2022-2023学年福建省泉州市德化县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省泉州市德化县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省泉州市德化县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 方程2x=6的解是(    )
A. x=−3 B. x=13 C. x=3 D. x=4
2. 下列三条线段能组成三角形的是(    )
A. 2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，3cm
C. 1cm，2cm，4cm D. 1cm，1cm，3cm
3. 如图在数轴上表示的是下列哪个不等式(    )
A. x>−2 B. x<−2 C. x≥−2 D. x≤−2
4. 下列式子变形正确的是(    )
A. 由x+3=5，得x=5+3 B. 由2x=12，得x=1
C. 由−2x>6，得x>−3 D. 由2+x<4，得x<2
5. 如图，已知△ABC≌△DEF，点B，F，C，E在同一条直线上，若BE=7，CE=2，则线段CF的长为(    )
A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 5
6. 只用下列四种规格相同的正多边形中的一种不能铺满地面的是(    )
A. 正六边形 B. 正五边形 C. 正方形 D. 正三角形
7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，若每人出8钱，则多了3钱；若每人出7钱，则少了4钱，问有多少人，物品的价格是多少钱？设共有x人，物品价格为y钱，则根据题意可列方程组为(    )
A. 8x−y=4y−7x=3 B. 8y−x=4x−7y=3 C. 8y−x=3x−7y=4 D. 8x−y=3y−7x=4
8. 将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，E为公共顶点，则∠BEC等于(    )

A. 80° B. 75° C. 65° D. 55°
9. 如图，△AED是由△ABC点A顺时针旋转得到的，若点C恰好在DE的延长线上，且∠BCD=50°，则∠EAB等于(    )


A. 120° B. 125° C. 130° D. 135°
10. 已知a，b为任意有理数．
①关于x的方程ax=ab的解为x=b；
②关于x的方程ax+b=0可能是一元一次方程；
③当a≠0时，关于x的方程ax+b=0的解是x=−ba；
④当b=0时，关于x的方程ax+b=0的解是x=0；
以上说法正确的是(    )
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 在y=x+6中，当y=0时，x的值是______ ．
12. 若x=ay=b是方程3x+y−1=0的一个解，则3a+b= ______ ．
13. 代数式x+4与3x2的和大于9，则x的取值范围是______ ．
14. 如图，点D，F分别在△ABC的边AB，AC上，现将△ABC沿着DF折叠，已知∠A=36°，∠CFE=140°，则∠BDF= ______ °.


15. 在△ABC中，∠C为锐角，BD为△ABC的高，且∠BAC=∠DBC，则∠ABC的大小为______ ．
16. 在△ABC中，AC=3，BC=2，将△ABC绕C点按逆时针旋转，旋转角为α(0°≤α≤360°)得到△DEC，A与D对应，B与E对应，则线段AE长度的取值范围______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程组：2x−y=2①4x+3y=24②．
18. (本小题8.0分)
解不等式组：x≥3−2x①x−12−x−36<1②．
19. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE，已知∠B=60°，∠C=40°，∠1=50°，且∠3=∠4，求∠2的度数．
对于上述问题，在以下解答过程中的空白处填上适当的内容(理由或数学式)．
解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°(______ )，
∠B=60°，∠C=40°(已知)，
∴∠BAC=180°−(∠B+∠C)=180°−(60°+40°)= ______ (等量代换)，
∵∠1=50°(已知)，
∴∠DAC=∠BAC−∠1=80°−50°=30°(等量代换)，
在△ADE中，∠DAE+∠3+∠4=180°(三角形内角和等于180°)，
又∵∠3=∠4(______ )，
∴∠4=(180°−∠DAE)÷2=75°(等式的性质)，
∵∠4=∠C+∠2(______ )，
∴∠2=∠4−∠C=75°−40°=35°(等量代换)．

20. (本小题8.0分)
如图，A，B，C三点均在10×10的正方形网格格点上(图中网格线的交点就是格点)．
(1)画出将△ABC向右平移4格，再向下平移4格后的△A1B1C1；
(2)画出将△ABC绕点C顺时针旋转180°后的△A2B2C；
(3)在(1)和(2)的条件下，四边形A1B1A2B2是否为中心对称图形？若是，请在图中标出它的对称中心P；若不是，请用所学知识简要说明理由．

21. (本小题8.0分)
妈妈：“今天在超市购物共花了几十块钱，且刚好是整数.但在使用微信支付时，不小心在个位数与十位数之间多按了一个小数点，结果再补支付了45.6元.”
女儿：“妈妈，您是在考我吗？补支付的钱数一定不是45.6元.”
妈妈：“补支付的钱数只有一位小数位，我只说错了十分位上的数字，且十分位上的数字肯定不是0.”
(1)你认为女儿的判断正确吗？妈妈这次购物是否超过50元？请直接写出你的判断结果；
(2)设妈妈购物花了x元，补支付的钱数的十分位上的数字为a.根据以上信息，求x的值．
22. (本小题10.0分)
已知关于x，y的方程组2x−y=1+4ax+y=−7−a，其中a为任意有理数．
(1)试说明：代数式2x+y的值不会随着a的值的变化而变化；
(2)若3≤5x+y≤6，求a的取值范围．
23. (本小题10.0分)
如图，在四边形ABCD中，BD，CA分别平分∠ABC和∠DCB，BD与AC相交于点O，延长BA，CD交于点P．
(1)已知∠OAD+∠ODA=60°，求∠P的度数；
(2)若∠BAC=α，∠CDB=β，∠BOC=γ，试探究α，β，γ三者之间的等量关系．

24. (本小题13.0分)
在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了A，B，C三种产品.已知出售1件A产品和2件B产品共收入900元，出售2件A产品和3件B产品共收入1600元．
(1)求A产品和B产品的单价；
(2)若出售A，B两种产品(均有销售)共收入2400元，则出售A，B两种产品各几件？
(3)为推广产品，该企业开展促销活动：每出售一件A产品，赠送2件C产品.某客户欲购买A，B，C三种产品共50件，并要求B产品的件数是A产品的1.5倍，A产品至少10件.企业赠送的C产品不能满足客户的需求，客户还需要另行购买部分C产品，若C产品单价为100元，求客户支付的总金额．
25. (本小题13.0分)
如图，将线段AB平移得到CD，使A与D对应，B与C对应，连接AD，BC．
(1)求证：∠B=∠ADC；
(2)点G在BC的延长线上，点C与C′关于直线DG对称，直线DC′交BC的延长线于点E.点F在线段CE上，且∠DFE=∠EDF．
①设∠B=α，求∠FDG的度数(用含α的代数式表示)；
②证明：CGGE=CDDE．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：将方程2x=6的两边同时除以2得：x=3，
∴方程2x=6的解是x=3．
故选：C．
将方程2x=6的两边同时除以2即可得出方程的解，进而可确定答案．
此题主要考查了解一元一次方程，解答此题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法与步骤．

2.【答案】A 
【解析】解：A、2+3>4，能组成三角形，故本选项符合题意；
B、1+2=3，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、1+2<4，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、1+1<3，不能组成三角形，故本选项不符合题意意．
故选：A．
三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解．
本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

3.【答案】C 
【解析】解：由图示可看出，从−2出发向右画出的线，且−2处是实心圆，表示x≥−2．
所以这个不等式的解集为x≥−2．
故选：C．
该不等式的解集是指−2及其右边的数，即大于等于−2的数．
本题考查了不等式的解集在数轴上的表示方法：一注意箭头的方向；二注意是空心点还是实心点．

4.【答案】D 
【解析】解：A、由x+3=5，得x=5−3，故A不符合题意；
B、由2x=12，得x=14，故B不符合题意；
C、由−2x>6，得x<−3，故C不符合题意；
D、由2+x<4，得x<2，故D符合题意；
故选：D．
根据不等式的基本性质和等式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质以及等式的基本性质是解题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：∵BE=7，CE=2，
∴BC=BE−CE=5，
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF=5，
∵CF+CE=EF，
∴CF=3，
故选：C．
根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：A、正六边形的每个内角的度数为180°×(6−2)6=120°，且360°÷120°=3，则能铺满地面，此选项不符题意；
B、正五边形的每个内角的度数为180°×(5−2)5=108°，108°不能被360°，则不能铺满地面，此选项符合题意；
C、正四边形的每个内角的度数为180°×(4−2)4=90°，且360°÷90°=4，则能铺满地面，此选项不符题意；
D、正三角形的每个内角的度数为180°×(3−2)3=60°，且360°÷60°=6，则能铺满地面，此选项不符题意；
故选：B．
先求出各个正多边形的每个内角的度数，再找出不能被360°整除的即可得．
本题主要考查平面镶嵌问题，关键是掌握正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．

7.【答案】D 
【解析】解：由题意可得，8x−y=3y−7x=4．
故选：D．
根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．

8.【答案】B 
【解析】解：由题意可得∠ABE=(8−2)×180°÷8=135°，∠DCE=(6−2)×180°÷6=120°，
∴∠CBE=180°−135°=45°，∠BCE=180°−120°=60°，
∴∠BEC=180°−∠CBE−∠BCE=180°−45°−60°=75°，
故选：B．
根据多边形内角和公式及正多边形性质求得∠ABE，∠DCE的度数，从而求得∠CBE，∠BCE的度数，然后根据三角形内角和为180°计算即可求得答案．
本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，结合已知条件求得∠ABE，∠DCE的度数是解题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：∵△AED是由△ABC点A顺时针旋转得到的，
∴∠BCA=∠ADE，∠DAE=∠BAC，AD=AC，
∴∠D=∠ACD，
∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=50°，
∴∠D+∠ACD=50°，
∴∠DAE+∠CAE=∠DAC=180°−50°=130°，
∴∠BAC+∠CAE=130°，
∴∠EAB=130°，
故选：C．
根据旋转的性质得出∠BCA=∠ADE，∠DAE=∠BAC，AD=AC，再根据三角形内角和定理得出∠DAC的度数即可推出结果．
本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：①当a≠0时，ax=ab的解为x=b，
当a=0时，x有无数解；
故①不符合题意；
②当a=0时，方程ax+b=0不是一元一次方程，
当a≠0时，方程ax+b=0是一元一次方程，
故②符合题意；
③当a≠0时，方程ax+b=0的解是x=−ba；
故③符合题意；
④当b=0时，方程ax+b=0可化为ax=0，
当a=0时，方程ax=0有无数个解，
当a≠0时，方程ax+b=0的解为x=0，
故④不符合题意；
故选：B．
对a分两种情况讨论：当a=0和a≠0时，分别进行讨论即可求解．
本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的定义，一元一次方程的解法，根据题意对a进行讨论是解题的关键．

11.【答案】−6 
【解析】解：根据题意知：x+6=0．
解得x=−6．
故答案为：−6．
当y=0时，x+6=0，通过解该方程求得x的值即可．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时，利用了代入法求得x的值，属于基础题．

12.【答案】1 
【解析】解：将x=ay=b代入原方程得：3a+b=1，
∴3a+b=1．
故答案为：1．
将x=ay=b代入原方程，可得出3a+b=1，再将其代入3a+b中，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程的解，掌握把方程的解代入原方程，等式左右两边相等是解题的关键．

13.【答案】x>2 
【解析】解：根据题意得：x+4+3x2>9，
去分母得：2x+8+3x>18，
移项得：2x+3x>18−8，
合并同类项得：5x>10，
解得：x>2．
故答案为：x>2．
根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．
此题考查了解一元一次不等式，以及整式的加减，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．

14.【答案】56 
【解析】解：∵∠CFE=140°，
∴∠AFE=180°−∠CFE=180°−140°=40°，
由折叠的性质得∠AFD=∠EFD，
∴∠AFD=∠EFD=12∠AFE=12×40°=20°，
∵∠BDF是△ADF的一个外角，
∴∠BDF=∠A+∠AFD，
∵∠A=36°，
∴∠BDF=36°+20°=56°，
故答案为：56．
先根据邻补角互补求出∠AFE的度数，再根据折叠的性质即可求出∠AFD的度数，最后根据三角形外角的性质即可求出∠BDF的度数．
本题考查了三角形外角的性质和折叠的性质，熟知折叠前后两个图形全等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

15.【答案】90° 
【解析】解：∵BD为△ABC的高，∠C为锐角，

∴∠A+∠ABD=90°，∠C+∠DBC=90°，
∵∠BAC=∠DBC，
∴∠ABD=∠C，
∵∠A+∠C+∠ABD+∠DBC=180°，
∴∠ABD+∠DBC=90°，
即∠ABC=90°．
故答案为：90°．
先根据直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等可得∠A=∠DBC，再由三角形的内角和定理可得结论．
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的高，余角的性质等知识，根据余角的性质得∠A=∠DBC是解本题的关键．

16.【答案】1≤AE≤5 
【解析】解：如图，根据旋转的性质可知，点D在以点C为半径，AC长为半径的圆上，点E在以点C为半径，BC上为半径的圆上，

∴当点E在AC上时，AE最短，此时AE=AC−CE=1；
当点E在AC延长线上时，AE最长，此时AE=AC+CE=5，
∴AE的取值范围为1≤AE≤5．
故答案为：1≤AE≤5．
根据旋转的性质可知，点D在以点C为半径，AC长为半径的圆上，点E在以点C为半径，BC上为半径的圆上，画出图形可知，当点E在直线AC上时，AE长可取得最值．
本题主要考查旋转的性质，根据题意作出点A，B的运动轨迹是解题关键．

17.【答案】解：①×3+②得：10x=30，
解得：x=3，
把x=3代入①得：6−y=2，
解得：y=4，
所以原方程组的解为x=3y=4． 
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法与加减消元法解二元一次方程组是关键．

18.【答案】解：解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x<3，
则不等式组的解集为1≤x<3． 
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19.【答案】三角形三个内角的和是180°  80°  已知  三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 
【解析】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形三个内角的和是180°)，
∠B=60°，∠C=40°(已知)，
∴∠BAC=180°−(∠B+∠C)=180°−(60°+40°)=80°(等量代换)，
∵∠1=50°(已知)，
∴∠DAC=∠BAC−∠1=80°−50°=30°(等量代换)，
在△ADE中，∠DAE+∠3+∠4=180°(三角形内角和等于180°)，
又∵∠3=∠4(已知)，
∴∠4=(180°−∠DAE)÷2=75°(等式的性质)，
∵∠4=∠C+∠2(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
∴∠2=∠4−∠C=75°−40°=35°(等量代换)．
故答案为：三角形三个内角的和是180°；80°；已知；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
在△ABC中根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，继而求出∠DAC的度数，在△ADE中根据三角形内角和定理求出∠4的度数，最后根据三角形外角的性质求出∠2的度数．
本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知三角形三个内角的和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

20.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C即为所求；
(3)四边形A1B1A2B2是中心对称图形，对称中心P如图所示．
 
【解析】(1)根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
(2)根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
(3)连接A1A2、B1B2相交于点P，则点P即为对称中心．
本题考查了作图−平移变换，作图−旋转变换，熟练掌握平移变换与旋转变换的性质是解题的关键．

21.【答案】解：(1)女儿的判断正确，妈妈这次购物超过50元，理由：
设妈妈应付钱的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则应付钱(10m+n)元，
实际付钱(m+0.1n)元，应补交的钱数为：(10m+n)−(m+0.1n)=(9m+0.9n)元，
∵补支付的钱数只有一位小数位，我只说错了十分位上的数字，且十分位上的数字肯定不是0，
∴9m=45，
∴m=5，
∴妈妈这次购物会超过50元．
假设补交的钱数正确，则补交的钱数的十分位为6．
∵45正确，在超市购物共花了几十块钱，且刚好是整数，
∴9m=45，0.9n=0.6，
∴m=5，n=23．
∵n为整数，
∴n不可能为23，
∴补支付的钱数一定不是45.6元，
∴女儿的判断正确；
(2)设妈妈购物花了x元，补支付的钱数的十分位上的数字为a，由题意得：
x−x10=45+a10，
∴9x=450+a，
∴x=50+a9．
∵x为整数，且x≠0，
∴a为9的倍数，且a≠0，
∴a=9，
∴x=50+1=51．
∴x的值为51． 
【解析】(1)设妈妈应付钱的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则应付钱(10m+n)元，求得应补交的钱数为：(10m+n)−(m+0.1n)=(9m+0.9n)元，依题意列出关于m的方程即可求得m值，再利用反证法即可说明女儿的说法正确；
(2)由题意得到x−x10=45+a10，化简得到x=50+a9，利用已知条件和数位上数字的特征即可求得a值，则结论可得．
本题主要考查了列代数式，整式的加减反证法与实际问题的解决，整除的性质和数位上数字的特征，反证法，依据数量关系正确列出代数式是解题的关键．

22.【答案】解：(1)2x−y=1+4ax+y=−7−a，
解得：x=a−2y=−2a−5，
∴2x+y=2(a−2)+(−2a−5)=2a−4−2a−5=−9，
∴代数式2x+y的值不会随着a的值的变化而变化；
(2)由(1)得：x=a−2y=−2a−5，
∴5x+y=5(a−2)+(−2a−5)=5a−10−2a−5=3a−15，
∵3≤5x+y≤6，
∴3≤3a−15≤6，
解得：6≤a≤7，
∴a的取值范围为：6≤a≤7． 
【解析】(1)先解方程组可得x=a−2y=−2a−5，然后把x，y的值代入式子2x+y中，进行计算即可解答；
(2)把x，y的值代入式子5x+y中进行计算，可得5x+y=3a−15，然后根据已知可得3≤3a−15≤6，最后进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．

23.【答案】解：(1)∵∠OAD+∠ODA=60°，
∴∠BOC=∠AOD=180°−(∠OAD+∠ODA)=180°−60°=120°，
∴∠OBC+∠OCB=180°−∠BOC=180°−120°=60°，
∵BD平分∠ABC，CA平分∠DCB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠DCB=2∠OCB，
∴∠ABC+∠DCB=2(∠OBC+∠OCB)=120°，
∴∠P=180°−(∠ABC+∠DCB)=180°−120°=60°；
(2)∵∠BOC=∠BAC+∠ABD=∠CDB+∠ACD，∠BAC=α，∠CDB=β，∠BOC=γ，
∴α+∠ABD=γ，β+∠ACD=γ，
∵BD平分∠ABC，CA平分∠DCB，
∴∠OBC=∠ABD，∠OCB=∠ACD，
∴α+∠OBC=γ①，β+∠OCB=γ②，
①+②得：α+β+∠OBC+∠OCB=2γ，
∵∠OBC+∠OCB=180°−∠BOC=180°−γ，
∴α+β+180°−γ=2γ，
∴α+β+180°=3γ． 
【解析】(1)结合已知条件，根据三角形内角和可求得∠OBC+∠OCB的度数，然后根据角平分线的定义可求得∠ABC+∠DCB的度数，最后利用三角形内角和即可求得答案；
(2)结合已知条件，利用三角形的外角性质分别利用含α，β的式子表示出∠BOC，然后将两个式子相加后再利用三角形的内角和进行变形即可求得答案．
本题考查三角形的内角和及外角性质，角平分线的性质，(2)中利用三角形外角性质并结合已知条件求得α+∠OBC=γ，β+∠OCB=γ是解题的关键．

24.【答案】解：(1)设A产品的单价x元，B产品的单价y元，
由题意得，x+2y=9002x+3y=1600，
解得x=500y=200，
答：A产品的单价500元，B产品的单价200元；
(2)设出售A产品a件，则出售B产品b件，
由题意得500a+200b=2400，
化简得5a+2b=24，
∵a，b为正整数，
∴a=2b=7或a=4b=2，
答：出售A产品2件，B产品7件或出售A产品4件，B产品2件；
(3)设该客户支付的总金额为w元，购买A产品c件，则B产品1.5c件，C产品(50−c−1.5c)件，
由题意得：w=500c+200×1.5c+100×(50−c−1.5c−2c)
=5000+350c，
∵c≥10，50−c−1.5c−2c>0，
∴10≤c<1009，
∵c为正整数，
∴c=10或11，
当c=10时，w=5000+350×10=8500(元)；
当c=11时，w=5000+350×11=8850(元)；
答：客户支付的总金额为8500元或8850元． 
【解析】(1)设A产品的单价x元，B产品的单价y元，根据出售1件A产品和2件B产品共收入900元，出售2件A产品和3件B产品共收入1600元列方程组，解方程组可求解x，y值即可求解；
(2)设出售A产品a件，则出售B产品b件，根据出售A，B两种产品(均有销售)共收入2400元列方程，结合a，b的取值范围可求解a，b的值；
(3)设该客户支付的总金额为w元，购买A产品c件，则B产品1.5c件，C产品(50−c−1.5c)件，根据三种产品支付金额的和可列式，再根据c的取值可确定c取值，代入计算可求解．
本题主要考查二元一次方程(组)的应用，找准等量关系是解题的关键．

25.【答案】(1)证明：由平移得：AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC；
(2)①解：∵AB//CD，
∴∠B=∠DCF=α，
∵∠DFE是△DCF的一个外角，
∴∠DFE=∠DCF+∠CDF，
∵∠DFE=∠EDF，
∴∠CDE=∠CDF+∠EDF
=∠CDF+∠DFE
=∠CDF+∠DCF+∠CDF
=2∠CDF+∠DCF，
∵点C与C′关于直线DG对称，
∴∠CDG=∠C′DG=12∠CDE=12(2∠CDF+∠DCF)=∠CDF+12∠DCF，
∴∠CDG−∠CDF=12∠DCF，
∴∠FDG=12∠DCF=12α，
∴∠FDG的度数为12α；
②过点G作GH//CD，交DE于点H，连接GC′，

∴∠DCG=∠HGE，∠CDH=∠GHE，
∴△CDE∽△GHE，
∴DCDE=GHHE，
∵点C与C′关于直线DG对称，
∴△CDG≌△C′DG，
∴CG=C′G，∠DCG=∠DC′G，
∴∠DC′G=∠HGE，
∵∠GHE=∠GHC′，
∴△HC′G∽△HGE，
∴GHHE=C′GGE，
∴DCDE=C′GGE，
∴CGGE=DCDE． 
【解析】(1)根据平移的性质可得AB//CD，AB=CD，从而可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答；
(2)①利用平行线的性质可得∠B=∠DCF=α，再根据三角形的外角性质可得∠DFE=∠DCF+∠CDF，从而利用角的和差关系可得∠CDE=2∠CDF+∠DCF，然后根据轴对称的性质可得∠CDG=∠C′DG=12∠CDE=∠CDF+12∠DCF，从而可得∠CDG−∠CDF=12∠DCF，进而可得∠FDG=12∠DCF=12α，即可解答；
②过点G作GH//CD，交DE于点H，连接GC′，先证明A字模型相似三角形△CDE∽△GHE，从而可得DCDE=GHHE，再根据轴对称的性质可得△CDG≌△C′DG，从而可得CG=C′G，∠DCG=∠DC′G，进而可得∠DC′G=∠HGE，然后证明△HC′G∽△HGE，从而利用相似三角形的性质可得GHHE=C′GGE，即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，平移的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．