人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式教案

2.3.4两平行直线间的距离公式

(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)

一、教学目标

1.理解两平行线间距离的定义

2.会求两平行线间的距离，及应用公式求距离

3.培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力

二、教学重难点

1.理解和掌握两条平行线间的距离公式

2.应用距离公式解决综合问题

三、教学过程

1.概念的形成

1.1创设情境，引发思考

【实际情境】前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。

问题1：立定跳远测量的什么距离？

A.两平行线的距离  

B.点到直线的距离   

C.点到点的距离

【预设的答案】A

【设计意图】通过生活中跳远的问题情境，引出在坐标系下探究两平行线间距离公式的问题，用跳远这一实例，让学生感受“距离”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.

问题2：已知两条平行直线的方程，如何求间的距离？

根据两条平行直线间距离的含义，在直线上取任一点P，,点P到直线的距离就是直线与直线间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。

【活动预设】引导学生归纳概括出平行线间的距离定义

1.  图示：

2.  定义：夹在两平行线间的__________的长.

公垂线段

3.  求法：两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.

1.2探究典例，形成概念

活动：已知两条平行直线，求间的距离.

【活动预设】感受如何计算两条平行线间的距离？

【设计意图】为引入两条平行直线间的距离作准备.

问题3：如何取点，可使计算简单？

解：在直线2x － 7y－8=0上任取一点，如P(4,0)

则两平行线的距离就是点P(4,0)到直线6x-21y-1=0的距离.

因此，

【设计意图】从引例中的具体问题入手，根据平行线间的距离的定义，由点到直线的距离公式求出两平行线间的距离.

问题4：

两条平行线与间的距离为________

【活动预设】

（1）分析两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离；

（2）如何取直线上一般的点？如何由点到直线的距离化简得到两平行线间的距离？

教师讲授：在直线上任取一点，点到直线的距离就是这两条平行直线间的距离，即.

因为点在直线上，所以，即，因此

【设计意图】理解由特殊到一般推导出两条平行直线间的距离公式.

验证：已知两条平行直线l1：2x−7y−8=0,l2：6x−21y−1=0， 求l1与l2间的距离.

【设计意图】直接使用平行线间的距离公式

问题5：两条平行直线间的距离公式写成时对两条直线应有什么要求？

【活动预设】

(1)把直线方程化为直线的一般式方程;

(2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等；

【设计意图】平行线间距离公式使用的注意事项.

1.3具体感知，理性分析

活动：自主举例的接龙活动.

【活动要求】

第一组用一般式写出两条平行直线并求出两平行直线间的距离；

第二组用斜截式写出两条平行直线并求出两平行直线间的距离；

【活动预设】引导学生合理构造平行直线，并用公式求距离。

【设计意图】

在形成概念后，遵循从一般到特殊的思路，在实践活动中进行再认识，熟悉距离概念，为下一个环节作铺垫；在规范符号的书写，得出另一个距离公式.

问题6：

一般地，两条平行直线 间的距离：                                                                  与，公式结构有什么关联？

【活动预设】

【设计意图】

从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识两条平行直线间的距离公式的多种形式.

2.初步应用，理解概念

例1 (1)已知两平行直线:3x+5y+1=0和:6x+10y+5=0,则与间的距离为________. 

(2)直线3x+y-3=0和直线6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为____________. 

【预设的答案】（1）；（2）.

【设计意图】

（1）进行两条直线是否平行的判断.

（2）两条平行直线间距离公式的选择使用.

例2   平行四边形ABCD的四条边所在直线的方程分别是

求平行四边形ABCD的面积.

【预设的答案】9

【设计意图】

（1）利用联立方程组求两直线交点坐标，求两点之间的距离解决平行四边形底；

（2）利用点到直线的距离或平行线间的距离公式解决平行四边形底上的高.

例3(1)已知直线l与两直线l1：y＝2x+3和l2：y＝2x-1间的距离相等,求直线l的方程.

 （2）已知直线：3x－2y－1＝0和：3x－2y－13＝0，直线与，的距离分别是，，若d1∶d2＝2∶1，求直线的方程.

【预设的答案】(1)2x-y+1=0；（2）.

【设计意图】

（1）在解题中加深对距离公式的理解，形成解题的基本思路、基本技能：恰当设直线方程解题，采用待定系数的方法求直线方程.

（2）合理选择平行线间的距离公式.

3.    归纳小结:

求两平行直线间距离的两种思路

(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离.

(2)直接利用两平行线间的距离公式,

当直线，，且时，；

当直线,且2时,,

必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等.

【设计意图】

（1）梳理本节课对距离的认知；

（2）鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习距离公式的必要性 .

四、课外作业

1.若直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则m的值为__________,它们之间的距离为______________. 

2.已知直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是______________.

3.直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程．

4．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程.

5.已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．

答案：

1.m=-1，

2.x+2y-3=0

3.l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；l1：x＝0，l2：x＝5.

4.5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.

5.3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0.