专题15 反比例函数及其应用（学案）

这是一份专题15 反比例函数及其应用（学案），共47页。学案主要包含了三象限，或第二等内容，欢迎下载使用。

2021年中考数学一轮专题复习
学案15 反比例函数及其应用

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
反比例函数的意义和函数表达式
结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式
常以选择题、填空题的形式考查反比例函数的意义和函数解析式的求法，部分地市以解答题的形式考查
2
反比例函数的图象和性质
能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式y＝（k≠0）探索并理解其性质（k>0或k<0时，图象的变化情况）
常以选择题、填空题和解答题的形式考查反比例函数的图象和性质，部分地市注重分类讨论和数形结合数学思想的考查
3
反比例函数的应用问题
能用反比例函数知识解决某些实际问题
多以选择题、填空题、解答题的形式考查反比例函数在实际生活中的应用

思维导图


知识点1： 反比例函数的图象及性质


知识点梳理

1.反比例函数的概念：
一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成y=kx-1或xy=k（k≠0）的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2.反比例函数的图象：
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称．关于直线y=x，y=-x成轴对称．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
3.反比例函数的性质：
（1）当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限．在每个象限内，y随x的增大而减小．在两支上，第一象限y值大于第三象限y值．
（2）当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限．在每个象限内，随x的增大而增大．在两支上，第二象限y值大于第四象限y值．
【注意】（1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数的增减性由系数k决定；（2）反比例函数图象的两支在两个象限内，根据自变量的值比较相应函数值的大小时，应注意象限问题．
4.反比例函数中反比例系数的几何意义：
如下图，过反比例函数（k≠0）图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|．
∵，∴xy=k,S=|k|．

5.常见的与反比例函数有关的图形面积：

典型例题

【例1】（2020•海南9/22）下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ）
A．（-1，8） B．（-2，4） C．（1，7） D．（2，4）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】由于反比例函数中，k=xy，即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为8者即为正确答案．
【解答】解：A、∵-1×8=-8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵-2×4=-8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵1×7=7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
D、2×4=8，∴该点在函数图象上，故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将横、纵坐标分别相乘其积为k者，即为反比例函数图象上的点．
【例2】（2020•山西7/23）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数（k＜0）的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据反比例函数性质，反比例函数（k＜0）的图象分布在第二、四象限，则y3最小，y2最大．
【解答】解：∵反比例函数（k＜0）的图象分布在第二、四象限，
在每一象限y随x的增大而增大，
而x1＜x2＜0＜x3，
∴y3＜0＜y1＜y2．
即y2＞y1＞y3．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了反比例函数的性质．
【例3】（2020•兴安盟•呼伦贝尔12/26）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y=-cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象
【分析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【解答】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，
则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数y=-cx+b经过第一、二、四象限，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．
【例4】（2020•赤峰13/26）如图，点B在反比例函数（x＞0）的图象上，点C在反比例函数（x＞0）的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A．则△ABC的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．有
【答案】B
【分析】过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，利用反比例函数系数k的几何意义得到S矩形OACD＝2，S矩形ODBH＝6，则S矩形ACBD＝8，然后根据矩形的性质得到△ABC的面积．
【解答】解：过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，

∵BC∥y轴，AC⊥BC，
∴四边形ACDO和四边形ODBH都是矩形，
∴S矩形OACD＝|﹣2|＝2，
S矩形ODBH＝|6|＝6，
∴S矩形ACBD＝2+6＝8，
∴△ABC的面积＝S矩形ACBD＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
知识点2： 反比例函数解析式的确定


知识点梳理

1.反比例函数解析式的确定：
确定的方法仍是待定系数法．由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2.求反比例函数表达式的一般步骤：
（1）设出函数的一般形式．
（2）根据已知条件（自变量与函数的对应值）代入表达式得到关于k的方程．
（3）解方程，求得k的值．
（4）将所求得的k的值代入到函数表达式中．
典型例题

【例5】（2020•上海4/25）已知反比例函数的图象经过点（2，-4），那么这个反比例函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案．
【解答】解：设反比例函数解析式为，
将（2，-4）代入，得：，
解得k=-8，
所以这个反比例函数解析式为，
故选：D．
【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
【例6】（2019·安徽省5/23）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数的图象上，则实数k的值为（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．
【答案】A．
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（1，3），然后把A′的坐标代入中即可得到k的值．
【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），
把A′（1，3）代入得k＝1×3＝3．
故选：A．
知识点3： 反比例函数的实际应用


知识点梳理

1.反比例函数应用问题的求解思路：
建立反比例函数模型→求出反比例函数解析式→结合函数解析式、函数性质做出解答．
2.利用反比例函数解决实际问题，关键是建立函数模型：
建立函数模型的思路主要有两种：
（1）已知函数类型，直接设出函数的解析式，根据题目提供的信息求得k的值；
（2）题目本身未明确表明变量间的函数关系，此时需通过分析，先确定变量间的关系，再求解析式．
典型例题

【例7】（2020•河北19/26）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1~8的整数）．函数（x＜0）的图象为曲线L．
（1）若L过点T1，则k= ；
（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m=　　；
（3）若曲线L使得T1 ~T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有　　个．

【考点】反比例函数的应用
【分析】（1）由题意可求T1 ~T8这些点的坐标，将点T1的坐标代入解析式可求解；
（2）将点T4的坐标代入解析式可求k的值，将点T5代入，可求解；
（3）由曲线L使得T1 ~T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得T1，T2，T7，T8与T3，T4，T5，T6在曲线L的两侧，即可求解．
【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（-16，1），T2（-14，2），T3（-12，3），T4（-10，4），T5（-8，5），T6（-6，6），T7（-4，7），T8（-2，8），
∵L过点T1，
∴k=-16×1=-16，
故答案为：-16；
（2）∵L过点T4，
∴k=-10×4=-40，
∴反比例函数解析式为：，
当x=-8时，y=5，
∴T5在反比例函数图象上，
∴m=5，
故答案为：5；
（3）若曲线L过点T1（-16，1），T8（-2，8）时，k=-16，
若曲线L过点T2（-14，2），T7（-4，7）时，k=-14×2=-28，
若曲线L过点T3（-12，3），T6（-6，6）时，k=-12×3=-36，
若曲线L过点T4（-10，4），T5（-8，5）时，k=-40，
L曲线L使得T1 ~T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
∴-36＜k＜-28，
∴整数k =-35，-34，-33，-32，-31，-30，-29共7个，
∴答案为：7．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键．
巩固训练

1.（2020•青海18/28）若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是　　
A． B．
C． D．
2.（2020•天津10/25）若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
3.（2020•新疆兵团8/23）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　

A． B．
C． D．
4.（2020•河南6/23）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
5.（2019·海南）如果反比例函数y＝(a是常数)的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是(　　)
A. a<0 B. a>0 C. a<2 D. a>2
6.（2019·天津市10/25）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
7.（2020•兴安盟•呼伦贝尔17/26）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，点的坐标为，点在轴的正半轴上．直线分别与边，相交于，两点，反比例函数的图象经过点并与边相交于点，连接．点是直线上的动点，当时，点的坐标是 ．

8.（2020•呼和浩特9/24）在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述①；②或；③；④．正确的有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9.（2020•呼和浩特20/24）已知自变量与因变量的对应关系如表呈现的规律．




0
1
2



12
11
10
9
8

（1）直接写出函数解析式及其图象与轴和轴的交点，的坐标；
（2）设反比例函数的图象与（1）求得的函数的图象交于，两点，为坐标原点且，求反比例函数解析式；已知，点与分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出与的大小关系．
10.（2020•鄂尔多斯14/24）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为 ．

11.（2019•赤峰11/26）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于（　　）

A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
12.（2020•鄂尔多斯19/24）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；
（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．

13.（2020•赤峰24/26）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝，x1•x2＝．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数　如，，　；
（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
14.（2020•吉林21/26）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐标为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．
（1）求的值．
（2）若为中点，求四边形的面积．

15.（2020•陕西13/25）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为 ．
16.（2020•江西18/23）如图，Rt△ABC中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连结，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的度数．

17.（2020•广东24/25）如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，．反比例函数的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．
（1）填空： ；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形为平行四边形．

18.（2020•福建16/25）设，，，是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形可以是平行四边形；
②四边形可以是菱形；
③四边形不可能是矩形；
④四边形不可能是正方形．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
19.（2020•北京13/28）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为 ．
20.（2020•宁夏7/26）如图，函数与函数的图象相交于点，．若，则的取值范围是　　

A．或 B．或
C．或 D．或
21.（2020•重庆B卷12/26）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则的值为　　

A． B．8 C．10 D．
22.（2020•重庆A卷12/26）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点，，且，△的面积为18，则的值为　　

A．6 B．12 C．18 D．24
23.（2020•安徽12/23）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点．与反比例函数的图象在第一象限内交于点，轴，轴．垂足分别为点，．当矩形与△OAB的面积相等时，的值为 ．

24.（2019•河北省12/26）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
25.（2019•通辽9/26）关于x、y的二元一次方程组的解满足x＜y，则直线y＝kx﹣k﹣1与双曲线y＝在同一平面直角坐标系中大致图象是（　　）
A． B． C． D．
26.（2019•北京市13/28）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为 ．
27.（2019•呼和浩特23/25）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB（OC＞OB）的对角线长为5，周长为14．若反比例函数y＝的图象经过矩形顶点A．
（1）求反比例函数解析式；若点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象过点A并与x轴交于点（﹣1，0），求出一次函数解析式，并直接写出kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围．

28.（2019•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋5和y＝－2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x＋5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．

29.（2019·河北省24/26）长为300 m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．

（1）当v＝2时，解答：
①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
巩固训练解析

1.（2020•青海18/28）若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是　　
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；正比例函数的图象
【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从，和，两方面分类讨论得出答案．
【解答】解：，
分两种情况：
（1）当，时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无选项符合．
（2）当，时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故选项正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
2.（2020•天津10/25）若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】将点，，，，，分别代入反比例函数，求得，，的值后，再来比较一下它们的大小．
【解答】解：点，，，，，都在反比例函数的图象上，
，即，
，即；
，即，
，
；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式．
3.（2020•新疆兵团8/23）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　

A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数的图象
【分析】根据二次函数的图象开口向上，得出，与轴交点在轴的正半轴，得出，利用对称轴，得出，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：因为二次函数的图象开口向上，得出，与轴交点在轴的正半轴，得出，利用对称轴，得出，
所以一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，找出、、是解题的关键．
4.（2020•河南6/23）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：点、、在反比例函数的图象上，
，，，
又，
．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键．
5.（2019·海南）如果反比例函数y＝(a是常数)的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是(　　)
A. a<0 B. a>0 C. a<2 D. a>2
【答案】D
【分析】根据：反比例函数y=(k≠0)，当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限，列出不等式，解答即可.
【解答】∵反比例函数y＝(a是常数)的图象在第一、三象限，
∴a-2>0，
即：a>2.
故答案为：D.
6.（2019·天津市10/25）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
【答案】B
【分析】分别计算出自变量为﹣3、﹣2和1对应的函数值，从而得到y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：当x＝﹣3，y1＝﹣＝4；
当x＝﹣2，y2＝﹣＝6；
当x＝1，y3＝﹣＝﹣12，
所以y3＜y1＜y2．
故选：B．
7.（2020•兴安盟•呼伦贝尔17/26）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，点的坐标为，点在轴的正半轴上．直线分别与边，相交于，两点，反比例函数的图象经过点并与边相交于点，连接．点是直线上的动点，当时，点的坐标是　或　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据正方形的性质以及一次函数表达式求出点和点坐标，从而求出反比例函数表达式，得到点的坐标，求出，设点坐标为，根据两点间距离表示出，得到方程，求解即可．
【解答】解：点的坐标为，
，，
直线分别与边，相交于，两点，
可得：，，
反比例函数经过点，
，
反比例函数的表达式为，令，
解得：，
点的坐标为，
，
点在直线上，
设点的坐标为，
，
解得：或3，
点的坐标为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式．
8.（2020•呼和浩特9/24）在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述①；②或；③；④．正确的有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据题意得出和异号，再分别判断各项即可．
【解答】解：同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象没有交点，若，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限，则，
若，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，则，
综上：和异号，
①和的绝对值的大小未知，故不一定成立，故①错误；
②或，故②正确；
③，故③正确；
④和异号，则，故④正确；
故正确的有3个，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象，绝对值的意义，解题的关键是得到和异号．
9.（2020•呼和浩特20/24）已知自变量与因变量的对应关系如表呈现的规律．




0
1
2



12
11
10
9
8

（1）直接写出函数解析式及其图象与轴和轴的交点，的坐标；
（2）设反比例函数的图象与（1）求得的函数的图象交于，两点，为坐标原点且，求反比例函数解析式；已知，点与分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出与的大小关系．
【考点】规律型：点的坐标；反比例函数系数的几何意义；反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）根据表格发现和的关系，从而得出解析式，再求出与轴和轴交点坐标，即可得到结果；
（2）设，，利用得出，再联立一次函数和反比例函数解析式，得到，利用根与系数的关系求出值即可，解方程 得到点和点坐标，再根据图象比较与的大小．
【解答】解：（1）根据表格中数据发现：
和的和为10，
，
且当时，，
令，，
，；
（2）设，，
分别过和作轴的垂线，垂足为和，
点和点都在反比例函数图象上，
∴

，
化简得：，
联立，得：，
，，
，
则，解得：，
反比例函数解析式为：，
解，得：或8，
，，
在反比例函数上，在一次函数上，当或时，；
当或时，；
当或8时，．

【点评】本题考查了反比例函数和一次函数综合，涉及到解一元二次方程，根与系数的关系，解题时要根据图象利用数形结合思想解题．
10.（2020•鄂尔多斯14/24）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为　12　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为6，4，可得出横坐标，即可表示AE，BE的长，根据菱形的面积为2，求得AE的长，在Rt△AEB中，计算BE的长，列方程即可得出k的值．
【解答】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，

∵BC∥x轴，
∴AE⊥BC，
∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，
∴A（，6），B（，4），
∴AE＝2，BE＝﹣＝，
∵菱形ABCD的面积为2，
∴BC·AE＝2，即BC＝，
∴AB＝BC＝，
在Rt△AEB中，BE＝＝＝1，
∴＝1，
∴k＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
11.（2019•赤峰11/26）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于（　　）

A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【答案】A
【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|＝2，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值．
【解答】解：∵△POM的面积等于2，
∴|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：A．
12.（2020•鄂尔多斯19/24）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；
（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）设点M的坐标为（x，2x﹣5），根据MB＝MC，得到=，即可解答．
【解答】解：（1）把点A（4，3）代入函数y＝得：a＝3×4＝12，
∴y＝．
OA＝＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：

解得：
∴y＝2x﹣5．
（2）方法一：∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，
∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），
∵MB＝MC，
∴=
解得：x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．方法二：∵B（0，﹣5）、C（0，5），
∴BC＝10，
∴BC的中垂线为：直线y＝0，
当y＝0时，2x﹣5＝0，即x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．
13.（2020•赤峰24/26）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝，x1•x2＝．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数　如，，　；
（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【考点】根与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征．有
【答案】（1）如，，；
（2）证明过程见解析；
（3）2或﹣4或﹣2．
【分析】（1）根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论；
（2）先根据材料2，得出+＝，再求出一元一次方程的解，进而得出＝，即可得出结论；
（3）先用m表示出y1，y2，y3，进而表示出它们的倒数，再根据“和谐三数组”分三种情况，建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得，能构成“和谐三数组”的实数有，，，；
理由：的倒数为2，的倒数为3，的倒数为5，而2+3＝5，
∴，，能过程“和谐三数组”，
故答案为：如∴，，；
（2）证明：∵x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∴+＝=，
∵x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解，
∴x3＝，
∴＝，
∴+＝，
∴x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，
∵A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝，y2＝，y3＝，
∴＝，＝，＝，
∵A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，
∴①+＝，
∴+＝，
∴m＝2，
②+＝，
∴+＝，
∴m＝﹣4，
③+＝，
∴+＝，
∴m＝﹣2，
即满足条件的实数m的值为2或﹣4或﹣2．
【点评】此题主要考查了新定义的理解和运用，反比例函数图象上点的坐标特征，利用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
14.（2020•吉林21/26）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐标为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．
（1）求的值．
（2）若为中点，求四边形的面积．

【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）将点的坐标为代入，可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
【解答】解：（1）将点的坐标为代入，
可得，
的值为8；
（2）的值为8，
函数的解析式为，
为中点，，
，
点的横坐标为4，将代入，
可得，
点的坐标为，
．
【点评】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键．
15.（2020•陕西13/25）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为　　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论．
【解答】解：点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限，
点一定在第三象限，
在第一象限，反比例函数的图象经过其中两点，
反比例函数的图象经过，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
16.（2020•江西18/23）如图，Rt△ABC中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连结，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的度数．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；直角三角形斜边上的中线
【分析】（1）根据题意求得，然后代入，求得的值，即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据时，点恰为的中点，得出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出，从而求得．
【解答】解：（1）直线轴，垂足为，，
∴△AOD是等腰直角三角形，
，
，
，
顶点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2），点恰为的中点，
，
∵Rt△ABC中，，
，
，，
，
∵BC∥x轴，
，
，
，
．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，证得，是解题的关键．
17.（2020•广东24/25）如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，．反比例函数的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．
（1）填空：　2　；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形为平行四边形．

【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）设点，，则点，，则；
（2）△BDF的面积=△OBD的面积，即可求解；
（3）确定直线的表达式为：，令，则，故点，即可求解．
【解答】解：（1）设点，，则点，，
则，
故答案为2；
（2）△BDF的面积=△OBD的面积；
（3）设点，则点，
点与点关于点对称，故点，
则点，
设直线的表达式为：，将点、的坐标代入上式得并解得：
直线的表达式为：，令，则，故点，
故，而，
则FG∥BD，故四边形为平行四边形．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，综合性强，难度适中．
18.（2020•福建16/25）设，，，是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形可以是平行四边形；
②四边形可以是菱形；
③四边形不可能是矩形；
④四边形不可能是正方形．
其中正确的是　①④　．（写出所有正确结论的序号）
【考点】正方形的判定；矩形的判定与性质；菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】如图，过点任意作两条直线分别交反比例函数的图象于，，，，得到四边形．证明四边形是平行四边形即可解决问题．
【解答】解：如图，过点任意作两条直线分别交反比例函数的图象于，，，，得到四边形．

由对称性可知，，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形．
反比例函数的图象在一，三象限，
直线与直线不可能垂直，
四边形不可能是菱形或正方形，
故选项①④正确，
故答案为：①④，
【点评】本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19.（2020•北京13/28）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为　0　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．有
【答案】见试题解答内容
【分析】联立方程组，可求y1，y2的值，即可求解．
【解答】解：方法一、∵直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，
∴联立方程组得：，
解得：，，
∴y1+y2＝0，
方法二、∵直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，
∴点A，点B关于原点对称，
∴y1+y2＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
20.（2020•宁夏7/26）如图，函数与函数的图象相交于点，．若，则的取值范围是　　

A．或 B．或
C．或 D．或
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】观察函数与函数的图象，即可得出当时，相应的自变量的取值范围．
【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应的的取值范围为或，
故选：D．

【点评】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
21.（2020•重庆B卷12/26）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则的值为　　

A． B．8 C．10 D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质
【分析】过作轴于，过作轴，轴，得到，根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过作轴于，过作轴，轴，
，
点，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴△ADE≌△BCH（AAS），
，
，
，
，
，
，
∴△APO∽△BAF，
，
，
，
，
，
故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22.（2020•重庆A卷12/26）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点，，且，△的面积为18，则的值为　　

A．6 B．12 C．18 D．24
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数的几何意义；矩形的性质
【分析】如图，连接，，过点作于，过点作于．证明BD∥AE，推出，推出，可得，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接，，过点作于，过点作于．

∵AN∥FM，，
，
，
，在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
四边形是矩形，
，
，
∴BD∥AE，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD∥AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
23.（2020•安徽12/23）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点．与反比例函数的图象在第一象限内交于点，轴，轴．垂足分别为点，．当矩形与△OAB的面积相等时，的值为　2　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】分别求出矩形与△OAB的面积，即可求解．
【解答】解：一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，令，则，令，则，
故点、的坐标分别为、，
则△OAB的面积，而矩形的面积为，
则，解得：（舍去）或2，
故答案为2．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，计算矩形与△OAB的面积是解题的关键．
24.（2019•河北省12/26）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】由函数解析式可知函数关于y轴对称，即可求解；
【解答】解：由已知可知函数y＝关于y轴对称，
所以点M是原点；
故选：A．
25.（2019•通辽9/26）关于x、y的二元一次方程组的解满足x＜y，则直线y＝kx﹣k﹣1与双曲线y＝在同一平面直角坐标系中大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【分析】关于x、y的二元一次方程组的解满足x＜y确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定图象即可．
【解答】解：二元一次方程组中第二个方程减去第一个方程得：x﹣y＝﹣5k，
∵关于x、y的二元一次方程组的解满足x＜y，
∴x﹣y＜0，
∴﹣5k＜0，
即：k＞0，
∴y＝kx﹣k﹣1经过一三四象限，双曲线y＝的两个分支位于一三象限，B选项符合，
故选：B．
26.（2019•北京市13/28）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为 ．
【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，可得k1＝ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．
【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，
∴k1＝ab；
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，﹣b）
∵点B在双曲线y＝上，
∴k2＝﹣ab；
∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；
故答案为：0．
27.（2019•呼和浩特23/25）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB（OC＞OB）的对角线长为5，周长为14．若反比例函数y＝的图象经过矩形顶点A．
（1）求反比例函数解析式；若点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象过点A并与x轴交于点（﹣1，0），求出一次函数解析式，并直接写出kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围．

【解答】解：（1）根据题意得：OB+OC＝7，OB2+OC2＝52，
∵OC＞OB，
∴OB＝3，OC＝4，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入反比例函数y＝中，得m＝3×4＝12，
∴反比例函数为：y＝，
∵点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，
∴﹣a≠0，且a+1≠0，
∴a≠﹣1，且a≠0，
∴当a＜﹣1时，﹣a＞0，a+1＜0，则点（﹣a，y1）和（a+1，y2）分别在第一象限和第三象限的反比例函数的图象上，于是有y1＞y2；
当﹣1＜a＜0时，﹣a＞0，a+1＞0，若﹣a＞a+1，即﹣1＜a＜时，y1＜y2，若﹣a＝a+1，即a＝时，y1＝y2，若﹣a＜a+1，即＜a＜0时，y1＞y2；
当a＞0时，﹣a＜0，a+1＞0，则点（﹣a，y1）和（a+1，y2）分别在第三象限和第一象限的反比例函数的图象上，于是有y1＜y2；
综上，当a＜﹣1时，y1＞y2；当﹣1＜a＜时，y1＜y2；当a＝时，y1＝y2；当＜a＜0时，y1＞y2；当a＞0时，y1＜y2．
（2）∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，4）并与x轴交于点（﹣1，0），
∴，解得，，
∴一次函数的解析式为：y＝x+1；
解方程组，得，，
∴一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于两点（﹣4，﹣3）和（3，4），
当一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数y＝的图象下方时，x＜﹣4或0＜x＜3，
∴kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围：x＜﹣4或0＜x＜3．
28.（2019•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋5和y＝－2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x＋5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．

【解答】解：（1）联立一次函数y＝x＋5与正比例函数y＝－2x得，解得，
∴点A的坐标为(－2，4)．
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝－2×4＝－8.
∴反比例函数的表达式为y＝－；
（2）如解图，设直线AB与x轴交于点C，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足记为E，D.
联立得，
解得或，
∴点B的坐标为(－8，1)．
∴AE＝4，BD＝1.
令y＝x＋5＝0，解得x＝－10，
∴点C的坐标为(－10，0)．
∴CO＝10.
∴S△AOB＝S△AOC－S△BOC
＝OC·AE－OC·BD
＝×10×4－×10×1
＝15.

29.（2019·河北省24/26）长为300 m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．

（1）当v＝2时，解答：
①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
【分析】（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2 m/s，可以求出S头与t的函数关系式；
②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间（总时间t减去甲从排尾赶到排头的时间），于是可以求S甲与t的函数关系式；
（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程＝队伍速度×返回时间．
【解答】解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），
∴S头＝2t+300
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时S头＝2t+300＝600 m
甲返回时间为：（t﹣150）s
∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；
因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600 m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．
（2）T＝t追及+t返回＝+＝，
在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×＝400；
因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为400 m．