2022-2023学年福建省泉州市惠安县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省泉州市惠安县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省泉州市惠安县七年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 方程12x−1=0的解是(    )
A. 12 B. 1 C. 2 D. −2
2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. 保健食品 B. 绿色食品
C. 有机食品 D. 速冻食品
3. 若a>b，则下列不等式变形正确的是(    )
A. a+5b−3 D. −4a>−4b
4. 已知三角形两边分别为1cm和3cm，则第三边可能是(    )
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
5. 把不等式组的解集x>−1x≤1表示在数轴上，下列选项正确的是(    )
A. B.
C. D.
6. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是(    )
A. 两点之间线段最短
B. 三角形的稳定性
C. 两点确定一条直线
D. 三角形的任意两边之和大于第三边


7. 解一元一次方程3x+12−1=x−43过程中，“去分母”正确的是(    )
A. 3(3x+1)−1=2(x−4) B. 2(3x+1)−1=3(x−4)
C. 2(3x+1)−6=3(x−4) D. 3(3x+1)−6=2(x−4)
8. 《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是(    )
A. x+2x+4x=34685 B. x+2x+3x=34685
C. x+2x+2x=34685 D. x+12x+14x=34685
9. 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转80°，得到△EBD.若点A、D、E在同一条直线上，则∠CAD的度数为(    )

A. .100° B. .90° C. .80° D. .110°
10. 如图，已知∠AOB=30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP=4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，则△PMN的周长的最小值是(    )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 把方程4x+y=15改写成用含x的式子表示y的形式，得y=______．
12. 已知一个多边形的每个外角为36°，则这个多边形的边数为______．
13. 如果关于x的方程3x+2a=x+8的解是正数，那么a的取值范围是______．
14. 如图，已知AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.过点E作EF⊥BC于F.若△ABC的面积为40，EF=5，则CD的长为______ ．

15. 老师像学生那么大时，学生才2岁；学生若长到老师现在的年龄，则老师44岁.求学生现在的年龄是______ 岁.
16. 已知a，b是不为零的常数，若ax+b>0的解集为x<3，则下列推断：
①a<0；
②3a−b=0；
③3a+b=0；
④关于x，y的二元一次方程y=ax+b，当a取一个不为零的常数时，方程总有一个解为x=3y=0其中推断正确的序号有______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解一元一次方程：5x+3=3x−15．
18. (本小题8.0分)
解二元一次方程组：3x−13y=−16x+3y=2．
19. (本小题8.0分)
解不等式组：2(x−3)
20. (本小题8.0分)
如图的网格纸中，小正方形的边长为1，点O和△ABC的三个顶点都在网格点上．
(1)将△ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)以点O为旋转中心，将△A1B1C1按顺时针方向旋转90°，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．

21. (本小题8.0分)
将围成一个正五边形的一条细铁丝截去5cm后，恰好可以围成一个正四边形，若这两个正多边形的边长相等，求原来细铁丝的长度.(要求列方程求解)
22. (本小题10.0分)
如图，已知△ABC的边AC=5a，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连结AE．
(1)找出图中相等的线段：______ ；(写出一组即可)
(2)若△ACE的周长为12a，求边BC．

23. (本小题10.0分)
笔记本是同学们日常学习用品.某班数学兴趣小组计划购买一批笔记本，已知购买3本甲种笔记本和2本乙种笔记本需要95元；购买5本甲种笔记本和4本乙种笔记本需要175元．
(1)问甲、乙两种笔记本每本各多少元？
(2)若购买甲种笔记本m本，乙种笔记本n本，恰好用去180元.求所有可能的购买方案．
24. (本小题13.0分)
已知关于x，y的二元一次方程：kx+x+y=3−k，其中k≠−1且k为常数．
(1)若x=2y=−5是该方程的一个解，求k的值；
(2)当k每取一个不为−1的值时，都可得到一个方程，而这些方程都有一组公共的定值解，试求出这组定值解：
(3)x=a时，y=b+2；当x=a−1时，y=32b−1，若−32≤k≤−12，求整数b的值．
25. (本小题13.0分)
如图1，已知△ABC的内角∠ACB的平分线CD与它的一个外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D．
(1)求证：∠B=2∠D；
(2)若作点D关于AC所在直线的对称点D′，并连结AD′、CD′．
①如图2，当∠BAC=90°时，求证：AD⊥AD′；
②如图3，当AC=BC时，试探究∠DAD′与∠D之间的数量关系，并说明理由．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：方程12x−1=0，
移项，得：12x=1，
系数化为1，得：x=2．
故选：C．
方程移项系数化为1即可求解．
本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．

2.【答案】D 
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3.【答案】C 
【解析】解：A、∵a>b，
∴a+5>b+5，
故A不符合题意；
B、∵a>b，
∴a2>b2，
故B不符合题意；
C、∵a>b，
∴a−3>b−3，
故C符合题意
D、∵a>b，
∴−4a<−4b，
故D不符合题意
故选：C．
根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：设此三角形第三边的长为x cm，则3−1 即2 故选：C．
设此三角形第三边的长为x cm，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出不符合条件的x的值即可．
本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

5.【答案】B 
【解析】解：把不等式组的解集x>−1x≤1表示在数轴上，正确的是：
．
故选：B．
根据数轴的性质“实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆圈不包括该点用“<”，“>”表示，大于向右小于向左．”画出数轴．
本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．

6.【答案】B 
【解析】解：一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性，
故选：B．
由三角形的稳定性即可得出答案．
本题考查了三角形的稳定性，加上窗钩AB构成了△AOB，而三角形具有稳定性是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：3x+12−1=x−43，
方程等号两边同时乘6，得：3(3x+1)−6=2(x−4)．
故选：D．
方程去分母，方程等号两边同时乘6，即可解答．
本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键．

8.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
设他第一天读x个字，根据题意列出方程解答即可．
【解答】
解：设他第一天读x个字，
根据题意可得：x+2x+4x=34685，
故选：A．  
9.【答案】A 
【解析】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转80°，得到△EBD，
∴∠EBA=80°，BE=BA，∠CAB=∠E，
∴∠E=∠BAE=∠CAB，
∵∠CAD=∠CAB+∠BAE，
∴∠CAD=∠BAE+∠E，
∵∠EBA=80°，
∴∠E+∠BAE=100°，
即∠CAD=100°，
故选：A．
根据旋转的性质得出∠EBA=80°，BE=BA，∠CAB=∠E，再根据三角形内角和定理求出角∠E+∠BAE=100°即可求解．
本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．

∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=4，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=4．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=4，
故选：B．
分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质证出△OCD是等边三角形，求得CD的长，进而可求解．
此题主要考查轴对称−最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．

11.【答案】−4x+15 
【解析】解：∵4x+y=15，
∴y=−4x+15，
故答案为：−4x+15．
将x看做已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．

12.【答案】10 
【解析】解：这个多边形的边数是：360°÷36°=10．
故答案为10．
多边形的外角和是360°，又已知多边形的每个外角都为36°，用360°÷36°即可得到多边形的边数．
本题主要考查了多边形的外角和，以及多边形外角的个数与其边数之间的相等关系．

13.【答案】a<4 
【解析】解：方程移项合并得：2x=−2a+8，
解得：x=−a+4，
由方程的解为正数，得到−a+4>0，
解得：a<4．
故答案为：a<4．
把a看做常数，表示出方程的解，由方程的解为正数求出a的范围即可．
此题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次不等式，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

14.【答案】4 
【解析】解∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=12S△ABC，
又∵S△ABC=40，
∴S△ABD=12×40=20，
又∵BE为△ABD的中线，
∴S△BDE=12S△ABD，
∴S△BDE=12×20=10，
∵EF⊥BC，且EF=5，
∴S△BDE=12BD⋅EF=10，即12BD×5=10，
∴BD=4，
∴CD=BD=4．
故答案为：4．
根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△BDE=10，根据三角形面积公式求得CD=BD=4．
本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的中线将三角形分成两个三角形，它们的面积等于原三角形面积的一半是解题的关键．

15.【答案】16 
【解析】解：∵老师与学生的年龄差不变，为(44−2)÷3=14，
∴设学生现在的年龄为x岁，
x+14+14=44，
解得：x=16，
根据老师与学生的年龄差不变，为(44−2)÷3=14，可列方程解答．
本题考查了一元一次方程的应用，掌握题意，找到等量关系，列出方程是关键．

16.【答案】①③④ 
【解析】解：∵ax+b>0的解集为x<3，
∴a<0，−ba=3，
整理得：3a+b=0，
则关于x，y的二元一次方程y=ax+b，当a取一个不为零的常数时，方程总有一个解为x=3y=0．
故答案为：①③④．
利用不等式的基本性质及方程解的定义判断即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及二元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．

17.【答案】解：5x+3=3x−15，
移项，得5x−3x=−15−3，
合并同类项，得2x=−18，
系数化为1，得x=−9． 
【解析】方程移项、合并同类项、系数化为1即可．
本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．

18.【答案】解：3x−13y=−16①x+3y=2②，
②×3得：3x+9y=6③，
③−①得：22y=22，
解得：y=1，
把y=1代入②得：x+3=2，
解得：x=−1，
∴原方程组的解为：x=−1y=1． 
【解析】利用加减消元法进行计算，即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．

19.【答案】解：2(x−3) 由①得：x<2，
由②得：x≥−1，
∴不等式组的解集为−1≤x<2，表示在数轴上，如图所示：
 
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．

20.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；

(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．
 
【解析】(1)将点A、B、C分别向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到对应点，再首尾顺次相接即可；
(2)将点A1、B1、C1分别绕点O顺时针方向旋转90°，得到对应点，再首尾顺次相接即可．
本题考查了作图−平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、旋转变换的定义和性质，并据此得到变换后的对应点．

21.【答案】解：设原来细铁丝的长度为x cm，
根据题意得：x5=x−54，
解得：x=25，
答：原来细铁丝的长度为25cm． 
【解析】设原来细铁丝的长度为x cm，根据正五边形与正四边形的边长相等列方程即可．
此题主要考查了多边形和一元一次方程，得出正多边形的边长是解题关键．

22.【答案】AE=BE(答案不唯一) 
【解析】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=DB，EA=EB，
故答案为：AE=BE(答案不唯一)；
(2)∵△ACE的周长为12a，
∴AC+CE+AE=12a，
∵AE=BE，
∴AC+CE+BE=12a，
∴AC+BC=12a，
∵AC=5a，
∴BC=12a−AC=7a，
∴边BC为7a．
(1)根据线段垂直平分线的性质可得AD=DB，EA=EB，即可解答；
(2)利用(1)的结论以及等量代换可得△ACE的周长=AC+BC=12a，然后进行计算可求出BC的长．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设甲种笔记本每本x元，乙种笔记本每本y元，
由题意得：3x+2y=955x+4y=175，
解得：x=15y=25，
答：甲种笔记本每本15元，乙种笔记本每本25元；
(2)由题意得：15m+25n=180，
整理得：m=12−53n，
∵m、n均为正整数，
∴m=7n=3或m=2n=6，
∴有2种购买方案：
①购买甲种笔记本7本，乙种笔记本3本；
②购买甲种笔记本2本，乙种笔记本6本． 
【解析】(1)设甲种笔记本每本x元，乙种笔记本每本y元，根据购买3本甲种笔记本和2本乙种笔记本需要95元；购买5本甲种笔记本和4本乙种笔记本需要175元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)根据恰好用去180元．列出二元一次方程组，求出正整数解，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．

24.【答案】解：(1)把x=2y=−5代入方程kx+x+y=3−k，得2k+2−5=3−k，
解得k=2；
(2)任取两个k的值，不妨取k=0，k=2，得到两个方程并组成方程组x+y=33x+y=1，
解得x=−1y=4，
即这个公共定值解是x=−1y=4；
(3)依题意得ak+a+b+2=3−k(a−1)k+a−1+32b−1=3−k，
解得 k=12b−4，
由−32≤k≤−12，得−32≤12b−4≤−12，
解得5≤b≤7，
当b为整数时，b=5或6或7． 
【解析】(1)由二元一次方程组的解可求出答案；
(2)任取两个k的值，不妨取k=0，k=2，得到两个方程并组成方程组，解方程组即可；
(3)由题意得到方程组，求出k与n的关系式，求出n的取值范围即可得出答案．
本题考查了二次一次方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．

25.【答案】(1)证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB=12∠ACB，
∵AF是外角∠EAC的平分线，
∴∠CAF=∠FAE=12∠CAE，
又∵∠CAF=∠D+∠ACD，∠CAE=∠B+∠ACB，
∴∠D=∠CAF−∠ACD=12(∠CAE−∠ACB)=12∠B，
∴∠B=2∠D．
(2)①证明：如图，D′C与AF交于点O，

由对称的性质可知，∠D=∠D′，∠DCD′=2∠ACD，
当∠BAC=90°时，∠EAC=90°，
∵∠DAD′=∠D′+∠D′OA，∠D′OA=∠D+∠OCD，
∴∠DAD′=∠D′+∠D+∠OCD=2∠D+2∠ACD=2(∠D+∠ACD)=2∠FAC，
∵∠EAC=90°=2∠FAC，∠DAD′=∠EAC=90°，
∴AD⊥AD′
②解：当AC=BC时，∠D+12∠DAD′=90°，理由如下：
设∠DAD′=α，
∵△DAC与△D′AC关于AC对称，
∴∠DAC=∠D′AC=360°−α2=180°−α2，
∴∠CAF=180°−∠DAC=α2，
∴∠CAE=2∠CAF=α，
∴∠BAC=180°−∠CAE=180°−α，
当AC=BC时，∠B=∠BAC=180°−α，
由(1)知∠B=2∠D，
∴∠D=12∠B=90−12α，
∴∠D+12∠DAD′=90°． 
【解析】(1)根据角平分线和外角的角度关系计算即可得到角度关系；
(2)①利用外角的关系用其他角度表示∠DAD′，再由三角形外角进行换角计算得到∠DAD′为90°，即可得到垂直关系；
②设元∠DAD′，通过外角和角平分线用∠DAD′表示∠D，即可得到两个角的大小关系．
本题考查几何变换的综合应用，三角形结合角平分线的角度关系计算，对三角形外角定理的熟悉是解题的关键，且在复杂的计算中可以采用设元的方式来简化计算，减少错误率．