浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第6章反比例函数分类专项训练(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第6章反比例函数分类专项训练(原卷版+解析)，共73页。

一、单选题
1．（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）若反比例函数的图象经过点A（a﹣b，a），其中a，b为实数，则这个反比例函数的图象一定经过点（ ）
A．（b，a﹣b）B．（b﹣a，a）C．（a，a﹣b）D．（a﹣b，b）
4．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）下列各点落在反比例函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）已知点，是反比例函数图象上的两点，则( )
A．B．C．D．
6．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）若反比例函数的图象经过点A（a，a﹣b），其中a，b为实数，则这个反比例函数的图象一定经过点（ ）
A．（b，a﹣b）B．（a，b﹣a）C．（a﹣b，a）D．（a﹣b，b）
7．（2023春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）下列函数属于反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）若反比例函数的图象经过点（2，1），则下列各点中，不在该函数图象上的是（ ）
A．（1，2）B．（－1，－2）
C．（－2，－1）D．（－2，1）
9．（2023春·浙江杭州·八年级校考期末）如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，，则的值为（ ）
A．B．C．D．不能确定
10．（2023春·浙江舟山·八年级校联考期末）已知点，，都在反比例函数（）的图像上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，直线与双曲线相交于A、两点，已知点坐标为，当时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
二、填空题
12．（2023春·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图所示，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴，垂足为B点，若，则k的值为______．
13．（2023春·浙江衢州·八年级统考期末）如图是函数和函数在第一象限部分的图象，则时，使成立的x的取值范围是______．
14．（2023春·浙江温州·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点在轴的正半轴上（）的图象上，则的面积为______．
15．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）若点A（1，a），点B（2，b）均在反比例函数y＝的图象上，则a___b（填“＞”、“＜”中的一个）．
16．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，通过灯泡的电流强度I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数．若当电阻为30Ω时，通过灯泡的电流强度为0.40A，则当电阻为50Ω时，通过灯泡的电流强度为 _______A．
17．（2023春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）已知反比例函数，当时，，则比例系数常数k的值为______．
三、解答题
18．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）已知点， 都在反比例函数的图象上．
(1)当时
①求反比例函数表达式，并求出点的坐标；
②当时，求的取值范围．
(2)若一次函数与轴交于点，求的值．
19．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知是一次函数和反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C．求：
(1)反比例函数和一次函数的解析式；
(2)不等式的解集（直接写出答案）．
20．（2017春·浙江·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与双曲线在第二象限内交于点．
(1)求a和b的值；
(2)过点B作直线l平行x轴交y轴于点C，连接，求的面积．
【典型】
一、单选题
1．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，点B(10，8)，点D在BC边上，连接AD，把ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数（k≠0）的图象经过点D，则k的值为（ ）
A．20B．30C．40D．48
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在轴正半轴上依次截取，过点、、、……分别作轴的垂线，与反比例函数交于点、、、…、，连接、、…，，过点、、…、分别向、、…、作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（ ）.
A．B．C．D．
3．（2023春·浙江·八年级校考期中）如图，正方形在平面直角坐标系中的点和点的坐标为、，点在双曲线上.若正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在该双曲线上，则的值是( )
A．1B．2C．3D．4
4．（2023春·浙江衢州·八年级统考期末）下列各点中，在反比例函数的图象上的点是（ ）
A．B．C．D．
5．秋·浙江温州·八年级温州育英国际实验学校校考开学考试）如图，点A是反比例函数y＝ 在第一象限图象上一点，连接OA，过点A作AB∥x轴（点B在点A右侧），连接OB，若OB平分∠AOX，且点B的坐标是（8，4），则k的值是（ ）
A．6B．8C．12D．16
二、填空题
6．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）若坐标为的点在反比例函数（，且为常数）的图象上，则______．
7．春·浙江温州·八年级统考期末）某水池容积为300m3，原有水100m3，现以xm3／min的速度匀速向水池中注水，注满水需要ymin，则y关于x的函数表达式为________．
【易错】
一．选择题（共3小题）
1．（2023春•下城区校级月考）关于函数y＝﹣，下列说法中错误的是（ ）
A．函数的图象在第二、四象限
B．函数的图象与坐标轴没有交点
C．y的值随x值的增大而减小
D．函数的图象关于原点对称
2．（2023春•苍南县期末）已知反比例函数，当﹣4≤x≤m时，n≤y≤n+3，则m的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．2D．1
3．（2023春•西湖区校级月考）若反比例函数y＝的图象在二、四象限，则m的值可以是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
二．填空题（共3小题）
4．（2023春•钱塘区期末）一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，选用灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A），由欧姆定律可知，I＝．当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A．为保证电流强度不低于0.2A且不超过0.6A，则选用灯泡电阻R的取值范围是 ．
5．（2023春•鄞州区校级期中）反比例函数y＝（k＞0），点A，B是反比例函数在第一象限内图象上的两点，点A的坐标为（2，4），点B的横坐标为4，点O为坐标原点，则△AOB的面积为 ．
6．（2023春•江岸区校级月考）已知函数y＝（k2+k）x是反比例函数，则k的值为 ．
三．解答题（共2小题）
7．（2023春•杭州期中）已知一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b）．
（1）求a，b的值和反比例函数的表达式．
（2）设点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点．在坐标系中画出y1和y2的图象，并根据图象直接写出，当y1＞y2时h的取值范围；
（3）设k≠0，且k≠﹣1，当x＝k时，y2＝p；当x＝k+1时，y2＝q．圆圆说：“p一定大于q“．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
8．（2023春•定海区期末）背景：点A在反比例函数（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形，如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3.5．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”，如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
【压轴】
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级期中）如图，矩形的顶点坐标分别为，动点F在边上（不与重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点C关于直线的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是；④若，则．其中正确的命题个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，第四个顶点D在反比例函数的图像上，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）已知：如图，点、点是反比例函数图象上的两点，过点作轴于点．过点作轴于点，连接，交于点，连接当为中点且时，点的坐标为____________．
4．（2023春·浙江·八年级期中）如图，四边形是平行四边形，对角线在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限内的点C分别在双曲线和的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：
①阴影部分的面积为；
②若B点坐标为，A点坐标为，则；
③当时，；
④若是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
其中正确的结论是_______（填写正确结论的序号）．
5．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是(-1，0)，(0，2)，C，D两点在反比例函数的图象上，则k的值等于________．
6．（2023春·浙江杭州·八年级阶段练习）如图，是反比例函数上的一个动点，过作轴，轴．
（1）若矩形的对角线，则矩形周长为________；
（2）如图，点在上，且，若关于直线的对称点恰好落在坐标轴上，连结，则的面积为___________．
三、解答题
7．（2023春·浙江·八年级期中）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过、
两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若两个函数图象在第一象限内的交点为，请问：在x轴上是否存在点B，使为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；
（3）若直线交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线于E，过P作x轴的平行线交直线于F，求证：为定值．
8．（2023春·浙江杭州·八年级期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，设反比例函数表达式为．解答下列问题：
（1）求点A、点B的坐标．
（2）当直线与反比例函数图象有唯一公共点P时，求k的值，并判断与的数量关系．
（3）已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于E，F两点，，求k的值．
9．（2023春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）定义：只有三边相等的四边形称为准菱形．
（1）如图1，图形 （填序号）是准菱形；
（2）如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，求证：四边形ABCD是准菱形；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA，OC分别落在y轴，x轴上，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别与边AB，BC交于点D，E．已知AD＝DE，△ADE的面积为10，AD：DB＝5：3，若点F是坐标平面上一点，四边形ADEF是准菱形，当准菱形ADEF面积最大时，求点F的坐标．
10．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）反比例函数（k≠0）和一次函数y＝ax＋2（a≠0）的图象交于第一象限内两点A（x1，y1），B（x2，y2），且0＜x1＜x2．记s＝x1•y2，t＝x2•y1．
（1）若k＝2，
①计算s•t的值．
②当1≤s＜2时，求t的取值范围．
（2）当s∶t＝1∶4时，求y1和y2的值．
11．（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市稠江中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，a）．
(1)a＝ ，k＝ ；
(2)横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P（m，n）为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝（x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝（x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．利用函数图象解决下列问题：
①若PA＝OA，则区域W内有 个整点；
②若区域W内恰有5个整点，求m的取值范围．
12．（2023春·浙江宁波·八年级统考期中）如图所示，的顶点A在反比例函数的图像上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且．
（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；
（2）若为等腰直角三角形，，其面积小于3．
①求证：；
②把称为，两点间的“ZJ距离”，记为，求的值．
13．（2023春·浙江·八年级期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，设反比例函数表达式为．解答下列问题：
（1）求点A、点B的坐标．
（2）当直线与反比例函数图象有唯一公共点P时，求k的值，并判断与的数量关系．
（3）若反比例函数的图象与直线交于点E、F（点E在点F的下方），当时：求k的值．
14．（2023春·浙江·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与反比例函数y=(k≠0)的图象在第一象限相交于点C，且点B是AC的中点.
(1)如图1，求反比例函数y=(k≠0)的解析式；
(2)如图2，若矩形FEHG的顶点E在直线AB上，顶点F在点C右侧的反比例函数y=(k≠0)图象上，顶点H，G在x轴上，且EF=4
①求点F的坐标；
②若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F的左侧，连结MG，并在MG左侧作正方形GMNP．当顶点N或顶点P恰好落在直线AB上，直接写出对应的点M的横坐标．
第6章 反比例函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：利用待定系数法解答，即可求解．
【详解】解：设该反比例函数的表达式是，
把点代入得：
，解得：，
∴该反比例函数的表达式是．
故选：A
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
2．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根据反比例函数的图象与性质可得，解不等式即可．
【详解】解：反比例函数的图象在第一、三象限，
，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
3．（2023春·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）若反比例函数的图象经过点A（a﹣b，a），其中a，b为实数，则这个反比例函数的图象一定经过点（ ）
A．（b，a﹣b）B．（b﹣a，a）C．（a，a﹣b）D．（a﹣b，b）
答案:C
分析：先根据题干中点A确定反比例函数的k值，再对四个选项的k值进行判断，看是否相等即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点A（a﹣b，a），
∴k＝（a﹣b）×a＝a2﹣ab，
只有C选项中a（a﹣b）＝a2﹣ab＝k．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的k值求法，掌握x×y=k是解题的关键．
4．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）下列各点落在反比例函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根据k=xy为定值对各选项进行逐一检验即可．
【详解】解：A．∵-4×1=-4≠4，
∴点（-4，1）不在反比例函数y=图象上；
B．∵-1×4=-4≠4，
∴点（-1，4）不在反比例函数y=图象上；
C．∵2×2=4，
∴点（2，2）在反比例函数y=图象上；
D．∵-2×2=-4≠4，
∴点（-2，2）不在反比例函数y=图象上；
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）已知点，是反比例函数图象上的两点，则( )
A．B．C．D．
答案:D
分析：根据反比例函数的增减性即可求得a与b的大小关系．
【详解】解：∵k＞0，
∴反比例函数图象的两个分支在第一，三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵A（1，a），B（2，b）是反比例函数图象上的两点，且1＜2，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
6．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）若反比例函数的图象经过点A（a，a﹣b），其中a，b为实数，则这个反比例函数的图象一定经过点（ ）
A．（b，a﹣b）B．（a，b﹣a）C．（a﹣b，a）D．（a﹣b，b）
答案:C
分析：先根据题干中点A确定反比例函数的k值，再对四个选项的k值进行判断，看是否相等即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点A（a，a﹣b），
∴k＝a（a﹣b）＝a2﹣ab，
只有C选项中（a﹣b）×a＝a2﹣ab＝k．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的k值求法，掌握x×y=k是本题关键．
7．（2023春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）下列函数属于反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据反比例函数的定义，逐项判断即可．
【详解】解：A．是一次函数，不符合题意，故本选项错误；
B．是反比例函数，符合题意，故本选项正确；
C．不是反比例函数，不符合题意，故本选项错误；
D．是正比例函数，不符合题意，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义．
8．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）若反比例函数的图象经过点（2，1），则下列各点中，不在该函数图象上的是（ ）
A．（1，2）B．（－1，－2）
C．（－2，－1）D．（－2，1）
答案:D
分析：先利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后求出当x=1，x=-1和x=-2时的函数值即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点（2，1），
∴，
∴k=2，
∴反比例函数解析式为，
当x=-1时，，当x=-2时，y=-1，当x=1时，y=2，
∴点（1，2），（-1，-2），（-2，-1）在反比例函数图象上，点（-2，1）不在反比例函数图象上，
故选D．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数的函数值，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．
9．（2023春·浙江杭州·八年级校考期末）如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，，则的值为（ ）
A．B．C．D．不能确定
答案:C
分析：根据题意和反比例函数的性质，可以得到的值．
【详解】解：设点的坐标为，
∵的面积是，
∴，
解得，，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是找出与三角形面积的关系．
10．（2023春·浙江舟山·八年级校联考期末）已知点，，都在反比例函数（）的图像上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：根据题意易得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，由此问题可求解．
【详解】解：由反比例函数（）可知该函数在第一、三象限，则有在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点，，都在反比例函数的图像上，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．
11．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，直线与双曲线相交于A、两点，已知点坐标为，当时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
答案:D
分析：将点B的坐标代入，求出m的值，得出点B的坐标，结合函数图象，即可得出答案．
【详解】解：∵点在直线上，
，
即，
点，
由两个函数的图象以及交点坐标可知，
当时，，
当时，，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是根据一次函数解析式求出m的值．
二、填空题
12．（2023春·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图所示，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴，垂足为B点，若，则k的值为______．
答案:6
分析：根据反比例函数k的几何意义即可得出结果．
【详解】解：由题意，
∴，
又∵反比例函数位于一、三象限，
∴，
∴k的值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，理解k的几何意义是解题的关键，其中k的符号是易错点．
13．（2023春·浙江衢州·八年级统考期末）如图是函数和函数在第一象限部分的图象，则时，使成立的x的取值范围是______．
答案:
分析：根据函数图像即可求解．
【详解】解：令，
解得x＝（负数舍去），
根据图象可知，使成立的x的取值范围是：x＞，
故答案为：x＞．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．
14．（2023春·浙江温州·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点在轴的正半轴上（）的图象上，则的面积为______．
答案:12
分析：过点A作AH⊥OB于点H，根据反比例函数的几何意义，得到 ，再根据等边三角形的性质，可得到，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥OB于点H，
∵点在轴的正半轴上（）的图象上，
∴ ，
∵是等边三角形，AH⊥OB
∴ ，
∴ ．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了反比函数的几何意义，熟练掌握本题主要考查了反比例函数 中 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 轴、 轴垂线，所得矩形面积等于 是解题的关键．
15．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）若点A（1，a），点B（2，b）均在反比例函数y＝的图象上，则a___b（填“＞”、“＜”中的一个）．
答案:>
分析：根据反比例函数性质k>0时，y随x增大而减小即可判断．
【详解】解：∵反比例函数y＝中，k＝4＞0，
∴该函数在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（1，a），点B（2，b）均在反比例函数y＝的图象上，1＜2，
∴a＞b，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
16．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，通过灯泡的电流强度I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数．若当电阻为30Ω时，通过灯泡的电流强度为0.40A，则当电阻为50Ω时，通过灯泡的电流强度为 _______A．
答案:0.24
分析：先根据电流和电阻反比例函数k值，再根据k值推测另一个电阻所对应的电阻．
【详解】解：由题意可得：I＝，
∵当电阻为30Ω时，通过灯泡的电流强度为0.40A，
∴U＝30×0.40＝12（V），
∴I＝，
当电阻为50Ω时，
I＝＝0.24（A）．
故答案为：0.24．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，根据已知先求出函数表达式是本题解题关键．
17．（2023春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）已知反比例函数，当时，，则比例系数常数k的值为______．
答案:
分析：将时，，代入解析式，根据反比例数的定义即可求解．
【详解】解：∵反比例函数，当时，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例数的定义，掌握反比例数的定义是解题的关键．
三、解答题
18．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）已知点， 都在反比例函数的图象上．
(1)当时
①求反比例函数表达式，并求出点的坐标；
②当时，求的取值范围．
(2)若一次函数与轴交于点，求的值．
答案:(1)①反比例函数解析式为y＝ ，点B（﹣3，﹣2）；②0＜x＜1；
(2)k＝1．
分析：（1）把已知条件代入点的坐标，再把已知点的坐标数据代入函数解析式，确定函数解析式，再求点中未知的坐标．根据函数图像以及已知条件列不等式求x的取值范围．
（2）把已知数据代入点和直线解析式，确定k的值即可．
【详解】（1）解：①a＝3时，点A（2，a）就是（2，3），
代入解析式得3＝ ，
解得k＝6，
反比例函数解析式为y＝ ，
把点B（b，﹣2）代入解析式得﹣2＝，
解得b＝﹣3，
点B（﹣3，﹣2）；
②当y＞6时，由反比例函数图象可知是在第一象限部分，
∴＞6，
∴0＜x＜1；
（2）点A、B在反比例函数上，
代入整理得，﹣a＝b，
∵一次函数y＝kx+b与x轴交于点（a，0），
代入：0＝ak+b，
即：0＝ak﹣a，
∵A（2，a）在反比例函数上，
∴a≠0，
∴0＝k﹣1，
k＝1．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、图象以及函数解析式，关键要熟练掌握运用待定系数法求函数解析式，把点中已知坐标数据代入解析式求未知坐标．
19．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知是一次函数和反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C．求：
(1)反比例函数和一次函数的解析式；
(2)不等式的解集（直接写出答案）．
答案:(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)或．
分析：（1）根据A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象的两个交点，可以求得m的值，进而求得n的值，即可解答本题；
（2）根据函数图象以及点的横坐标即可求解．
【详解】（1）解：∵A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象的两个交点，
∴4，得：m＝4，
∴y，
∴﹣2，得：n＝﹣2，
∴点A（﹣2，﹣2），
∴，
得：，
∴一次函数解析式为y＝2x+2，
即反比例函数解析式为，一次函数解析式为；
（2）解：∵点A（﹣2，﹣2），点B（1，4），
∴不等式即的解集是：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．（2017春·浙江·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与双曲线在第二象限内交于点．
(1)求a和b的值；
(2)过点B作直线l平行x轴交y轴于点C，连接，求的面积．
答案:(1)，
(2)
分析：（1）先把点B的坐标代入反比例函数解析式中求出a的值，即得到点B的坐标，再把点B的坐标代入一次函数解析式求出b的值即可；
（2）先求出点C的坐标，进而求出的长，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入到反比例函数解析式中得：，
∴，
把代入到一次函数解析式中得：，
∴；
（2）解：∵，轴，
∴，
∴，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点B的坐标是解题的关键．
【典型】
一、单选题
1．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，点B(10，8)，点D在BC边上，连接AD，把ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数（k≠0）的图象经过点D，则k的值为（ ）
A．20B．30C．40D．48
答案:B
分析：根据翻折变换的性质，可得AE＝AB＝5，DE＝BD；然后设点D的坐标是（10，b），在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CD的长度，进而求出k的值．
【详解】解：∵△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，点B（10，8），
∴AE＝AB＝10，DE＝BD，
∵AO＝8，AE＝10，
∴OE＝＝6，CE＝10﹣6＝4，
设点D的坐标是（10，b），
则CD＝b，DE＝8﹣b，
∵CD2+CE2＝DE2，
∴b2+42＝（8﹣b）2，
解得b＝3，
∴点D的坐标是（10，3），
∵反比例函数的图象经过点D，
∴k＝10×3＝30，
故选：B．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，同时也考查了矩形的翻折问题．须熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式，轴对称的性质．其中求点D的坐标是解题的关键．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在轴正半轴上依次截取，过点、、、……分别作轴的垂线，与反比例函数交于点、、、…、，连接、、…，，过点、、…、分别向、、…、作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（ ）.
A．B．C．D．
答案:B
分析：由可设点的坐标为（1，），点的坐标为（1，），点的坐标为（1，）…点的坐标为（1，），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出的值，再由三角形的面积公式可以得出…的值，即可得出答案.
【详解】∵
∴设（1，），（1，），（1，）…（1，）
∵、、、…、在反比例函数的图像上
∴
∴
∴
∵
∴
…
∴
因此答案选择B.
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.
3．（2023春·浙江·八年级校考期中）如图，正方形在平面直角坐标系中的点和点的坐标为、，点在双曲线上.若正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在该双曲线上，则的值是( )
A．1B．2C．3D．4
答案:B
分析：过点作轴的垂线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的垂线交于，根据全等三角形的判定和性质，可得到点坐标和点坐标，从而求得双曲线函数未知数和平移距离.
【详解】过点作轴的垂线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的垂线交于.
，，，.
又，，，点坐标为
将点坐标为代入，可得=4.
与同理，可得到，，点坐标为，正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点坐标为
将点坐标为代入，可得=2. 故选B.
【点睛】本题综合考查反比例函数中未知数的求解、全等三角形的性质与判定、图形平移等知识.涉及图形与坐标系结合的问题，要学会通过辅助线进行求解.
4．（2023春·浙江衢州·八年级统考期末）下列各点中，在反比例函数的图象上的点是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：根据反比例函数解析式可得xy=6，然后对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：∵，
∴xy=6，
A、∵2×3=6，
∴点（2，3）在反比例函数图象上，故本选项正确；
B、∵1×4=4≠6，
∴点（1，4）不在反比例函数图象上，故本选项错误；
C、∵-2×3=-6≠6，
∴点（-2，3）不在反比例函数图象上，故本选项错误；
D、∵-1×4=-4≠6，
∴点（-1，4）不在反比例函数图象上，故本选项错误．
故选A．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
5．秋·浙江温州·八年级温州育英国际实验学校校考开学考试）如图，点A是反比例函数y＝ 在第一象限图象上一点，连接OA，过点A作AB∥x轴（点B在点A右侧），连接OB，若OB平分∠AOX，且点B的坐标是（8，4），则k的值是（ ）
A．6B．8C．12D．16
答案:C
分析：由AB∥x轴即可得∠1＝∠B，得出OA＝AB，过点A作AC⊥x轴于点C，设A（a，4），则AB＝8﹣a，根据勾股定理表示出OA，根据OA＝AB列出关于a的方程，解方程即可求得A的坐标，将点A的坐标代入解析式求解可得．
【详解】∵AB作∥x轴，
∴∠2＝∠B，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠B，
∴OA＝AB，
过点A作AC⊥x轴于点C，
∵点B的坐标是（8，4），
∴AC＝4，
设A（a，4），则AB＝8﹣a，
∴OA＝，
∴＝8﹣a，
解得a＝3，
∴点A的坐标为（3，4），
∵点A是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，
∴k＝3×4＝12，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定和性质，求得A点的坐标是解题的关键．
二、填空题
6．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）若坐标为的点在反比例函数（，且为常数）的图象上，则______．
答案:
分析：直接把点P代入反比例函数（，且为常数），求出k的值即可．
【详解】解：将点P代入反比例函数（，且为常数）得：
，
解得：，
故答案为：
【点睛】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7．春·浙江温州·八年级统考期末）某水池容积为300m3，原有水100m3，现以xm3／min的速度匀速向水池中注水，注满水需要ymin，则y关于x的函数表达式为________．
答案:y=
分析：先根据条件算出注满容器还需注水200m3 ， 根据注水时间=容积÷注水速度，据此列出函数式即可.
【详解】解：容积300m3,原有水100m3，还需注水200m3，由题意得：y=.
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，理清实际问题中的等量关系是解题的关键.
【易错】
一．选择题（共3小题）
1．（2023春•下城区校级月考）关于函数y＝﹣，下列说法中错误的是（ ）
A．函数的图象在第二、四象限
B．函数的图象与坐标轴没有交点
C．y的值随x值的增大而减小
D．函数的图象关于原点对称
分析：直接利用反比例函数的性质：图象、增减性、图象上坐标特点，分别判断得出答案．
【解答】解：函数y＝﹣，k＝﹣2＜0，
∴该函数的图象在第二、四象限，故选项A说法正确；
函数的图象与坐标轴没有交点，故选项B说法正确；
在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项C说法错误；
函数的图象关于原点对称，故选项D说法正确．
故选C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
2．（2023春•苍南县期末）已知反比例函数，当﹣4≤x≤m时，n≤y≤n+3，则m的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．2D．1
分析：根据反比例函数的性质求解
【解答】解：∵﹣4≤x≤m时，n≤y≤n+3，
∴m＜0，
∴当﹣4≤x≤m时，y＝随x的增大而减小，
∴当x＝﹣4时，y＝n+3，
当x＝m时，y＝n，
∴﹣4（n+3）＝4，mn＝4，
∴m＝﹣1，n＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是求解本题的关键．
3．（2023春•西湖区校级月考）若反比例函数y＝的图象在二、四象限，则m的值可以是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
分析：根据反比例函数的性质：y＝，k＞0时，图象位于一三象限，k＜0时，图象位于二四象限，可得答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在二、四象限，
∴3﹣2m＜0，
解得m＞1.5，
∴m的值可以是2，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质得出关于m的不等式是解题关键．
二．填空题（共3小题）
4．（2023春•钱塘区期末）一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，选用灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A），由欧姆定律可知，I＝．当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A．为保证电流强度不低于0.2A且不超过0.6A，则选用灯泡电阻R的取值范围是 20≤R≤60 ．
分析：利用待定系数法可得I＝，然后根据题意可得0.2≤I≤0.6，从而可得0.2≤≤0.6，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
I＝，
∵当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A，
∴U＝IR＝0.3×40＝12（V），
∴I＝，
当0.2≤I≤0.6时，
∴0.2≤≤0.6，
∴20≤R≤60，
故答案为：20≤R≤60．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
5．（2023春•鄞州区校级期中）反比例函数y＝（k＞0），点A，B是反比例函数在第一象限内图象上的两点，点A的坐标为（2，4），点B的横坐标为4，点O为坐标原点，则△AOB的面积为 6 ．
分析：作直线AB，根据A的坐标为（2，4），先求出k＝8，再根据反比例函数求出B点坐标，从而利用待定系数法求一次函数的解析式为y＝﹣x+6，求出直线与x轴的交点C的坐标后，即可求出S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×6×（4﹣2）＝6．
【解答】解：如图，作直线AB，设直线AB与x轴交于点C，
∵点A（2，4）在反比例函数图象上，
∴4＝，
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为y＝；
∵B点的横坐标为4，
∴y＝，
∴y＝2，
∴B（4，2），
∵点A（2，4）、点B（4，2）在直线y＝k1x+b上，
∴，
解得，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+6，
与x轴的交点坐标C（6，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC•yA﹣CO•yB＝×6×（4﹣2）＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，本题的关键是求得交点坐标．
6．（2023春•江岸区校级月考）已知函数y＝（k2+k）x是反比例函数，则k的值为 1 ．
分析：利用反比例函数定义进行解答即可．
【解答】解：由题意得：k2﹣k﹣1＝﹣1，且k2+k≠0，
解得：k＝1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握反比例函数形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
三．解答题（共2小题）
7．（2023春•杭州期中）已知一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b）．
（1）求a，b的值和反比例函数的表达式．
（2）设点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点．在坐标系中画出y1和y2的图象，并根据图象直接写出，当y1＞y2时h的取值范围；
（3）设k≠0，且k≠﹣1，当x＝k时，y2＝p；当x＝k+1时，y2＝q．圆圆说：“p一定大于q“．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
分析：（1）把A（a，3），B（﹣1，b）分别代入一次函数y1＝3x﹣3中，即可求得a、b的值，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据交点坐标，结合图象即可求得；
（3）设k＝k0，且﹣1＜k0＜0，将x＝k0，x＝k0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b），
∴3＝3a﹣3，b＝﹣3﹣3，
∴a＝2，b＝﹣6，
∴A（2，3），B（﹣1，﹣6），
把A（2，3）代入反比例函数，则3＝，
∴m＝6，
∴反比例函数的表达式是y2＝；
（2）点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点．当y1＞y2时h的取值范围是h＞2或﹣1＜h＜0；
（3）圆圆的说法不正确，
理由如下：设k＝k0，且﹣1＜k0＜0，
则k0＜0，k0+1＞0，
∴当x＝k0时，p＝y2＝，
当x＝k0+1时，q＝y2＝0，
∴p＜0＜q，
∴圆圆的说法不正确．
方法二、当x＝时，p＝y2＝，当x＝k+1时，q＝y2＝，
∴p﹣q＝﹣＝，
∴当k＜﹣1时，则p﹣q＝＞0，
∴p＞q，
当﹣1＜k＜0时，则p﹣q＝＜0，
∴p＜q，
当k＞0时，则p﹣q＝＞0，
∴p＞q，
∴圆圆的说法不正确．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，数形结合是解题的关键．
8．（2023春•定海区期末）背景：点A在反比例函数（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形，如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3.5．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”，如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
分析：（1）根据正方形的性质，可得A（4，0.5），再将A（4，0.5）代入反比例函数（k＞0），可得k的值；
（2）①由题意知，A（x，x﹣z），则x（x﹣z）＝2，变形即可得出z关于x的函数解析式；
②根据描点法，画出图象即可．
【解答】解：（1）当AC＝4，CD＝3.5时，AD＝0.5，
∵四边形ABED是正方形，
∴AD＝AB＝0.5，
∴A（4，0.5），
∵点A在反比例函数（k＞0），的图象上，
∴k＝4×0.5＝2；
（2）①由题意知，A（x，x﹣z），
∴x（x﹣z）＝2，
∴z＝x﹣；
②如图，
性质：当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而增大；
函数图象与y轴无交点．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，描点法画函数图象，解题的关键是读懂题意，表示出“Z函数”的表达式．
【压轴】
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级期中）如图，矩形的顶点坐标分别为，动点F在边上（不与重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点C关于直线的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是；④若，则．其中正确的命题个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:D
分析：①若，则计算，故命题①正确；②如答图所示，若，可证明直线是线段的垂直平分线，故命题②正确；③因为点不经过点，所以，即可得出的范围；④求出直线的解析式，得到点、的坐标，然后求出线段、的长度；利用算式，求出，故命题④正确．
【详解】解：
命题①正确．理由如下：
，
，，，
，．
，故①正确；
命题②正确．理由如下：
，
，，，
，．
如答图，过点作轴于点，则，；
在线段上取一点，使得，连接．
在中，由勾股定理得：，
．
在中，由勾股定理得：．
，
又，
直线为线段的垂直平分线，即点与点关于直线对称，故②正确；
命题③正确．理由如下：
由题意，点与点不重合，所以，
，故③正确；
命题④正确．理由如下：
设，则，．
设直线的解析式为，则有，解得，
．
令，得，
；
令，得，
．
如答图，过点作轴于点，则，．
在中，，，由勾股定理得：；
在中，，，由勾股定理得：．
，解得，
，故命题④正确．
综上所述，正确的命题是：①②③④，共4个，
故选：D．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，第四个顶点D在反比例函数的图像上，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：过点D作DE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于F，作BH∥x轴，交CF于H，利用AAS得到三角形ADE与三角形BCH全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=BH=2，DE=CH=1，求出OE的长，确定出D坐标，代入反比例解析式求出k的值即可．
【详解】解：过点D作DE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于F，作BH∥x轴，交CF于H，
∵A（1，0），B（4，2），C（2，3），
∴BH=4-2=2，CH=3-2=1，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵BH∥x轴，
∴∠ABH=∠BAF，
∵∠DAE+∠BAF+∠DAB=180°=∠CBH+∠ABH+∠DAB，
∴∠DAE=∠CBH，
在△ADE和△BCH中，
，
∴△ADE≌△BCH（AAS），
∴AE=BH=2，DE=CH=1，
∴OE=1，
∴点D坐标为（-1，1），
∵点D在反比例函数的图象上，
∴k=-1×1=-1，
故选：A．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
二、填空题
3．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）已知：如图，点、点是反比例函数图象上的两点，过点作轴于点．过点作轴于点，连接，交于点，连接当为中点且时，点的坐标为____________．
答案:，
分析：根据三角形中位线定理得到，即可得到，得到，根据直角三角形斜边中线的性质即可得出，设，则，，利用勾股定理，，利用反比例函数解析式即可求得的值，即可求得的横坐标，代入反比例函数解析式求得纵坐标．
【详解】解：轴于点．轴于点，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，为中点，
是的中点，
，
，
，
设，则，，
利用勾股定理，，
，
，
，
，
，
的横坐标为，
把代入得，，
的坐标为，，
故答案为，．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，求出的长度是解题的关键．
4．（2023春·浙江·八年级期中）如图，四边形是平行四边形，对角线在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限内的点C分别在双曲线和的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：
①阴影部分的面积为；
②若B点坐标为，A点坐标为，则；
③当时，；
④若是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
其中正确的结论是_______（填写正确结论的序号）．
答案:②④
分析：作轴于点，轴于点，①由，，得到；②由平行四边形的性质求得点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求得系数的值．③当，得到四边形是矩形，由于不能确定与相等，则不能判断，所以不能判断，则不能确定；④若是菱形，根据菱形的性质得，可判断，则，所以，即，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称．
【详解】解：作轴于，轴于，如图，
①，，
，
而，，
，故①错误；
②四边形是平行四边形，点坐标为，点坐标为，的坐标为．
．
又点位于上，
．故②正确；
③当，
四边形是矩形，
不能确定与相等，
而，
不能判断，
不能判断，
不能确定，故③错误；
④若是菱形，则，
而，
，
，
，
，
两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称，故④正确．
故答案是：②④．
【点睛】本题属于反比例函数的综合题，考查了反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、矩形的性质和菱形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
5．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是(-1，0)，(0，2)，C，D两点在反比例函数的图象上，则k的值等于________．
答案:-12
分析：设C（a，），根据AC与BD的中点坐标相同可得点D坐标，代入解析式可得k关于a的不等式，由BC=2AB=可求出a的值，进而得出k值．
【详解】设C（a，），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD的中点坐标相同，
∴（，）=（，），
解得：，，即D（，），
∴=，即，
∵BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（-1，0），（0，2），
∴AB=，BC=，
∴BC2=（0-a）2+=，
∴，
∴，
解得：，
∵,
∴，
∴,
故答案为：-12
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、平行四边形的性质、中点坐标公式及解方程，熟练掌握相关性质是解题关键．
6．（2023春·浙江杭州·八年级阶段练习）如图，是反比例函数上的一个动点，过作轴，轴．
（1）若矩形的对角线，则矩形周长为________；
（2）如图，点在上，且，若关于直线的对称点恰好落在坐标轴上，连结，则的面积为___________．
答案: 4或
分析：（1）设矩形的两边为、，利用反比例函数的几何意义得到，再根据勾股定理得到，根据完全平分公式变形得到，则可计算出，从而得到矩形的周长；
（2）当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图2，与相交于点，利用三角形面积公式得到，再根据对称轴的性质得垂直平分，，接着证明垂直平分得到，所以，则；当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图3，证明四边形为正方形得到，，则可计算出，而，于是得到．
【详解】解：（1）设矩形的两边为、，则，
矩形的对角线，
，
，
，
，
矩形的周长为，
故答案为；
（2）当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图2，与相交于点，
矩形的面积，
而，
，
点与点关于对称，
垂直平分，，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
；
当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图3，
点与点关于对称，
，，
为等腰直角三角形，
平分，
四边形为正方形，
，，
，
，
而，
，
综上所述，的面积为4或，
故答案为4或．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的几何意义和轴对称的性质；灵活运用矩形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质．
三、解答题
7．（2023春·浙江·八年级期中）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过、
两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若两个函数图象在第一象限内的交点为，请问：在x轴上是否存在点B，使为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；
（3）若直线交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线于E，过P作x轴的平行线交直线于F，求证：为定值．
答案:（1）反比例函数解析式为；（2）或；（3）
分析：（1）把点、分别代入一次函数进行求即可；
（2）求出点A的坐标，然后根据为直角三角形可求出点B的坐标；
（3）作FM⊥x轴于点M，EN⊥y轴于点N，构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质将转化为反比例函数系数的倍数来解得即可．
【详解】解：（1）∵一次函数图象经过、，
∴，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）存在，理由如下：
由（1）可得：反比例函数解析式为，
∵在反比例函数上，
∴，
当时，如图所示：
∴点，
当时，如图所示：
∴AC=OC，
∴∠AOC=45°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴OB=2，
∴点；
综上所述：在x轴上存在点B，使为直角三角形，则点或；
（3）设，
∵直线交x轴于C，交y轴于D，
∴，
∴，
∴△OCD是等腰直角三角形，
作FM⊥x轴于点M，EN⊥y轴于点N，如图所示：
∴△FMC、△DEN都为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵在反比例函数上，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
8．（2023春·浙江杭州·八年级期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，设反比例函数表达式为．解答下列问题：
（1）求点A、点B的坐标．
（2）当直线与反比例函数图象有唯一公共点P时，求k的值，并判断与的数量关系．
（3）已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于E，F两点，，求k的值．
答案:（1）A（，0），B（0，6）；（2），AP=BP；（3）6
分析：（1）分别令x=0，y=0，求出与坐标轴的交点即可；
（2）联立函数表达式，得到一元二次方程，根据根的判别式列方程求解；
（3）分k＜0和k＞0，联立表达式，求出E和F的纵坐标，根据△OEF的面积列方程即可求出k值．
【详解】解：（1）∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0，则y=6，则B（0，6），
令y=0，则x=，则A（，0）；
（2）令，
则，
令，
解得：，
则，
解得：x=，代入中，
得，即P（，3），
∵，，
∴点P是AB中点，即AP=BP；
（3）设一次函数y=-x+5与x轴和y轴分别交于点C和点D，
在y=-x+5中，令x=0，则y=5，令y=0，则x=5，
∴C（5，0），D（0，5），
当k＜0时，反比例函数图像经过二、四象限，与直线y=-x+5总有两个交点，如图
则S△OCD=＞，故不符合；
当k＞0时，联立：，
解得：x=或，分别代入y=-x+5中，
得：y=和y=，
则点E和点F则纵坐标分别为，，
则S△OEF=S△OCE-S△OCF
=
=
=，
解得：k=6．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，根的判别式，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
9．（2023春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）定义：只有三边相等的四边形称为准菱形．
（1）如图1，图形 （填序号）是准菱形；
（2）如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，求证：四边形ABCD是准菱形；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA，OC分别落在y轴，x轴上，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别与边AB，BC交于点D，E．已知AD＝DE，△ADE的面积为10，AD：DB＝5：3，若点F是坐标平面上一点，四边形ADEF是准菱形，当准菱形ADEF面积最大时，求点F的坐标．
答案:（1）②③；（2）见解析；（3）点F的坐标为(-，)或(8-，)．
分析：（1）根据准菱形的定义即可判断；
（2）过点B作BE∥AD交CD于点E，证明四边形ABED为菱形以及BE=BC，即可证明四边形ABCD是准菱形；
（3）设DB=3a，则AD=DE=5a，利用勾股定理以及三角形面积公式求得，再根据点D，E在反比例函数的图象上，求得，得到点D的坐标为(5，)，点E的坐标为(8，)，点B的坐标为(8，)，然后根据菱形的定义，分两种情况讨论，求解即可．
【详解】（1）解：图①四边都相等，不符合准菱形的定义，不是准菱形；
图②有三边相等，符合准菱形的定义，是准菱形；
图③有三边相等，符合准菱形的定义，是准菱形；
图④不存在边相等，不符合准菱形的定义，不是准菱形；
故答案为：②③；
（2）过点B作BE∥AD交CD于点E，
∵AB∥DC，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABED为菱形，
∴∠D=∠BEC，∠ABC+∠C=180°，AD=BE，
∵∠ABC +∠D=180°，
∴∠D=∠BEC=∠C，
∴BE=BC，
∴AB＝AD=BC，
故四边形ABCD是准菱形；
（3）∵AD：DB＝5：3，AD＝DE，
设DB=3a，则AD=DE=5a，
在Rt△BDE中，
由勾股定理得BE=，
∵△ADE的面积为10，
∴，即，
∴(负值已舍)，
∵点D，E在反比例函数的图象上，
设点D的坐标为(5，)，点E的坐标为(8，)，点B的坐标为(8，)，
∵BE=4，
∴，
解得：，
∴点D的坐标为(5，)，点E的坐标为(8，)，点B的坐标为(8，)，
在Rt△ABE中，AE=，
四边形ADEF是准菱形，根据准菱形的定义知点F在以E为圆心，5为半径的圆上，
要使准菱形ADEF面积最大，即△AEF面积最大，
则当EF⊥AE时，△AEF面积最大，如图：
∵∠DAH+∠ADH=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∠FEG+∠EFG=90°，∠FEG+∠AEB=90°，
∴∠DAH=∠FEG，
又∵AD=EF=5，
∴Rt△ADHRt△EFG(AAS)，
∴AH=EG，DH=FG，
在等腰△ADE中，△ADE的面积为10，AH=HE=AE=，
AE• DH=10，解得DH=，
FG=，EG，
点F的坐标为(8-，)；
四边形ADEF是准菱形，根据准菱形的定义知点F在以A为圆心，5为半径的圆上，
要使准菱形ADEF面积最大，即△AEF面积最大，
则当AF⊥AE时，△AEF面积最大，如图：
同理求得FG=，AG，
点F的坐标为(-，)；
综上，点F的坐标为(-，)或(8-，)．
【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到菱形的判定和性质、勾股定理、圆的基本知识、面积公式的运用等，综合性很强，难度大．
10．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）反比例函数（k≠0）和一次函数y＝ax＋2（a≠0）的图象交于第一象限内两点A（x1，y1），B（x2，y2），且0＜x1＜x2．记s＝x1•y2，t＝x2•y1．
（1）若k＝2，
①计算s•t的值．
②当1≤s＜2时，求t的取值范围．
（2）当s∶t＝1∶4时，求y1和y2的值．
答案:（1）①4；②2＜t≤4；（2）y1＝，y2＝
分析：（1）①由反比例函数（k≠0）中，k＝xy得到x1y1＝x2y2＝k，即可得到s•t＝x1•y2•x2•y1＝x1y1∙x2y2＝2×2＝4；
②由x1＝，y2＝，s＝x1•y2，，得到1≤x1•y2＜2，即可得出1≤＜2，由k＝2，解不等式组即可求得2＜t≤4；
（2）由s：t＝1：4，得出y12＝4y22，即可得出y1＝2y2，从而得出A（x2，2y2），把A（x2，2y2），B（x2，y2）代入y＝ax＋2得到关于x2，y2的方程组，进而即可求解．
【详解】解：（1）①∵反比例函数（k≠0）和一次函数y＝ax＋2（a≠0）的图象交于第一象限内两点A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1y1＝x2y2＝k，
∵k＝2，
∴s•t＝x1•y2•x2•y1＝x1y1∙x2y2＝2×2＝4；
②∵1≤s＜2，
∴1≤x1•y2＜2，
∴1≤•＜2，
∴1≤＜2，
∵k＝2，
∴2＜t≤4；
（2）∵s：t＝1：4，
∴，
∴4×＝，
∵x1＝，x2＝，
∴y12＝4y22，
∴y1＝2y2，
∴A（x2，2y2），
∵一次函数y＝ax＋2（a≠0）的图象经过点A、B，
∴，解得y2＝，
∴y1＝2y2＝．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，把反比例函数解析式进行变形是解本题的关键．
11．（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市稠江中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，a）．
(1)a＝ ，k＝ ；
(2)横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P（m，n）为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝（x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝（x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．利用函数图象解决下列问题：
①若PA＝OA，则区域W内有 个整点；
②若区域W内恰有5个整点，求m的取值范围．
答案:(1)3；6
(2)①5
②或
分析：（1）先把点A代入直线l的关系式，求出a的值，再把点A代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（2）①先求出点P坐标，结合函数图象可求解；
②分两种情况讨论，结合函数图象可求解．
【详解】（1）解：∵直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，a），
∴a＝×2＝3，
∴点A（2，3），
∵反比例函数y＝过点A，
∴k＝3×2＝6．
故答案为：3；6．
（2）①∵点P为射线OA上一点，且PA＝OA，
∴A为OP中点，
∵A（2，3），
∴点P的坐标为（4，6），
将x＝4代入y＝中，得y＝，
将y＝6代入y＝中，得x＝1，
∵PB，PC分别垂直于x轴和y轴，
∴B（4，），C（1，6），
如图所示：

结合函数图象可知，区域W内有5个整点，
故答案为：5；
②当点P在点A下方时，如图，

结合函数图象可知，当≤m＜1时，区域W内有5个整点；
当点P在点A上方时，如图，

结合函数图象可知，当＜m≤4时，区域W内有5个整点；
综上所述：当＜m≤4或≤m＜1，区域W内有5个整点．
【点睛】本题是反比例函数与正比例函数的综合题，考查了反比例函数图象的性质，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
12．（2023春·浙江宁波·八年级统考期中）如图所示，的顶点A在反比例函数的图像上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且．
（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；
（2）若为等腰直角三角形，，其面积小于3．
①求证：；
②把称为，两点间的“ZJ距离”，记为，求的值．
答案:（1）；（2）①见解析；②8．
分析：（1）由点E为线段OC的中点，可得E点坐标为，进而可知A点坐标为：，代入解析式即可求出k；
（2）①由为等腰直角三角形，可得，再根据同角的余角相等可证，由AAS即可证明；
②由“ZJ距离”的定义可知为MN两点的水平距离与垂直距离之和，故，即只需求出B点坐标即可，设点，由可得，进而代入直线AB解析式求出k值即可解答．
【详解】解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC=5，
∴,即：E点坐标为，
又∵AE⊥y轴，AE=1，
∴，
∴．
（2）①在为等腰直角三角形中，，，
∴，
又∵BF⊥y轴，
∴，
∴
在和中
，
∴，
②解：设点坐标为，
∵
∴，，
∴，
设直线AB解析式为：，将AB两点代入得：
则．
解得，．
当时，，，，符合；
∴
，
当时，，，，不符，舍去；
综上所述：．
【点睛】此题属于代几综合题，涉及的知识有：反比例函数、一次函数的性质及求法、三角形全等的判定及性质、等腰直角三角形性质等，熟练掌握三角形全等的性质和判定和数形结合的思想是解本题的关键．
13．（2023春·浙江·八年级期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，设反比例函数表达式为．解答下列问题：
（1）求点A、点B的坐标．
（2）当直线与反比例函数图象有唯一公共点P时，求k的值，并判断与的数量关系．
（3）若反比例函数的图象与直线交于点E、F（点E在点F的下方），当时：求k的值．
答案:（1）A（，0），B（0，9）；（2），AP=BP；（3）
分析：（1）在直线中，分别令x=0和y=0，即可求出A、B坐标；
（2）联立表达式，得到一元二次方程，根据根的判别式为0可得k值；
（3）联立表达式，求出x值，根据EF和AE的关系，分k＜0和k＞0两种情况，利用面积法得到方程，求出k值即可．
【详解】解：（1）∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0，则y=9，则B（0，9），
令y=0，则x=，则A（，0）；
（2）令，
则，
令，
解得：，
解方程，
解得：x1=x2=，代入中，
得：，即P（，），
∵，，
∴点P是AB中点，即AP=BP；
（3）联立：，
解得：x=或，
则，即点E的纵坐标为，
，即点F的纵坐标为，
∵，
当k＜0时，反比例函数经过二、四象限，
则S△OAF=3S△OAE，
则，即，
则，
解得：k=，故不符合；
当k＞0时，反比例函数经过一、三象限，
则S△OAF=5S△OAE，
则，即，
则，
解得：k=；
经检验：k=是原方程的根，且符合题意，
综上：若EF=4AE，则k的值为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程，根的判别式，有一定难度，计算量较大，解题的关键是将线段关系转化为面积关系列出方程．
14．（2023春·浙江·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与反比例函数y=(k≠0)的图象在第一象限相交于点C，且点B是AC的中点.
(1)如图1，求反比例函数y=(k≠0)的解析式；
(2)如图2，若矩形FEHG的顶点E在直线AB上，顶点F在点C右侧的反比例函数y=(k≠0)图象上，顶点H，G在x轴上，且EF=4
①求点F的坐标；
②若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F的左侧，连结MG，并在MG左侧作正方形GMNP．当顶点N或顶点P恰好落在直线AB上，直接写出对应的点M的横坐标．
答案:(1)；
(2)①点F的坐标为（4，2）；②点M的横坐标为或；
分析：（1）根据题意，先求出点C的坐标，然后即可求出反比例函数的解析式；
（2）①由矩形的性质，得到EF∥x轴，设点E的坐标为（，），则点F为（，），然后求出x的值，即可求出点F的坐标；
②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点N落在直线AB上时；当点P落在直线AB上时；利用正方形的性质和全等三角形的判定和性质，分别求出每一种情况的答案即可．
（1）解：根据题意，∵直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，令，则；令，则；∴点A为（，0）；点B为（0，2）；∵点B是AC的中点.，∴点C的坐标为（2，4）；∵点C在反比例函数图像上，∴，∴；
（2）解：①∵四边形FEHG是矩形，∴EF∥x轴，设点E的坐标为（，），则点F为（，），∵EF=4，∴，解得：或，∵顶点F在点C右侧的反比例函数上，∴，解得，∴，∴点F的坐标为（4，2）；②根据题意，∵点F的坐标为（4，2）；∴点G为（4，0）；当点N落在直线AB上时，如图：过点M作MD⊥GF，交GF延长线于点D，过点N作NE⊥DM，交DM延长线于点E；∵四边形GMNP是正方形，则MG=MN，∠NMG=90°，∵∠E=∠D=90°，∴∠EMN+∠GMD=∠GMD+∠DGM=90°，∴∠EMN=∠DGM，∴△EMN≌△DGM（AAS），∴EN=DM，EM=DG；∵点M在的图像上，点N在直线上，且点M在点F的左侧，设点M为（m，）（），点N为（n，），∵点G为（4，0），∴，，，，∴，解得：，∴点M的横坐标为；当点P落在直线AB上时，如图：过点M作MD⊥GF，交GF延长线于点D，过点P作PE⊥FG，交FG延长线于点E；与①同理，可证△DMG≌△EGP，∴EG=DM，EP=DG；设点M为（m，）（），点P为（p，），∵点G为（4，0），∴，，，，∴，解得：，∵，∴；∴点M的横坐标为；综合上述，点M的横坐标为：或；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形，以及解方程组，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助，运用数形结合的思想进行分析题意．