2022-2023学年度浙江省衢州市高一上学期1月期末教学质量检测数学试题

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衢州市2023年1月高一年级教学质量检测试卷
数学
选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1. 已知集合，，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由交集定义直接求解即可.
【详解】集合，，则.
故选B.
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】因为由可以推出，
所以“”是“”的充分条件，
由，可得或，
所以“”不是“”的必要条件；
所以“”是“”的充分不必要条件；
故选：A.
3. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“中间数”比较大小即可.
【详解】，，，
所以.
故选：B
4. 已知函数在是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性及对数的真数大于0求解即可.
【详解】令，
因为为增函数，函数在是增函数，
所以为增函数，故，
又，，所以，解得，
综上，的取值范围为.
故选：C.
5. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设大正方形的边长为，从而可得直角三角形的直角边，分别求出，再根据求得，在化弦为切即可得出答案.
【详解】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为，
因为为直角三角形较小的锐角，所以，
，
则，
即，
所以，解得或（舍去），
所以.
故选：C.
6. 函数的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性、函数值以及幂函数图象的增长速度进行排除.
【详解】因为函数的定义域为，且，
所以函数是奇函数，故C错误；
当时，，故B错误；
当时，，因为的变化速度越来越快,
的变化速度越来越慢，所以的变化速度越来越快，故D错误；
故选：A.
7. “碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量（亿吨）与时间（年）满足函数关系式，若经过5年，二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：）（ ）
A. 43 B. 44 C. 45 D. 46
【答案】C
【解析】
【分析】由条件列式确定参数，再结合对数运算解方程即可.
【详解】由题意可得，即，解得，
令，即，
两边取对数得，
所以，即，
解得，
故选：C
8. 已知函数与，若存在使得，则不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合函数的定义可以判断A选项，其余可将选项全部代入后，看是否能求解出来进行判断.
【详解】对于A选项，若，当时，，当时，，
相当于1个值对应两个，不符合函数定义，即A错误；
对于B选项，，令，则，当且仅当时成立，整理得
，解得，即，即，
存在，所以选项B正确；
对于C选项，，令，得，则，即，
存在，所以选项C正确；
对于D选项，，可得出，存在所以选项D正确；
故选：A
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若，，则可以是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】AC
【解析】
【分析】由条件，可知是第一象限角，据此得到范围，即可确定所在的象限.
【详解】因为，，
所以，故是第一象限角，
由，
得，
当为偶数时，是第一象限角，
当为奇数时，是第三象限角.
故选：AC.
10. 已知定义在上的非常数函数满足，则（ ）
A. B. 为奇函数 C. 是增函数 D. 是周期函数
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A项、B项，令，令代入计算即可；对于C项、D项，举反例判断即可.
【详解】对于A项，令得：，解得：，故A项正确；
对于B项，令得：，由A项知，，所以，所以为奇函数，故B项正确；
对于C项，当时，，，满足，但是减函数.故C项错误；
对于D项，当时，，，满足，但不是周期函数.故D项错误.
故选：AB.
11. 已知正数，满足，则（ ）
A. 的最小值为6 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据化简得到，再根据选项通过基本不等式、二次函数的性质依次判断即可.
【详解】，
即，且，.
，当且仅当时等号成立，故A选项是正确的；
，当时，，故B选项是错误的；
，当时等号成立，故C选项是正确的；
，当且仅当，时等号成立，故D选项是正确的.
故选：ACD.
12. 已知函数，，则（ ）
A. 若，则方程只有一个解
B. 若，则方程至少有一个解
C. 若，则方程恒有一个解
D. 若方程有三个解，，，且，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】取，即可判断A选项；当时，令，解出方程，可得，进而判断B选项；时，可直接判断C选项；对于D，设，可得，即得，联立方程，结合韦达定理和一元二次函数根的个数求解即可.
【详解】对于A，取，，则，，
由，
当时，，即（舍去）；
当时，，即（舍去）.
所以方程无解，故A错误；
对于B，若，则当时，令，
得，即，必有一解，故B正确；
对于C，若，则，，
当时，函数与恒有一个交点，
当时，令，整理得到：，
而，故此方程在上有且只有零点，
即方程恒有一个解，故C正确；
对于D，若方程有三个解，，，不妨设，
则有，
故由得，
从而得到，
从而有，故，
又由解的个数得，
解得，故D正确.
故选：BCD.
非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13. 已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为______．
【答案】##
【解析】
【分析】直接利用扇形的面积公式得到答案.
【详解】 .
故答案为：.
14. 计算：______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据指数和对数的运算性质计算即可.
【详解】
.
故答案为：.
15. 已知函数有唯一零点，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】先判断函数关于对称，从而可得函数的零点只能为，从而可求得，再利用定义法得出在上的单调性，从而可得出结论.
【详解】，
因，
所以函数关于对称，
要使函数有唯一零点，
所以函数的零点只能为，
，所以，
此时，
令，设，
则


，
因为，所以，则，
所以，
即，
所以函数在上递增，
又在上递增，
所以函数在上递增，在上递减，
又，故可知函数有唯一零点，符合题意，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于判断出函数关于对称，由此函数的零点只能为，要注意检验.
16. 若实数，满足，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，当且仅当时等号成立，令，，换元可得，进而求解.
【详解】由于，为使取最大值，必使，即或同号，
当，则，故，仅当时等号成立；
当同号，不妨令且，从而，当且仅当，即时等号成立，
此时，令，，且，则，
即，当且仅当时取等号，
综上，的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，解一元二次不等式求出集合B，然后求其补集即可.
（2）根据，得，分类讨论二次不等式求解即可.
【小问1详解】
当时，，∴或.
【小问2详解】
由已知得，∵，∴
若，则，∴，此时符合题意．
若，由判别式大于等于0知：或，
令，要使，∴，即，
∴，此时或，
综上所述．
18. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．（点不与原点重合）
（1）若，求值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】(1)根据终边上一点结合任意角三角函数定义求解即可；
(2)应用诱导公式先求出正弦值范围，再结合同角三角函数关系求余弦值范围，结合任意角的余弦公式求解即得.
【小问1详解】
∵，∴

∴或
【小问2详解】
∵，∴
又∵,∴,即得
∴．
19. 已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数在的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）最小正周期为，，
（2）
【解析】
【分析】（1）分别利用和，即可求解出结果.
（2）由可得，可令，画出在的图像，
结合图像可得出，从而求出的取值范围.
【小问1详解】
由题意可知，的最小正周期，令，，
解得,,即的单调递增区间为，.
【小问2详解】
因为可得，令，即，
画出在的图像如下，因为在的值域为，
所以，解得，即实数的取值范围为


20. 已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求的值，判断函数的单调性并用定义证明；
（2）若，解关于的不等式：．
【答案】（1），在上单调递减，证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数为奇函数可得，从而可求得，任取且，再利用作差法比较即可得出函数的单调性；
（2）由（1）可得在上单调递减，，则不等式即为不等式，分类讨论，从而可得解.
【小问1详解】
∵是定义在上的奇函数，∴，∴，
当时，，经检验此时为奇函数符合题意，
函数单调递减，证明如下：
任取且，
则，
因为，所以，
所以，即，
∴在上单调递减；
【小问2详解】
∵在上单调递减，∴有且仅有，
∴，即，
∴，∴，
当，则；当，则，
综上，当时，；
当时，则.
21. 2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有500名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，维护人员的年人均投入调整为万元．
（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
（2）若对任意，均有以下两条成立：①调整后研发人员年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入．求实数的取值范围．
【答案】（1）50人 （2）
【解析】
分析】（1）根据题意得到，解得答案.
（2）根据题意得到，，解不等式并利用均值不等式计算得到范围.
【小问1详解】
调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，整理得，解得，
又因为，所以要使这名技术研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为50人．
【小问2详解】
，两边同除以得，整理得；
，解得；
故恒成立，
，当且仅当，即时等号成立，所以，
，当时，取得最大值15，所以，
所以.
22. 已知函数．
（1）若，判断的零点个数，并说明理由；
（2）记，求证：对任意，均有．
【答案】（1）有两个零点，理由见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）结合对勾函数性质，分和两种情况讨论，即得解；
（2）由题得，由于在递减，在递增，所以再分，和三种情况讨论得证.
【小问1详解】
因为，，结合对勾函数性质，
①即时，，此时无解；
②即时，在递减，在递增，
故，
此时，有两解：综上可知，有两个零点．
【小问2详解】
事实上，且，
因为，结合知在递减，在递增
①若，即时，在递增，故成立，另一方面，结合知，，故成立．
②若，即时，在递减，故成立，另一方面，结合知，，故成立．
③若，即时，在递减，在递增，故成立，下面证明，只需证，
由，
（ⅰ）若，即时，，则
，注意到，由成立及
成立可知成立，即此时成立．
（ⅱ）若，即时，，则
，注意到，由成立及
成立可知．即此时成立．
结合（ⅰ）（ⅱ）可知成立．
综上，对任意，均有．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是数形结合分类讨论思想的灵活运用，其一是灵活运用对勾函数的图象和性质分析，其二是分类讨论的思想在第2问的灵活运用.