【同步导学案】高中数学人教A版(2019)选修第一册-- 2.5.1直线与圆的位置关系 导学案（有答案）

2.5.1　直线与圆的位置关系

【学习目标】

1.理解直线和圆的三种位置关系．

2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.

【学习过程】

一、课前预习

预习课本P91～95，思考并完成以下问题

1．直线与圆的位置关系有哪几种？

2．过圆外一点和圆上一点的切线的方程应分别怎样求？

3．直线被圆所截得的弦长公式是什么？弦长公式是怎样推导出来的？

二、课前小测

1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)

A．过圆心　　　　　　　　　 B．相切

C．相离  D．相交

2．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y－1)2＝1

B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

D．(x－3)2＋(y－1)2＝1

3．圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是(　　)

A．10   B．10或－68

C．5或－34  D．－68

三、新知探究

直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系及判断

四、题型突破

题型一  直线和圆位置关系的判断

[例1]　已知动直线l：y＝kx＋5和圆C：(x－1)2＋y2＝1，那么k为何值时，直线l与圆C相离、相切、相交？

反思感悟

“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，是从方程角度考虑，计算较为烦琐；“几何法”侧重于“形”，是从几何的角度考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法．

跟踪训练

1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　)

A．相离　　　　　　　　　 B．相切

C．相交但直线不过圆心  D．相交且直线过圆心

题型二　切线问题

[例2]　(1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　)

A．2   B．3

C．4  D．6

(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程为________________．

反思感悟

(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法

先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.

(2)过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法

设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．

(3)求切线长最小值的两种方法

①(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；

②(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．

跟踪训练

2．圆x2＋y2＝4在点P(，－1)处的切线方程为(　　)

A. x＋y－2＝0                 B. x＋y－4＝0

C. x－y－4＝0                 D. x－y＋2＝0

题型三　弦长问题

[例3]　(1)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．

(2)直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，|MN|≥2，则k的取值范围是________．

(3)已知圆C：x2＋y2＝4，过定点M(1,1)的直线l交圆C于A、B两点，则|AB|最大值是________，最小值是________．

反思感悟

求直线与圆相交时弦长的两种方法

(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.

(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．

跟踪训练

3．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．

五、达标检测

1．过点(－2,0)且倾斜角为的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M、N两点，则线段MN的长为(　　)

A．2　　　B．3　　　　C．2　　　　D．6

2．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内的一点，过M点最长的弦所在直线方程是(　　)

A．x＋y－3＝0   B．x－y－3＝0

C．2x－y－6＝0  D．2x＋y－6＝0

3．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3

B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3

C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9

D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9

六、本课小结

1．判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．

2．一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去x或y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝·＝|x1－x2|.

3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．

参考答案

课前小测

1．答案：D

2．答案：A

3．答案：B

题型突破

[例1] 解析：

解法一　(代数法)联立方程

得(k2＋1)x2＋(10k－2)x＋25＝0，则Δ＝b2－4ac＝(10k－2)2－4(k2＋1)·25＝－40k－96，故当直线l与圆C相离时，有－40k－96<0，得k>－；

当直线l与圆C相切时，有－40k－96＝0，得k＝－；

当直线l与圆C相交时，有－40k－96>0，得k<－.

解法二　(几何法)圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径r＝1.

设直线l与圆心C的距离为d，则d＝.

当d>r，即>1，k>－时，直线l与圆C相离；

当d＝r，即＝1，k＝－时，直线l与圆C相切；

当d<r，即<1，k<－时，直线l与圆C相交．

跟踪训练

1．解析：

解法一　∵x2＋y2＝2的圆心(0,0)到直线y＝kx＋1的距离d＝＝≤1，又∵r＝，∴0<d<r.

∴直线与圆相交但直线不过圆心．

解法二　直线y＝kx＋1表示过定点(0,1)且斜率存在的动直线，又定点(0,1)在圆x2＋y2＝2内部，

∴直线与圆相交但直线不过圆心．

答案：C

[例2]　解析：

(1) 因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和这点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题．由题意易知圆心C(－1,2)，半径长r＝，点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝＝3，所以切线长的最小值为＝＝4.

(2) ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10>1，

∴点A在圆外．

当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．

设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.

圆心(2,3)到切线l的距离为＝1，

解得k＝0或k＝－，

因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.

答案：(1)C　(2)y＝4或3x＋4y－13＝0

跟踪训练

2．解析：∵()2＋(－1)2＝4，

∴点P在圆上．

∵切点与圆心连线的斜率为－，

∴切线的斜率为，

∴切线方程为y＋1＝(x－)，

即x－y－4＝0.

答案：C

[例3] 解析：

(1)解法一　几何法：圆心到直线的距离为d＝＝，圆的半径r＝2，所以弦长为l＝2×＝2＝2；

解法二　代数法：联立直线和圆的方程

消去y可得x2－2x＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为＝2.

(2) 因为|MN|≥2，所以圆心(1,2)到直线y＝kx＋3的距离不大于＝1，即≤1，

解得k≤0.

(3) 当直线l过圆心时，即如图EF，弦长取得最大值2r＝4；

当OM⊥l时，即如图PQ，

弦长取得最小值＝2＝2＝2

答案：(1)2　(2)k≤0　(3)4　2

跟踪训练

3．解析：将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝＝3.

当l的斜率不存在时，x＝－4满足题意．

当l的斜率存在时，设方程为y＝k(x＋4)，

即kx－y＋4k＝0.

由点到直线的距离公式得3＝，

解得k＝－.

所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.

综上，所求直线方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.

达标检测

1．解析：∵l：y＝x＋2，即x－y＋2＝0，

又(0,0)到l的距离d＝＝，

∴|MN|＝2＝2.

答案：C

2．解析：∵M在圆内，∴过M点的最长弦所在的直线应过圆心(4,1)．设直线的斜率为k，则k＝1，

∴直线方程为x－y－3＝0.

答案：B

3．解析：圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.

答案：D