高考数学一轮复习考点测试刷题本24 正弦定理和余弦定理（含答案解析）

2020高考数学(文数)考点测试刷题本24

正弦定理和余弦定理

一         、选择题

1.在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是(　　)

A．锐角三角形      B．直角三角形      C．钝角三角形      D．不能确定

2.已知△ABC中，cosA=，cosB=，BC=4，则△ABC的面积为(　　)

A．6          B．12            C．5                 D．10

3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a∶b∶c=6∶4∶3，则=(　　)

A．－          B．           C．－           D．－

4.在△ABC中，“sinA<sinB”是“A<B”的(　　)

A．充分不必要条件           B．必要不充分条件

C．充要条件                 D．既不充分也不必要条件

5.在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=(　　)

A．4          B．          C．          D．2

6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=(　　)

A．         B．         C．           D．

7.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosC=c(1－3cosB)，则sinC∶sinA=(　　)

A．2∶3         B．4∶3          C．3∶1         D．3∶2

8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若(a2＋c2－b2)tanB=ac，则角B的值为(　　)

A．             B．            C．或          D．或

二         、填空题

9.在△ABC中，已知角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C=60°，a=4b，c=，则△ABC的面积为________．

10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB=4asinBsinC，b2＋c2－a2=8，则△ABC的面积为________．

11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=________，c=________．

12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=bcosA，a=4，若△ABC的面积为4，则b＋c=________．

三         、解答题

13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)=c．

(1)求C；

(2)若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．

(1)求sinBsinC；

(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．

15.已知向量m=(cosA，－sinA)，n=(cosB，sinB)，m·n=cos2C，其中A，B，C为△ABC的内角．

(1) 求角C的大小；

(2) 若AB=6，且·=18，求AC，BC的长．

16.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2=c(a－c)＋b2．

(1)求角B的大小；

(2)设m=2a－c，若b=，求m的取值范围．

答案解析

1.答案为：C；

解析：

由正弦定理得a2＋b2<c2，所以cosC=<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．

2.答案为：A；

解析：

因为cosA=，cosB=，所以sinA=，sinB=，则由正弦定理得=，

所以AC==3，则由余弦定理得AC2=AB2＋BC2－2AB·BCcosB，

即32=AB2＋42－8×AB，解得AB=5，所以△ABC是以AC，BC为直角边的直角三角形，

所以其面积为×3×4=6，故选A．

3.答案为：A；

解析：

不妨设a=6，b=4，c=3，由余弦定理可得cosA==－，

则====－，故选A．

4.答案为：C；

解析：

根据正弦定理，“sinA<sinB”等价于“a<b”，根据“大边对大角”，

得“a<b”等价于“A<B”．故选C．

5.答案为：A；

解析：

因为cosC=2cos2－1=2×2－1=－，

所以AB2=BC2＋AC2－2BC×ACcosC=1＋25－2×1×5×－=32，∴AB=4．故选A．

6.答案为：C；

解析：

由题可知S△ABC=absinC=，所以a2＋b2－c2=2absinC．

由余弦定理得a2＋b2－c2=2abcosC，所以sinC=cosC．∵C∈(0，π)，∴C=，故选C．

7.答案为：C；

解析：

由正弦定理得3sinBcosC=sinC－3sinCcosB，3sin(B＋C)=sinC，

因为A＋B＋C=π，所以B＋C=π－A，所以3sinA=sinC，

所以sinC∶sinA=3∶1，故选C．

8.答案为：C；

解析：

由余弦定理，知a2＋c2－b2=2accosB，所以由(a2＋c2－b2)tanB=ac

可得2accosB·=ac，所以sinB=，所以B=或，故选C．

一         、填空题

9.答案为：；

解析：

根据余弦定理，有a2＋b2－2abcosC=c2，即16b2＋b2－8b2×=13，所以b2=1，解得b=1，

所以a=4，所以S△ABC=absinC=×4×1×=．

10.答案为：；

解析：

根据题意，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinC·sinB=4sinAsinBsinC，即sinA=，

结合余弦定理可得2bccosA=8，所以A为锐角，且cosA=，从而求得bc=，

所以△ABC的面积为S=bcsinA=××=．

11.答案为：，3；

解析：

由=得sinB=sinA=，由a2=b2＋c2－2bccosA，得c2－2c－3=0，解得c=3．

12.答案为：8；

解析：

由asinB=bcosA得=，再由正弦定理=，所以=，

即tanA=，又A为△ABC的内角，所以A=．

由△ABC的面积为S=bcsinA=bc×=4，得bc=16．

再由余弦定理a2=b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2=32，

所以b＋c====8．

二         、解答题

13.解：

(1)由已知及正弦定理得，

2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)=sinC，

2cosCsin(A＋B)=sinC．

故2sinCcosC=sinC．因sinC≠0，

可得cosC=，因为C∈(0，π)，所以C=．

(2)由已知，得absinC=．

又C=，所以ab=6．

由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcosC=7．

故a2＋b2=13，从而(a＋b)2=25，a＋b=5．

所以△ABC的周长为5＋．

14.解：

(1)由题设得acsinB=，即csinB=．

由正弦定理得sinCsinB=．

故sinBsinC=．

(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC=－，

即cos(B＋C)=－，所以B＋C=，故A=．

由题设得bcsinA=，即bc=8．

由余弦定理得b2＋c2－bc=9，

即(b＋c)2－3bc=9，得b＋c=．

故△ABC的周长为3＋．

15.解：

(1) 因为m·n=cosAcosB－sinAsinB=cos(A＋B)=－cosC，

所以－cosC=cos2C，即2cos2C＋cosC－1=0

故cosC=或cosC=－1(舍)．

又0<C<π，所以C=.

(2) 因为·=18，所以CA×CB=36.　①

由余弦定理AB2=AC2＋BC2－2AC·BC·cos60°，及AB=6得，AC＋BC=12.　②

由①②解得AC=6，BC=6.

16.解：

(1)因为a2=c(a－c)＋b2，所以a2＋c2－b2=ac，

所以cosB==．

又因为0<B<π，所以B=．

(2)由正弦定理得====2，

所以a=2sinA，c=2sinC．

所以m=2a－c=4sinA－2sinC

=4sinA－2sin－A

=4sinA－2×cosA＋sinA

=3sinA－cosA

=2×sinA－cosA

=2sinA－．

因为A，C都为锐角，则0<A<，且0<C=－A<，所以<A<，

所以0<A－<，所以0<sinA－<，所以0<m<3．