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2022-2023学年度浙江省杭州市长河高级中学高一上学期期末数学试题
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这是一份2022-2023学年度浙江省杭州市长河高级中学高一上学期期末数学试题，文件包含浙江省杭州市长河高级中学高一上学期期末数学试题原卷版docx、浙江省杭州市长河高级中学高一上学期期末数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
2022学年第一学期高一年级期末考试
数学试题卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合，然后用补集的定义即可求解
【详解】由可得，解得，
因为全集，所以，
所以.
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由全称命题的否定即可得到结果.
【详解】因为命题为全称命题，则其否定为: ，.
故选:B
3. 不等式的解集为（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由，
即，得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由二倍角公式化简，即可得到结果.
【详解】因为，则，且，则，
故选:B
5. 已知幂函数在上是减函数，则n的值为（ ）
A. B. 1 C. 3 D. 1或
【答案】B
【解析】
【分析】先由函数是幂函数，得到或，再分别讨论，是否符合在上是减函数的条件.
【详解】因为函数是幂函数，则，
所以或.
当时，在上是增函数，不合题意.
当时在上是减函数，成立.
故选：B.
6. 若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据函数为奇函数求得且在上是增函数，进而根据得出且或且，最后取并集．
【详解】解：函数为奇函数，
，，
函数在上是增函数，函数在上是增函数，
所以当或时，当或时，
对于，
则或，
解得或
的取值范围是．
故选：D．
7. 已知函数关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件关于对称可得，再判断函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
【详解】因为函数关于对称，
所以函数的图象关于对称，
即函数偶函数，
所以，
所以，
因为当时，恒成立，
所以函数在上单调递增，
又，所以，
所以，
故选：A.
8. 若，，且，则的最小值为（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，可将题目转化为已知，求的最小值，再结合基本不等式可求最小值.
【详解】设，则，且，
题目转化为已知，求的最小值，
即，
而，
当且仅当，即时等式成立.
所以.
故选：C.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 将函数图象向右平移φ个单位长度后得到函数的图象，若函数为奇函数，则φ的可能值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先由平移变换得到，再根据函数为奇函数，由求解.
【详解】解：函数图象向右平移φ个单位长度后得到函数
的图象，
因为函数为奇函数，
所以，解得，
所以φ的可能值为或，
故选：AC
10. 已知实数a，b满足，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.利用不等式的基本性质判断；B.利用作差法判断；C.利用在上递减判断；D.利用对数函数的单调性判断.
【详解】对于A，因为实数a，b满足，
所以，则，故A正确；
对于B，由可得，所以，故B正确；
对于C，由在上递减，所以，故C错误；
对于D，由在上递增，所以，故D正确，
故选：ABD
11. 狄里克雷是德国数学家，是解析数论的创始人之一，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，于1837年提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点，用其名字命名的“狄里克雷函数”为，下列叙述中正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A. 分x是有理数和x是无理数讨论求解判断；B. 分x是有理数和x是无理数讨论求解判断；C.由 求解判断；D. 分x是有理数和无理数讨论求解判断.
【详解】A. 当x是有理数，则-x是有理数，当x是无理数，则-x是无理数，所以，则是偶函数，故正确；
B. 当x是有理数，则x+2有理数，当x是无理数，则x+2是无理数，所以，故正确；
C.当 时， ， ，故错误；
D. 当x是有理数时，，当x是无理数时，，故正确，
故选：ABD
12. 已知函数，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABCD
【解析】
【分析】作出函数的图象，结合图象可知关于的一元二次方程根的分布，根据一元二次根的分布列出不等式求解即可．
【详解】作出函数的图象如下：
因为关于的方程有5个不同的实根，
令，则方程有2个不同的实根，
则，解得或，
若，则或，
令，
或，
解得，得；
当时解得，此时，解得，，不符合题意，故舍去；
综上可得.
故选：ABCD.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，则的最小值是______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式即可求最值.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
14. ______________．
【答案】
【解析】
【分析】结合二倍角和辅助角公式求解即可.
【详解】.
故答案：.
15. 若，则函数在上的值域是______________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据函数单调性的定义判断函数在上单调递增，进而即可求得值域.
【详解】，
任取，，且，
则，
所以，
所以函数在上单调递增，
则，，
所以函数在上的值域是.
故答案为：.
16. 定义在R上的单调函数满足：，若在上有零点，则a的取值范围是______________
【答案】
【解析】
【分析】利用是奇函数且在R上的单调，转化为在上有解，再进行参数分离求解即可.
【详解】令,则,则；
再令,则有
，且定义域为R.
是奇函数.
在上有零点.
在上有解；
在上有解；
又∵函数是R上的单调函数,
在上有解.
，；
；
令,
则；
在上单调递减,
，.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用有理数指数幂运算性质求解即可；
（2）利用对数的运算性质求解即可.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
18. 已知．
（1）求的周期；
（2）求在区间上的最小值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数，再结合周期的公式求解即可；
（2）利用三角函数的图象及性质求解即可.
【小问1详解】
，
即，
所以函数的周期为.
【小问2详解】
由，
则，所以，
所以当，
则，
即在区间上的最小值为.
19. 已知集合，．
（1）若时，求，；
（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】（1）解二次不等式化简集合A，代入得到集合，再利用集合的交并补运算即得；
（2）由题设条件得到是A的真子集，列不等式组即可求得结果.
【小问1详解】
因为，所以，
又因为，
所以，或，
故；
【小问2详解】
因为是的充分不必要条件，所以是A的真子集，
因，
所以或，
解得，
所以.
20. 如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每4min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
（1）试确定点P距离地面的高度h（单位：m）关于旋转时间t（单位：min）的函数关系式；
（2）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？
【答案】（1）
（2）min
【解析】
【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，利用旋转周期可得在 min内转过的角度为，再利用三角函数定义可得；（2）利用（1）中的表达式可解出时，可得，即可求得结果.
【小问1详解】
建立如题所示的平面直角坐标系，
根据题意可得在 min内转过的角度为，
设为点在时间内转过的角度，所以；
以轴正半轴为始边，所在位置为终边，所以为终边的角为，
因此点的纵坐标为，
所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式为，
化简得
【小问2详解】
当时，
解得，
又在一圈内，所以符合题意i的时间段为或，
即在摩天轮转动一圈内，有min点距离地面超过70m.
21. 已知偶函数，是奇函数．
（1）求，的值；
（2）用定义证明的在上单调递增；
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求，的值；
（2）利用定义法，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（3）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，进行转化，即可求实数的取值范围．
【小问1详解】
解：因为是偶函数，
所以，即，
则，即，
所以，即，解得．
若是奇函数，
又定义域为，则，即，解得；
此时，则，符合题意；
【小问2详解】
设任意的且，
则
，
因为，所以，所以，则，
所以，
即的在上单调递增.
【小问3详解】
解：由（2）知单调递增，
则不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立，
即上恒成立，
则，
设，，因为、、在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，
∴，
则，
所以实数的取值范围是．
22. 如图，已知△ABC中，，，点P从B点沿直线BC运动到C点，过P做BC的垂线l，记直线l左侧部分的多边形为（如图阴影部分），设，的面积为，的周长为．
（1）求和的解析式；
（2）记，求的最大值．
【答案】（1），；
（2）的最大值为．
【解析】
【分析】（1）分，两种情况讨论，分别求出阴影部分的面积和周长；
（2）求出，分，两种情况，求出每种情况下的最大值即可.
【小问1详解】
设垂线l与相交于点，
作△ABC的高AD，，，则，
当，，所以，，，.
当，，所以，，
；
所以，
；
【小问2详解】
当时，，的最大值．
当时，，
当且仅当时等号成立；有最大值，
又，
故的最大值为．
2022学年第一学期高一年级期末考试
数学试题卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合，然后用补集的定义即可求解
【详解】由可得，解得，
因为全集，所以，
所以.
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由全称命题的否定即可得到结果.
【详解】因为命题为全称命题，则其否定为: ，.
故选:B
3. 不等式的解集为（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由，
即，得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由二倍角公式化简，即可得到结果.
【详解】因为，则，且，则，
故选:B
5. 已知幂函数在上是减函数，则n的值为（ ）
A. B. 1 C. 3 D. 1或
【答案】B
【解析】
【分析】先由函数是幂函数，得到或，再分别讨论，是否符合在上是减函数的条件.
【详解】因为函数是幂函数，则，
所以或.
当时，在上是增函数，不合题意.
当时在上是减函数，成立.
故选：B.
6. 若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据函数为奇函数求得且在上是增函数，进而根据得出且或且，最后取并集．
【详解】解：函数为奇函数，
，，
函数在上是增函数，函数在上是增函数，
所以当或时，当或时，
对于，
则或，
解得或
的取值范围是．
故选：D．
7. 已知函数关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件关于对称可得，再判断函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
【详解】因为函数关于对称，
所以函数的图象关于对称，
即函数偶函数，
所以，
所以，
因为当时，恒成立，
所以函数在上单调递增，
又，所以，
所以，
故选：A.
8. 若，，且，则的最小值为（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，可将题目转化为已知，求的最小值，再结合基本不等式可求最小值.
【详解】设，则，且，
题目转化为已知，求的最小值，
即，
而，
当且仅当，即时等式成立.
所以.
故选：C.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 将函数图象向右平移φ个单位长度后得到函数的图象，若函数为奇函数，则φ的可能值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先由平移变换得到，再根据函数为奇函数，由求解.
【详解】解：函数图象向右平移φ个单位长度后得到函数
的图象，
因为函数为奇函数，
所以，解得，
所以φ的可能值为或，
故选：AC
10. 已知实数a，b满足，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.利用不等式的基本性质判断；B.利用作差法判断；C.利用在上递减判断；D.利用对数函数的单调性判断.
【详解】对于A，因为实数a，b满足，
所以，则，故A正确；
对于B，由可得，所以，故B正确；
对于C，由在上递减，所以，故C错误；
对于D，由在上递增，所以，故D正确，
故选：ABD
11. 狄里克雷是德国数学家，是解析数论的创始人之一，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，于1837年提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点，用其名字命名的“狄里克雷函数”为，下列叙述中正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A. 分x是有理数和x是无理数讨论求解判断；B. 分x是有理数和x是无理数讨论求解判断；C.由 求解判断；D. 分x是有理数和无理数讨论求解判断.
【详解】A. 当x是有理数，则-x是有理数，当x是无理数，则-x是无理数，所以，则是偶函数，故正确；
B. 当x是有理数，则x+2有理数，当x是无理数，则x+2是无理数，所以，故正确；
C.当 时， ， ，故错误；
D. 当x是有理数时，，当x是无理数时，，故正确，
故选：ABD
12. 已知函数，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABCD
【解析】
【分析】作出函数的图象，结合图象可知关于的一元二次方程根的分布，根据一元二次根的分布列出不等式求解即可．
【详解】作出函数的图象如下：
因为关于的方程有5个不同的实根，
令，则方程有2个不同的实根，
则，解得或，
若，则或，
令，
或，
解得，得；
当时解得，此时，解得，，不符合题意，故舍去；
综上可得.
故选：ABCD.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，则的最小值是______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式即可求最值.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
14. ______________．
【答案】
【解析】
【分析】结合二倍角和辅助角公式求解即可.
【详解】.
故答案：.
15. 若，则函数在上的值域是______________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据函数单调性的定义判断函数在上单调递增，进而即可求得值域.
【详解】，
任取，，且，
则，
所以，
所以函数在上单调递增，
则，，
所以函数在上的值域是.
故答案为：.
16. 定义在R上的单调函数满足：，若在上有零点，则a的取值范围是______________
【答案】
【解析】
【分析】利用是奇函数且在R上的单调，转化为在上有解，再进行参数分离求解即可.
【详解】令,则,则；
再令,则有
，且定义域为R.
是奇函数.
在上有零点.
在上有解；
在上有解；
又∵函数是R上的单调函数,
在上有解.
，；
；
令,
则；
在上单调递减,
，.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用有理数指数幂运算性质求解即可；
（2）利用对数的运算性质求解即可.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
18. 已知．
（1）求的周期；
（2）求在区间上的最小值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数，再结合周期的公式求解即可；
（2）利用三角函数的图象及性质求解即可.
【小问1详解】
，
即，
所以函数的周期为.
【小问2详解】
由，
则，所以，
所以当，
则，
即在区间上的最小值为.
19. 已知集合，．
（1）若时，求，；
（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】（1）解二次不等式化简集合A，代入得到集合，再利用集合的交并补运算即得；
（2）由题设条件得到是A的真子集，列不等式组即可求得结果.
【小问1详解】
因为，所以，
又因为，
所以，或，
故；
【小问2详解】
因为是的充分不必要条件，所以是A的真子集，
因，
所以或，
解得，
所以.
20. 如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每4min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
（1）试确定点P距离地面的高度h（单位：m）关于旋转时间t（单位：min）的函数关系式；
（2）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？
【答案】（1）
（2）min
【解析】
【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，利用旋转周期可得在 min内转过的角度为，再利用三角函数定义可得；（2）利用（1）中的表达式可解出时，可得，即可求得结果.
【小问1详解】
建立如题所示的平面直角坐标系，
根据题意可得在 min内转过的角度为，
设为点在时间内转过的角度，所以；
以轴正半轴为始边，所在位置为终边，所以为终边的角为，
因此点的纵坐标为，
所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式为，
化简得
【小问2详解】
当时，
解得，
又在一圈内，所以符合题意i的时间段为或，
即在摩天轮转动一圈内，有min点距离地面超过70m.
21. 已知偶函数，是奇函数．
（1）求，的值；
（2）用定义证明的在上单调递增；
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求，的值；
（2）利用定义法，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（3）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，进行转化，即可求实数的取值范围．
【小问1详解】
解：因为是偶函数，
所以，即，
则，即，
所以，即，解得．
若是奇函数，
又定义域为，则，即，解得；
此时，则，符合题意；
【小问2详解】
设任意的且，
则
，
因为，所以，所以，则，
所以，
即的在上单调递增.
【小问3详解】
解：由（2）知单调递增，
则不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立，
即上恒成立，
则，
设，，因为、、在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，
∴，
则，
所以实数的取值范围是．
22. 如图，已知△ABC中，，，点P从B点沿直线BC运动到C点，过P做BC的垂线l，记直线l左侧部分的多边形为（如图阴影部分），设，的面积为，的周长为．
（1）求和的解析式；
（2）记，求的最大值．
【答案】（1），；
（2）的最大值为．
【解析】
【分析】（1）分，两种情况讨论，分别求出阴影部分的面积和周长；
（2）求出，分，两种情况，求出每种情况下的最大值即可.
【小问1详解】
设垂线l与相交于点，
作△ABC的高AD，，，则，
当，，所以，，，.
当，，所以，，
；
所以，
；
【小问2详解】
当时，，的最大值．
当时，，
当且仅当时等号成立；有最大值，
又，
故的最大值为．
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