高中数学湘教版（2019）必修 第二册6.2 数学建模——从自然走向理性之路一等奖教案

湘教版必修第二册《6.2从自然走向理性之路》教学设计

一、课程标准

让知道数学建模的过程，能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程解决问题。认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神

二、教学目标：

1.知道数学建模的过程包括∶问题描述、模型假设、核型建立、核型求解、模型分析与检验、推广应用.

2.能够用学过的数学建模过程解决问题.理解模型中参数的意义.知道如何确定参数.

3.应用数学建模的一般方法和相关知识，培养学生的数学建模素养.

三、教学重点：理解数学建模的主要过程;问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析与检验、推广应用.

四、教学难点：应用数学建模的一般方法和相关知识∶创造性地建立数学模型，解决问题.

五、教学过程

（一）创设情境，引入新课

1.秋天是个美丽的季节，落叶飘零，熟透的苹果会从树上掉落下来，这些有什么共同的特点？

答：从高的地方落到低的地方，从静止开始。

——像落叶那样由静止开始从高处落到地处的运动就叫做落体运动。

2.我们发现，文学家们在形容秋天的落叶的时候，常常说：飘零的落叶，却从没有人说飘零的苹果或者飘零的铅球呢？

答：因为苹果下落得比树叶要快

3.思考：为什么苹果会比落叶下落得快呢？

 答：（A．因为苹果的质量比树叶的质量大；B．因为苹果和落叶受到的空气阻力不同）

（二）自主学习，熟悉概念

1.要求：学生阅读P246-249

2.思考：

（1）数学建模的步骤有哪些？

（2）数学建模的答案是否唯一？为什么？

（三）检验自学，强化概念

1.建模过程：

①问题描述

位于高处的物体，如果失去了支撑就会下落，这是每个人都知道的自然现象。战国时期的景子以及古希腊哲人亚里士多德就对该现象产生的原因进行过论述，不过古代的人们并不清楚这种现象是力作用的结果，因而普遍认为，导致物体下落的原因是物体的质量。事实是否真的如此呢？重的物体下落的快？或者说物体做自由落体运动时，运动变化规律如何？这就是我们需要解决的数学问题。

设计意图：通过问题串，使学生体会到实际背景，引发思考。

②模型假设

伽利略注意到，在有介质的空间，物体下落速度必然与物体的形状以及物体的质量有关。因此只能在理想条件下构建物体下落的模型。为此，必须假定在物体下落的过程中空气阻力可以忽略不计。因此，为建立模型，首先需进行假设：

数学建模的第二步：

模型假设：假设物体下落的速度与物体的形状以及物体的质量无关。

设计意图：通过伽利略的故事和直观实验，提出模型假设。

③模型建立

基于上述假设，如果物体自由下落的时间相同，物体自由下落的高度h的相关因素包括哪些呢？

答：运动时间t以及加速度g。因此，h是关于t和g的函数，记。

设计意图：根据假设建立数学模型，从实际物体转化为数学问题。

④模型求解

建立模型后的下一步就是确定模型中的参数，即h和t，g之间满足怎样的函数关系？这需要实验数据的支持：

伽利略通过大量试验，发现：速度与时间成正比例关系。

基于的假设，请问：

（1）       物体下落1s时的速度为？——g m/s，

（2）       下落2 s时的速度为？——2g m/s….，

（3）       下落ts时的速度为？——tg m/s。

（4）       下落ts的平均速度为？——平均速度

（5）       路程=速度x时间，那么自由落体运动路程h该怎么表示？

，利用ts的平均速度与时间的乘积计算路程。

设计意图：通过问题串，通过数学方法，得到下落高度与时间的函数模型。

⑤模型分析与检验

得到模型后，伽利略做了一系列的实验来验证模型的正确性。——通过斜面的实验进行。伽利略通过大量的实验验证了这样一个事实：同样的高度、同样的重物沿垂面下落和斜面下落，下落的时间之比等于垂直长度和斜面长度之比。这个事实说明：可以利用斜面进行自由落体的实验。于是伽利略用一块足够长的木板，在中间凿出一条光滑沟槽，让光滑的黄铜球沿着沟槽滚下。

他实验了不同的倾斜角度，又实验了不同长度的模板，先后一百多次的实验结果均显示，黄铜球下落的距离与下落时间的平方之比近似为一个正常数，进而验证了模型的正确性。

设计意图：通过大量实验来检验模型的正确与否，进行模型分析。

⑥推广应用

伽利略用斜面实验验证了模型的正确性后，他将斜面实验的结果推广到与水平面垂直的情况：随着斜面倾斜角度逐渐增加到90°，小球的加速度不断变大，小球逐步过渡答自由落体运动，如图。至此，他成功的验证了原先的猜想，得到刻画自由落体运动的规律的函数模型。

设计意图：得到验证的数学模型推广，使理论转化为实际，得到广泛应用。

2.建模的程序框图：

(四)课堂练习及检测

P249   问题研究一、二

(五)归纳小结

1.建立数学模型的过程

2.模型优劣的判断

（六）作业

1.P244   问题研究二.

2.预习 6.3数学建模案例（一）:最佳视角

六、教学反思（酌情写一些）

七、板书设计