【同步导学案】高中数学人教A版(2019)选修第一册-- 2.4.1圆的标准方程 导学案（有答案）

2.4.1　圆的标准方程

【学习目标】

1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．

2．会根据已知条件求圆的标准方程．

3．能准确判断点与圆的位置关系．

【学习过程】

一、课前预习

预习课本P82～85，思考并完成以下问题

1．确定圆的几何要素有哪些？

2．圆的标准方程是什么？

3．点与圆的位置关系有哪几种？怎样去判断？

二、课前小测

1．圆x2＋y2＝1的圆心为(　　)

A．(0,0)          B．(1,1)            C．(0,1)          D．不存在

2．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径为(　　)

A．1           B.            C．2             D．4

3．过点A(1，－1)与B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程为(　　)

A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4

B．(x－1)2＋(y－1)2＝4

C．(x＋3)2＋(y－1)2＝4

D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

三、新知探究

(一) 圆的定义及标准方程

1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径．

2．圆的标准方程

(1)以C(a，b)为圆心，r(r＞0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.

(二) 点与圆的位置关系

设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置有如表所示的对应关系：

四、题型突破

题型一　求圆的标准方程

[例1]　求下列圆的标准方程：

(1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)；

(2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；

(3)求过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．

反思感悟

对于圆的标准方程的几点认识

(1)我们要准确记忆方程的形式；

(2)从方程上看要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之，如果已知圆的标准方程，也能直接得到圆的圆心坐标和半径；

(3)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写出方程．

跟踪训练

1．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．

题型二　点与圆的位置关系

[例2]　已知圆C的圆心为C(－3，－4)，且过原点O，求圆C的标准方程，并判断点M1(－1,0)，M2(1，－1)，M3(3，－4)与圆C的位置关系．

反思感悟

点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上和点在圆外．判断点与圆的位置关系一般有以下两种方法：

已知点M(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

(1)利用点M到圆心C的距离与半径作比较：

①若|MC|<r，则点M在圆内；

②若|MC|＝r，则点M在圆上；

③若|MC|>r，则点M在圆外．

(2)利用圆的标准方程判断：

①若(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，则点M在圆外；

②若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，则点M在圆上；

③若(x0－a)2＋(y0－b)2<r2，则点M在圆内．

跟踪训练

2．已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．

题型三　圆的标准方程的应用

[例3]　如果实数x、y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6.

求：(1)的最大值与最小值；

(2)x＋y的最大值与最小值；

(3)x2＋y2的最大值与最小值．

反思感悟

与圆有关的最值问题常见的类型：

①形如u＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

跟踪训练

3．已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3.

(1)求的最大值与最小值；

(2)求y－x的最大值与最小值．

五、达标检测

1．已知A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为(　　)

A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29

B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29

C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116

D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116

2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　)

A．－1<a<1　　　　　　 B．0<a<1

C．a<－1或a>1  D．－1<a<0

3．已知一个圆经过两个点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求此圆的方程．

六、本课小结

1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．

2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷．

参考答案

课前小测

1．答案：A

2．答案：B

3．答案：B

题型突破

[例1]　解析：

(1)圆心C(4，－1)，半径r＝ ＝，

∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10.

(2)设圆心C(0，b)，∴r＝ ＝5，

∴(4＋b)2＝16＝42，∴4＋b＝4或4＋b＝－4，

∴b＝0或b＝－8，∴圆的方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.

(3)设圆心M(a,0)，∵|MC|＝|MD|，

∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，

即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9，

∴a＝2，r＝|MC|＝

∴圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.

跟踪训练

1．解析：

解法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，

于是有解得

故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.

解法二　因为A(0,5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.

由得圆心的坐标为(－3,1)，

又圆的半径长r＝＝5，

故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.

[例2]　解析：因为圆C过原点O，圆心为C(－3，－4)，所以圆C的半径长r＝|OC|＝＝5，因此圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.

因为(－1＋3)2＋(0＋4)2＝20<25，所以点M1(－1,0)在圆C内；因为(1＋3)2＋(－1＋4)2＝25，所以点M2(1，－1)在圆C上；因为(3＋3)2＋(－4＋4)2＝36>25，所以点M3(3，－4)在圆C外．

跟踪训练

2．解析：∵点A在圆内部，∴(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，

∴2a＋5<0，∴a<－，

∴a的取值范围是.

[例3]　解析：(1)设P(x，y)，则P点的轨迹就是已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝6.而的几何意义就是直线OP的斜率(O为坐标原点)，如图①所示，设＝k，则直线OP的方程为y＝kx.

由图①可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值．

∵点C到直线y＝kx的距离d＝，

∴当＝，即k＝3±2时，直线OP与圆相切．

∴的最大值与最小值分别是3＋2和3－2.

(2)设x＋y＝b，则y＝－x＋b，由图②所示，知当直线与圆相切时截距b取最值．

而圆心C到直线y＝－x＋b的距离为d＝.

∵当＝，

即b＝6±2时，直线y＝－x＋b与圆相切，

∴x＋y的最大值与最小值分别为6＋2与6－2.

(3)z＝x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，表示圆上动点与原点连线距离的平方，而|OC|＝3.

∴zmax＝(3＋)2＝24＋12.

zmin＝(3－)2＝24－12.

跟踪训练

3．解析：

(1)设＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，

此时＝，解得k＝±.

故的最大值为，最小值为－.

(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，

此时＝，即b＝－2±.

故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.

达标检测

1．解析：圆C的圆心为AB的中点C(1，－3)，半径r＝＝·＝＝

∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.

答案：B

2．解析：∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4.解得－1<a<1.

答案：A

3．解析：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

由已知条件得

即解得

∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.