初中数学北师大版八年级下册4 多边形的内角与外角和课时训练

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 第六章 平行四边形
6.4 多边形的内角和与外角和
基础篇

一、单选题
1．（2023·北京大兴·统考二模）正六边形的外角和是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据任何多边形的外角和是即可求出答案．
【详解】解：正六边形的外角和是．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是，外角和与多边形的边数无关．
2．（2023·浙江嘉兴·统考一模）已知正多边形的一个外角等于，则该正多边形的边数为（　　）
A．十 B．九 C．八 D．七
【答案】B
【分析】运用多边形外角和为360求解．
【详解】边数，所以边数为九
故选B．
【点睛】本题考查多边形的外角和为360；熟练掌握多边形外角和为定值是解题的关键．
3．（2020·广东云浮·一模）若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据多边形的内角和公式列式进行计算即可求解．
【详解】解：设多边形的边数是，则
，
解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
4．（2022春·七年级单元测试）十二边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．无法计算
【答案】C
【分析】根据多边形的内角和计算公式进行计算即可．
【详解】解：十二边形的内角和为，
故选C．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，关键是掌握多边形的内角和的计算公式．
5．（2023秋·八年级课时练习）如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是（    ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【分析】根据多边形的内角和的计算公式与外角和是列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这个多边形边数是n，根据题意得：
，
解得：，
即这个多边形是四边形，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用，掌握n边形的内角和为、外角和是是解题的关键．
6．（2023·浙江台州·统考二模）如图，直线为正五边形的对称轴，连接交于点，以为边作等边，连接，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正五边形和等边三角形的性质可得，，，从而可得的度数．
【详解】解：∵正五边形，
∴，
∴，
∵等边，直线为正五边形的对称轴，
∴，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了正五边形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是结合图形求出相应角的度数.

二、填空题
7．（2023·云南红河·统考二模）若一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数是______．
【答案】15
【分析】首先根据题意，求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是，
∴它的一个外角是：，
∵多边形的外角和为，
∴这个正多边形的边数是：．
故答案为：15．
【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角，解题的关键是求出正多边形的外角度数．
8．（2023·北京昌平·统考二模）一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个正多边形是正___________边形.
【答案】6
【分析】根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，求解即可得到答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式，多边形外角和定理，解题关键是掌握多边形内角和公式：以及多边形的外角和等于．
9．（2023·吉林延边·统考一模）若正n边形一个外角的度数为，则n的值为______．
【答案】36
【分析】正多边形每个外角都相等，外角和为，计算即可．
【详解】解：,
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形外角的相关知识，解题的关键是掌握正n边形外角和扥等于360°．
10．（2022春·八年级单元测试）如图是由射线、、、组成的平面图形，则______°．

【答案】
【分析】根据多边形的外角和为求解即可．
【详解】解：由图可知，、、、为组成的四边形的外角，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的外角性质，熟知多边形的外角和为是解题的关键．

三、解答题
11．（2023春·湖南株洲·八年级统考期中）根据图中相关数据，求出的值．

【答案】的值为68
【分析】由四边形的内角和定理为，再建立方程即可．
【详解】解：由四边形内角和等于，
得，
解得．
答：的值为68．
【点睛】本题考查的是四边形的内角和定理的应用，一元一次方程的应用，熟练地利用四边形的内角和定理建立方程是解本题的关键．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形中，，．

(1)当时，求的度数．
(2)的平分线交于点E，当时，求的度数．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据四边形的内角和是，可得，再由即可求出结果；
（2）根据可得，，再利用平分，可求，最后根据三角形的内角和即可求出结果．
【详解】（1）解：，，
，
∵四边形的内角和是，
，
又，
，
．
（2）解：平分，
，
又，，，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、四边形和三角形的内角和及角平分线的定义，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解决问题的关键．

提升篇

一、填空题
1．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，一束太阳光平行照射在正n边形上，若，则__．
  
【答案】6
【分析】过作，根据平行线的性质可得，，求得，设正多边形的内角为x，则满足，推得，即可求得，得到，即可求出正多边形的边数．
【详解】解：过作，
  
则，
∵
∴
设正多边形的内角为x，则
∴
∴
∵，解得
∴
∴这个正多边形的边数为
故答案为：6．
【点睛】本题考查了根据正多边形外角求正多边形的边数，平行线的性质等知识，熟练掌握正多边形的外角性质是解题的关键．
2．（2023·浙江丽水·校联考二模）如图，正六边形放置在平面直角坐标系内，若点的坐标为，则点的坐标为________．
  
【答案】
【分析】根据正六边形的性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半等知识点进行解答即可．
【详解】解：连接，
  
∵点的坐标为，
∴，
∵是正六边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半等知识点，熟练掌握相关知识点是解本题的关键．
3．（2023·福建福州·统考二模）两个正方形按如图所示的位置放置，若重叠部分是一个正八边形，则这两个正方形边长的比值是_______．
  
【答案】1
【分析】根据正多边形的性质，，，设，则，即可得出，，即可得出结论．
【详解】解：∵重叠部分是一个正八边形，
∴，，
∵两个四边形均为正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，
同理可得：，
∴这两个正方形边长的比值：，
故答案为：1．
  
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握正多边形各条边相等，各个内角相等．
4．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，正六边形的对角线与其边的比值为______．
  
【答案】
【分析】先由正六边形的性质得，，，再由等腰三角形的性质得，则，然后由含有的直角三角形的性质得，即可得出结论．
【详解】解：六边形是正六边形，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握正六边形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键．
5．（2023·山东济南·统考二模）如图，在平面上，将边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则______度．
  
【答案】
【分析】根据边形内角和定理分别求出等边三角形，正方形，正五边形，正六边形的内角即可求解．
【详解】解：由题意知，等边三角形的内角是，
正方形的内角是，
正五边形的内角，
正六边形的内角，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正边形内角和定理及正边形内角的求法，熟练掌握边形内角和为这个公式是解题的关键．

二、解答题
6．（2022春·八年级单元测试）已知四边形的四个外角的度数之比为，那么这个四边形各内角的度数分别是多少？
【答案】
【分析】设四边形的四个外角的度数分别为，再根据多边形外角和为建立方程求出四个外角的度数，进而求出四个内角的度数．
【详解】解：设四边形的四个外角的度数分别为．
由题意得，，
解得．
∴四个外角分别为．
∴这个四边形各内角的度数分别为．
【点睛】本题主要考查了四边形外角和，熟知四边形外角和为是解题的关键．
7．（2023春·浙江·八年级专题练习）（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形是几边形？
（2）小明求得一个多边形的内角和为，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数．
【答案】（1）这个多边形是八边形；（2）这个多边形的边数是，重复加的那个角的度数是
【分析】（1）由多边形内角和定理和多边形外角和为列方程即可求解；
（2）设这个多边形的边数是，根据多边形内角和定理可列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：（1）设这个多边形的边数是，
由题意得：，
，
∴这个多边形是八边形；
（2）设这个多边形的边数是，
由题意得：，
解得：，
为整数
，
∴重复加的那个角的度数是：
答：这个多边形的边数是，重复加的那个角的度数是．
【点睛】本题考查多边形的内角和定理，外角和定理，解题的关键是熟记多边形内角和公式．
8．（2023秋·八年级课时练习）如图，在五边形中，，，分别平分，，求的度数．

【答案】
【分析】根据五边形的内角和求出和的和，再根据角平分线及三角形内角和求出的度数．
【详解】解：五边形的内角和等于，，
；
，分别平分，，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式、角平分线的定义等知识点，熟记公式以及整体思想的运用是解答本题的关键．