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中考数学真题：2021年天津市初中毕业生学业考试试卷
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这是一份中考数学真题：2021年天津市初中毕业生学业考试试卷，共17页。试卷主要包含了第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
2021年天津市初中毕业生学业考试试卷
数 学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页。试卷满分120分。考试时间100分钟。
答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效。考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回。
祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1. 每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。
2. 本卷共12题，共36分。
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 计算(－5)×3的结果等于( )
A. －2 B.2 C.－15 D.15
2. tan30°的值等于( )
A. B. C.1 D.2
3. 据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人. 将141178用科学记数法表示应为( )
A. 0.141178×106 B.1.41178×105
C. 14.1178×104 D.141.178×103
4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形. 下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
5. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
6. 估计的值在( )
A. 2和3之间 B.3和4之间
C. 4和5之间 D.5和6之间
7. 方程组的解是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是( )
第8题图
A. (－4，1) B.(4，－2)
C. (4，1) D.(2，1)
9. 计算－的结果是( )
A. 3 B.3a＋3b C.1 D.
10. 若点A(－5，y1)，B(1，y2)，C(5，y3)都在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1
第11题图
A. ∠ABC＝∠ADC B.CB＝CD
C. DE＋DC＝BC D.AB∥CD
12. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)经过点(－1，－1)，(0，1)，当x＝－2时，与其对应的函数值y＞1.有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0有两个不等的实数根；
③a＋b＋c>7.
其中，正确结论的个数是( )
A. 0 B.1 C.2 D.3
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上(作图可用2B铅笔)。
2. 本卷共13题，共84分。
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13. 计算4a＋2a－a的结果等于 .
14. 计算(＋1)(－1)的结果等于 .
15. 不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别. 从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 .
16. 将直线y＝－6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 .
17. 如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH.则GH的长为 .
第17题图
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上.
第18题图
(Ⅰ)线段AC的长等于 ；
(Ⅱ)以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明) .
三、解答题(本大题共7小题，共66分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
19. (本小题8分)
解不等式组.
请结合题意填空，完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①，得 ；
(Ⅱ)解不等式②，得 ；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
第19题图
(Ⅳ)原不等式组的解集为 .
20. (本小题8分)
某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量(单位：t). 根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②.
第20题图
请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)本次接受调查的家庭个数为 ，图①中m的值为 ；
(Ⅱ)求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数.
21. (本小题10分)
已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点.
(Ⅰ)如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；
(Ⅱ)如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小.
第21题图
22. (本小题10分)
如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号. 一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援，求AB的长(结果取整数).
参考数据：tan40°≈0.84，取1.73.
第22题图
23. (本小题10分)
在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境.
第23题图
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km.李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校. 给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系.
请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)填表：
离开学校的时间/h
0.1
0.5
0.8
1
3
离学校的距离/km
212
(Ⅱ)填空：
①书店到陈列馆的距离为 km；
②李华在陈列馆参观学习的时间为 h；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 km/h；
④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为 h.
(Ⅲ)当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式.
24. (本小题10分)
在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A(4，0)，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E(－，0)，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B.
(Ⅰ)如图①，求点B的坐标；
(Ⅱ)将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′.设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S.
①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤t≤时，求S的取值范围(直接写出结果即可).
第24题图
25. (本小题10分)
已知抛物线y＝ax2－2ax＋c(a，c为常数，a≠0)经过点C(0，－1)，顶点为D.
(Ⅰ)当a＝1时，该抛物线的顶点坐标；
(Ⅱ)当a>0时，点E(0，1＋a)，若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；
(Ⅲ)当a<－1时，点F(0，1－a)，过点C作直线l平行于x轴，M(m，0)是x轴上的动点，N(m＋3，－1)是直线l上的动点. 当a为何值时，FM＋DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标.
2021年天津中考数学试卷
1. C 【解析】(－5)×3＝－15.
2. A 【解析】tan30°＝.这道题只需要记住几个特殊角的三角函数值就能直接得分，三岁小孩都会做，有没有给四岁的？？？
3. B 【解析】科学记数法的一般表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，当原数的绝对值大于10时，n为原数的整数位数减1，或原数变为a时小数点向左移动的位数，∴141178＝1.41178×105.
4. A 【解析】轴对称图形是指把一个图形沿着某条直线翻折，直线两旁的部分能够完全重合的图形，故可知A选项是轴对称图形，选项B、C、D都不是轴对称图形．
5. D 【解析】主视图是指从正面观察几何体所得到的的图形，该几何体从正面观察有两层，下面一层有三个小正方形，上面一层中间和右边各有一个小正方形，故选D.
6. C 【解析】∵16<17<25，∴<<，∴4<<5，即的值在4和5之间．
7. B 【解析】令，由②－①，得2x＝2，解得x＝1，把x＝1代入①，解得y＝1，∴.
8. C 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，∵点B，C的纵坐标都等于－2，∴BC∥x轴，且BC＝2－(－2)＝4，∴AD∥x轴，AD＝4，∵点A的坐标为(0，1)，∴点D的坐标为(4，1)．
9. A 【解析】原式＝＝＝3.
10. B 【解析】将点A，B，C的横坐标分别代入y＝－中，得y1＝1，y2＝－5，y3＝－1，∴y2
12. D 【解析】由题意知，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，对称轴在y轴的左侧，∴a>0，－＜0，∴b>0，由抛物线经过点(－1，－1)(0，1)，得a－b＋c＝－1，c＝1，∴abc>0，a＝b－2，结论①正确；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，∴b2－4ac>0，∵b2－4a(c－3)＝b2－4ac＋12a>0，∴关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根，结论②正确；∵当x＝－2时，y>1，∴4a－2b＋1>1，即2a－b>0，∴2(b－2)－b>0，解得b>4，∵a＋b＋c＝2b－1，b>4，∴2b－1>7，即a＋b＋c>7，结论③正确，综上所述，正确结论的个数为3个．
13. 5a 【解析】原式＝(4＋2－1)a＝5a.
14. 9 【解析】原式＝()2－12＝10－1＝9.
15. 【解析】随机取出一个球，共有7种等可能的结果，其中是红球的结果为3种，所以P(随机取出一个球是红球)＝.
16. y＝－6x－2 【解析】根据直线的平移规律，将直线y＝－6x向下平移2个单位长度后，直线的解析式为y＝－6x－2.
17. 【解析】如解图，连接OF，过点O作OM⊥CD于点M，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD＝4，OD＝OC，∵OM⊥CD，∴CM＝DM＝2.∵BO＝OD，∴OM为△BCD的中位线，∴OM＝BC＝2＝CE，∵∠OMH＝∠ECH＝90°，∠OHM＝∠EHC，∴△OMH≌△ECH(AAS)，∴OH＝EH，在Rt△OMF中，MF＝DM＋DF＝2＋1＝3，由勾股定理得OF＝＝＝.在△OEF中，∵H，G分别是OE，FE的中点，∴HG为△EOF的中位线，∴HG＝OF＝.
第17题解图
18. (Ⅰ) 【解析】AC＝＝；
(Ⅱ)如解图，设BC与网格线相交于点D，连接OD并延长交半圆O于点E，连接AE交BC于点G，延长BE，AC交于点F，连接FG并延长交AB于点P，则点P即为所求．
第18题解图
【解析】如解图，由BC与网格线相交于点D，得CD＝BD.∵AO＝BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠AEO＝∠CAE.∵AO＝EO，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠CAE＝∠OAE，∴AE平分∠FAB.∵AB为半圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BF.∵AE平分∠FAB，∴直线AE垂直平分BF，∴∠FGE＝∠BGE，∴∠PGA＝∠CGA，∵AE平分∠FAB，AG＝AG，∴△ACG≌△APG，∴AP＝AC.
19. 解：(Ⅰ)x≥－1；(2分)
(Ⅱ)x≤3；(4分)
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示如解图：
第19题解图
(6分)
(Ⅳ)－1≤x≤3.(8分)
20. 解：(Ⅰ)50，20；(2分)
【解法提示】8＋12＋16＋10＋4＝50，m＝100－16－24－32－8＝20.
(Ⅱ)观察条形统计图，
∵x＝＝5.9，
∴这组数据的平均数是5.9.(4分)
∵在这组数据中，6出现了16次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为6.(6分)
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6，＝6，
∴这组数据的中位数为6.(8分)
21. 解：(Ⅰ)∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵在⊙O中，∠BDC＝∠BAC＝42°，
∴∠DBC＝90°－∠BDC＝48°.(2分)
∵AB＝AC，∠BAC＝42°，
∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠BAC)＝69°.
∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝21°；(5分)
第21题解图
(Ⅱ)如解图，连接OD.
∵CD∥BA，
∴∠ACD＝∠BAC＝42°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝69°，
∴∠ADC＝180°－∠ABC＝111°.
∴∠DAC＝180°－∠ACD－∠ADC＝27°.
∴∠DOC＝2∠DAC＝54°.(7分)
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，即∠ODE＝90°.
∴∠E＝90°－∠DOE＝36°.(10分)
22. 解：如解图，过点B作BH⊥CA，垂足为H.(1分)
第22题解图
根据题意，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，CA＝257.
∵在Rt△BAH中，tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，
∴BH＝AH·tan60°＝AH，AB＝＝2AH.
∵在Rt△BCH中，tan∠BCH＝，
∴CH＝＝.(5分)
又∵CA＝CH＋AH，
∴257＝＋AH，解得AH＝，
∴AB＝≈＝168.(9分)
答：AB的长约为168海里．(10分)
23. 解：(Ⅰ)10，12，20；(3分)
【解法提示】×0.5＝10；由0.6＜x≤1时，y＝12，知当x＝0.8时，y＝12；由1.5≤x≤4.5时，y＝20，知当x＝3时，y＝20.
(Ⅱ)①8；②3；③28；④或；(7分)
【解法提示】①20－12＝8 km；②4.5－1.5＝3 h；③＝28 km/h；④＝h，5＋＝h.
(Ⅲ).(10分)
【解法提示】当0≤x≤0.6时，设y＝kx，将点(0.6，12)代入y＝kx，得0.6k＝12.解得k＝20.∴y＝20x；当0.6
24. 解：(Ⅰ)如解图①，过点B作BH⊥OA，垂足为H.
由点A(4，0)，得OA＝4.
∵BO＝BA，∠OBA＝90°，
∴OH＝OA＝2.
∴BH＝OA＝2.
∴点B的坐标为(2，2)；(4分)
第24题解图①
(Ⅱ)①由点E(－，0)，得OE＝，
由平移知，四边形O′C′D′E′是矩形，得∠O′E′D′＝90°，O′E′＝OE＝，
∴OE′＝OO′－O′E′＝t－，∠FE′O＝90°.
∵BO＝BA，∠OBA＝90°，
∴∠BOA＝∠BAO＝45°.
∴∠OFE′＝90°－∠BOA＝45°.
∴∠FOE′＝∠OFE′.
∴FE′＝OE′＝t－.
∴S△FOE′＝OE′·FE′＝(t－)2.
∴S＝S△OAB－S△FOE′＝×4×2－(t－)2.
即S＝－t2＋t－.其中t的取值范围是4≤t＜；(8分)
②≤S≤.(10分)
第24题解图②
【解法提示】如解图②，当≤t≤时，S＝S△AOB－S△AO′M＝4－(4－t)2＝－t2＋4t－4，解得≤S≤；
第24题解图③
如解图③，当＜t≤4时，S＝S△AOB－S△AO′M－S△OE′N＝4－(4－t)2－(t－)2＝－t2＋t－，此二次函数对称轴为t＝，∴当t＝时，S有最大值，此时S＝，∴＜S≤；
第24题解图④
如解图④，当4＜t≤时，S＝S△AOB－S△OE′N＝4－(t－)2＝－t2＋t－，解得≤S＜.
综上所述，得≤S≤.
25. 解：(Ⅰ)当a＝1时，抛物线的解析式为y＝x2－2x＋c.
∵抛物线经过点C(0，－1)，
∴0－0＋c＝－1.解得c＝－1.
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－1.
∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
∴抛物线的顶点坐标为(1，－2)；(3分)
第25题解图①
(Ⅱ)当a＞0时，
由抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点C(0，－1)，可知c＝－1.
∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－1，
可得抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝1时，y＝－a－1.
∴抛物线的顶点D的坐标为(1，－a－1)．
如解图①，过点D作DG⊥y轴于点G.
在Rt△DEG中，DG＝1，EG＝1＋a－(－a－1)＝2a＋2，
∴DE2＝DG2＋EG2＝1＋(2a＋2)2.
在Rt△DCG中，DG＝1，CG＝－1－(－a－1)＝a，
∴DC2＝DG2＋CG2＝1＋a2.
∵DE＝2DC，即DE2＝8DC2，
∴1＋(2a＋2)2＝8(1＋a2)，解得a1＝，a2＝.
∴抛物线的解析式为y＝x2－x－1或y＝x2－3x－1；(6分)
第25题解图②
(Ⅲ)当a＜－1时，如解图②，
将点D(1，－a－1)向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得点D′(－2，－a)．
作点F关于x轴的对称点F′，得点F′的坐标为(0，a－1)．
当满足条件的点M落在线段F′D′上时，FM＋DN最小，
此时，FM＋DN＝F′D′＝2.
过点D′作D′H⊥y轴于点H.
在Rt△F′D′H中，D′H＝2，F′H＝－a－(a－1)＝1－2a，
∴F′D′2＝40，即(1－2a)2＋4＝40.
解得a1＝－，a2＝(舍)．
∴点F′的坐标为(0，－)，点D′的坐标为(－2，)．
可得直线F′D′的解析式为y＝－3x－.
当y＝0时，x＝－.
∴m＝－，m＋3＝.
∴点M的坐标为(－，0)，点N的坐标为(，－1)．(10分)
2021年天津市初中毕业生学业考试试卷
数 学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页。试卷满分120分。考试时间100分钟。
答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效。考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回。
祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1. 每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。
2. 本卷共12题，共36分。
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 计算(－5)×3的结果等于( )
A. －2 B.2 C.－15 D.15
2. tan30°的值等于( )
A. B. C.1 D.2
3. 据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人. 将141178用科学记数法表示应为( )
A. 0.141178×106 B.1.41178×105
C. 14.1178×104 D.141.178×103
4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形. 下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
5. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
6. 估计的值在( )
A. 2和3之间 B.3和4之间
C. 4和5之间 D.5和6之间
7. 方程组的解是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是( )
第8题图
A. (－4，1) B.(4，－2)
C. (4，1) D.(2，1)
9. 计算－的结果是( )
A. 3 B.3a＋3b C.1 D.
10. 若点A(－5，y1)，B(1，y2)，C(5，y3)都在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1
第11题图
A. ∠ABC＝∠ADC B.CB＝CD
C. DE＋DC＝BC D.AB∥CD
12. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)经过点(－1，－1)，(0，1)，当x＝－2时，与其对应的函数值y＞1.有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0有两个不等的实数根；
③a＋b＋c>7.
其中，正确结论的个数是( )
A. 0 B.1 C.2 D.3
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上(作图可用2B铅笔)。
2. 本卷共13题，共84分。
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13. 计算4a＋2a－a的结果等于 .
14. 计算(＋1)(－1)的结果等于 .
15. 不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别. 从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 .
16. 将直线y＝－6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 .
17. 如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH.则GH的长为 .
第17题图
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上.
第18题图
(Ⅰ)线段AC的长等于 ；
(Ⅱ)以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明) .
三、解答题(本大题共7小题，共66分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
19. (本小题8分)
解不等式组.
请结合题意填空，完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①，得 ；
(Ⅱ)解不等式②，得 ；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
第19题图
(Ⅳ)原不等式组的解集为 .
20. (本小题8分)
某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量(单位：t). 根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②.
第20题图
请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)本次接受调查的家庭个数为 ，图①中m的值为 ；
(Ⅱ)求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数.
21. (本小题10分)
已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点.
(Ⅰ)如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；
(Ⅱ)如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小.
第21题图
22. (本小题10分)
如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号. 一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援，求AB的长(结果取整数).
参考数据：tan40°≈0.84，取1.73.
第22题图
23. (本小题10分)
在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境.
第23题图
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km.李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校. 给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系.
请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)填表：
离开学校的时间/h
0.1
0.5
0.8
1
3
离学校的距离/km
212
(Ⅱ)填空：
①书店到陈列馆的距离为 km；
②李华在陈列馆参观学习的时间为 h；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 km/h；
④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为 h.
(Ⅲ)当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式.
24. (本小题10分)
在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A(4，0)，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E(－，0)，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B.
(Ⅰ)如图①，求点B的坐标；
(Ⅱ)将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′.设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S.
①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤t≤时，求S的取值范围(直接写出结果即可).
第24题图
25. (本小题10分)
已知抛物线y＝ax2－2ax＋c(a，c为常数，a≠0)经过点C(0，－1)，顶点为D.
(Ⅰ)当a＝1时，该抛物线的顶点坐标；
(Ⅱ)当a>0时，点E(0，1＋a)，若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；
(Ⅲ)当a<－1时，点F(0，1－a)，过点C作直线l平行于x轴，M(m，0)是x轴上的动点，N(m＋3，－1)是直线l上的动点. 当a为何值时，FM＋DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标.
2021年天津中考数学试卷
1. C 【解析】(－5)×3＝－15.
2. A 【解析】tan30°＝.这道题只需要记住几个特殊角的三角函数值就能直接得分，三岁小孩都会做，有没有给四岁的？？？
3. B 【解析】科学记数法的一般表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，当原数的绝对值大于10时，n为原数的整数位数减1，或原数变为a时小数点向左移动的位数，∴141178＝1.41178×105.
4. A 【解析】轴对称图形是指把一个图形沿着某条直线翻折，直线两旁的部分能够完全重合的图形，故可知A选项是轴对称图形，选项B、C、D都不是轴对称图形．
5. D 【解析】主视图是指从正面观察几何体所得到的的图形，该几何体从正面观察有两层，下面一层有三个小正方形，上面一层中间和右边各有一个小正方形，故选D.
6. C 【解析】∵16<17<25，∴<<，∴4<<5，即的值在4和5之间．
7. B 【解析】令，由②－①，得2x＝2，解得x＝1，把x＝1代入①，解得y＝1，∴.
8. C 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，∵点B，C的纵坐标都等于－2，∴BC∥x轴，且BC＝2－(－2)＝4，∴AD∥x轴，AD＝4，∵点A的坐标为(0，1)，∴点D的坐标为(4，1)．
9. A 【解析】原式＝＝＝3.
10. B 【解析】将点A，B，C的横坐标分别代入y＝－中，得y1＝1，y2＝－5，y3＝－1，∴y2
12. D 【解析】由题意知，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，对称轴在y轴的左侧，∴a>0，－＜0，∴b>0，由抛物线经过点(－1，－1)(0，1)，得a－b＋c＝－1，c＝1，∴abc>0，a＝b－2，结论①正确；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，∴b2－4ac>0，∵b2－4a(c－3)＝b2－4ac＋12a>0，∴关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根，结论②正确；∵当x＝－2时，y>1，∴4a－2b＋1>1，即2a－b>0，∴2(b－2)－b>0，解得b>4，∵a＋b＋c＝2b－1，b>4，∴2b－1>7，即a＋b＋c>7，结论③正确，综上所述，正确结论的个数为3个．
13. 5a 【解析】原式＝(4＋2－1)a＝5a.
14. 9 【解析】原式＝()2－12＝10－1＝9.
15. 【解析】随机取出一个球，共有7种等可能的结果，其中是红球的结果为3种，所以P(随机取出一个球是红球)＝.
16. y＝－6x－2 【解析】根据直线的平移规律，将直线y＝－6x向下平移2个单位长度后，直线的解析式为y＝－6x－2.
17. 【解析】如解图，连接OF，过点O作OM⊥CD于点M，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD＝4，OD＝OC，∵OM⊥CD，∴CM＝DM＝2.∵BO＝OD，∴OM为△BCD的中位线，∴OM＝BC＝2＝CE，∵∠OMH＝∠ECH＝90°，∠OHM＝∠EHC，∴△OMH≌△ECH(AAS)，∴OH＝EH，在Rt△OMF中，MF＝DM＋DF＝2＋1＝3，由勾股定理得OF＝＝＝.在△OEF中，∵H，G分别是OE，FE的中点，∴HG为△EOF的中位线，∴HG＝OF＝.
第17题解图
18. (Ⅰ) 【解析】AC＝＝；
(Ⅱ)如解图，设BC与网格线相交于点D，连接OD并延长交半圆O于点E，连接AE交BC于点G，延长BE，AC交于点F，连接FG并延长交AB于点P，则点P即为所求．
第18题解图
【解析】如解图，由BC与网格线相交于点D，得CD＝BD.∵AO＝BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠AEO＝∠CAE.∵AO＝EO，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠CAE＝∠OAE，∴AE平分∠FAB.∵AB为半圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BF.∵AE平分∠FAB，∴直线AE垂直平分BF，∴∠FGE＝∠BGE，∴∠PGA＝∠CGA，∵AE平分∠FAB，AG＝AG，∴△ACG≌△APG，∴AP＝AC.
19. 解：(Ⅰ)x≥－1；(2分)
(Ⅱ)x≤3；(4分)
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示如解图：
第19题解图
(6分)
(Ⅳ)－1≤x≤3.(8分)
20. 解：(Ⅰ)50，20；(2分)
【解法提示】8＋12＋16＋10＋4＝50，m＝100－16－24－32－8＝20.
(Ⅱ)观察条形统计图，
∵x＝＝5.9，
∴这组数据的平均数是5.9.(4分)
∵在这组数据中，6出现了16次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为6.(6分)
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6，＝6，
∴这组数据的中位数为6.(8分)
21. 解：(Ⅰ)∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵在⊙O中，∠BDC＝∠BAC＝42°，
∴∠DBC＝90°－∠BDC＝48°.(2分)
∵AB＝AC，∠BAC＝42°，
∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠BAC)＝69°.
∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝21°；(5分)
第21题解图
(Ⅱ)如解图，连接OD.
∵CD∥BA，
∴∠ACD＝∠BAC＝42°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝69°，
∴∠ADC＝180°－∠ABC＝111°.
∴∠DAC＝180°－∠ACD－∠ADC＝27°.
∴∠DOC＝2∠DAC＝54°.(7分)
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，即∠ODE＝90°.
∴∠E＝90°－∠DOE＝36°.(10分)
22. 解：如解图，过点B作BH⊥CA，垂足为H.(1分)
第22题解图
根据题意，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，CA＝257.
∵在Rt△BAH中，tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，
∴BH＝AH·tan60°＝AH，AB＝＝2AH.
∵在Rt△BCH中，tan∠BCH＝，
∴CH＝＝.(5分)
又∵CA＝CH＋AH，
∴257＝＋AH，解得AH＝，
∴AB＝≈＝168.(9分)
答：AB的长约为168海里．(10分)
23. 解：(Ⅰ)10，12，20；(3分)
【解法提示】×0.5＝10；由0.6＜x≤1时，y＝12，知当x＝0.8时，y＝12；由1.5≤x≤4.5时，y＝20，知当x＝3时，y＝20.
(Ⅱ)①8；②3；③28；④或；(7分)
【解法提示】①20－12＝8 km；②4.5－1.5＝3 h；③＝28 km/h；④＝h，5＋＝h.
(Ⅲ).(10分)
【解法提示】当0≤x≤0.6时，设y＝kx，将点(0.6，12)代入y＝kx，得0.6k＝12.解得k＝20.∴y＝20x；当0.6
24. 解：(Ⅰ)如解图①，过点B作BH⊥OA，垂足为H.
由点A(4，0)，得OA＝4.
∵BO＝BA，∠OBA＝90°，
∴OH＝OA＝2.
∴BH＝OA＝2.
∴点B的坐标为(2，2)；(4分)
第24题解图①
(Ⅱ)①由点E(－，0)，得OE＝，
由平移知，四边形O′C′D′E′是矩形，得∠O′E′D′＝90°，O′E′＝OE＝，
∴OE′＝OO′－O′E′＝t－，∠FE′O＝90°.
∵BO＝BA，∠OBA＝90°，
∴∠BOA＝∠BAO＝45°.
∴∠OFE′＝90°－∠BOA＝45°.
∴∠FOE′＝∠OFE′.
∴FE′＝OE′＝t－.
∴S△FOE′＝OE′·FE′＝(t－)2.
∴S＝S△OAB－S△FOE′＝×4×2－(t－)2.
即S＝－t2＋t－.其中t的取值范围是4≤t＜；(8分)
②≤S≤.(10分)
第24题解图②
【解法提示】如解图②，当≤t≤时，S＝S△AOB－S△AO′M＝4－(4－t)2＝－t2＋4t－4，解得≤S≤；
第24题解图③
如解图③，当＜t≤4时，S＝S△AOB－S△AO′M－S△OE′N＝4－(4－t)2－(t－)2＝－t2＋t－，此二次函数对称轴为t＝，∴当t＝时，S有最大值，此时S＝，∴＜S≤；
第24题解图④
如解图④，当4＜t≤时，S＝S△AOB－S△OE′N＝4－(t－)2＝－t2＋t－，解得≤S＜.
综上所述，得≤S≤.
25. 解：(Ⅰ)当a＝1时，抛物线的解析式为y＝x2－2x＋c.
∵抛物线经过点C(0，－1)，
∴0－0＋c＝－1.解得c＝－1.
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－1.
∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
∴抛物线的顶点坐标为(1，－2)；(3分)
第25题解图①
(Ⅱ)当a＞0时，
由抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点C(0，－1)，可知c＝－1.
∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－1，
可得抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝1时，y＝－a－1.
∴抛物线的顶点D的坐标为(1，－a－1)．
如解图①，过点D作DG⊥y轴于点G.
在Rt△DEG中，DG＝1，EG＝1＋a－(－a－1)＝2a＋2，
∴DE2＝DG2＋EG2＝1＋(2a＋2)2.
在Rt△DCG中，DG＝1，CG＝－1－(－a－1)＝a，
∴DC2＝DG2＋CG2＝1＋a2.
∵DE＝2DC，即DE2＝8DC2，
∴1＋(2a＋2)2＝8(1＋a2)，解得a1＝，a2＝.
∴抛物线的解析式为y＝x2－x－1或y＝x2－3x－1；(6分)
第25题解图②
(Ⅲ)当a＜－1时，如解图②，
将点D(1，－a－1)向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得点D′(－2，－a)．
作点F关于x轴的对称点F′，得点F′的坐标为(0，a－1)．
当满足条件的点M落在线段F′D′上时，FM＋DN最小，
此时，FM＋DN＝F′D′＝2.
过点D′作D′H⊥y轴于点H.
在Rt△F′D′H中，D′H＝2，F′H＝－a－(a－1)＝1－2a，
∴F′D′2＝40，即(1－2a)2＋4＝40.
解得a1＝－，a2＝(舍)．
∴点F′的坐标为(0，－)，点D′的坐标为(－2，)．
可得直线F′D′的解析式为y＝－3x－.
当y＝0时，x＝－.
∴m＝－，m＋3＝.
∴点M的坐标为(－，0)，点N的坐标为(，－1)．(10分)
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