北师大版1 锐角三角函数教学设计

《1.1锐角三角函数》教学设计

一、内容和内容解析

    《锐角三角函数》对于解决实际问题有着重要的作用，在测量、建筑、物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的相关计算，这些都归结到直角三角形中的边角关系.研究图形之中各个元素之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，是分析问题和解决问题过程中常用的方法.学习过程中学生进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法.正切是生活中用到的最多的三角函数概念，所以这节课从生活中梯子的倾斜程度谈起，引出了我们要研究的第一个三角函数        正切.

1、具体内容

    《锐角三角函数》 是北师大版九年级下第一章第1节（第1课时）的内容.本课时主要解决以下几个问题，首先让学生通过实例感受直角三角形中锐角和其对边与邻边比值之间的关系，由梯子的倾斜程度问题引出直角三角形中的边角关系.其次经历特殊到一般、具体到抽象的研究过程，层层递进挖掘两者之间的函数关系，并给出正切的定义及相关注意事项.最后通过正切函数解决直角三角形中“知二求一”的边角关系问题和简单的应用问题.第2课时类比正切的概念引入正弦和余弦，使学生从已学的知识进行联想，加深对三角函数概念的理解.

2.前后联系

本节内容是初中数学的重要内容之一.一方面，这是在学习了直角三角形两锐角互余、勾股定理、直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识的基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展；另一方面，又为正弦、余弦这两个三角函数的学习以及后续解直角三角形等知识奠定了基础，也为高中进一步研究任意角的三角函数、反三角函数等相关内容奠定了基础.鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用.

 3.教育价值

     从梯子问题引导学生思考锐角和对边与邻边比值的关系，在探究过程中发展了学生的推理能力；运用直角三角形的边角关系计算“知二求一”等相关问题，发展了学生的计算能力；最终的落脚点是提升了学生的应用意识和创新意识，让数学真正的成为从生活中来，到生活中去的一门学科.三角函数实际上是三角比，学习三角函数让学生体会关系性和函数性的双重特点.

4.教学重点：从现实情境中探索直角三角形的边角关系，理解正切、坡角、坡度的数学意义.

二、目标和目标解析

基于课标要求和上述分析本节课的教学目标如下:

1.理解锐角正切的意义，并会求锐角的正切值.

2.经历锐角正切意义的探索过程，培养学生观察分析、类比归纳的探究问题的能力.

3.通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成独立思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神.

三、教学问题诊断分析

    学生已经掌握直角三角形的相关知识，角与角之间的关系，边与边之间的关系，八年级函数概念的学习也为三角函数概念的引入做好了铺垫.

学生困难预设：（1）本节通过梯子的倾斜程度引入，学生很容易发现梯子的倾斜程度与倾斜角密切相关，学生可能不太容易把梯子的倾斜程度与铅直高度与水平宽度的比值联系起来教学时要注意引导.（2）如何建立锐角和对边与邻边的比值之间的关系，并在一系列探究后充分理解它们之间的函数关系这是值得思考的问题.（3）学习了正切的定义后，部分学生还是感到比较抽象，对于所谓的“函数”、“边角关系”的认知比较模糊，只有充分应用直角三角形之间的边角关系解决问题后，学生才能体会到它的用处，真正理解正切的意义和作用.

教学难点：锐角三角函数概念的形成.

四、教学支持条件分析

（1）以学生熟悉的生活实例梯子的倾斜程度谈起，激发学生学习的兴趣和探究的欲望，使学生感受到数学与现实世界的联系.梯子问题的设置层层深入，逐步引导学生发现梯子的陡缓与倾斜角和铅直高度与水平宽度的比值密切相关.在教学的过程中要关注学生能否积极地思考，能否有条理的表达自己的想法，让学生尝试用自己的语言描述所发现的边角关系.                        

（2）把实际情境抽象成直角三角形中的边角关系，通过特殊锐角的求比值再到几何画板展示任意锐角与比值的对应关系，最后到一般性的证明推理，层层递进得出锐角与这个比值之间的关系，引导学生感受并自己说出函数关系.在教学过程中让学生体会两者的函数性本质，但实际上并没有特别明确地从函数的角度研究它们，也就是说没有研究随着角的变化，其三角函数的变化规律，而是研究当锐角一定时，直角三角形中相应边的比值是什么，教学时时刻把握这个定位.

（3）对于此类概念课，尽可能多做练习帮助学生理解直角三角形的边角关系，注意必要时的规范书写过程，为本章学习开个好头.在练习的过程中让学生自己体会“知二求一”的本质，适时点拨，降低出错率.

（4）在教学过程中，练习题的设置要层层递进，从易到难，将学生放置于实际问题的情境下，有助于激发学生的主动性和求知欲，并让学生体会正切的实际意义，感受数学来源于生活的本质.

五、教学过程设计

1.1锐角三角函数

一、温故知新

B

让学生观察直角三角形，回顾相关知识.       

•       A

•     C

设计意图：回顾直角三角形相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件.

学生回顾的基础上,老师提出直角三角形边角之间存在一定的关系,那么这种关系又能帮助我们解决哪些实际问题呢?带着这些疑问进入今天的探究学习,总结并引出今天探究的重点-------直角三角形的边角关系.

二、新知探究

探究活动一：梯子在变陡的过程中，哪些量发生了变化？倾斜角、铅直高度、水平宽度

如图，比较以下几组梯子AB和EF哪个更陡？ 

让学生发现梯子的陡缓与倾斜角有关，倾斜角越大，梯子越陡.

很多实际问题中，人们无法测量角度，我们也可以从边的角度进行研究.铅直高度一定时，水平宽度越短，梯子越陡.

（引导学生证明倾斜角的大小关系，边的变化本质上是角的变化）

通过证明相似得出倾斜角相等，两个梯子一样陡的结论.关键是从相似的证明过程中得出铅直高度与水平宽度的比值.

铅直高度与水平宽度都不相等时，学生顺其自然想到用它们的比值刻画梯子的陡缓，得出结论比值越大，梯子越陡.

通过一组探究后，让学生思考梯子的倾斜程度与什么相关？

（1） 倾斜角

（2）

设计意图：通过一组梯子问题的探究一方面让学生发现梯子的陡缓与哪些量有关系，更重要的是让学生逐步建立锐角和对边与邻边比值之间的关系.在发现问题和解决问题的过程中，学生的逻辑推理能力，数据分析能力都得到了发展.

探究活动二:

展示几何画板中给出任意锐角后，对边与邻边比值也随之确定，改变角度，比值随之变化.

在一组相似三角形中证明锐角确定比值就确定与其所处的三角形和对边、邻边的具体值无关.

学生体会：当锐角A确定后，它的对边与邻边的比值也随之确定.

给定一个锐角A,就有一个比值与之对应.

锐角A与这个比值究竟是一种什么关系呢？

函数    锐角三角函数    正切的定义

设计意图：让学生经历从具体到一般的研究问题过程，学会在直角三角形中研究边角关系.先计算几个特殊角的对边与邻边的比值再过渡到几何画板中展示任意锐角的情况，到最后严密的推理论证.从感知猜想到验证结论，最终确定了两者之间的函数关系，学生经历概念形成过程，由感知、表象抽象出准确的数学概念.教学中老师注重引导，以问题串的形式引发学生深刻思考，学生能够对数学对象的属性或数学问题进行综合分析，提升了推理能力和逻辑思维能力.

三、巩固练习

第一关：基础练习

判断对错：

如图 (1) （    ）

（1）

如图 (2) （    ）

如图 (2) （    ）

如图 (2) （    ）

第二关：能力提升

1.根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值.

 图①                              图②

图①中           ，             图②中           ，

           .                               .

思考：通过上述计算，你有什么发现？

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,tanA=   ,求AC.

3

第三关：活学活用

E

B

E

下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?

5m

13m

4m

A

D

F

C

设计意图：出示正切的定义后及时的进行练习和巩固，帮助学生深入理解正切的本质和作用.

四、问题再探

坡面与水平面夹角称为坡角

坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）

即坡度等于坡角的正切

设计意图：理解坡角和坡度两个概念之间的联系与区别，为后续应用问题做铺垫.

第四关：拓展创新

1.如下图，某人从山脚下的点A处走了200米爬到了山顶的点B处，已知点B到山脚的垂直距离为100米，该山的坡度为            .

2.某一建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰。现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来.请你根据图中数据说明这一楼顶铺设的瓦片是否会滑落下来？

13

13

24

设计意图：实际问题赋予正切更加丰富的内涵，只有这样的应用问题才能让学生站在更高的角度去思考锐角三角函数给我们带来的作用和意义.

五、小结收获

谈谈你这节课都有哪些收获和困惑？

学生说出自己的收获，在此老师指出今天学习的锐角三角函数定义具有双重性，一方面揭示了锐角和比值之间的函数关系，另一方面从定义我们可以看出这三个量之间的等量关系，我们可以灵活运用定义“知二求一”，引导学生运用学到的知识解决生活中的问题，实现更大的价值.

设计意图：引领学生在数学学习中初步形成用数学的眼光看待问题、用数学的头脑分析问题、用数学的方法解决问题的能力.在总结的过程中，为学生架构从知识内涵到思想方法的桥梁，使学生学有所获，学有所用.让学生从整体上把握本节的地位和作用，不仅丰富了直角三角形的知识树，更是为后续锐角三角函数的学习奠定了基础，起到了承上启下的作用.

六、目标检测设计

1.直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tanα 的值是（    ）  

           （第1题 图）                    （第2题 图）

2.在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=12，AB=13，则 tanB=(     )

 A.          B.           C.          D.

3.在Rt△ABC中，各边的长度同时扩大为原来的2倍，tanA的值（    ）

   A.扩大2倍    B.缩小为原来的    C.扩大4倍     D.不变

4.如图，拦水坝的坡度为i＝1:，若坝高BC=20 米，求坝面AB的长.

考查目的：1、2题考查学生会计算锐角的正切值，3题考查锐角确定，正切值随之确定，不随边的变化而变化这一知识，4题考查学生对坡度概念的理解和应用.设计这组测评题目的主要目的是促使学生巩固和消化在课堂上所学的知识和技能，深刻理解和掌握课堂上老师传授的数学思想方法，并能灵活运用它们解决数学问题.它对优化课堂教学过程，提高课堂效率，拓展学生思维，起着重要的作用.