2022-2023学年度浙江省杭州市学军四校高一上学期期末数学试题

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学军中学四校区2022-2023学年第一学期期末联考
高一数学试卷
命题人：王馥 审题人：顾侠
一、单选题：本题共8小题，每小题6分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若角的终边经过点，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数定义可得，判断符号即可.
【详解】解：由三角函数的定义可知，符号不确定，，
故选：C．
【点睛】任意角的三角函数值：
（1）角与单位圆交点，则；
（2）角终边任意一点，则.
2. “a＞b2”是“”的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件定义结合不等式的性质判断
【详解】若，则满足，而，所以由不能推出，
当时，则，当时，，当时， ，所以当时，有，
所以“a＞b2”是“”的充分不必要条件，
故选：A
3. 若扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设扇形的半径为，则周长为，解得，再计算面积得到答案.
【详解】设扇形的半径为，则周长为，解得；
扇形的面积.
故选：C
4. 有一组实验数据如下表所示：
t
30
6.0
90
12.0
15.0
v
1.5
2.5
2.9
3.6
4.0
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案.
【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，

数据散点图和对数函数的图象类似，所以选项D最能反映之间的函数关系.
故选：D.
5. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2022
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的周期，利用周期和可得答案.
【详解】因为，所以，
所以的周期为4，
函数是定义在上的奇函数，所以，
所以，
.
故选：B.
6. 函数的图像如图所示，可以判断a，b，c分别满足（ ）

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】分、两种情况讨论即可.
【详解】函数的定义域为
①当时，，
当时，与同号，当时，与同号，
与图中信息矛盾；
②当时，，
由图可得，当时，，所以，
然后可验证当，时，图中信息都满足，
故选：A
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的单调性进行判断即可.
【详解】因为，所以，
因为，，所以，即，
因为，，所以，即，，
因为，
所以，即，
故选：B
【点睛】关键点睛：根据对数函数的单调性，结合特殊值法进行比较是解题的关键.
8. 已知函数，若关于的方程（）有三个不相等的实数根,且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，结合函数的图象，将方程（）有三个不相等的实数根,转化为有两个不等的实数根，，进而由，利用韦达定理求解.
【详解】因为函数图像如下：

令，则有两个不等的实数根，，
由韦达定理知：,
则，，
所以，
，
，
，
.
故选：A
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若，则下列不等式恒成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，由基本不等式得，则，故A正确；
对于B，令时，，故不成立，故B错误；
对于C，由A选项得，所以，故C正确；
对于D，根据基本不等式“1”的用法得，故D正确；
故选：ACD．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
10. 已知非零实数a，b，若，为定义在上的周期函数，则（ ）
A. 函数必为周期函数 B. 函数必为周期函数
C. 函数必为周期函数 D. 函数必为周期函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】是周期为的函数，A正确，是周期为的函数，B正确，是周期为的函数，C正确，当周期为周期为1时，得到矛盾，D错误，得到答案.
【详解】设周期为周期为，，
对选项A：，故是周期为的函数，正确；
对选项B：则，所以是周期为的函数，正确；
对选项C：，所以是周期为的函数，正确；
对选项D： 当周期为周期为1时，若周期函数，设周期为 ，则，是无理数，所以上式无解，所以此时不是周期函数，错误.
故选：ABC
11. 已知函数为偶函数，点，是图象上的两点，若的最小值为2，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D. 在上单调递增
【答案】AC
【解析】
【分析】根据三角函数的图像和性质求出函数的解析式，然后分别进行判断即可.
【详解】对于A，由，得，即，的最小值为2，,即，即，则，故选项A正确；
对于B，为偶函数，，，时，时，故选项B错误；
对于C，综上或者，则，故选项C正确；
对于D，，，，即，即是函数的零点，的区间长度为2，是半个周期，则函数在上不具备单调性，故选项D错误.
故选：AC.
12. 设函数若存在，使得，则t的值可能是（ ）
A. -7 B. -6 C. -5 D. -4
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意可得，令()，结合对勾函数的性质可得函数的单调性，则，进而有，结合列出不等式组，解之即可.
【详解】由题意得，存在使得
成立，
令，，
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
由，得，
即，
所以，
又，
则，即，
因为，
解得.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知幂函数，则此函数的定义域为________．
【答案】.
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域.
【详解】由幂函数，可得，解得，即，
则满足，即幂函数的定义域为.
故答案为：.
14. 已知是第二象限角，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式以及二倍角公式，利用同角三角函数之间的基本关系即可求得或，再根据是第二象限角即可得.
【详解】由诱导公式可得，所以；
根据二倍角公式可得，
解得或，
又因为是第二象限角，所以.
故答案为：
15. 如图所示，摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动后距离地面的高度为________m．

【答案】##
【解析】
【分析】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为，然后根据条件求出解析式可得答案.
【详解】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为，
因为摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，
所以，解得，
因为每转一圈，所以，，
当时，，所以，所以可取，
所以，
所以当时，
故答案为：
16. 设.若当时，恒有，则的取值范围是____.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，则将题目转化为当时，
恒有，分，，，讨论，即可得到结果.
【详解】设函数，则当时，恒有.
当时，在上递增，
则，且，
从而，则，于是，矛盾；
同理，当，在上递减，
则，且，
从而，则，于是，矛盾；
当，,则，
当，，则，
由此得，的取值范围是.
当且仅当，时，，当且仅当时，.
故答案为:
四、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．
17. 已知.
（1）求的值;
（2）若，且，求角.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；
（2）分别求出，，再根据结合两角差的正弦公式即可得解.
【小问1详解】
解：因为，
所以，解得；
【小问2详解】
解：因为，，
则，
解得，
又，所以，
又因，所以，
则，
所以.
18. 已知集合，集合，集合.
（1）求的子集的个数；
（2）若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）8个；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出集合和，再求，根据集合子集的个数可得答案；
（2）由题意可得，分和两种情况讨论可得答案.
【详解】（1）由解得，所以，
又因为，所以，
所以的子集的个数为个.
（2）因为命题“都有”是真命题，所以，即，
当时，，解得；
当时，解得，
综上所述：.
19. 已知函数，其中常数．
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）令，将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向上平移1个单位，得到函数的图象．若在区间上至少含有30个零点，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求条件可得，，由此可求的取值范围，
（2）由函数图象变换结论求函数的解析式，要使最小，则，研究的零点进而可以求出结果．
【小问1详解】
由题设，∴，∴，
当时，，则，，解得，．
综上，的取值范围为．
【小问2详解】
由题设，将函数的图象向左平移个单位得，
再各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，向上平移1个单位，则．
令得，
令，设在区间上的30个零点分别为，
则，在上有30个零点，
要使最小，则，
因为在每个周期内各有两个函数值为，所以15个周期里面有30个零点，
则最小时，若，则，
所以，即的最小值为．
20. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；
（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．
【详解】（1）由题意知，当时，
，
即，
解得或，
∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
（2）当时，
；
当时，
；
∴；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数为时，人均通勤时间最少．
【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．
21. 已知函数，．
（1）若方程，恰有一个实根，求实数a的取值范围；
（2）设，若对任意，当，时，满足，求实数a的取值范围．
【答案】（1）．
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，讨论二次项系数是否为0以及真数是否大于0即可求解；
（2）易知函数为定义域上为减函数，将问题转化成 ，即对任意成立，再构造二次函数，利用二次函数的单调性即可求解．
【小问1详解】
由得；
即
当时，，经检验，满足题意；
当时，，经检验，满足题意；
当且时，，
若是原方程的解，当且仅当，即，
若是原方程的解，当且仅当，即，
故当是原方程的解，不是方程的解，则 ，无解，
当是原方程的解，不是方程的解，则，解得
于是满足题意的．
综上，的取值范围为．
【小问2详解】
不妨令，则，
由于单调递增，单调递减，
所以函数在,上为减函数；，，
因为当，,，满足，
故只需，
即对任意成立，
因为，所以函数为开口向上的二次函数，且对称轴为 ，
故在上单调递增，当时，有最小值，
由，得，故的取值范围为．