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第03讲 一元二次方程单元分类总复习-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)
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这是一份第03讲 一元二次方程单元分类总复习-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)，文件包含第03讲一元二次方程单元分类总复习原卷版docx、第03讲一元二次方程单元分类总复习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
第3讲 一元二次方程单元分类总复习
考点一 一元二次方程及其解法
【知识点睛】
1. 一元二次方程的一般形式：
判断一元二次方程的特征：
2. 一元二次方程的解法：
解法
适用范围
步骤
直接
开方法
符合型
的一元二次方程
1) 两边分别开方，得：；
2) 两边同除以系数，得，
因式
分解法
化成一般形式后，“=”左边可以因式分解的一元二次方程
(1) 将一元二次方程化成一般是
(2) 将“=”左边的部分因式分解
(3) 让各部分因式分别=0
(4) 各部分因式分别=0的x的值即为方程的解
配
方
法
适用二次项系数为1的一元二次方程
1) 将一般形式的常数项移到“=”右边
2) 两边同时加上一次项系数一半的平方，得到式的一元二次方程
3) 利用直接开方法求解方程
公
式
法
适用所有一元二次方程
(1) 将方程写成一般式；
(2) 分别写出a、b、c的表达式，带入求出根的判别式的值；
(3) 将数据带入公式，得到方程的两个解
【易错警示】
Ø 判断方程是不是一元二次方程需要化简后再根据特征判断；
Ø 一元二次方程的解，要么无解，有解必有2个，所以最后的方程的解一定要写明x1、x2；
Ø 一元二次方程公式法也称万能公式，但是利用万能公式时一定要先写清楚其a、b、c以及b2-4ac的值，之后再带入计算；
【类题训练】
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝1 B．x＝3x3﹣2 C．x2﹣2＝0 D．3x＝1
2．将一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化为一般形式后，对应的a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2 B．a＝1，b﹣1，c＝6
C．a＝1，b＝﹣5，c＝6 D．a＝1，b＝﹣5，c＝2
3．关于x的方程（m﹣2）+x+1是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．m≠2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m＝±2
4．已知t为一元二次方程x2﹣1011x+2023＝0的一个解，则2t2﹣2022t值为（ ）
A．﹣2023 B．﹣2022 C．﹣4046 D．﹣4044
5．方程（x+1）2＝4的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣1
6．小明解方程x2﹣2x﹣8＝0的过程如表所示，开始出现错误的是（ ）
x2﹣2x﹣8＝0
解：x2﹣2x＝8 第一步
x2﹣2x+1＝8+1 第二步
（x﹣1）2＝9 第三步
x＝4 第四步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
7．把方程x2+3x+1＝0的左边配方后可得方程（ ）
A． B．
C． D．
8．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
9．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2﹣11x+30＝0的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．11或12 C．12 D．10
10．方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝3 C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝5
11．在利用方程（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10＝0求x2+y2时，嘉琪令x2+y2＝m则原方程转化为 ，聪明又谨慎的你可以利用m得到x2+y2的值为 ．
12．解方程：
（1）3x2﹣6x＝6x﹣12．
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
13．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝1；
（2）3x2+2x＝2．
14．用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝2x+1；
（2）x（2x+3）＝2x+3．
15．解方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0；
（2）x2+2x﹣1＝0．
16．阅读材料，解答问题：
为解方程x4﹣3x2+2＝0，我们将x2视为一个整体，
解：设x2＝y，则x4＝y2，
原方程可化为y2﹣3y+2＝0，
解得y1＝2，y2＝1，
当x2＝2时，，
当x2＝1时，x＝±1，
∴原方程的解为或x＝±1．
（1）上面的解题方法，利用 法达到了降幂的目的．
（2）依据此方法解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0．
考点二 根的判别式
【知识点睛】
对于一元二次方程的一般形式：，
(1) 方程有两个不相等的实数根
(2) 方程有两个相等的实数根
(3) 方程没有实数根
【易错警示】
Ø 在应用跟的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件；
Ø 当时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知
【类题训练】
1．关于一元二次方程x2+4x+3＝0根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+n＝0无实数根，则n的值可以是（ ）
A．﹣3 B．0 C．4 D．5
3．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2+x﹣2＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
4．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠0
5．已知方程□x2﹣4x+2＝0，在□中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是 ．（填写一个符合要求的数字即可）
6．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1；
④若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；其中正确的 ．
7．已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）取一个合适的k的值，使得方程的解为负整数并求出此时方程的解．
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3+k＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于0，求k的取值范围．
9．对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为快乐数”．例如：k＝123，因为，所以123是“快乐数”．
（1）请通过计算判断241是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”；
（2）已知一个“快乐数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，a、b、c为自然数），且使关于x的一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个相等的实数根，若7≤a+b+c≤10，求满足条件的所有k的值．
考点三 根与系数的关系（韦达定理）
【知识点睛】
1.若一元二次方程的两个根为，则有，
2.两根关系的常见变形：
【类题训练】
1．若一元二次方程x2﹣2x+a＝0有一根为﹣1，则另一根为（ ）
A．5 B．﹣3 C．4 D．3
2．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣2＝0
C．﹣x2+2x﹣3＝0 D．x2﹣x﹣＝0
3．设a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（ ）
A．﹣2022 B．2018 C．﹣2018 D．2022
4．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1＝﹣3，x2＝10，则下列结论正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＜0 B．b2﹣4ac＝0 C．b2﹣4ac＞0 D．b2﹣4ac≥0
5．设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（ ）
A．6076 B．﹣6074 C．6040 D．﹣6040
6．若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
7．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于5
D．有两个正根，且有一根大于4
8．定义运算：a*b＝a（1﹣b），若a，b是方程的两根，则b*b﹣a*a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
9．若方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（ ）
A．4 B．6 C．18 D．16
10．设x1，x2是关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的两个根，且x1＝﹣x2，则k的值为 ．
11．已知关于x的一元二次方程x2+mx+5＝0有两个实数根x1，x2．若x1，x2满足x1＝2|x2|﹣3，则m＝ ．
12．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则＝ ．
13．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为﹣3，求m的值，并求另一根；
（3）若方程两根为x1，x2，且满足，求m的值．
14．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0．
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0的两个实数根α、β满足α2+β2＝17，求m的值．
15．已知t是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2x+t﹣1＝0的两个非负实根．
（1）a+b＝ ；
（2）a×b＝ ；（用t的代数式表示）
（3）求（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值．
考点四 一元二次方程的实际应用
【类题训练】
1．某种药品经过两次降价后，由每盒50元下调至32元，若每次平均降价的百分率是x，则由题意可列方程为（ ）
A．32（1+x2）＝50 B．32（1+x）2＝50
C．50（1﹣x2）＝32 D．50（1﹣x）2＝32
2．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450
C．（20﹣x）（200+40x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450
3．如图，学校有一块空地，生物组老师带领学生开发出一块长为15米、宽为10米的矩形菜园作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟三条等宽的小道，要使种植面积为88平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A．（15﹣x）（10﹣2x）＝88 B．15x+2×10x﹣2x2＝88
C．15×10﹣15x﹣11x+2x2＝88 D．（15﹣2x）（10﹣x）＝88
4．用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x（12﹣2x+1）＝20 D．x（12﹣2x﹣1）＝20
5．某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元．为了增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价（ ）
A．10元 B．15元 C．20元 D．25元
6．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2020年约为12万人次，若2022年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则可列方程 ．
7．已知一个矩形的周长为56cm．
（1）当该矩形的面积为180cm2时，求矩形的长．设矩形的长为xcm，则根据题意可列方程为 ；
（2）该矩形的面积 ．（填“能”或“不能”）为200cm2．
8．如图，在△ABC中，AB＝3cm，BC＝6cm，AC＝5cm，蚂蚁甲从点A出发，以2.5cm/s的速度沿着三角形的边按A→B→C→A的方向行走，甲出发1s后蚂蚁乙从点A出发，以2cm/s的速度沿着三角形的边按A→C→B→A的方向行走，那么甲出发 s后，甲乙第一次相距2.5cm．
9．某医药商店销售一款口罩，每袋成本价为30元，按物价部门规定，每袋售价大于30元但不得高于60元，且为整数．经市场调查发现，当售价为40元时，日均销售量为100袋，在此基础上，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋；每袋售价每减少1元，日均销售量增加5袋．设该商店这款口罩售价为x元．
（1）若该商店这款口罩日均销售额为2500元，求x的值；（销售额＝销售量×售价）
（2）是否存在x的值，使得该商店销售这款口罩的日均毛利润为1200元？若存在，求出x的值；若不存在，则说明理由．（毛利润＝销售量×（售价﹣成本价））
10．今年国庆期间，某商场经营一种文具，进价为每个30元，试营销阶段发现：当销售单价定为40元时，每天能销售30个．
（1）当销售单价每上涨1元时，每天的销售量将减少1个．请问当销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润为400元？
（2）为了回馈广大顾客，同时提高该文具的知名度，商场营销部决定在11月11日（双十一）当天开展特别降价促销活动，若每件的销售单价在（1）的基础上降价m%，则可多售出2m%，为了使一天的销售额为1120元，求m的最大值．
11．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 元；当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润相等；
（2）求租出汽车多少辆时，两公司月利润差恰为18400元？
第3讲 一元二次方程单元分类总复习
考点一 一元二次方程及其解法
【知识点睛】
1. 一元二次方程的一般形式：
判断一元二次方程的特征：
2. 一元二次方程的解法：
解法
适用范围
步骤
直接
开方法
符合型
的一元二次方程
1) 两边分别开方，得：；
2) 两边同除以系数，得，
因式
分解法
化成一般形式后，“=”左边可以因式分解的一元二次方程
(1) 将一元二次方程化成一般是
(2) 将“=”左边的部分因式分解
(3) 让各部分因式分别=0
(4) 各部分因式分别=0的x的值即为方程的解
配
方
法
适用二次项系数为1的一元二次方程
1) 将一般形式的常数项移到“=”右边
2) 两边同时加上一次项系数一半的平方，得到式的一元二次方程
3) 利用直接开方法求解方程
公
式
法
适用所有一元二次方程
(1) 将方程写成一般式；
(2) 分别写出a、b、c的表达式，带入求出根的判别式的值；
(3) 将数据带入公式，得到方程的两个解
【易错警示】
Ø 判断方程是不是一元二次方程需要化简后再根据特征判断；
Ø 一元二次方程的解，要么无解，有解必有2个，所以最后的方程的解一定要写明x1、x2；
Ø 一元二次方程公式法也称万能公式，但是利用万能公式时一定要先写清楚其a、b、c以及b2-4ac的值，之后再带入计算；
【类题训练】
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝1 B．x＝3x3﹣2 C．x2﹣2＝0 D．3x＝1
2．将一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化为一般形式后，对应的a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2 B．a＝1，b﹣1，c＝6
C．a＝1，b＝﹣5，c＝6 D．a＝1，b＝﹣5，c＝2
3．关于x的方程（m﹣2）+x+1是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．m≠2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m＝±2
4．已知t为一元二次方程x2﹣1011x+2023＝0的一个解，则2t2﹣2022t值为（ ）
A．﹣2023 B．﹣2022 C．﹣4046 D．﹣4044
5．方程（x+1）2＝4的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣1
6．小明解方程x2﹣2x﹣8＝0的过程如表所示，开始出现错误的是（ ）
x2﹣2x﹣8＝0
解：x2﹣2x＝8 第一步
x2﹣2x+1＝8+1 第二步
（x﹣1）2＝9 第三步
x＝4 第四步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
7．把方程x2+3x+1＝0的左边配方后可得方程（ ）
A． B．
C． D．
8．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
9．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2﹣11x+30＝0的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．11或12 C．12 D．10
10．方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝3 C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝5
11．在利用方程（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10＝0求x2+y2时，嘉琪令x2+y2＝m则原方程转化为 ，聪明又谨慎的你可以利用m得到x2+y2的值为 ．
12．解方程：
（1）3x2﹣6x＝6x﹣12．
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
13．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝1；
（2）3x2+2x＝2．
14．用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝2x+1；
（2）x（2x+3）＝2x+3．
15．解方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0；
（2）x2+2x﹣1＝0．
16．阅读材料，解答问题：
为解方程x4﹣3x2+2＝0，我们将x2视为一个整体，
解：设x2＝y，则x4＝y2，
原方程可化为y2﹣3y+2＝0，
解得y1＝2，y2＝1，
当x2＝2时，，
当x2＝1时，x＝±1，
∴原方程的解为或x＝±1．
（1）上面的解题方法，利用 法达到了降幂的目的．
（2）依据此方法解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0．
考点二 根的判别式
【知识点睛】
对于一元二次方程的一般形式：，
(1) 方程有两个不相等的实数根
(2) 方程有两个相等的实数根
(3) 方程没有实数根
【易错警示】
Ø 在应用跟的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件；
Ø 当时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知
【类题训练】
1．关于一元二次方程x2+4x+3＝0根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+n＝0无实数根，则n的值可以是（ ）
A．﹣3 B．0 C．4 D．5
3．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2+x﹣2＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
4．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠0
5．已知方程□x2﹣4x+2＝0，在□中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是 ．（填写一个符合要求的数字即可）
6．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1；
④若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；其中正确的 ．
7．已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）取一个合适的k的值，使得方程的解为负整数并求出此时方程的解．
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3+k＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于0，求k的取值范围．
9．对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为快乐数”．例如：k＝123，因为，所以123是“快乐数”．
（1）请通过计算判断241是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”；
（2）已知一个“快乐数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，a、b、c为自然数），且使关于x的一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个相等的实数根，若7≤a+b+c≤10，求满足条件的所有k的值．
考点三 根与系数的关系（韦达定理）
【知识点睛】
1.若一元二次方程的两个根为，则有，
2.两根关系的常见变形：
【类题训练】
1．若一元二次方程x2﹣2x+a＝0有一根为﹣1，则另一根为（ ）
A．5 B．﹣3 C．4 D．3
2．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣2＝0
C．﹣x2+2x﹣3＝0 D．x2﹣x﹣＝0
3．设a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（ ）
A．﹣2022 B．2018 C．﹣2018 D．2022
4．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1＝﹣3，x2＝10，则下列结论正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＜0 B．b2﹣4ac＝0 C．b2﹣4ac＞0 D．b2﹣4ac≥0
5．设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（ ）
A．6076 B．﹣6074 C．6040 D．﹣6040
6．若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
7．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于5
D．有两个正根，且有一根大于4
8．定义运算：a*b＝a（1﹣b），若a，b是方程的两根，则b*b﹣a*a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
9．若方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（ ）
A．4 B．6 C．18 D．16
10．设x1，x2是关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的两个根，且x1＝﹣x2，则k的值为 ．
11．已知关于x的一元二次方程x2+mx+5＝0有两个实数根x1，x2．若x1，x2满足x1＝2|x2|﹣3，则m＝ ．
12．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则＝ ．
13．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为﹣3，求m的值，并求另一根；
（3）若方程两根为x1，x2，且满足，求m的值．
14．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0．
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0的两个实数根α、β满足α2+β2＝17，求m的值．
15．已知t是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2x+t﹣1＝0的两个非负实根．
（1）a+b＝ ；
（2）a×b＝ ；（用t的代数式表示）
（3）求（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值．
考点四 一元二次方程的实际应用
【类题训练】
1．某种药品经过两次降价后，由每盒50元下调至32元，若每次平均降价的百分率是x，则由题意可列方程为（ ）
A．32（1+x2）＝50 B．32（1+x）2＝50
C．50（1﹣x2）＝32 D．50（1﹣x）2＝32
2．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450
C．（20﹣x）（200+40x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450
3．如图，学校有一块空地，生物组老师带领学生开发出一块长为15米、宽为10米的矩形菜园作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟三条等宽的小道，要使种植面积为88平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A．（15﹣x）（10﹣2x）＝88 B．15x+2×10x﹣2x2＝88
C．15×10﹣15x﹣11x+2x2＝88 D．（15﹣2x）（10﹣x）＝88
4．用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x（12﹣2x+1）＝20 D．x（12﹣2x﹣1）＝20
5．某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元．为了增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价（ ）
A．10元 B．15元 C．20元 D．25元
6．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2020年约为12万人次，若2022年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则可列方程 ．
7．已知一个矩形的周长为56cm．
（1）当该矩形的面积为180cm2时，求矩形的长．设矩形的长为xcm，则根据题意可列方程为 ；
（2）该矩形的面积 ．（填“能”或“不能”）为200cm2．
8．如图，在△ABC中，AB＝3cm，BC＝6cm，AC＝5cm，蚂蚁甲从点A出发，以2.5cm/s的速度沿着三角形的边按A→B→C→A的方向行走，甲出发1s后蚂蚁乙从点A出发，以2cm/s的速度沿着三角形的边按A→C→B→A的方向行走，那么甲出发 s后，甲乙第一次相距2.5cm．
9．某医药商店销售一款口罩，每袋成本价为30元，按物价部门规定，每袋售价大于30元但不得高于60元，且为整数．经市场调查发现，当售价为40元时，日均销售量为100袋，在此基础上，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋；每袋售价每减少1元，日均销售量增加5袋．设该商店这款口罩售价为x元．
（1）若该商店这款口罩日均销售额为2500元，求x的值；（销售额＝销售量×售价）
（2）是否存在x的值，使得该商店销售这款口罩的日均毛利润为1200元？若存在，求出x的值；若不存在，则说明理由．（毛利润＝销售量×（售价﹣成本价））
10．今年国庆期间，某商场经营一种文具，进价为每个30元，试营销阶段发现：当销售单价定为40元时，每天能销售30个．
（1）当销售单价每上涨1元时，每天的销售量将减少1个．请问当销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润为400元？
（2）为了回馈广大顾客，同时提高该文具的知名度，商场营销部决定在11月11日（双十一）当天开展特别降价促销活动，若每件的销售单价在（1）的基础上降价m%，则可多售出2m%，为了使一天的销售额为1120元，求m的最大值．
11．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 元；当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润相等；
（2）求租出汽车多少辆时，两公司月利润差恰为18400元？
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