高考物理考纲解读与热点难点突破专题04功能关系在力学中的应用 教学案

专题04 功能关系在力学中的应用

【2019年高考考纲解读】

1.动能定理是高考的重点，经常与直线运动、曲线运动等综合起来进行考查。

2.功能关系和能量守恒是高考的重点，更是高考的热点。高考试题往往与电场、磁场以及典型的运动规律相联系，并常作为压轴题出现。在试卷中以计算题的形式考查的较多，也有在选择题中出现，难度中等偏难。

3.动量和能量的综合问题要特别关注。

 (1)功、功率的理解及定量计算，往往与图象相结合

(2)动能定理的应用

(3)机械能守恒定律的应用

(4)滑动摩擦力做功情况下的功能关系问题

【命题趋势】

(1)结合直线运动考查功、功率的理解及计算．

(2)对动能定理的考查，可能出现以下情景：

①物体在单一过程中受恒力作用，确定物体动能的变化．

②物体经历多个过程，受多个力的作用，且每个过程中所受力的个数可能不同，确定物体动能的变化．

③在一个复杂的综合问题的某一过程，应用牛顿第二定律与动能定理相结合，分析力的做功或物体的动能变化情况．

(3)对机械能守恒定律的考查，可能出现以下两种情景：

①结合物体的典型运动进行考查，如平抛运动、圆周运动、自由落体运动．

②在综合问题的某一过程中遵守机械能守恒定律时进行考查．

(4)对功能关系的考查，可能出现以下情景：

①功能关系结合曲线运动及圆周运动进行考查．

②功能关系结合多个物体间的相对运动进行考查．

③物体经历多个过程，有多个力做功，涉及多种形式的能量转化的考查.

【重点、难点剖析】

专题的高频考点主要集中在功和功率的计算、动能定理、机械能守恒定律、功能关系的应用等几个方面，难度中等，本专题知识还常与曲线运动、电场、磁场、电磁感应相联系进行综合考查，复习时应多注意这些知识的综合训练和应用。

1．必须精通的几种方法

(1)功(恒力功、变力功)的计算方法

(2)机车启动问题的分析方法

(3)机械能守恒的判断方法

(4)子弹打木块、传送带等，模型中内能增量的计算方法。

2．必须明确的易错易混点

(1)公式W＝Flcos α中，l不一定是物体的位移

(2)混淆平均功率和瞬时功率；计算瞬时功率时，直接应用公式W＝Fv，漏掉了F与v之间的夹角

(3)功、动能、重力势能都是标量，但都有正负，正负号的意义不同

(4)机车启动时，在匀加速阶段的最大速度并不是机车所能达到的最大速度

(5)ΔE内＝Ffl相对中l相对为相对滑动的两物体间相对滑行路径的总长度

3.功和功率

(1)计算功时，要注意分析受力情况和能量转化情况，分清是恒力的功还是变力的功，选用合适的方法进行计算。

③用动能定理或功能关系进行求解．

(2)对于功率的计算要区分是瞬时功率还是平均功率．P＝只能用来计算平均功率．P＝Fvcos  α中的v是瞬时速度时，计算出的功率是瞬时功率；v是平均速度时，计算出的功率是平均功率．

【例1】(2018·高考全国卷 Ⅱ )如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度．木箱获得的动能一定(　　)

A.小于拉力所做的功

B.等于拉力所做的功

C.等于克服摩擦力所做的功

D.大于克服摩擦力所做的功

【答案】A

【解析】由动能定理WF－Wf＝Ek－0，可知木箱获得的动能一定小于拉力所做的功，A正确

【变式探究】【2017·天津卷】“天津之眼”是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，是天津市的地标之一。摩天轮悬挂透明座舱，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动。下列叙述正确的是

A．摩天轮转动过程中，乘客的机械能保持不变

B．在最高点，乘客重力大于座椅对他的支持力

C．摩天轮转动一周的过程中，乘客重力的冲量为零

D．摩天轮转动过程中，乘客重力的瞬时功率保持不变

【答案】B

【变式探究】(多选)(2016·全国卷Ⅱ，21)如图1所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<。在小球从M点运动到N点的过程中(　　)

图1

A．弹力对小球先做正功后做负功

B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度

C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零

D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差

【答案】BCD

【举一反三】恒力做功的计算

1.(2017·高考全国卷Ⅲ)如图，一质量为m，长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂．用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l.重力加速度大小为g.在此过程中，外力做的功为(　　)

A.mgl　　　B.mgl

C.mgl     D.mgl

【答案】A

【解析】QM段绳的质量为m′＝m，未拉起时，QM段绳的重心在QM中点处，与M点距离为l，绳的下端Q拉到M点时，QM段绳的重心与M点距离为l，此过程重力做功WG＝－m′g＝－mgl，对绳的下端Q拉到M点的过程，应用动能定理，可知外力做功W＝－WG＝mgl，可知A项正确，B、C、D项错误．

(4)应用动能定理的关键是写出各力做功的代数和，不要漏掉某个力做的功，同时要注意各力做功的正、负．　

【例2】【2017·江苏卷】一小物块沿斜面向上滑动，然后滑回到原处．物块初动能为，与斜面间的动摩擦因数不变，则该过程中，物块的动能与位移的关系图线是

【答案】C

 【变式探究】(2016·全国卷Ⅰ，25)如图5，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)，随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF＝4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝，重力加速度大小为g。(取sin 37°＝，cos 37°＝)

图5

(1)求P第一次运动到B点时速度的大小；

(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能；

(3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点。G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。

【答案】(1)2　(2)mgR　(3)　m

(2)设BE＝x，P到达E点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为Ep，P由B点运动到E点的过程中，由动能定理有

mgxsin θ－μmgxcos θ－Ep＝0－mv④

E、F之间的距离l1为l1＝4R－2R＋x⑤

P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理有

Ep－mgl1sin θ－μmgl1cos θ＝0⑥

联立③④⑤⑥式并由题给条件得

x＝R⑦

Ep＝mgR⑧

(3)设改变后P的质量为m1，D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为

x1＝R－Rsin θ⑨

y1＝R＋R＋Rcos θ⑩

【变式探究】运用动能定理解决往复运动问题

1.如图所示，质量为 m 的滑块距挡板 P的距离为 l0，滑块以初速度 v0沿倾角为θ的斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力．若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，滑块经过的总路程是(　　)

A.　　 B.

C.   D.

【答案】A

【变式探究】运用动能定理解决曲线运动问题

2．如图所示，半径R＝1.0 m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ＝37°，另一端点C为轨道的最低点．C点右侧的水平路面上紧挨C点放置一木板，木板质量M＝1 kg，上表面与C点等高．质量m＝1 kg的物块(可视为质点)从空中A点以v0＝1.2 m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．已知物块与木板间的动摩擦因数μ1＝0.2，木板与路面间的动摩擦因数μ2＝0.05，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.试求：

(3)注意机械能守恒表达式的选取

“守恒的观点”的表达式适用于单个或多个物体机械能守恒的问题．列式时需选取参考平面．而用“转移”和“转化”的角度反映机械能守恒时，不必选取参考平面．　

【例3】(2018·高考全国卷 Ⅰ )如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R; bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点．一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动．重力加速度大小为g.小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为(　　)

A.2mgR　　　　 B．4mgR　　　　C．5mgR　　　　 D．6mgR

【答案】C

【举一反三】【2017·天津卷】如图所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳连接，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为mA=2 kg、mB=1 kg。初始时A静止于水平地面上，B悬于空中。先将B竖直向上再举高h=1.8 m（未触及滑轮）然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取g=10 m/s2。空气阻力不计。求：

（1）B从释放到细绳刚绷直时的运动时间t；

（2）A的最大速度v的大小；

（3）初始时B离地面的高度H。

【答案】（1）  （2）  （3）

【解析】（1）B从释放到细绳刚绷直前做自由落体运动，有：解得：

（2）设细绳绷直前瞬间B速度大小为vB，有  

细绳绷直瞬间，细绳张力远大于A、B的重力，A、B相互作用，总动量守恒：

绳子绷直瞬间，A、B系统获得的速度：

之后A做匀减速运动，所以细绳绷直瞬间的速度v即为最大速度，A的最大速度为2 m/s

（3）细绳绷直后，A、B一起运动，B恰好可以和地面接触，说明此时A、B的速度为零，这一过程中A、B组成的系统机械能守恒，有：

解得，初始时B离地面的高度

 【变式探究】(2016·全国卷Ⅲ，24)如图3，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。

图3

(1)求小球在B、A两点的动能之比；

(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。

【答案】(1)5∶1　(2)能，理由见解析

(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0④

设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有

FN＋mg＝m⑤

由④⑤式得，vC应满足

mg≤m⑥

由机械能守恒有mg·＝mv⑦

由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。

【变式探究】单个物体的机械能守恒

1．(多选)如图，一物体从光滑斜面AB底端A点以初速度v0上滑，沿斜面上升的最大高度为h.下列说法中正确的是(设下列情境中物体从A点上滑的初速度仍为v0)(　　)

A．若把斜面CB部分截去，物体冲过C点后上升的最大高度仍为h

B．若把斜面AB变成曲面AEB，物体沿此曲面上升仍能到达B点

C．若把斜面弯成圆弧形D，物体仍沿圆弧升高h

D．若把斜面从C点以上部分弯成与C点相切的圆弧状，物体上升的最大高度有可能仍为h

【答案】BD

【变式探究】多个物体的系统机械能守恒

2．(多选)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处．现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是(　　)

A．环到达B处时，重物上升的高度h＝

B．环到达B处时，环与重物的速度大小相等

C．环从A到B，环减少的机械能等于重物增加的机械能

D．环能下滑的最大高度为d

【答案】CD

题型四、功能关系的应用

1.常见的功能关系

2.应用能量守恒定律的两条基本思路

(1)某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔE减＝ΔE增．

(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等，

即ΔEA减＝ΔEB增．

3.在处理功能关系的综合问题时，要注意：

(1)弄清物体的受力情况和运动情况，根据物体的运动过程分析物体的受力情况及不同的运动过程中力的变化情况．

(2)根据各力做功的不同特点分析各力在不同的运动过程中的做功情况．

(3)熟练掌握常用的功能关系．　

例4. (2017·高考全国卷Ⅰ)一质量为8.00×104 kg的太空飞船从其飞行轨道返回地面．飞船在离地面高度1.60×105 m处以7.50×103 m/s的速度进入大气层，逐渐减慢至速度为100 m/s时下落到地面．取地面为重力势能零点，在飞船下落过程中，重力加速度可视为常量，大小取为9.8 m/s2.(结果保留2位有效数字)

(1)分别求出该飞船着地前瞬间的机械能和它进入大气层时的机械能．

【名师点拨】

(1)与能量有关的力学综合题的特点

①常见的与能量有关的力学综合题有单一物体多过程和多个物体多过程两大类型；

②联系前后两个过程的关键物理量是速度，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度；

③当涉及功、能和位移时，一般选用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律，题目中出现相对位移时，应优先选择能量守恒定律．

(2)解答与能量有关的综合题时的注意事项

①将复杂的物理过程分解为几个简单的物理过程，挖掘出题中的隐含条件，找出联系不同阶段的“桥梁”．

②分析物体所经历的各个运动过程的受力情况以及做功情况的变化，选择适合的规律求解．　

题型五  机车启动问题

1.机车输出功率：P＝Fv，其中F为机车牵引力．

2.机车匀加速启动过程的最大速度v1(此时机车输出的功率最大)和全程的最大速度vm(此时F牵＝F阻)求解方法

(1)求v1：由F牵－F阻＝ma，P＝F牵v1可求v1＝.

(2)求vm：由P＝F阻 vm，可求vm＝.

3.解决机车启动问题时的四点注意

(1)分清是匀加速启动还是恒定功率启动．

(2)匀加速启动过程中，机车功率不断增大，最大功率是额定功率．

(3)以额定功率启动的过程中，牵引力不断减小，机车做加速度减小的加速运动，牵引力的最小值等于阻力．

(4)无论哪种启动方式，最后达到最大速度时，均满足P＝f阻vm，P为机车的额定功率．　

例5. (2018·高考全国卷 Ⅰ )高铁列车在启动阶段的运动可看做初速度为零的匀加速直线运动．在启动阶段，列车的动能(　　)

A.与它所经历的时间成正比

B.与它的位移成正比

C.与它的速度成正比

D.与它的动量成正比

【答案】B

【举一反三】一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小f恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是(　　)

【答案】A

【变式探究】以恒定加速度启动方式的分析

1．水平面上静止放置一质量为m＝0.2 kg的物块，固定在同一水平面上的小型电动机通过水平细线牵引物块，使物块由静止开始做匀加速直线运动，2 s末达到额定功率，其v－t图线如图所示，物块与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.1，g＝10 m/s2，电动机与物块间的距离足够远．求：

(1)物块做匀加速直线运动时受到的牵引力大小；

(2)电动机的额定功率；

(3)物块在电动机牵引下，最终能达到的最大速度．

【答案】(1)0.28 N　(2)0.224 W　(3)1.12 m/s

【解析】(1)由题图知物块在匀加速阶段加速度大小

a＝＝0.4 m/s2

(3)解决机车启动问题一定要分清机车是匀加速启动还是恒定功率启动．　

①匀加速启动过程中，机车功率是不断改变的，但该过程中的最大功率是额定功率，匀加速运动阶段的最大速度小于机车所能达到的最大速度，达到额定功率后，机车做加速度减小的加速运动．

②以恒定功率启动的过程中，机车做加速度减小的加速运动，匀变速直线运动的规律不能用，速度最大值等于 ，牵引力是变力，牵引力做的功可用W＝Pt求解，但不能用 W ＝ Flcos  θ求解．