2023-2024学年云南省曲靖市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省曲靖市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，在△ABC中，作BC边上的高，以下作法正确的是( )
A. B.
C. D.
2.下列图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.以下列数据为三边长能构成三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 14，4，9D. 7，2，4
4.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (3a)2=6a2C. a6÷a3=a2D. 3a2−a2=2a2
5.下列分式中，最简分式是( )
A. 42xB. x−1x2−1C. 1x+1D. 1−xx−1
6.刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是0.000000005米.数据0.000000005用科学记数法表示为( )
A. 5×10−8B. 5×10−9C. 0.5×10−8D. 50×10−9
7.如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE=2，CD=4，则BD的长为( )
A. 1.5
B. 2
C. 4.5
D. 6
8.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD，若AE=3cm，△ABC的周长为13cm，则△ABD的周长是( )
A. 7cm
B. 10cm
C. 16cm
D. 19cm
9.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=( )
A. 45°
B. 60°
C. 110°
D. 135°
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=3，AB=8，则△ABD的面积是( )
A. 24B. 12C. 15D. 10
11.如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是( )
A. B.
C. D.
12.按一定规律排列的单项式：−x，3x2，−5x3，7x4，−9x5，…，第2024个单项式是( )
A. 4047x2024B. −4049x2025C. −2023x2024D. 2025x2025
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
13.分解因式：x2−4=______．
14.如图，在△ACB中，∠C=90°，∠A=15°，点D为AC边上一点，连接BD，∠DBC=60°，若BC=2，则AD= ______．
15.要使式子4x−2有意义，则x的取值范围是______．
16.如图所示，a/​/b，点C在直线b上且在点B右侧运动，∠ABC=50°，作直线AC，若△ABC是等腰三角形，则∠α= ______．
三、解答题：本题共8小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：|−1|+(−2)2−(π−1)0+(13)−1− 4．
18.(本小题6分)
先化简，再求值((a+1−3a−1)÷a2+4a+4a−1，其中a=2．
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，∠ABC的平分线交AD于点E，交AC于点F.若∠DAC=24°，∠ABC=50°，求∠AFB的度数．
20.(本小题7分)
如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B、D两点，AB=AD.求证：∠1=∠2．
21.(本小题7分)
曲靖市坚持“系统规划、分步实施，追根溯源、治标治本，因地制宜、精准施策，现状挖潜、提高效率”思路，实施截污管网、河道治理、征地拆迁、道路交通、景观湿地工程，对南盘江中心城区段环境进行综合治理，努力把南盘江建成“河畅、水清、路通、岸绿、景美、人和”的生态文化长廊.现计划安排甲、乙两个施工队对一段河道进行清淤施工，经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的1.5倍，甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天.甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？
22.(本小题7分)
如图，在直角坐标系中，A(−1,5)，B(−3,0)，C(−4,3)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)写出点A1，B1，C1的坐标；
(3)求△ABC的面积．
23.(本小题8分)
如图，已知∠MON=120°，点A在射线OM上，点B在射线ON上，且OA(1)求证：点C在∠MON的角平分线上；
(2)连接OC，试探究OA、OB、OC的数量关系，并证明你的结论．
24.(本小题9分)
数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代数)侧重研究物体数量方面，具有精确性，形(几何)侧重研究物体形的方面，具有直观性.“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
【问题探究】
探究1：如图1所示，大正方形的边长是(a+b)，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和.根据等积法，我们可以得出结论：(a+b)2=a2+2ab+b2．

探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出(a+b+c)2的结果．
【形成结论】
(1)探究2中(a+b+c)2= ______；
【应用结论】
(2)利用(1)问所得到的结论求解：已知a+b+c=0，a2+b2+c2=4，求ab+bc+ca的值；
【拓展应用】
(3)在(2)的条件下，求a2b2+b2c2+c2a2a2+ab+b2的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，作BC边上的高，作法正确的是：
故选：C．
根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
本题考查了作图−基本作图，三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义进行求解是解决本题的关键．
根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判定即可得出答案．
【解答】
解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
3.【答案】B
【解析】解：A、1+2=3，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、2+3>4，能构成三角形，故此选项符合题意；
C、4+9=13<14，不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、2+4=6<7，不能构成三角形，故此选项不合题意．
故选：B．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．
4.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a3=a2+3=a5，原式计算错误，故选项不符合题意；
B、(3a)2=9a2，原式计算错误，故选项不符合题意；
C、a6÷a3=a6−3=a3，原式计算错误，故选项不符合题意；
D、3a2−a2=2a2，计算正确，故选项符合题意．
故选：D．
根据同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂除法以及合并同类项的法则计算即可．
本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂除法以及合并同类项，解题的关键是熟练掌握相关的定义和法则．
5.【答案】C
【解析】解：A．42x=2x，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B.x−1x2−1=1x+1，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C.1x+1是最简分式，故本选项符合题意；
D.1−xx−1=−1，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据最简分式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键，分式的分子和分母除了公因式1，再没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式．
6.【答案】B
【解析】解：0.000000005=5×10−9．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7.【答案】D
【解析】解：∵△ABC≌△DEC，CE=2，CD=4，
∴BC=CE=2，
∴BD=BC+CD=4+2=6，
故选：D．
根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答．
8.【答案】A
【解析】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴AE=CE=3，DA=DC，
∵△ABC的周长为13cm，
即AB+BC+AC=13，
∴AB+BD+DA+6=13，
即AB+BD+DA=7，
∴△ABD的周长为7cm．
故选：A．
利用基本作图得到MN垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到AE=CE=3，DA=DC，再利用三角形周长的定义和等线段代换得到AB+BD+DA的值即可．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段的垂直平分线的性质．
9.【答案】A
【解析】解：∵正八边形的外角和为360°，
∴每一个外角为360°÷8=45°．
故选：A．
由多边形的外角和定理直接可求出结论．
本题考查了多边形外角和定理，掌握外角和定理是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD=3，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×8×3=12．
故选：B．
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：作点M关于直线l的对称点M′，连接M′N交直线m于点Q，则MP+NP=M′N，此时管道长度最短．
故选：B．
根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：由已知可知：第n个单项式的系数为：(−1)n(2n−1)，x的指数为n，
所以第2024个单项式的系数为：4047，x的指数为2024，即第2024个单项式的系数为：4047x2024，
故选：A．
分别探究出单项式系数和次数与序号间的关系，即可写出第2024个单项式，从而作出判断．
本题考查数字变化类规律探究，发现单项式的系数和指数与序号间的关系是解题的关键．
13.【答案】(x+2)(x−2)
【解析】【分析】
本题考查了利用平方差公式进行因式分解，
先把式子写成x2−22，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】
解：x2−4=x2−22=(x+2)(x−2)．
故答案为(x+2)(x−2)．
14.【答案】4
【解析】解：∵∠C=90°，∠DBC=60°，
∴∠BDC=90°−∠DBC=30°，
∴BD=2BC=4，
∵∠A=15°，
∴∠ABD=∠BDC−∠A=15°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD=4，
故答案为：4．
根据直角三角形的两个锐角互余可得∠BDC=30°，可得BD=2BC=4，然后利用三角形外角的性质可得∠ABD=15°，从而可得∠A=∠ABD，根据等腰三角形的判定即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
15.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得，x−2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
根据分式有意义的条件可得x−2≠0，解不等式可得答案．
此题主要考查的是分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于零．
16.【答案】50°或65°或80°
【解析】解：∵a/​/b，
∴∠α=∠ACB，
分三种情况讨论：
当BA=BC时，∠ABC=50°，
∴∠ACB=∠BAC=180°−∠ABC2=65°，
∴∠α=∠ACB=65°；
当AB=AC时，
∴∠ABC=∠ACB=50°，
∴∠α=∠ACB=50°；
当CA=CB时，
∴∠ABC=∠CAB=50°，
∴∠ACB=180°−∠ABC−∠CAB=80°，
∴∠α=∠ACB=80°；
综上所述：若△ABC是等腰三角形，则∠α=50°或65°或80°，
故答案为：50°或65°或80°．
先利用平行线的性质可得：∠α=∠ACB，然后分三种情况讨论：当BA=BC时；当AB=AC时；当CA=CB时；从而分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
17.【答案】解：|−1|+(−2)2−(π−1)0+(13)−1− 4
=1+4−1+3−2
=5．
【解析】先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18.【答案】解：原式=[(a+1)(a−1)a−1−3a−1]⋅a−1(a+2)2
=(a+2)(a−2)a−1⋅a−1(a+2)2
=a−2a+2，
当a=2时，
原式=2−22+2=0．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：∵∠ABC=50°，BE平分∠ABC，
∴∠CBF=12∠ABC=12×50°=25°，
∵AD为BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠DAC=24°，
∴∠C=90°−24°=66°，
∴∠AFB=∠CBF+∠C=25°+66°=91°．
【解析】先根据角平分线的定义求出∠CBF的度数，再由AD为BC边上的高可知∠ADC=90°，再由∠DAC=24°得出∠C的度数，根据∠AFB=∠CBF+∠C即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．
20.【答案】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
AB=ADAC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴∠1=∠2．
【解析】利用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度是1.5x米，
根据题意得：1200x−2=12001.5x，
∴1200−2x=800，
解得：x=200，
经检验，x=200是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×200=300(米)．
答：甲队每天清淤的河道长度是300米，乙队每天清淤的河道长度是200米．
【解析】设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度是1.5x米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙队每天清淤的河道长度，再将其代入1.5x中，即可求出甲队每天清淤的河道长度．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)A1(1,5)，B1(3,0)，C1(4,3)；
(3)△ABC的面积为：3×5−12×2×5−12×1×3−12×2×3=112．
【解析】本题考查了作图−轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质．
(1)根据对称性即可在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)结合(1)即可写出点A1，B1，C1的坐标；
(3)根据网格利用割补法，即可求△ABC的面积．
23.【答案】(1)证明：过点C作CD⊥OM点D，过点作CF⊥ON于点F，

∴∠CDA=∠CFB=∠CFO=90°，
在等边△ABC中，∠ACB=60°，AC=BC，
在四边形CAOB中，∠MON=120°，
∴∠OAC+∠OBC=360°−∠ACB−∠MON=180°，
又∠CAD+∠OAC=180°，
∴∠CAD=∠CBF，
在△CAD与△CBF中，
∠CDA=∠CFB∠CAD=∠CBFAC=BC，
∴△CAD≌△CBF(AAS)，
∴CD=CF，
∵CD⊥OM，CF⊥ON，
∴点C在∠MON的角平分线上；
(2)解：OA+OB=OC.理由如下：
由(1)可知：点C在∠MON的角平分线上，
∵∠MON=120°，
∴∠COF=∠COD=12∠MON=12×120°=60°，
∵∠CDA=∠CFO=90°，
∴∠OCD=∠OCF=30°，
∴OF=12OC，OD=12OC，
∵△CAD≌△CBF(AAS)，
∴AD=BF，
∴OA+OB=OD−AD+OF+BF=12OC+12OC=OC，
即OA+OB=OC．
【解析】(1)过点C作CD⊥OM点D，过点作CF⊥ON于点F，根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°，AC=BC，根据四边形的内角和求出∠CAD=∠CBF，利用AAS证明△CAD≌△CBF，根据全等三角形的性质得出CD=CF，根据角平分线的判定定理即可得解；
(2)根据含30°角的直角三角形的性质求出OF=12OC，OD=12OC，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题关键．
24.【答案】a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
【解析】解：(1)∵等式左边是从整体看大正方形的面积等于边长的平方，
∴等式右边应该表示出组成大正方形的各个部分的面积的和．
∵组成大正方形的各个部分的面积分别为：a2，ab，ac，ab，b2，bc，ac，bc，c2，
∴它们的和为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
故答案为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
(2)解：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
∴2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2−(a2+b2+c2).
∴ab+bc+ca=(a+b+c)2−(a2+b2+c2)2．
∵a+b+c=0，a2+b2+c2=4，
∴ab+bc+ca=−2；
(3)由(1)得：(ab+bc+ca)2=a2b2+b2c2+c2a2+2ab2c+2abc2+2a2bc，
∴a2b2+b2c2+c2a2=(ab+bc+ca)2−2ab2c−2abc2−2a2bc
=(−2)2−2abc(a+b+c)
=4−2abc×0，
=4．
∵a+b+c=0，
∴c=−a−b．
∵a2+b2+c2=4，
∴a2+b2+(−a−b)2=4．
即2a2+2b2+2ab=4
∴a2+b2+ab=2
∴原式=42=2．
(1)等式左边是从整体看大正方形的面积等于边长的平方，那么所求的等式右边应该表示出组成大正方形的各个部分的面积的和；
(2)把(1)中得到的等式进行整理，可得：ab+bc+ca=(a+b+c)2−(a2+b2+c2)2，代入计算即可；
(3)按照(2)的方法可得分子的值；根据a+b+c=0可得c=−a−b，代入a2+b2+c2=4中可得分母的值，相除即可求得所求分式的值．
本题考查完全平方式及因式分解的应用．根据面积的不同表示方法得到(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac是解决本题的关键．解决本题的难点是：灵活应用得到的等式．