2024版新教材高考数学全程一轮总复习高考大题研究课二利用导数研究函数的零点问题课件

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题后师说利用导数确定函数零点个数的方法
题型二　利用函数的零点个数求参数范围例 2[2023·河北沧州模拟]已知函数f(x)＝ln x＋ax(a∈R)．(1)当a＝－1时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(0，e2)上有两个不同的零点，求a的取值范围． 
题后师说利用函数的零点个数求参数范围的方法
题型三　与零点有关的证明例 3[2023·河北邯郸模拟]已知函数f(x)＝x－a ln x(a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若g(x)＝xex－a(ln x＋x)，且a>e，证明：g(x)有且仅有两个零点．(e为自然对数的底数) 
(2)证明：g(x)＝xex－a(ln x＋x)＝xex－a ln (xex)(x>0)，令t＝xex，则t′＝(x＋1)ex>0在x>0时恒成立，所以t＝xex在x>0时单调递增，且t∈(0，＋∞)，所以g(x)＝xex－a ln (xex)有两个零点等价于f(t)＝t－a ln t有两个零点．因为a>e，由(1)知，f(t)在(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，所以f(t)min＝f(a)＝a－a ln a＝a(1－ln a)，因为a>e，所以f(a)<0.
下面证明当a>e时，f(ea)＝ea－a2>0，设h(x)＝ex－x2，则h′(x)＝ex－2x，令m(x)＝ex－2x，又m′(x)＝ex－2，当x>e时，m′(x)＝ex－2>0恒成立，所以m(x)单调递增，得h′(x)＝ex－2x>ee－2e>0，故h(x)＝ex－x2在(e，＋∞)上单调递增，得ex－x2>ee－e2>0，即f(ea)＝ea－a2>0，又因为f(1)＝1>0，所以f(t)在(1，a)，(a，ea)上各存在一个零点，所以a>e时，函数f(t)有且仅有两个零点，即当a>e时，函数g(x)有且仅有两个零点．
题后师说解决证明此类问题的思路一般对条件等价转化，构造合适的新函数，利用导数知识探讨该函数的性质(如单调性、极值情况等)再结合函数图象．