北京市丰台区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-02填空题知识点分类

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北京市丰台区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-02填空题知识点分类
一．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
1．（2022秋•丰台区期末）一元二次方程x2﹣4＝0的实数根为 　 　．
二．根的判别式（共1小题）
2．（2022秋•丰台区期末）若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　．
三．二次函数的性质（共2小题）
3．（2021秋•丰台区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
那么该抛物线的顶点坐标是 　 　．
4．（2022秋•丰台区期末）已知二次函数的图象开口向上，且经过点（0，1），写出一个符合题意的二次函数的表达式 　 　．
四．二次函数图象与几何变换（共1小题）
5．（2020秋•丰台区期末）将抛物线y＝x2向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为　 　．
五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
6．（2020秋•丰台区期末）抛物线y＝x2+bx+4与x轴有且只有1个公共点，则b＝　 　．
六．二次函数的应用（共2小题）
7．（2021秋•丰台区期末）中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面 　 　m．

8．（2022秋•丰台区期末）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．

小明进行了两次掷实心球训练．
（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 x/m
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度 y/m
2.0
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5
3.2
根据上述数据，实心球竖直高度的最大值是 　 　m；
（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.6，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为d1，第二次训练实心球的着陆点的水平距离为d2，则d1　 　d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
七．垂径定理（共1小题）
9．（2022秋•丰台区期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB＝8，OC＝3，则⊙O半径的长为 　 　．

八．垂径定理的应用（共1小题）
10．（2021秋•丰台区期末）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量AB＝8cm，CD＝2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 　 　cm．

九．圆内接四边形的性质（共1小题）
11．（2021秋•丰台区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径AB延长线上一点，且AB∥DC，若∠A＝70°，则∠CBE的度数为 　 　．

一十．三角形的外接圆与外心（共1小题）
12．（2022秋•丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），B（3，3），点P是△OAB的外接圆的圆心，则点P的坐标为 　 　．

一十一．正多边形和圆（共2小题）
13．（2020秋•丰台区期末）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔•卡西的计算方法是：当正整数n充分大时，计算某个圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，再将它们的平均数作为2πr的近似值．
当n＝1时，如图是⊙O及它的内接正六边形和外切正六边形．
（1）若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是 　 　；
（2）按照阿尔•卡西的方法，计算n＝1时π的近似值是 　 　．（结果保留两位小数）（参考数据：≈1.732）

14．（2021秋•丰台区期末）如图，把⊙O分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果⊙O的周长为12π，那么该正六边形的边长是 　 　．

一十二．扇形面积的计算（共1小题）
15．（2022秋•丰台区期末）若一个扇形的半径是3cm，所对圆心角为60°，则这个扇形的面积是　 　cm2．
一十三．作图—基本作图（共1小题）
16．（2020秋•丰台区期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．
下面是借助直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线的步骤：
①延长OD交于点M；
②连接AM交BC于点N．
所以∠BAN＝∠CAN．
即线段AN为所求△ABC中∠BAC的平分线．
请回答，得到∠BAN＝∠CAN的依据是　 　．

一十四．旋转的性质（共1小题）
17．（2021秋•丰台区期末）如图所示，△ABC绕点P顺时针旋转得到△DEF，则旋转的角度是 　 　．

一十五．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
18．（2021秋•丰台区期末）如果点A（3，﹣2）与点B关于原点对称，那么点B的坐标是 　 　．
一十六．相似三角形的判定（共1小题）
19．（2020秋•丰台区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连接AD，BD，BD与AC交于点E，请写出图中所有与△ADE相似的三角形　 　．

一十七．相似三角形的判定与性质（共1小题）
20．（2020秋•丰台区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，则S△AOE：S△COB＝　 　．

一十八．相似三角形的应用（共1小题）
21．（2020秋•丰台区期末）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是　 　m．

一十九．利用频率估计概率（共3小题）
22．（2020秋•丰台区期末）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：
移植的棵数n
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵数m
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的频率
0.865
0.904
0.888
0.875
0.882
0.878
0.879
0.881
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 　 　．
23．（2021秋•丰台区期末）小红利用计算机模拟“投针试验”：在一个平面上画一组间距为d＝0.73cm的平行线，将一根长度为l＝0.59cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交，如图显示了小红某次实验的结果，那么可以估计出针与直线相交的概率是 　 　（结果保留小数点后两位）．

24．（2022秋•丰台区期末）十八世纪法国的博物学家C•布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为l（l＜d）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计π的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取l＝d，得到试验数据如下表：
试验次数
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
相交频数
495
623
799
954
1123
1269
1434
1590
相交频率
0.3300
0.3115
0.3196
0.3180
0.3209
0.3173
0.3187
0.3180
可以估计出针与直线相交的概率为 　 　（精确到0.001），由此估计π的近似值为 　 　（精确到0.01）．


北京市丰台区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-02填空题知识点分类
参考答案与试题解析
一．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
1．（2022秋•丰台区期末）一元二次方程x2﹣4＝0的实数根为 　x1＝2，x2＝﹣2　．
【答案】x1＝2，x2＝﹣2．
【解答】解：x2﹣4＝0，
x2＝4，
解得x1＝2，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．
二．根的判别式（共1小题）
2．（2022秋•丰台区期末）若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　　．
【答案】．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×k＝1﹣4k＝0，
解得：k＝，
故答案为：．
三．二次函数的性质（共2小题）
3．（2021秋•丰台区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
那么该抛物线的顶点坐标是 　（1，﹣4）　．
【答案】（1．﹣4）．
【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣3），（2，﹣3），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）．
4．（2022秋•丰台区期末）已知二次函数的图象开口向上，且经过点（0，1），写出一个符合题意的二次函数的表达式 　y＝x2+1（答案不唯一）　．
【答案】y＝x2+1．（答案不唯一）
【解答】解：设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，
∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数图象经过点（0，1），
∴c＝1，
当a取1，b取0时，二次函数解析式为y＝x2+1．
故答案为：y＝x2+1．（答案不唯一）
四．二次函数图象与几何变换（共1小题）
5．（2020秋•丰台区期末）将抛物线y＝x2向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为　y＝x2﹣2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为y＝x2﹣2，
故答案为：y＝x2﹣2．
五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
6．（2020秋•丰台区期末）抛物线y＝x2+bx+4与x轴有且只有1个公共点，则b＝　±4　．
【答案】±4．
【解答】解：令y＝0，则当抛物线y＝x2+bx+4的图象与x轴只有一个公共点时，关于x的一元二次方程x2+bx+4＝0的根的判别式Δ＝0，即b2﹣4×4＝0，
解得b＝±4．
故答案为：±4．
六．二次函数的应用（共2小题）
7．（2021秋•丰台区期末）中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面 　11.25　m．

【答案】11.25．
【解答】解：如图，以水面所在的直线为x轴，以跳台支柱所在的直线为y轴建立直角坐标系，

由题意得：A（3，10），C（5，0），对称轴为直线x＝3.5，
设解析式为y＝a（x﹣3.5）2+k，
所以，
解得a＝﹣5，k＝11.25，
所以y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
所以B（3.5，11.25），点B距离水面11.25m．
故答案为：11.25．
8．（2022秋•丰台区期末）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．

小明进行了两次掷实心球训练．
（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 x/m
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度 y/m
2.0
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5
3.2
根据上述数据，实心球竖直高度的最大值是 　3.6　m；
（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.6，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为d1，第二次训练实心球的着陆点的水平距离为d2，则d1　＜　d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【答案】（1）最大高度23.20；y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20；（2）d1＜d2，理由见解答．
【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（4，3.6），
∴实心球竖直高度的最大值是3.6m，
故答案为：3.6；
（2）把（0，2.0）代入y＝a（x﹣4）2+3.6得：16a+3.6＝2.0，
解得a＝﹣0.1，
∴y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，
当y＝0时，x＝10（负值舍去），
∴d1＝10m；
在y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.6中，令y＝0得：
﹣0.09（x﹣4）2+3.6＝0，
解得x＝2+4（负值舍去），
∴d2＝（2+4）m，
∵10＜2+4，
∴d1＜d2，
故答案为：＜．
七．垂径定理（共1小题）
9．（2022秋•丰台区期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB＝8，OC＝3，则⊙O半径的长为 　5　．

【答案】5．
【解答】解：连接OA，

∵OC⊥AB，
∴C为AB的中点，
∴，
在Rt△AOC中，AC＝4，OC＝3，
∴OA＝＝5．
∴⊙O的半径5，
故答案为：5．
八．垂径定理的应用（共1小题）
10．（2021秋•丰台区期末）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量AB＝8cm，CD＝2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 　5　cm．

【答案】5．
【解答】解：设这个齿轮内圈圆的圆心为O，半径为Rcm，连接OA、OC，

则O、C、D三点共线，OC＝（R﹣2）cm，
∵CD是AB的垂直平分线，AB＝8cm，
∴AC＝AB＝4（cm），
在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（R﹣2）2＝R2，
解得：R＝5，
即这个齿轮内圈圆的半径为5cm，
故答案为：5．
九．圆内接四边形的性质（共1小题）
11．（2021秋•丰台区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径AB延长线上一点，且AB∥DC，若∠A＝70°，则∠CBE的度数为 　110°　．

【答案】110°．
【解答】解：∵AB∥DC，∠A＝70°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CBE＝∠D＝110°，
故答案为：110°．
一十．三角形的外接圆与外心（共1小题）
12．（2022秋•丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），B（3，3），点P是△OAB的外接圆的圆心，则点P的坐标为 　（2，1）　．

【答案】（2，1）．
【解答】解：分别作出边OA，OB的垂直平分线，则它们的交点即为△OAB的外接圆的圆心P，如图，

则P（2，1），
故答案为：（2，1）．
一十一．正多边形和圆（共2小题）
13．（2020秋•丰台区期末）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔•卡西的计算方法是：当正整数n充分大时，计算某个圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，再将它们的平均数作为2πr的近似值．
当n＝1时，如图是⊙O及它的内接正六边形和外切正六边形．
（1）若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是 　1　；
（2）按照阿尔•卡西的方法，计算n＝1时π的近似值是 　3.23　．（结果保留两位小数）（参考数据：≈1.732）

【答案】（1）1．
（2）3.23．
【解答】解：（1）⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是1，
故答案为：1．

（2）圆的外切正六边形的边长＝2×1×tan30°＝，
∴圆的外切正六边形的周长＝4，
∵圆的内接正六边形的周长＝6，
∴2π≈，
∴π≈3.23．
故答案为：3.23．
14．（2021秋•丰台区期末）如图，把⊙O分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果⊙O的周长为12π，那么该正六边形的边长是 　6　．

【答案】6．
【解答】解：连接OB、OC，
∵把⊙O分成相等的六段弧，⊙O的周长为12π，
∴＝2π，
设OB＝OC＝r，
∵∠BOC＝＝60°，
∴＝2π，
∴r＝6，
∴BC＝OB＝OC＝6，
故答案为：6．
一十二．扇形面积的计算（共1小题）
15．（2022秋•丰台区期末）若一个扇形的半径是3cm，所对圆心角为60°，则这个扇形的面积是　π　cm2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据扇形的面积公式，得
S扇＝＝π（cm2）．
故答案为π．
一十三．作图—基本作图（共1小题）
16．（2020秋•丰台区期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．
下面是借助直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线的步骤：
①延长OD交于点M；
②连接AM交BC于点N．
所以∠BAN＝∠CAN．
即线段AN为所求△ABC中∠BAC的平分线．
请回答，得到∠BAN＝∠CAN的依据是　同弧或等弧所对的圆周角相等　．

【答案】同弧或等弧所对的圆周角相等．
【解答】解：如图，AN为所求△ABC中∠BAC的平分线，

故答案为：同弧或等弧所对的圆周角相等．
一十四．旋转的性质（共1小题）
17．（2021秋•丰台区期末）如图所示，△ABC绕点P顺时针旋转得到△DEF，则旋转的角度是 　90°　．

【答案】90°．
【解答】解：如图，连接PC，PF，CF，

∵PC＝＝，PF＝＝，FC＝＝，
∴PC2+PF2＝5+5＝10＝FC2，
∴∠CPF＝90°，
∴旋转角为90°，
故答案为：90°．
一十五．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
18．（2021秋•丰台区期末）如果点A（3，﹣2）与点B关于原点对称，那么点B的坐标是 　（﹣3，2）　．
【答案】（﹣3，2）．
【解答】解：∵点A（3，﹣2）与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
一十六．相似三角形的判定（共1小题）
19．（2020秋•丰台区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连接AD，BD，BD与AC交于点E，请写出图中所有与△ADE相似的三角形　△CBE，△BDA　．

【答案】△CBE，△BDA．
【解答】解：∵＝，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠DAE＝∠DBC，
∴∠DAE＝∠ABD，
∵∠ADE＝∠ADB，
∴△ADE∽△BDA，
∵∠DAE＝∠EBC，∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
故答案为：△CBE，△BDA．
一十七．相似三角形的判定与性质（共1小题）
20．（2020秋•丰台区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，则S△AOE：S△COB＝　1：9　．

【答案】1：9．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD且AB∥CD，
∴△AOE∽△CBO，
∵AE：ED＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∴AE：BC＝1：3，
因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，
所以S△AOE：S△COB＝1：9，
故答案为：1：9，
一十八．相似三角形的应用（共1小题）
21．（2020秋•丰台区期末）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是　8　m．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE＝AC：DE，
即1：5＝1.6：DE，
∴DE＝8（m），
故答案为：8．

一十九．利用频率估计概率（共3小题）
22．（2020秋•丰台区期末）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：
移植的棵数n
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵数m
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的频率
0.865
0.904
0.888
0.875
0.882
0.878
0.879
0.881
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 　0.881　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.881．
故答案为：0.881．
23．（2021秋•丰台区期末）小红利用计算机模拟“投针试验”：在一个平面上画一组间距为d＝0.73cm的平行线，将一根长度为l＝0.59cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交，如图显示了小红某次实验的结果，那么可以估计出针与直线相交的概率是 　0.51　（结果保留小数点后两位）．

【答案】0.51．
【解答】解：在大量重复试验中，根据频率估计概率的方法可估计出针与直线相交的概率是0.514，
故答案为：0.51．
24．（2022秋•丰台区期末）十八世纪法国的博物学家C•布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为l（l＜d）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计π的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取l＝d，得到试验数据如下表：
试验次数
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
相交频数
495
623
799
954
1123
1269
1434
1590
相交频率
0.3300
0.3115
0.3196
0.3180
0.3209
0.3173
0.3187
0.3180
可以估计出针与直线相交的概率为 　0.318　（精确到0.001），由此估计π的近似值为 　3.14　（精确到0.01）．

【答案】0.318；3.14．
【解答】解：由题意可以估计出针与直线相交的概率为0.318，由此估计π的近似值为：≈3.14．
故答案为：0.318；3.14．