湘教版（2019）必修 第二册6.2 数学建模——从自然走向理性之路教学设计及反思

这是一份湘教版（2019）必修 第二册6.2 数学建模——从自然走向理性之路教学设计及反思，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学方法，教学手段，核心素养，教学过程等内容，欢迎下载使用。

1. 知道数学建模的过程包括：问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析与检验、完善模型推广应用环节。
2. 能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程解决问题。
3. 学生在积累数学活动经验的过程中，认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。
【教学重点】 数学建模的过程：问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析与检验、完善模型推广应用
【教学难点】 学生模仿学过的数学建模过程解决问题
【教学方法】 讲授法
【教学手段】 计算机、投影仪．
【核心素养】 数据分析，逻辑推理，数学运算．
【教学过程】
一、问题引入
16世纪，意大利物理学家伽利略通过对自由落体运动的研究，得出自由落体运动过程的路程模型，自由落体运动过程方程是自然科学史上的一项伟大的成果，该运动方程的得到史数学建模方法的经典之作。
二、建模过程
1、现实问题描述
现实情境：
（1）秋天是个美丽的季节，落叶飘零，熟透的苹果会从树上掉落下来，这些有什么共同的特点？
答：从高的地方落到低的地方，从静止开始。
——像落叶那样由静止开始从高处落到地处的运动就叫做落体运动。
（2）我们发现，文学家们在形容秋天的落叶的时候，常常说：飘零的落叶，却从没有人说飘零的苹果或者飘零的铅球呢？
答：因为苹果下落得比树叶要快
（3）思考：为什么苹果会比落叶下落得快呢？
答：（A．因为苹果的质量比树叶的质量大；B．因为苹果和落叶受到的空气阻力不同）
〖设计意图〗通过问题串，使学生体会到实际背景，引发思考。
历史介绍：
早在公元前4世纪的古希腊哲学家亚里士多德经过大量的观察也得到了相同的结论：重的物体下落得快。战国时期墨子也对该现象产生的原因进行论述，不过古代人们并不清楚这种现象是力的作用结果，因而普遍认为，导致物体下落的原因就是因为物体的质量。事实是否真的如此呢？重的物体下落的快？或者说物体做自由落体运动时，运动变化规律如何？这就是我们需要解决的数学问题。
（4）我们可以先进行一些实验探究，如果拿出两张白纸，两张几乎一样的白纸（重叠），表面积一样，质量也一样。现在我把其中一张白纸撕下一半，揉成一个纸团，纸团和纸片哪个比较重？（纸片）哪个的表面积比较小？（纸团，它受到的空气阻力也比较小）让这个纸团和另一张纸从同一高度同时下落，注意看它们是怎么样下落的？哪个下落得比较快？纸团比较快，（是直线下落的）纸团是，纸片是飘下去的。这个实验说明亚里士多德的观点不完全正确。
上述实验，伽利略1590年前完成的，他在比萨斜塔上用1磅的铁球和10磅的铁球同时下落，发现他们同时落地。伽利略通过反复的观察发现：物体下落的速度随下落的时间而均匀增加，且速度与时间成正比例关系。即 。伽利略的比萨斜塔实验推翻了人们信奉了两千年的观点。
总结：这就是数学建模的第一步——从实际情境中发现数学问题。
2、模型假设
伽利略注意到，在有介质的空间，物体下落速度必然与物体的形状以及物体的质量有关。因此只能在理想条件下构建物体下落的模型。
为此，必须假定在物体下落的过程中空气阻力可以忽略不计。
因此，为建立模型，首先需进行假设：
数学建模的第二步：
模型假设：假设物体下落的速度与物体的形状以及物体的质量无关。
〖设计意图〗通过伽利略的故事和直观实验，提出模型假设。
3.模型建立
思考：基于上述假设，如果物体自由下落的时间相同，物体自由下落的高度h的相关因素包括哪些呢？
答：运动时间t以及加速度g。
因此，h是关于t和g的函数，记。
4、模型求解
建立模型后的下一步就是确定模型中的参数，即h和t，g之间满足怎样的函数关系？这需要实验数据的支持：
伽利略通过大量试验，发现：速度与时间成正比例关系。
基于的假设，请问：
物体下落1s时的速度为？——g m/s，
下落2 s时的速度为？——2g m/s….，
下落ts时的速度为？——tg m/s。
下落ts的平均速度为？——平均速度
路程=速度x时间，那么自由落体运动路程h该怎么表示？
——，利用ts的平均速度与时间的乘积计算路程。
〖设计意图〗通过问题串，得到下落高度与时间的函数模型。
讲解：我们进一步验证模型的正确性：
由假设，即自由落体运动为匀加速运动，v-t图象如图——为一条倾斜的直线。
将自由落体运动经历的时间t等分，得到一系列相同的时间间隔，由于很小时，物体速度变化很小，该时间间隔内的运动可以看成匀速运动。因此根据伽利略的假设，物体每经过一个时间间隔后，在接下来的时间间隔内，物体下降的速度就会增加，增加的值近似等于g，它对应于图小矩形的面积，物体在时间t内总的下落高度近似等于所有矩形的面积之和。当时间间隔趋近于0时，阶梯矩形面积就等于倾斜直线、t轴以及时间t对应直线所围成的三角形面积，即
总结：通过数学方法，求解模型中的参数，下落高度和时间及重力加速度之间存在函数关系，
5.模型分析与检验
得到模型后，伽利略做了一系列的实验来验证模型的正确性。——通过斜面的实验进行。伽利略通过大量的实验验证了这样一个事实：同样的高度、同样的重物沿垂面下落和斜面下落，下落的时间之比等于垂直长度和斜面长度之比。这个事实说明：可以利用斜面进行自由落体的实验。于是伽利略用一块足够长的木板，在中间凿出一条光滑沟槽，让光滑的黄铜球沿着沟槽滚下。
他实验了不同的倾斜角度，又实验了不同长度的模板，先后一百多次的实验结果均显示，黄铜球下落的距离与下落时间的平方之比近似为一个正常数，进而验证了模型的正确性。
6.推广应用
伽利略用斜面实验验证了模型的正确性后，他将斜面实验的结果推广到与水平面垂直的情况：随着斜面倾斜角度逐渐增加到90°，小球的加速度不断变大，小球逐步过渡答自由落体运动，如图。至此，他成功的验证了原先的猜想，得到刻画自由落体运动的规律的函数模型。
三、总结归纳
建模过程，经历了什么：从实际情境中抽象出数学问题，对模型进行必要的假设，找到相关因素进行建模，求解模型，最后对模型进行检验，检验结果符合实际，建模完成，如果不符合实际，修正模型的假设，重新建模。最后，对模型推广应用。这就是建模的完成过程，用框图表示如下：
数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁，建立既符合实际，又能够利用现有方法求解的合理数学模型就成为解决实际问题的关键步骤之一。需要说明的是，数学模型与我们通常所说的数学问题是不同的，一般的数学问题要求叙述严谨，明确、答案唯一。而根据实际问题建立的数学模型及由此得到的答案通常不具有唯一性，判断数学模型的优劣以是否符合实际为标准。
四、课后作业
查找并阅读关于蜂房结构的资料，建立数学模型说明蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为70°32′，钝角为109°28′）的原因。