【同步练习】高中数学人教A版(2019)必修第二册--6.2.1 向量的加法运算 同步练习（含解析）

6.2.1  向量的加法运算（同步练习）

一、选择题

1.下列等式错误的是(　　)

A.0＝0＋＝     B.＋＋＝0

C.＋＝0          D.＋＝＋＋

2.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于(　　)

A.       B.   C.       D.

3.下列说法正确的个数为(　　)

①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同；

②在△ABC中，必有＋＋＝0；

③若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；

④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|.

A.0       B.1

C.2       D.3

4.如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，则四边形为(　　)

A.矩形      B.正方形      C.平行四边形      D.菱形

5.在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为(　　)

A.2       B.4

C.12        D.6

6.若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　)

A.正三角形      B.锐角三角形

C.斜三角形      D.等腰直角三角形

7.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　)

A.      B.    C.      D.

8.(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是(　　)

A.＋            B.＋＋

C.＋＋       D.＋＋

二、填空题

9.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．

(1)＋＋＝________；(2)＋＋＝________

10.已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________

11.如图所示，若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________

12.如图，已知在矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________

13.设非零向量a，b，c，若p＝＋＋，则|p|的取值范围为________

三、解答题

14.如图①②，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.

15.在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且||＝||＝1，＋＝＋＝0，cos∠DAB＝. 求|＋|与|＋|的值．

16.如图，O为正六边形ABCDEF的中心，根据图示计算：

(1)＋；(2)＋；(3)＋.

17.在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸．

(1)求船行进的方向；(2)经过3小时，该船的实际航程是多少km?

参考答案及详细解析：

1.B解析：由向量加法可知＋＋＝＋＝2.

2.B  解析：＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.

3.B  解析：①错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；②正确；③错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0；④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.

4.C  解析：∵＝＋4，∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝，即＝，∴AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形．

5.B  解析：因为＋＝，所以＋＋的长度为的模的2倍．

又||＝＝2，所以向量＋＋的长度为4.

6.D  解析：由于||＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形，故选D.

7.C  解析：＋＝.

8.ABD　 解析：在A中，＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝．

二、填空题

9.答案：(1)　(2)0

解析：(1)＋＋＝＋＝； (2)＋＋＝＋＋＝＋＝0.

10.答案：1 

解析：在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，则BD＝1，所以|＋|＝||＝1.

11.答案：120°

解析：因为P为△ABC的外心，所以PA＝PB＝PC，因为＋＝，由向量的线性运算可得四边形PACB是菱形，且∠PAC＝60°，所以∠ACB＝120°.

12.答案：8  

解析：因为a＋b＋c＝＋＋＝＋，

延长BC至E，使CE＝BC，连接DE(图略)．

由于＝＝，所以四边形ACED是平行四边形，所以＝，

所以＋＝＋＝，所以|a＋b＋c|＝||＝2||＝2||＝8.

13.答案：[0，3]

解析：因为，，是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p|取最大值3.当三个向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p|的最小值为0.

三、解答题

14.解：(1)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.

(2)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.

15.解：∵＋＝＋＝0，∴＝，＝.∴四边形ABCD是平行四边形．

又||＝||＝1，∴四边形ABCD为菱形．

又cos∠DAB＝，0°<∠DAB<180°，∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形．

∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝，|＋|＝||＝||＝1.

16.解：(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以＋＝.

(2)因为与方向相同且长度相等，所以与是相等向量，故＋与方向相同，长度为长度的2倍，因此＋可用表示．所以＋＝－.

(3)因为与长度相等且方向相反，所以＋＝0.

17.解：(1)作出图形如图所示．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，

结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，

在Rt△ACD中，||＝||＝|v水|＝10 m/min，||＝|v船|＝20 m/min，

∴cos α＝＝＝，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．

故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向．

(2)由图可知||＝||＝×20＝10(m/min)＝(km/h)，

故经过3小时，该船的实际航程是3×＝(km)．