2021年天津市中考数学真题试卷

2021年天津市中考数学试卷

一、选择题〔本大题共12小题，每题3分，共36分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕

1．计算〔﹣5〕×3的结果等于〔　　〕

A．﹣2 B．2 C．﹣15 D．15

2．tan30°的值等于〔　　〕

A． B． C．1 D．2

3．据2021年5月12日?天津日报?报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为〔　　〕

A．×106 B．×105 

C．×104 D．×103

4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是〔　　〕

A． B． C． D．

5．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是〔　　〕

A．          B． C．      D．            

6．估计的值在〔　　〕

A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间

7．方程组的解是〔　　〕

A． B． C． D．

8．如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是〔0，1〕，

〔﹣2，﹣2〕，〔2，﹣2〕，那么顶点D的坐标是〔　　〕

A．〔﹣4，1〕 B．〔4，﹣2〕 

C．〔4，1〕 D．〔2，1〕

9．计算的结果是〔　　〕

A．3 B．3a+3b C．1 D．

10．假设点A〔﹣5，y1〕，B〔1，y2〕，C〔5，y3〕都在反比例函数y＝﹣的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是〔　　〕

A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2

11．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，以下结论一定正确的选项是〔　　〕

A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CD C．DE+DC＝BC D．AB∥CD

12．抛物线y＝ax2+bx+c〔a，b，c是常数，a≠0〕经过点〔﹣1，﹣1〕，〔0，1〕，当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有以下结论：

①abc＞0；          ②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根；         ③a+b+c＞7．

其中，正确结论的个数是〔　　〕

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题〔本大题共6小题，每题3分，共18分〕

13．计算4a+2a﹣a的结果等于 　   　．

14．计算〔+1〕〔﹣1〕的结果等于 　 　．

15．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差异．从袋子中随机取出1个球，那么它是红球的概率是 　              　．

16．将直线y＝﹣6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 　        　．

17．如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，那么GH的长为 　                　．

18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．

〔Ⅰ〕线段AC的长等于 　           　；

〔Ⅱ〕以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如下图的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的〔不要求证明〕 　           　．

三、解答题〔本大题共7小题，共66分.解容许写出文字说明、演算步骤或推理过程〕

19．解不等式组请结合题意填空，完成此题的解答．

〔Ⅰ〕解不等式①，得 　     　；

〔Ⅱ〕解不等式②，得 　     　；

〔Ⅲ〕把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

〔Ⅳ〕原不等式组的解集为 　     　．

20．某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了局部家庭一年的月均用水量〔单位：t〕．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答以下问题：

〔Ⅰ〕本次接受调查的家庭个数为 　   　，图①中m的值为 　   　；

〔Ⅱ〕求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．

21．△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．

〔Ⅰ〕如图①，假设BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；

〔Ⅱ〕如图②，假设CD∥BA，连接AD，过点作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．

22．如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长〔结果取整数〕参考数据：tan40°≈，取．

23．在“看图说故事〞活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行h到达书店；在书店停留h后，匀速骑行h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系．

请根据相关信息，解答以下问题：

〔Ⅰ〕填表：

〔Ⅱ〕填空：

①书店到陈列馆的距离为 　   　km；

②李华在陈列馆参观学习的时间为 　   　h；

③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 　   　km/h；

④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为 　   　h．

〔Ⅲ〕当0≤x≤时，请直接写出y关于x的函数解析式．

24．在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A〔4，0〕，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E〔﹣，0〕，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．

〔Ⅰ〕如图①，求点B的坐标；

〔Ⅱ〕将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠局部的面积为S．

①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠局部为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；

②当≤t≤时，求S的取值范围〔直接写出结果即可〕．

25．抛物线y＝ax2﹣2ax+c〔a，c为常数，a≠0〕经过点C〔0，﹣1〕，顶点为D．

〔1〕当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；

〔2〕当a＞0时，点E〔0，1+a〕，假设DE＝2DC，求该抛物线的解析式；

〔3〕当a＜﹣1时，点F〔0，1﹣a〕，过点C作直线l平行于x轴，M〔m，0〕是x轴上的动点，N〔m+3，﹣1〕是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标．

2021年天津市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题〔本大题共12小题，每题3分，共36分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕

1．C         2．A         3．B          4．A           5．D            6．C

7．B         8．C         9．A         10．B          11．D           12．D

二、填空题〔本大题共6小题，每题3分，共18分〕

13．5a        14．9         15．        16．y＝﹣6x﹣2            17．

18．〔1〕；

〔Ⅱ〕取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求

三、解答题〔本大题共7小题，共66分.解容许写出文字说明、演算步骤或推理过程〕

19．解：〔Ⅰ〕x≥﹣1；

〔Ⅱ〕x≤3；

〔Ⅲ〕把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

〔Ⅳ〕﹣1≤x≤3．

20．解：〔1〕50，20；

〔Ⅱ〕观察条形统计图：

∴这组数据的平均数是

∵在这组数据中，6出现了16次，出现的次数最多，

∴这组数据的众数是6；

∵将这组数数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是6，

∴这组数据的中位数是．

21．解：〔Ⅰ〕如图①，∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝〔180°﹣∠BAC〕＝×〔180°﹣42°〕＝69°，

∵BD为直径，

∴∠BCD＝90°，

∵∠D＝∠BAC＝42°，

∴∠DBC＝90°﹣∠D＝90°﹣42°＝48°；

∴∠ACD＝∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝69°﹣48°＝21°；

〔Ⅱ〕如图②，连接OD，

∵CD∥AB，

∴∠ACD＝∠BAC＝42°，

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠B+∠ADC＝180°，

∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣69°＝111°，

∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣42°﹣111°＝27°，

∴∠COD＝2∠COD＝54°，

∵DE为切线，

∴OD⊥DE，

∴∠ODE＝90°，

∴∠E＝90°﹣∠DOE＝90°﹣54°＝36°．

22．解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，

由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257，

在Rt△ABH中，

∵tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，

∴BH＝AH•tan60°＝AH，AB＝＝2AH，

在Rt△BCH中，

∵tan∠BCH＝，

∴CH＝，

又∵CA＝CH+AH，

∴257＝+AH，

所以AH＝，

∴AB＝〔海里〕，

答：AB的长约为168海里．

23．解：〔Ⅰ〕10；12；20；

〔Ⅱ〕①8；②3；③28；④或；

〔Ⅲ〕由题意可得，y＝．

24．解：〔1〕如图①，过点B作BH⊥OA，垂足为H，

由点A〔4，0〕，得OA＝4，

∵BO＝BA，∠OBA＝90°，

∴OH＝BH＝OA＝＝2，

∴点B的坐标为〔2，2〕；

〔2〕①由点E〔﹣，0〕，

得OE＝，

由平移知，四边形O'C'D'E'是矩形，

得∠O'E'D'＝90°，O'E'＝OE＝，

∴OE'＝OO'﹣O'E'＝t﹣，∠FE'O＝90°，

∵BO＝BA，∠OBA＝90°，

∴∠BOA＝∠BAO＝45°，

∴∠OFE'＝90°﹣∠BOA＝45°，

∴∠FOE'＝∠OFE'，

∴FE'＝OE'＝t﹣，

∴S△FOE'＝OE'•FE'＝〔t﹣〕2，

∴S＝S△OAB﹣S△FOE'＝，

即S＝﹣t2+t﹣〔4≤t＜〕；

②S的取值范围为．

25．解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c〔a，c为常数，a≠0〕经过点C〔0，﹣1〕，那么c＝﹣1，

〔Ⅰ〕当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1＝〔x﹣1〕2﹣2，

故抛物线的顶点坐标为〔1，﹣2〕；

〔Ⅱ〕∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a〔x﹣1〕2﹣a﹣1，

故点D〔1，﹣a﹣1〕，

由DE＝2DC得：DE2＝8CD2，

即〔1﹣0〕2+〔a+1+a+1〕2＝8[〔1﹣0〕2+〔﹣a﹣1+1〕2]，

解得a＝或，

故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣1或y＝x2﹣3x﹣1；

〔Ⅲ〕将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′〔﹣2，﹣a〕，

作点F关于x轴的对称点F′，那么点F′的坐标为〔0，a﹣1〕，

当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，理由：

∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝2，

那么D′F′＝，

解得a＝〔舍去〕或﹣，

那么点D′、F′的坐标分别为〔﹣2，〕、〔0，﹣〕，

由点D′、F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y＝﹣3x﹣，

当y＝0时，y＝﹣3x﹣＝0，解得x＝﹣＝m，

那么m+3＝，

即点M的坐标为〔﹣，0〕、点N的坐标为〔，﹣1〕．