云南省曲靖市2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份云南省曲靖市2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

云南省曲靖市2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．÷＝4 B．﹣＝ C．2+＝2 D．×＝
3．如图是嘉淇不完整的推理过程．
∵∠A+∠D＝180
AB∥CD
∵（　　）
∴四边形ABCD是平行四边形
小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列正确的是（　　）

A．∠B+∠C＝180° B．AB＝CD C．∠A＝∠B D．AD＝BC
4．化简的结果是（　　）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．4
5．已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（　　）
A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2）
6．有一列数按一定规律排列：，，，，，…，则第n个数是（　　）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣x+3沿y轴向下平移6个单位后，该直线与x轴的交点坐标是（　　）
A．（﹣2，0） B．（6，0） C．（4，0） D．（0，﹣3）
8．如图，以原点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，则x的值为（　　）

A． B．﹣ C． D．2﹣
9．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝10（　　）

A．5 B．5 C．5 D．4
10．如图，已知函数y＝x+1和y＝ax﹣1的图象交于点P（n，﹣2），则根据图象可得不等式x+1＞ax﹣1的解集是（　　）

A．x＞﹣ B．x＜﹣3 C．x＜﹣ D．x＞﹣3
11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54（　　）

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
12．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝196，大正方形的面积为100，则小正方形的面积为（　　）

A．4 B．9 C．96 D．6
二.填空题（本大题共4小题，每题2分，共8分）
13．（2分）若式子有意义，则x的取值范围是 　 　．
14．（2分）在一次舞蹈比赛中，甲、乙、丙、丁四队演员的人数相同，身高的平均数均为166cm甲2＝1.5，S乙2＝2.5．S丙2＝2.9，S丁2＝3.3，则这四队演员的身高最整齐的是　 　队．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝13cm，将△ABC折叠，得折痕DE，则△ABE的周长等于 　 　cm．

16．（2分）已知直线y＝kx+4，该直线与两坐标轴围成的三角形面积为4，那么k的值是 　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，垂足分别为M、N．
（1）求证：∠ADB＝∠CDB；
（2）若∠ADC＝　 　°时，四边形MPND是正方形，并说明理由．

20．（7分）光明学校为了提高学生的“甲流病毒防范”意识，特组织了一场“防疫”知识竞赛，学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩（分数），已知成绩（分数）x均为整数，B，C，D，E五个等级，分别是：
A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，E：0≤x＜60．并给出了部分信息：
①八年级B等级中由低到高的10个分数为：80，80，81，83，83，84，85；
②两个年级学生“防疫”知识竞赛分数统计图：

③两个年级学生“防疫”知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：

平均数
中位数
众数
八年级
84
a
76
九年级
84
81
75
（1）直接写出a，m的值；
（2）若分数不低于80分表示该生对“防疫”知识掌握较好，该校八年级有学生1800人，九年级有学生1900人，对“防疫”知识掌握较好的学生人数．
21．（7分）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长．

22．（7分）某商场销售甲、乙两种品牌的书包，已知该商场销售10个甲品牌书包和20个乙品牌书包的利润为400元；销售20个甲品牌书包和10个乙品牌书包的利润为350元．
（1）求每个甲品牌书包和每个乙品牌书包的销售利润；
（2）该商场购进甲、乙两种品牌的书包共200个，其中乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包数量的2倍，设购进甲品牌书包x个
①求y关于x的函数关系式；
②该商场如何采购，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
23．（8分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，点F是BC上一点，若将△DCF沿DF折叠，过点E作EG∥BC交DF于点G，连接CG．
（1）求证：四边形EFCG是菱形；
（2）当∠A＝∠B时，求点B到直线EF的距离．

24．（8分）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A（10，0）（0，5）两点，点F是线段AB上的一个动点（不与A，B重合）
（1）求直线AB的解析式；
（2）当OF平分△AOB的面积时，第一象限内是否存在一点P，使△PAF是以AF为直角边的等腰直角三角形，请求出点P的坐标，若不存在


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
【解答】解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，不符合题意；
B选项的被开方数含分母，不符合题意；
C选项是最简二次根式，符合题意；
D选项的被开方数中有能开的尽方的因数4，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2．下列计算正确的是（　　）
A．÷＝4 B．﹣＝ C．2+＝2 D．×＝
【分析】根据二次根式的除法、乘法及同类二次根式的运算法则、概念逐一判断即可．
【解答】解：A．÷＝5÷，此选项不符合题意；
B．与不是同类二次根式，此选项不符合题意；
C．2与，不能合并；
D．×＝＝，此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
3．如图是嘉淇不完整的推理过程．
∵∠A+∠D＝180
AB∥CD
∵（　　）
∴四边形ABCD是平行四边形
小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列正确的是（　　）

A．∠B+∠C＝180° B．AB＝CD C．∠A＝∠B D．AD＝BC
【分析】根据平行四边形的5条判定定理可得到，在有一组对边平行的情况下，只能添加另一组对边平行或这一组对边相等，查看选项可得到答案．
【解答】解：选项A中，∠B+∠C＝180°，无法证明平行四边形，不合题意；
选项B中，AB＝CD，可证明平行四边形，符合题意；
选项C中，∠A≠∠B，不合题意；
选项D中，一组对边平行，可能为等腰梯形，选项D错误．
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的判定，需要严格按照判定定理进行推理论证，熟悉5条平行四边形的判定是解题的关键．
4．化简的结果是（　　）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．4
【分析】本题可先将根号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案．
【解答】解：＝＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意算术平方根为非负数．
5．已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（　　）
A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2）
【分析】由函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，可得出k＜0，进而可得出正比例函数y＝kx（k≠0，k为常数）的图象经过第二、四象限，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，
∴k＜0，
∴正比例函数y＝kx（k≠3，k为常数）的图象经过第二，
∴这个函数图象可能经过的点是（﹣2，4）．
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，函数图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，函数图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小”是解题的关键．
6．有一列数按一定规律排列：，，，，，…，则第n个数是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据奇数个数为负数，偶数个为正数，再按分子，分母分别找规律求解即可．
【解答】解：根据规律可知，奇数个数为负数，该列数的分子是n，
所以第n个数是（﹣2）n．
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣x+3沿y轴向下平移6个单位后，该直线与x轴的交点坐标是（　　）
A．（﹣2，0） B．（6，0） C．（4，0） D．（0，﹣3）
【分析】直接根据“上加选减”的原则进行解答，再把y＝0代入所得的解析式解答即可．
【解答】解：将直线沿y轴向下平移6个单位后x+3﹣6＝﹣，
把y＝0代入y＝﹣x﹣3得x﹣3，
解得x＝﹣7，
所以该直线与x轴的交点坐标是（﹣2，0），
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
8．如图，以原点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，则x的值为（　　）

A． B．﹣ C． D．2﹣
【分析】根据勾股定理列式求出x2，再利用平方根的相反数定义解答．
【解答】解：由图可知，x2＝13+22＝2，
则x1＝，（舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，主要是数轴上无理数的作法，需熟练掌握．
9．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝10（　　）

A．5 B．5 C．5 D．4
【分析】首先利用矩形的性质说明△ABO是等边三角形，得OB＝AB＝10，再利用三角形中位线定理可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝OC，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝30°+30°＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OB＝AB＝10，
∵M、N分别为BC，
∴MN是△BOC的中位线，
∴MN＝OB＝5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，证明△ABO是等边三角形是解题的关键．
10．如图，已知函数y＝x+1和y＝ax﹣1的图象交于点P（n，﹣2），则根据图象可得不等式x+1＞ax﹣1的解集是（　　）

A．x＞﹣ B．x＜﹣3 C．x＜﹣ D．x＞﹣3
【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．
【解答】解：∵函数y＝x+1经过点P（n，﹣2），
∴n+2＝﹣2，
∴n＝﹣3，
∵函数y＝2x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣3，﹣4），
则根据图象可得不等式x+1＞ax﹣1的解集是的解集是x＞﹣8，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，做到数形结合．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54（　　）

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝，BD⊥AC，
∴BD＝8OB＝12，
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝54，
∴AC＝3，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝3.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
12．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝196，大正方形的面积为100，则小正方形的面积为（　　）

A．4 B．9 C．96 D．6
【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝196，大正方形的面积为100，可以得出4个直角三角形的面积，进而求出答案．
【解答】解：∵（a+b）2＝196，
∴a2+3ab+b2＝196，
∵大正方形的面积为100，
∴a2+b4＝100，
∴2ab＝196﹣100＝96，
∴小正方形的面积为（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝100﹣96＝4．
故选：A．
【点评】此题主要考查勾股定理的应用、正方形的性质以及完全平方式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二.填空题（本大题共4小题，每题2分，共8分）
13．（2分）若式子有意义，则x的取值范围是 　x＞5　．
【分析】直接利用分式有意义的条件和二次根式有意义的条件得出不等式，然后进行求解即可得出答案．
【解答】解：若式子有意义，
则x﹣3＞0，
解得：x＞5．
故答案为：x＞7．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件和二次根式有意义的条件是解题关键．
14．（2分）在一次舞蹈比赛中，甲、乙、丙、丁四队演员的人数相同，身高的平均数均为166cm甲2＝1.5，S乙2＝2.5．S丙2＝2.9，S丁2＝3.3，则这四队演员的身高最整齐的是　甲　队．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S甲2＜S乙2＜S丙8＜S丁2，
∴这四队女演员的身高最整齐的是甲队，
故答案为甲．
【点评】本题考查方差的意义，关键是掌握方差所表示的意义，此题难度不大．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝13cm，将△ABC折叠，得折痕DE，则△ABE的周长等于 　17　cm．

【分析】根据勾股定理求得BC＝12cm，由题意得，AE＝CE，则△ABE的周长等于AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC，即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝，
由折叠过程可得，AE＝CE，
则△ABE的周长等于AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC＝5+12＝17cm．
故答案为：17．
【点评】此题考查了勾股定理及图形的折叠的知识，折叠构成的全等图形是常用的隐含条件．
16．（2分）已知直线y＝kx+4，该直线与两坐标轴围成的三角形面积为4，那么k的值是 　±2　．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线y＝kx+4与两坐标轴的交点坐标，结合该直线与两坐标轴围成的三角形面积为4，可得出关于k的方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：当x＝0时，y＝k×0+2＝4，
∴直线y＝kx+4与y轴的交点坐标为（6，4）；
当y＝0时，kx+6＝0，
解得：x＝﹣，
∴直线y＝kx+6与x轴的交点坐标为（﹣，0）．
∵该直线与两坐标轴围成的三角形面积为2，
∴×5×|﹣，
解得：k＝±2，
经检验，k＝±6是所列方程的解．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解分式方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积，列出关于k的方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．（6分）计算：．
【分析】先计算二次根式的乘法和除法，化简二次根式，去绝对值和零指数幂，最后加减即可．
【解答】解：原式＝2+﹣2+
＝8．
【点评】本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是解决本题的关键．
18．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝﹣1时，
原式＝
＝．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，垂足分别为M、N．
（1）求证：∠ADB＝∠CDB；
（2）若∠ADC＝　90　°时，四边形MPND是正方形，并说明理由．

【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB＝∠CDB；
（2）由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
【解答】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB；

（2）当∠ADC＝90°时，四边形MPND是正方形，
理由如下：∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADB＝45°，
∵∠PMD＝90°，
∴∠MPD＝∠PDM＝45°，
∴PM＝MD，
∴矩形MPND是正方形，
故答案为：90．
【点评】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．
20．（7分）光明学校为了提高学生的“甲流病毒防范”意识，特组织了一场“防疫”知识竞赛，学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩（分数），已知成绩（分数）x均为整数，B，C，D，E五个等级，分别是：
A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，E：0≤x＜60．并给出了部分信息：
①八年级B等级中由低到高的10个分数为：80，80，81，83，83，84，85；
②两个年级学生“防疫”知识竞赛分数统计图：

③两个年级学生“防疫”知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：

平均数
中位数
众数
八年级
84
a
76
九年级
84
81
75
（1）直接写出a，m的值；
（2）若分数不低于80分表示该生对“防疫”知识掌握较好，该校八年级有学生1800人，九年级有学生1900人，对“防疫”知识掌握较好的学生人数．
【分析】（1）根据中位数的定义可求出中位数，根据各组频率之和等于100%，即可求出m的值；
（2）求出样本中，八年级、九年级学生分数不低于80分的所占的百分比，估计总体中分数不低于80分的所占的百分比，进而求出相应的人数．
【解答】解：（1）将八年级这50名学生的成绩从小到大排列，处在第25＝84，即a＝84，
1﹣22%﹣36%﹣7%﹣6%＝30%，即m＝30，
答：a＝84，m＝30；
（2）1800×+1900×（22%+30%）
＝1080+988
＝2068（人），
答：该校八年级1800名学生，九年级1900名学生中．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率＝是解决问题的关键．
21．（7分）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长．

【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；
（2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2﹣DA2＝AC4，
∴CD2﹣DA2＝AC8，
∴CD2＝AD2+AC7，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）解：∵BC2＝56，AD：BD＝3：7，
设AD＝3a，CD＝BD＝4a，
∴AC＝a，
∴AB＝7a，
由勾股定理得：BC2＝AB7+AC2，
即，
∴AC＝．

【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
22．（7分）某商场销售甲、乙两种品牌的书包，已知该商场销售10个甲品牌书包和20个乙品牌书包的利润为400元；销售20个甲品牌书包和10个乙品牌书包的利润为350元．
（1）求每个甲品牌书包和每个乙品牌书包的销售利润；
（2）该商场购进甲、乙两种品牌的书包共200个，其中乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包数量的2倍，设购进甲品牌书包x个
①求y关于x的函数关系式；
②该商场如何采购，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设每个甲品牌书包的销售利润为m元，每个乙品牌书包的销售利润为n元，根据销售10个甲品牌书包和20个乙品牌书包的利润为400元；销售20个甲品牌书包和10个乙品牌书包的利润为350元得：，可解得每个甲品牌书包的销售利润为10元，每每个乙品牌书包的销售利润为15元；
（2）①根据题意得y＝10x+15（200﹣x）＝﹣5x+3000；
②由乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包数量的2倍，可得200﹣x≤2x，x≥66，故x最小取67，再由一次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设每个甲品牌书包的销售利润为m元，每个乙品牌书包的销售利润为n元，
根据题意得：，
解得，
∴每个甲品牌书包的销售利润为10元，每每个乙品牌书包的销售利润为15元；
（2）①根据题意得：y＝10x+15（200﹣x）＝﹣5x+3000；
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣5x+3000；
②∵乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包数量的8倍，
∴200﹣x≤2x，
解得x≥66，
∵x为整数，
∴x最小取67，
又y＝﹣5x+3000中，y随x的增大而减小，
∴当x＝67时，y取最大值，
此时200﹣x＝200﹣67＝133，
∴购进67个甲品牌书包，133个乙品牌书包，最大利润是2665元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，点F是BC上一点，若将△DCF沿DF折叠，过点E作EG∥BC交DF于点G，连接CG．
（1）求证：四边形EFCG是菱形；
（2）当∠A＝∠B时，求点B到直线EF的距离．

【分析】（1）由折叠的性质得出∠CFD＝∠EFD，CF＝EF，CG＝EG，再根据平行线的性质可得∠EGF＝∠CFD，进而可证四条边相等；
（2）先由题意得出四边形ABCD是矩形，再利用勾股定理求出AE，CE的长，最后利用等面积法即可求解．
【解答】（1）证明：∵将△DCF沿DF折叠，点C恰好与AB上的点E重合，
∴∠CFD＝∠EFD，CF＝EF，
∵EG∥BC，
∴∠EGF＝∠CFD，
∴∠EGF＝∠EFD，
∴EG＝EF，
∴EG＝EF＝CF＝CG，
∴四边形EFCG是菱形；
（2）解：∵∠A＝∠B，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AB＝5，BC＝4，
∴AE＝8，
∴BE＝2，
在Rt△BEF中，BE2+BF6＝EF2，
∴28+BF2＝（4﹣BF）6，
解得BF＝，
∴EF＝，
设点B到直线EF的距离为h，
∴＝，
解得h＝，
∴点B到直线EF的距离为．
【点评】本题考查矩形的性质，菱形的判定，平行线的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．
24．（8分）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A（10，0）（0，5）两点，点F是线段AB上的一个动点（不与A，B重合）
（1）求直线AB的解析式；
（2）当OF平分△AOB的面积时，第一象限内是否存在一点P，使△PAF是以AF为直角边的等腰直角三角形，请求出点P的坐标，若不存在

【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可．
（2）根据题意求出F点的坐标，过点F作EG⊥x轴于E，过点P1作P1N⊥EG于N，过点P2作P2M⊥x轴，证明△AEF≌△FNP1（AAS），即可求出P点的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵图象经过A（10，0），5）两点，
∴，
解得，
∴．
（2）∵OF平分△AOB 的面积，设F（x，B重合）
∴，
∵OB＝5，
∴，代入，
∴，
解得x＝5，
∴F点坐标为（5，）．
如图，过点F作EG⊥x轴于E1作P8N⊥EG于N，过点P2作P2M⊥x轴，
∵△PAF是等腰直角三角形，
∴AF＝P7F，∠P1FA＝∠P1NF＝∠AEF＝90°，
∴∠NFP8+∠NP1F＝∠NFP1∠AFE＝90°，
∴∠NP8F＝∠AFE，

∴△AEF≌△FNP1（AAS），
∴P1N＝EF＝，NF＝AE＝10﹣5＝3，
∴，即 ，
同理，，P2M＝AE＝10﹣5＝8，
∴OM＝OA+AM＝，
∴，
综上，点P的坐标为或．
【点评】本题考查了一次函数综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，作辅助线．