人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案及反思

3.3.3　点到直线的距离

3.3.4　两条平行直线间的距离

Q

在铁路的附近，有一大型仓库．现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？

X

1．点到直线的距离公式

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．

[归纳总结]　点到几种特殊直线的距离：

(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；

(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；

(3)点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；

(4)点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|．

2．两条平行直线间的距离

(1)定义：夹在两条平行直线间__公垂线段__的长叫做这两条平行直线间的距离．

(2)求法：转化为求__点到直线__的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．

(3)公式

一般地，已知两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)．设P(x0，y0)是直线l2上的任意一点，则Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，于是P(x0，y0)到直线l1：Ax＋By＋C1＝0的距离

d＝＝．

此式就是两条平行直线l1与l2间的距离公式．

[归纳总结]　(1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：

①把直线方程化为直线的一般式方程；

②两条直线方程中x，y系数必须分别相等．

(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关．

(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．

①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；

②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|．

Y

1．点(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．2

[解析]　点(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为d＝＝．

2．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m为(　B　)

A．0或－  B．或－6

C．－或  D．0或

[解析]　由题知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝或m×＋＋3＝0，∴m＝或m＝－6．

3．两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于(　A　)

A．  B．

C．5  D．

[解析]　直线x＋y＋2＝0与x轴的交点是P(－2，0)，点P到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝，即这两条平行线间的距离为．

4．经过点M(3，－2)且与原点距离为3的直线l的方程为__x－3＝0或5x－12y－39＝0__.

[解析]　若直线l的斜率存在，设为k，则l的方程为

y＋2＝k(x－3)，即kx－y－(3k＋2)＝0，

由点到直线的距离公式，得＝3，

解得k＝，

故直线l的方程为x－y－(＋2)＝0，

即5x－12y－39＝0，

当直线的斜率不存在时，x＝3也符合题意，

∴所求直线方程为5x－12y－39＝0或x－3＝0．

H

命题方向1　⇨点到直线的距离公式

典例1 求点P(3，－2)到下列直线的距离.

(1)y＝x＋； (2)y＝6；(3)x＝4．

[思路分析]　解答本题可先把直线方程化为一般式(特殊直线可以不化)，然后再利用点到直线的距离公式及特殊形式求出相应的距离．

[解析]　(1)把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝．

(2)解法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8．

解法二：因为直线y＝6平行于x轴，

所以d＝|6－(－2)|＝8．

(3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1．

『规律方法』　1.求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式．

2．当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．

3．几种特殊情况的点到直线的距离：

(1)点P0(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|；

(2)点P0(x0，y0)到直线y＝b的距离d＝|y0－b|．

〔跟踪练习1〕 

求点P0(－1，2)到下列直线的距离：

(1)2x＋y－10＝0； (2)x＝2； (3)y－1＝0．

[解析]　(1)由点到直线的距离公式知

d＝＝＝2．

(2)解法一：直线方程化为一般式为x－2＝0．

由点到直线的距离公式

d＝＝3．

解法二：∵直线x＝2与y轴平行，

∴由右图知d＝|－1－2|＝3．

(3)解法一：由点到直线的距离公式得

d＝＝1．

解法二：∵直线y－1＝0与x轴平行，

∴由右图知d＝|2－1|＝1．

命题方向2　⇨求两平行直线的距离

典例2 求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0的距离为2的直线方程.

[解析]　解法一：由已知，可设所求的直线方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，

则它到直线2x－y－1＝0的距离d＝＝＝2，

∴|C＋1|＝2，C＝±2－1，

∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0．

解法二：设所求直线上任意一点P(x，y)，

则点P到2x－y－1＝0的距离为d＝＝＝2，

∴2x－y－1＝±2，

∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0．

『规律方法』　1.求两平行直线间距离的两种思路：

(1)转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

(2)利用两条平行直线间距离公式d＝．

2．当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．

(1)两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，

则d＝|x2－x1|；

(2)两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，

则d＝|y2－y1|．

〔跟踪练习2〕 

直线2x＋3y＋1＝0与4x＋my＋7＝0平行，则它们之间的距离为(　C　)

A．4　　　　　　 B．

C．  D．

[解析]　由题意，得2m－3×4＝0，

∴m＝6．

故两直线2x＋3y＋＝0与4x＋6y＋7＝0的距离d＝＝．

Y 　求直线方程时，忽略斜率不存在的情况

典例3 已知直线l过点A(1，2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程.

[错解]　由题意设l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.因为原点到直线l的距离为1，所以＝1，解得k＝.所以所求直线l的方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0．

[错因分析]　符合题意的直线有两条，错解中忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了一条直线．

[正解]　当直线l过点A(1，2)且斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，原点到直线l的距离为1，满足题意．

当直线l过点A(1，2)且斜率存在时，由题意设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.因为原点到直线l的距离为1，所以＝1，解得k＝.所以所求直线l的方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0．

综上所述，所求直线l的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0．

[警示]　应用直线方程时，各种直线方程的适用条件要清楚．

X 　

一、数形结合思想

典例4 两互相平行的直线分别过A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行线间的距离为d.

(1)求d的变化范围；

(2)求当d取得最大值时的两条直线方程．

[解析]　解法一：(1)设两条直线方程分别为

y＝kx＋b1和y＝kx＋b2，

则，即．

而d＝＝，两边平方整理得

即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0，

由于k∈R，

所以Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，

整理得4d2(d2－90)≤0，∴0<d≤3．

(2)因d＝3时，k＝＝－3，

故两直线方程分别为3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．

解法二：(1)由图形可知，当两平行线均与线段AB垂直时，距离d＝|AB|＝3最大，当两直线都过A，B点时距离d＝0最小，但平行线不能重合．

∴0<d≤3．

(2)两直线方程分别是：3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．

『规律方法』　上面我们用两种思路作了解答，不难发现解法二比解法一简捷的多，这足以显示数形结合的威力，在学习解析几何过程中，一定要有意识的往形上联系，以促进数形结合能力的提高和思维能力的发展．

〔跟踪练习3〕 

若A(1，4)，B(－3，1)，过点B的直线l与点A的距离为d．

(1)d的取值范围为__[0，5]__；

(2)当d取最大值时，直线l的方程为__4x＋3y＋9＝0__；

(3)当d＝4时，直线l的方程为__7x＋24y－3＝0__．

[解析]　(1)用数形结合法容易得到，当直线l⊥AB时，d取最大值；当l经过A，B时，d取最小值，

∴0≤d≤5．

(2)当d＝5时，kl＝－，

kAB＝＝，

∴直线l的方程y－1＝－(x＋3)，即：4x＋3y＋9＝0．

(3)设l：y－1＝k(x＋3)，即：kx－y＋3k＋1＝0，

由A(1，4)到l距离为4知：

＝4，∴k＝－，

故所求直线方程为：7x＋24y－3＝0．

二、对称问题(关于x，y的二元方程可记作f(x，y)＝0)

1．中心对称，由中点坐标公式知，点A(x0，y0)关于点P(m，n)的对称点坐标为(2m－x0，2n－y0)，所以曲线(直线)f(x，y)＝0关于点P(m，n)对称的曲线(直线)方程为f(2m－x，2n－y)＝0，特别地，点P(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)．

2．轴对称：

(1)点关于直线的对称点的求法

点P(x，y)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点P0(x0，y0)，满足关系解方程组可得点P0的坐标．其中主要抓两个关键点：一是两对称点的中点在对称轴上；二是两对称点连线与轴垂直．

(2)特殊的轴对称问题．

点P(x0，y0)关于x轴、y轴，x＝m，y＝n，y＝x，y＝－x，y＝x＋m，y＝－x＋n的对称点的坐标依次为(x0，－y0)，(－x0，y0)，(2m－x0，y0)，(x0，2n－y0)，(y0，x0)，(－y0，－x0)，(y0－m，x0＋m)，(－y0＋n，－x0＋n)，于是曲线(直线)f(x，y)＝0关于x轴，y轴，x＝m，y＝n，y＝x，y＝－x，y＝x＋m，y＝－x＋n对称的曲线(直线)方程依次为：f(x，－y)＝0，f(－x，y)＝0，f(2m－x，y)＝0，f(x，2n－y)＝0，f(y，x)＝0，f(－y，－x)＝0，f(y－m，x＋m)＝0，f(－y＋n，－x＋n)＝0．

典例5 光线通过点A(2，3)在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，则反射光线所在直线的方程为__4x－5y＋1＝0__.

[思路分析]　点A关于直线l的对称点A′在反射光线所在直线上，又反射光线通过点B，则反射光线所在直线为A′B．

[解析]　点A(2，3)关于l：x＋y＋1＝0的对称点A′坐标x＝－3－1＝－4，y＝－2－1＝－3，即A′(－4，－3)．由题意反射光线所在直线为A′B．∵kA′B＝＝，∴直线方程为y－1＝(x－1)，整理得4x－5y＋1＝0．

〔跟踪练习4〕 

直线2x＋y－1＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程为__x＋2y－3＝0__．

K

1．若点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是(　B　)

A．　　　 B．2　　　

C．　　　 D．2

[解析]　|OP|的最小值即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，由点到直线的距离公式，得d＝＝2．

2．平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于(　A　)

A．1  B．0

C．  D．3

[解析]　d＝＝1．

3．已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离等于1，则实数m等于(　C　)

A．  B．－

C．－  D．

[解析]　由题意得＝1，解得m＝－．

4．已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)．

(1)判断△ABC的形状；

(2)求△ABC的面积.

[解析]　(1)∵kAB＝＝－2，kAC＝＝，kAB·kAC＝－1，

∴AB⊥AC，

∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．

(2)|AB|＝＝2，|AC|＝＝，

∴S△ABC＝|AB|·|AC|＝×2×＝5．