2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业十九利用导数研究函数的零点问题

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1.已知10）只有1个交点”．
记y＝a，g（x）＝ex－x（x>0），
由于g′（x）＝ex－1>0在（0，＋∞）内恒成立，
所以g（x）在（0，＋∞）内单调递增，故g（x）>g（0）＝1.
所以当10）只有1个交点，
即函数y＝f（x）在（0，＋∞）上有唯一零点．
2．解析：（1）由题得f′（x）＝（x＋2）ex，
当x∈（－∞，－2）时，f′（x）0，f（x）单调递增．
所以当x＝－2时，f（x）取得极小值，无极大值，
故f（x）的极值点个数为1.
（2）由题得g（x）＝（x＋1）ex＋2ax＋a，
令g（x）＝0，得－a＝eq \f(（x＋1）ex,2x＋1).
令h（x）＝eq \f(（x＋1）ex,2x＋1)，x>－eq \f(1,2)，
则h′（x）＝eq \f(（2x2＋3x）ex,（2x＋1）2)＝eq \f(x（2x＋3）ex,（2x＋1）2)，x>－eq \f(1,2)
令h′（x）0），当k≥0时，f′（x）>0恒成立，f（x）在（0，＋∞）上单调递增．
当k0，f（x）单调递增；
在x∈（－eq \f(1,k)，＋∞）上，f′（x）0，g（eq \f(1,a)）＝eeq \s\up6(\f(1,a))－10时，若t∈（－∞，lna），则g′（t）0；
故g（t）min＝g（lna）＝a（1－lna），
若a＝e，则g（t）min＝0，故g（t）在R上有且只有一个零点；
若0e，则g（t）min1，
而g（0）＝1>0，g（2lna）＝a2－2alna＝a（a－2lna），
设h（a）＝a－2lna，a>e，则h′（a）＝eq \f(a－2,a)>0，
故h（a）在（e，＋∞）上为增函数，故h（a）>h（e）＝e－2>0，即g（2lna）>0，
故此时g（t）在R上有且只有两个不同的零点；
综上，当0≤a