2024版新教材高考数学全程一轮总复习高考大题研究课六向量法求空间角与距离课件

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习高考大题研究课六向量法求空间角与距离课件，共53页。PPT课件主要包含了答案ABD等内容，欢迎下载使用。

例1 [2023·河北沧州模拟]如图，在三棱锥P - ABC中，AB是△ABC外接圆的直径，△PAC是边长为2的等边三角形，E，F分别是PC，PB的中点，PB＝AB，BC＝4.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求直线AB与平面AEF所成角的正弦值．
题后师说利用空间向量求线面角的解题步骤
巩固训练1[2023·江西赣州模拟]如图，四棱锥P-ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝2AB＝2BC＝2，PA⊥平面ABCD.点M是PC的中点，且平面AMD⊥平面PCD.(1)证明：AM⊥平面PCD；(2)求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．
题后师说用法向量求二面角的关键是正确写出点的坐标和法向量，再利用两个平面的夹角公式求解．
例3 [2023·辽宁沈阳模拟]如图，四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，CF⊥BC，CF＝BC＝2，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别是PD，AB中点．(1)求证：EF∥平面PBC；(2)若CE与平面PCF所成角θ为30°，求点B到平面CEF的距离d.
题后师说利用向量法求点到平面的距离的步骤
解析：(1)证明：因为l∥AB，l⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，所以AB∥平面PCD.因为AB⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.因为∠BOC＝45°，所以∠BOC＝∠OCD＝∠ODC＝45°，所以∠DOC＝90°，即OC⊥OD.
真题展台1.[2022·新高考Ⅰ卷](多选)已知正方体ABCD - A1B1C1D1，则(　　)A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
如图(3)，连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO，A1B.易证A1C1⊥平面BDD1B1，所以∠C1BO为直线C1B与平面BDD1B1所成的角，∠C1BO＝30°，所以C错误．如图(4)，因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，且∠C1BC＝45°，所以D正确．故选ABD.
3．[2022·新高考Ⅱ卷]如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．(1)证明：OE∥平面PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C - AE - B的正弦值．
解析：(1)证明：方法一　连接OA.因为PO是三棱锥P - ABC的高，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以∠POA＝∠POB＝90°.又PA＝PB，PO＝PO，所以△POA≌△POB，所以OA＝OB.取AB的中点D，连接OD，DE，则有OD⊥AB.又AB⊥AC，所以OD∥AC.因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以OD∥平面PAC.因为D，E分别为AB，PB的中点，所以DE∥PA.因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC.因为OD，DE⊂平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC.又OE⊂平面ODE，所以OE∥平面PAC.
方法二　连接OA.因为PO是三棱锥P - ABC的高，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以∠POA＝∠POB＝90°.又PA＝PB，PO＝PO，所以△POA≌△POB，所以OA＝OB.延长BO交AC于点H，连接PH.因为AB⊥AC，所以△ABH为直角三角形．又OA＝OB，则可得OA＝OB＝OH，所以点O为BH的中点．在△PBH中，O，E分别为BH，PB的中点，所以OE∥PH.因为OE⊄平面PAC，PH⊂平面PAC，所以OE∥平面PAC.
4.[2022·北京卷]如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥MN；条件②：BM＝MN.注：如果选择条件①和条件②分别解答，那么按第一个解答计分．
选择条件②.由(1)知四边形DNMB1是平行四边形，所以DB1＝MN.又BM＝MN，所以DB1＝BM.由(1)知AB＝A1B1，又AB＝BC，M，D分别是A1B1，BC的中点，所以BD＝B1M.又BB1＝BB1，所以△DBB1≌△MB1B.因为侧面BCC1B1是正方形，所以BC⊥BB1，所以MB1⊥BB1，即A1B1⊥BB1，所以AB⊥BB1.剩余计算过程同选择条件①.