线段”是  B2C2 ;
    (2)△ABC是边长为1的等边三角形,点A(0,t),其中t≠0.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”,求t的值;
    (3)在△ABC中,AB=1,AC=2.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”,直接写出OA的最小值和最大值,以及相应的BC长.

    【考点】圆的综合题.
    【分析】(1)利用旋转的性质以及点A到圆上一点距离的范围,结合图形判断,即可求出答案.
    (2)利用旋转的性质,“关联线段”的定义以及等边三角形的性质,求出B′C′的位置,从而求出t的值.
    (3)利用旋转的性质以及“关联线段”的定义,可知四边形AB′OC′的各边长,利用四边形的不稳定性,画出OA最小和最大时的图形,利用等腰三角形的性质以及勾股定理求出答案.
    【解答】解:(1)由旋转的旋转可知:AB=AB′,AC=AC′,∠BAB′=∠CAC′,
    由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为1≤d≤1,
    ∵AC1=3>d,
    ∴点 C1′不可能在圆上,
    ∴B1C1不是⊙O的以A为中心的“关联线段”,
    ∵AC2=1,AB2,
    ∴C2′(0,1),B2′(1,0),
    ∴B2C2是⊙O的以A为中心的“关联线段”,
    ∵AC3=2,AB3,
    当B3′在圆上时,B3′(1,0)或(0,﹣1),
    由图可知此时C3′不在圆上,
    ∴B3C3不是⊙O的以A为中心的“关联线段”.
    故答案为;B2C2.
    (2)∵△ABC是边长为1的等边三角形,
    根据旋转的性质可知△AB′C′也是边长为1的等边三角形,
    ∵A(0,t),
    ∴B′C′⊥y轴,且B′C′=1,
    ∴AO为B′C′边上的高,且此高的长为,
    ∴t或.
    (3)由旋转的性质和“关联线段”的定义,
    可知AB′=AB=OB′=OC′=1,AC′=AC=2,如图1,

    利用四边形的不稳定性可知,
    当A,O,C′在同一直线上时,OA最小,最小值为1,如图2,

    此时OA=OB′=OC′,
    ∴∠AB′C=90°,
    ∴B′C′.
    当A,B′,O在同一直线上时,OA最大,如图3,

    此时OA=2,过点A作AE⊥OC′于E,过点C′作C′F⊥OA于F.
    ∵AO=AC′=2,AE⊥O C′,
    ∴OE=EC′,
    ∴AE,
    ∵S△AOC′•AO•C′F•OC′•AE,
    ∴C′F,
    ∴OF,
    ∴FB′=OB′﹣OF,
    ∴B′C′.
    综上OA的最小值为1时,此时BC的长为,OA的最大值为2,此时BC的长为.

    【点评】此题属于圆综合题,考查了旋转有关的新定义题,利用旋转的性质,等腰三角形,等边三角形,勾股定理等知识点,本题的关键画出OA最小和最大时的图形,属于中考压轴题.
    12.(3分)(2021•包头18/26)如图,在□ABCD中,,以为直径的⊙O与相切于点,连接.若,则□ABCD的周长为   .

    【考点】圆周角定理;切线的性质;平行四边形的性质
    【分析】连接,过点作交于点,利用平行四边形的性质和切线的性质证明四边形为矩形,利用勾股定理求得,进而求得平行四边形的周长.
    【解答】解:连接,过点作交于点,

    四边形为平行四边形,
    ,,,

    ∵⊙O与相切于点,





    四边形为矩形,

    为直径,,

    ,,

    在Rt△OFC中,由勾股定理得,


    ∴□ABCD的周长为,
    故答案为:.
    【点评】本题考查了平行四边形的性质,切线的性质,解题的关键是利用辅助线构造矩形,通过矩形的性质求出平行四边形的边长.
    13.(8分)(2021•通辽24/26)如图,是⊙O的直径,过点作⊙O的切线,点是射线上的动点,连接,过点作BD∥OP,交⊙O于点,连接.
    (1)求证:是⊙O的切线;
    (2)当四边形是平行四边形时,求的度数.

    【考点】平行四边形的性质;切线的判定与性质;圆周角定理
    【分析】(1)连接,根据切线的性质求出,根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出,根据全等三角形的判定推出△AOP≌△DOP,根据全等三角形的性质得出,再根据切线的判定得出即可;
    (2)根据全等得出,根据平行四边形的性质得出,求出,再求出答案即可.
    【解答】(1)证明:连接,

    切⊙O于,

    即,
    ∵BD∥OP,
    ,,



    在△AOP和△DOP中

    ∴△AOP≌△DOP(SAS),



    即,
    过,
    是⊙O的切线;
    (2)解:如下图,

    由(1)知:△AOP≌△DOP,

    四边形是平行四边形,





    【点评】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的性质和判定,切线的性质,平行线的性质,等腰三角形的性质,等腰直角三角形等知识点,能熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解此题的关键.
    14.(10分)(2021•天津21/25)已知△ABC内接于⊙O,,,点是⊙O上一点.
    (Ⅰ)如图①,若为⊙O的直径,连接,求和的大小;
    (Ⅱ)如图②,若CD∥BA,连接,过点作⊙O的切线,与的延长线交于点,求的大小.

    【考点】圆周角定理;三角形的外接圆与外心;切线的性质
    【分析】(Ⅰ)如图①,利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出,再根据圆周角定理得到,,利用互余计算出的度数,利用圆周角定理计算的度数,从而得到的度数;
    (Ⅱ)如图②,连接,利用平行线的性质得到,利用圆内接四边形的性质计算出,再根据三角形内角和计算出,接着利用圆周角定理得到,然后根据切线的性质得到,最后利用互余计算出的度数.
    【解答】解:(Ⅰ)如图①,



    为直径,




    (Ⅱ)如图②,连接,

    ∵CD∥BA,

    四边形为⊙O的内接四边形,




    为切线,



    【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.
    15.(10分)(2021•广东24/25)如图,在四边形中,AB∥CD,,,点、分别在线段、上,且EF∥CD,,.
    (1)求证:;
    (2)求证:以为直径的圆与相切;
    (3)若,,求△ADE的面积.

    【考点】圆的综合题
    【分析】(1)先判断出,同理判断出,进而判断出,即可得出结论;
    (2)取的中点,过点作于,先判断出,进而判断出,即可得出结论;
    (3)先求出,,再判断出四边形是矩形,得出,过点作于,同理求出,即可得出结论.
    【解答】(1)证明:,

    ∵EF∥CD,





    ∵CD∥EF,CD∥AB,
    ∴AB∥EF,







    (2)证明:如图1,取的中点,过点作于,



    ∵AB∥CD,
    ∴OH∥AB∥CD,
    ∵AB∥CD,,
    四边形是梯形,
    点是的中点,即是梯形的中位线,

    ,,


    以为直径的圆与相切;
    (3)如图2,

    由(1)知,,


    在Rt△CEF中,,,


    ∵AB∥EF∥CD,,

    过点作,交的延长线于,


    四边形是矩形,

    过点作于,
    四边形是矩形,

    由(1)知,,


    在Rt△BEF中,,







    【点评】此题是圆的综合题,主要考查了平行线的性质,切线的判定,锐角三角函数,矩形的判定,作出辅助线求出是解本题的关键.
    16.(3分)(2021•包头5/26)如图,在Rt△ABC中,,,,以点为圆心,的长为半径画弧,交于点,交于点,以点为圆心,的长为半径画弧,交于点,交于点,则图中阴影部分的面积为( )

    A. B. C. D.
    【考点】扇形面积的计算;勾股定理
    【分析】先根据直角三角形中的勾股定理求得,再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积:,将相关量代入求解即可.
    【解答】解:根据题意可知,则,
    设,,

    ,即,

    故选:D.
    【点评】本题考查扇形面积的计算及勾股定理,通常需要将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解.
    17.(3分)(2021•赤峰13/26)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的侧面积是( )

    A. B. C. D.
    【考点】圆锥的计算;由三视图判断几何体
    【分析】首先判断该几何体的形状,然后根据其尺寸求得其侧面积即可.
    【解答】解:观察三视图发现该几何体为圆锥,其底面直径为,母线长为,
    所以其侧面积为:,
    故选:A.
    【点评】本题考查了由三视图判断几何体,圆锥的有关计算,由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键.
    18.(3分)(2021•呼伦贝尔•兴安盟15/26)将圆心角为的扇形围成底面圆的半径为的圆锥,则圆锥的母线长为   .
    【考点】圆锥的计算
    【分析】利用底面周长展开图的弧长可得.
    【解答】解:设圆锥的母线长为,
    根据题意得:
    解得.
    故答案为:.
    【点评】此题考查圆锥的问题,解答本题的关键是先确定底面周长展开图的弧长这个等量关系,然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值.
    19.(3分)(2021•呼和浩特13/24)已知圆锥的母线长为10,高为8,则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为   .(用含的代数式表示),圆心角为   度.
    【考点】圆锥的计算;列代数式
    【分析】根据圆锥的展开图为扇形,结合圆周长公式的求解.
    【解答】解:设底面圆的半径为,
    由勾股定理得:,

    根据题意得,
    解得,
    即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为.
    故答案为:,216.
    【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
    20.(3分)(2021•鄂尔多斯13/24)如图,小梅把一顶底面半径为的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平,得到一个圆心角为的扇形纸片,那么扇形纸片的半径为  30 .

    【考点】圆锥的计算;剪纸问题
    【分析】设扇形纸片的半径为,根据圆锥底面圆的周长是展开扇形的弧长列方程即可解得答案.
    【解答】解:设扇形纸片的半径为,由圆锥底面圆的周长是展开扇形的弧长可得:

    解得,
    故答案为:30.
    【点评】本题考查弧长的计算,解题的关键是找出等量关系:圆锥底面圆的周长是展开扇形的弧长.
    21.(2分)(2021•河北16/26)如图,等腰△AOB中,顶角∠AOB=40°,用尺规按①到④的步骤操作:
    ①以O为圆心,OA为半径画圆;
    ②在⊙O上任取一点P(不与点A,B重合),连接AP;
    ③作AB的垂直平分线与⊙O交于M,N;
    ④作AP的垂直平分线与⊙O交于E,F.
    结论Ⅰ:顺次连接M,E,N,F四点必能得到矩形;
    结论Ⅱ:⊙O上只有唯一的点P,使得S扇形FOM=S扇形AOB.
    对于结论Ⅰ和Ⅱ,下列判断正确的是(  )

    A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对
    【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;矩形的性质;点与圆的位置关系;扇形面积的计算;作图—复杂作图.
    【分析】如图,连接EM,EN,MF.NF.根据矩形的判定证明四边形MENF是矩形,再说明∠MOF=∠AOB时,S扇形FOM=S扇形AOB,观察图象可知,这样的点P不唯一,可知(Ⅱ)错误.
    【解答】解:如图,连接EM,EN,MF.NF.

    ∵OM=ON,OE=OF,
    ∴四边形MENF是平行四边形,
    ∵EF=MN,
    ∴四边形MENF是矩形,故(Ⅰ)正确,
    观察图象可知当∠MOF=∠AOB,
    ∴S扇形FOM=S扇形AOB,
    观察图象可知,这样的点P不唯一,故(Ⅱ)错误,
    故选:D.
    【点评】本题考查作图﹣复杂作图,线段的垂直平分线的性质,矩形的判定,扇形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握五种基本作图,属于中考常考题型.
    22.(3分)(2021•山西9/23)如图,正六边形的边长为2,以为圆心,的长为半径画弧,得,连接,,则图中阴影部分的面积为( )

    A. B. C. D.
    【考点】正多边形和圆;扇形面积的计算
    【分析】由正六边形的边长为2,可得,,进而求出,,过作于,由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到,,在中,由勾股定理求得,得到,根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积.
    【解答】解:正六边形的边长为2,
    ,,


    过作于,

    ,,
    在Rt△ABH中,


    同理可证,,


    图中阴影部分的面积为,
    故选:A.
    【点评】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理,掌握扇形面积公式是解题的关键.
    23.(3分)(2021•吉林14/26)如图,在Rt△ABC中,,,.以点为圆心,长为半径画弧,分别交,于点,,则图中阴影部分的面积为   (结果保留.

    【考点】含30度角的直角三角形;扇形面积的计算
    【分析】连接,由扇形面积-三角形面积求解.
    【解答】解:连接,




    ∴△CBE为等边三角形,
    ,,


    阴影部分的面积为.
    故答案为:.
    【点评】本题考查扇形的面积与解直角三角形,解题关键是判断出三角形为等边三角形与扇形面积的计算.
    24.(4分)(2021•重庆B卷16/26)如图,在菱形中,对角线,,分别以点,,,为圆心,的长为半径画弧,与该菱形的边相交,则图中阴影部分的面积为  .(结果保留

    【考点】菱形的性质;扇形面积的计算
    【分析】先求出菱形面积,再计算四个扇形的面积即可求解.
    【解答】解:在菱形中,有:,.


    四个扇形的面积,是一个以的长为半径的圆.
    图中阴影部分的面积.
    故答案为:.
    【点评】本题考查菱形的性质、扇形面积计算.关键在于图中四个扇形的面积实际上是一个圆的面积.
    25.(4分)(2021•广东13/25)如图,等腰直角三角形中,,.分别以点、点为圆心,线段长的一半为半径作圆弧,交、、于点、、,则图中阴影部分的面积为   .

    【考点】扇形面积的计算;等腰直角三角形
    【分析】阴影部分的面积等于的面积减去空白处的面积即可得出答案.
    【解答】解:等腰直角三角形中,,,



    阴影部分的面积,
    故答案为.
    【点评】本题考查了扇形的面积公式,正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键,题目比较好,难度适中.
    26.(3分)(2021•河南14/23)如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,点,,均在小正方形的顶点上,且点,在上,,则的长为   .

    【考点】弧长的计算
    【分析】如图,圆心为,连接,,,.利用弧长公式求解即可.
    【解答】解:如图,圆心为,连接,,,.

    ,,
    的长.
    故答案为:.
    【点评】本题考查弧长公式,解题的关键是正确寻找圆心的位置,属于中考常考题型.
    27.(9分)(2021•江西21/23)如图1,四边形ABCD内接于⊙O,AD为直径,过点C作CE⊥AB于点E,连接AC.
    (1)求证:∠CAD=∠ECB;
    (2)若CE是⊙O的切线,∠CAD=30°,连接OC,如图2.
    ①请判断四边形ABCO的形状,并说明理由;
    ②当AB=2时,求AD,AC与围成阴影部分的面积.

    【考点】圆的综合题.
    【分析】(1)先判断出∠CBE=∠D,再用等角的余角相等,即可得出结论;
    (2)①先判断出OC∥AB,再判断出BC∥OA,进而得出四边形ABCO是平行四边形,即可得出结论;
    ②先求出AC,BC,再用面积的和,即可得出结论.
    【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
    ∴∠CBE=∠D,
    ∵AD为⊙O的直径,
    ∴∠ACD=90°,
    ∴∠D+∠CAD=90°,
    ∴∠CBE+∠CAD=90°,
    ∵CE⊥AB,
    ∴∠CBE+∠BCE=90°,
    ∴∠CAD=∠BCE;
    (2)①四边形ABCO是菱形,理由:
    ∵∠CAD=30°,
    ∴∠COD=2∠CAD=60°,∠D=90°﹣∠CAD=60°,
    ∵CE是⊙O的切线,
    ∴OC⊥CE,
    ∴CE⊥AB,
    ∴OC∥AB,
    ∴∠DAB=∠COD=60°,
    由(1)知,∠CBE+∠CAD=90°,
    ∴∠CBE=90°﹣∠CAD=60°=∠DAB,
    ∴BC∥OA,
    ∴四边形ABCO是平行四边形,
    ∵OA=OC,
    ∴□ABCO是菱形;
    ②由①知,四边形ABCO是菱形,
    ∴OA=OC=AB=2,
    ∴AD=2OA=4,
    由①知,∠COD=60°,
    在Rt△ACD中,∠CAD=30°,
    ∴CD=2,AC=23,
    ∴AD,AC与围成阴影部分的面积为:
    S△AOC+S扇形COD



    【点评】此题是圆的综合题,主要考查了同角的余角相等,切线的性质,菱形的判定,扇形的面积公式,判断出BC∥OA是解本题的关键.
    28.(9分)(2021•河北24/26)如图,⊙O的半径为6,将该圆周12等分后得到表盘模型,其中整钟点为An(n为1~12的整数),过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P.
    (1)通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长;
    (2)连接A7A11,则A7A11和PA1有什么特殊位置关系?请简要说明理由;
    (3)求切线长PA7的值.

    【考点】切线的性质;正多边形和圆;弧长的计算.
    【分析】(1)利用弧长公式求解即可.
    (2)利用圆周角定理证明即可.
    (3)解直角三角形求出PA7即可.
    【解答】解:(1)由题意,∠A7OA11=120°,
    ∴的长>12,
    ∴比直径长.
    (2)结论:PA1⊥A7A11.
    理由:连接A1A7.

    ∵A1A7是⊙O的直径,
    ∴∠A7A11A1=90°,
    ∴PA1⊥A7A11.
    (3)∵PA7是⊙O的切线,
    ∴PA7⊥A1A7,
    ∴∠PA7A1=90°,
    ∵∠PA1A7=60°,A1A7=12,
    ∴PA7=A1A7•tan60°=.
    【点评】本题考查正多边形与圆,切线的性质,圆周角定理,弧长公式,解直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌握正多边形与圆的关系,属于中考常考题型
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