八年级上册第1章 三角形的初步知识1.3 证明综合训练题

第1章　三角形的初步知识

1.3　证明

第2课时　几何命题的证明与三角形外角的性质

基础过关全练

知识点1　几何命题的证明

1.(2022浙江杭州拱墅期末)在探索并证明三角形内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”时,圆圆同学添加的辅助线为“过点A作直线DE∥BC”.请写出“已知”“求证”,并补全证明.

已知:

求证:

证明:如图,过点A作直线DE∥BC.

知识点2　三角形外角的性质

2.(2022浙江杭州树兰中学期中)如图所示的图形中,x的值是(　　)

A.70　　　　B.50　　　　

C.60　　　　D.80

3.(2022浙江台州和合教育联盟期中)如图所示,如果将一副三角板按如图所示的方式叠放,那么∠1 等于(　　)

A.120°　　　　B.105°　　　　

C.60°　　　　 D.45°

4.(2022浙江乐清英华学校检测)如图,已知直线a∥b,∠1=85°,∠2=35°,则∠3=(　　)

A.85°　　　　B.60°　　　　

C.35°　　　　D.50°

5.(2020浙江杭州中考)如图,AB∥CD,EF分别与AB,CD交于点B,F.若∠E=30°,∠EFC=130°,则∠A=　　　　. 

6.(教材P19变式题)如图,P是△ABC内一点,∠A=80°,∠1=15°,∠2=40°,则∠BPC等于　　　　. 

能力提升全练

7.(2022浙江杭州中学期中)如图所示,已知∠A=70°,∠B=40°,∠C=30°,则∠D+∠E等于(　　)

A.30°　　　　B.40°

C.50°　　　　D.60°

8.(2022浙江诸暨滨江教育集团月考)如图,∠ABD、∠ACD的平分线交于点P,若∠A=60°,∠D=20°,则∠P的度数为(　　)

A.15°　　　　B.20°　　　　C.25°　　　　D.30°

9.(2022浙江杭州余杭三校联考)如图,D,E,F分别是△ABC三边延长线上的点,∠D+∠E+∠F=107°,则∠1+∠2+∠3=　　　　°. 

10.如图,∠A=m°,∠ABC的平分线和∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC的平分线和∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2;……∠A2 021BC的平分线和∠A2 021CD的平分线交于点A2 022,得∠A2 022,则∠A2 022=　　　　. 

11.(1)小明在探究三角形的外角性质时发现:三角形不共顶点的三个外角的和等于360°,请证明小明的结论;

(2)请你直接利用以上结论,解决下面的问题:一个正方形和两个等边三角形(等边三角形的三个内角都为60°)的位置如图所示,已知∠3 = 50°,则∠1+∠2的度数为　　　　. 

素养探究全练

12.[逻辑推理](1)如图①,将△ABC纸片沿DE折叠,此时点A落在四边形BCDE的内部,则∠DAE与∠1,∠2之间有一种数量关系保持不变,请找出这种数量关系,并说明理由;

(2)若将△ABC折成图②或图③,即点A落在BE或CD上,分别写出∠DAE与∠2,∠DAE与∠1之间的数量关系式,并说明理由;

(3)若将△ABC折成图④,写出∠DAE与∠1,∠2之间的数量关系式,并说明理由;

(4)若将△ABC折成图⑤,写出∠DAE与∠1,∠2之间的数量关系式,并说明理由.

图①　　　　　　图②　　　　　　图③　　　　　　图④　　　　　　图⑤

答案全解全析

基础过关全练

1.解析　已知:∠BAC、∠B、∠C是△ABC的三个内角.

求证:∠BAC+∠B+∠C=180°.

证明:过点A作直线DE∥BC.

∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C,∵∠BAC+∠DAB+∠EAC=180°,∴∠BAC+∠B+∠C=180°.

2.C　根据三角形外角的性质可得x+10+x=x+70,解得x=60.故选C.

3.B　如图,∠2=90°-45°=45°,由三角形外角的性质得∠1=∠2+60°=45°+60°=105°.故选B.

4.D　如图,∵∠1=∠2+∠4,∴∠4=85°-35°=50°,∵a∥b,∴∠3=∠4=50°.故选D.

5.20°

解析　∵AB∥CD,∴∠ABF+∠EFC=180°,∵∠EFC=130°,∴∠ABF=50°,

∵∠A+∠E=∠ABF=50°,∠E=30°,∴∠A=20°.

6.135°

解析　如图,延长CP交AB于点D,

∵∠BDC=∠2+∠A,∠BPC=∠1+∠BDC,∴∠BPC=∠1+∠2+∠A=15°+40°+80°=135°.

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7.B　如图,延长CD交AB于F,设BE交CD于O,

∵∠BFO=∠A+∠C=70°+30°=100°,∴∠DOE=∠B+∠BFO=40°+100°=140°,

∵∠ODE+∠E+∠DOE=180°,∴∠ODE+∠E=180°-140°=40°.故选B.

8.B　如图,延长DC,与AB交于点E,

∵∠ACD=∠A+∠AEC,∠AEC=∠ABD+∠D,∴∠ACD=60°+∠ABD+20°,

∴∠ACD-∠ABD=80°,设AC与BP相交于O,则∠AOB=∠POC,

∵BP,CP分别是∠ABD、∠ACD的平分线,∴∠P+∠ACD=∠A+∠ABD,

∴∠P=60°-(∠ACD-∠ABD)=60°-×80°=20°.故选B.

9.73

解析　∵∠D+∠3=∠CAB,∠E+∠1=∠ABC,∠F+∠2=∠ACB,

∴∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°,

∵∠D+∠E+∠F=107°,∴∠1+∠2+∠3=73°.

10.°

解析　∵BA1、CA1分别平分∠ABC和∠ACD,∴∠ABC=2∠A1BC,∠ACD=2∠A1CD,

又∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC,∠ACD=∠ABC+∠A,∴∠A=2∠A1,

∴∠A1=°;同理可得∠A1=2∠A2,即∠A=22∠A2,∴∠A2=°,……,

∴∠A2 022=°.

11.解析　(1)已知:如图,∠1、∠2、∠3是△ABC的三个不共顶点的外角.求证:∠1+∠2+∠3=360°.

证明:∵∠1+∠BAC=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠ACB=180°,

∴∠1+∠2+∠3+∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°×3=540°,

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠1+∠2+∠3=540°-180°=360°.

(2)∵等边三角形的内角都是60°,正方形的内角都是90°,三角形不共顶点的三个外角的和是360°,

∴∠1+90°+∠2+60°+∠3+60°=360°,

∴∠1+∠2=360°-90°-60°-60°-50°=100°.

素养探究全练

12.解析　(1)∠1+∠2=2∠DAE.理由:如图1,延长BE,CD交于点P,连结AP.

由折叠可得∠DAE=∠DPE,

∵∠1=∠EAP+∠EPA,∠2=∠DAP+∠DPA,

∴∠1+∠2=∠DAE+∠DPE=2∠DAE,即∠1+∠2=2∠DAE.

(2)题图②中,∠2=2∠DAE.理由:如图2,延长BE,CD交于点P.

由折叠可得∠DAE=∠P,

∴∠2=∠DPE+∠DAE=2∠DAE,即∠2=2∠DAE.

题图③中,∠1=2∠DAE.理由:如图3,延长BE,CD交于点P.

由折叠可得∠DAE=∠P,∴∠1=∠EAP+∠P=2∠DAE,即∠1=2∠DAE.

(3)∠2-∠1=2∠DAE.理由:如图4,延长BE,CD交于点P.

由折叠可得∠DAE=∠P,∵∠2=∠3+∠P,∠3=∠1+∠DAE,

∴∠2=∠P+∠1+∠DAE=2∠DAE+∠1,∴∠2-∠1=2∠DAE.

(4)∠1-∠2=2∠DAE.理由:如图5,延长BE,CD交于点P.

由折叠可得∠DAE=∠P,

∵∠3=∠DAE+∠2,∠1=∠3+∠P,∴∠1=∠DAE+∠2+∠P=2∠DAE+∠2,

∴∠1-∠2=2∠DAE.

图1

图2

图3

图4

图5