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北师大版数学八年级上册期中考试试卷（含详细解析）
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这是一份北师大版数学八年级上册期中考试试卷（含详细解析），共28页。试卷主要包含了在下列各组数中，是勾股数的是，估算的值在等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共16小题）
1．如图是课堂上同学们在探究勾股定理用到的图形，已知网格中小正方形的边长为1，则线段AB的长为（ ）
A． B．5 C．9 D．13
2．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，，2 B．2，4，6 C．4，5，6 D．6，7，8
3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，7，5 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，2
4．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，6，8 D．5，12，13
5．在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，则BC的长为（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或
6．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．17m B．18m C．25m D．26m
7．在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
8．已知一等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的面积为（ ）
A． B．16 C．6或16 D．3或
9．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a≥﹣2 D．a≤﹣2
10．估算的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
11．实数|﹣2|，﹣1，0，中，最小的是（ ）
A．|﹣2| B．0 C．﹣1 D．
12．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≥2
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥6 B．x≥0 C．x≥﹣6 D．x≤6
14．下列说法正确的是（ ）
A．﹣9的平方根是﹣3 B．9的平方根是3
C．9的算术平方根是3 D．9的算术平方根是±3
15．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
16．实数5的相反数是（ ）
A． B． C．﹣5 D．5
二．填空题（共37小题）
17．已知一个直角三角形两直角边长分别是1和2，则第三边的长为 ．
18．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
19．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地面上，此处离树底部 m处．
20．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，AB＝13，则EF的值是 ．
21．已知直角三角形三边长分别是a+1，a+2，a+3，则a的值为 ．
22．已知直角三角形的两条边为6cm、8cm，这个直角三角形第三边的长为 ．
23．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝8，BE＝2，则AC＝ ．
24．△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上的高为12，则BC边的长为 ．
25．已知直角三角形ABC的一直角边长为1，斜边长为，则它的另一直角边长为 ．
26．在△ABC中，∠C＝90°，若，则AB2+BC2+AC2＝ ．
27．有两根木棒，分别长12cm，5cm，要再在14cm的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是 cm．
28．等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为 ，面积为 ．
29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ．
30．若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为 ．
31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，AC＝3，BC＝4，则DC＝ ．
32．如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动 m．
33．在△ABC中，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高h＝ ．
34．若一个三角形的三边长之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 cm2．
35．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB，若CB＝7，则DE+DB＝ ．
36．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝10，∠B＝60°，∠C＝30°，则AB的长为 ．
37．如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是 米．
38．要登上12m高的建筑物，为了安全起见，需使梯子底端离建筑物5m，则至少需要 m的梯子．
39．﹣的相反数是 ．
40．16的算术平方根是 ．
41．计算的结果是 ．
42．的立方根是 ．
43．若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
44．使二次根式有意义的x的取值范围是 ．
45．如果，那么x+2y的算术平方根为 ．
46．化简：＝ ．
47．﹣8的立方根是 ．
48．如果在数轴上的点A到原点的距离是，那么表示点A的实数是 ．
49．＝ ．
50．若一个数的平方等于，则这个数是 ．
51．若二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
52．若有意义，则m的取值范围是 ．
53．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
三．解答题（共6小题）
54．计算：．
55．计算：
（1）；
（2）．
56．计算：
（1）；
（2）．
57．如果最简二次根式与能进行合并．且a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+．
58．计算：
（1）；
（2）．
59．计算：
（1）；
（2）（）×．
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．如图是课堂上同学们在探究勾股定理用到的图形，已知网格中小正方形的边长为1，则线段AB的长为（ ）
A． B．5 C．9 D．13
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】由勾股定理可直接求解．
【解答】解：由图可知：AC＝2，BC＝3，
∴AB＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
2．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，，2 B．2，4，6 C．4，5，6 D．6，7，8
【考点】勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵12+（）2＝22，
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵2+4＝6，
∴以2，4，6为边不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵62+72≠82，
∴以6，7，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，7，5 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，2
【考点】勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵42+52≠72，
∴以4，7，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵32+42＝52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵12+22≠22，
∴以1，2，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
4．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，6，8 D．5，12，13
【考点】勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】能构成直角三角形的三边满足勾股定理的逆定理．
【解答】解：能构成直角三角形的三边需满足两边的平方和等于第三边的平方．
选项A：22+32≠42，故A错误；
选项B：32+42≠62，故B错误；
选项C：52+62≠82，故C错误；
选项D：52+122＝132，故D正确．
故答案选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，即勾股数的记忆和计算．解题的关键是计算平方的运算能力和勾股数的认识．
5．在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，则BC的长为（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．17m B．18m C．25m D．26m
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5＝17（米）．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
7．在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
【考点】勾股数．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意．
B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意．
C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意．
D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
8．已知一等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的面积为（ ）
A． B．16 C．6或16 D．3或
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形，再根据勾股定理和三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：由题意得，当腰为4时，则第三边也为腰，为4，此时0＜6＜4+4＝8．故以4，4，6可构成三角形，所以底边上的高为＝，则三角形的面积＝×6×＝3；
当腰为6时，则第三边也为腰，此时0＜4＜6+6＝12，故以4，6，6可构成三角形，所以底边上的高为＝4，则三角形的面积＝×4×4＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系以及勾股定理的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
9．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a≥﹣2 D．a≤﹣2
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】直接利用二次根式有意义，则被开方数是非负数，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：a﹣2≥0，
解得：a≥2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
10．估算的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【考点】估算无理数的大小．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】先估算出的范围，进而估算出的范围即可．
【解答】解：∵16＜18＜25，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，熟知无理数的估算方法是解题的关键．
11．实数|﹣2|，﹣1，0，中，最小的是（ ）
A．|﹣2| B．0 C．﹣1 D．
【考点】实数大小比较；算术平方根．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据实数的大小得出结论即可．
【解答】解：由题意知，﹣1＜0＜|﹣2|＜，
故选：C．
【点评】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
12．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≥2
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数非负，解不等式即可完成．
【解答】解：由题意得，x+2≥0，
解得：x≥﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式被开方数的非负性，不等式的解法．二次根式两个非负：被开方数非负，二次根式本身非负，解题时要注意这两个非负性．
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥6 B．x≥0 C．x≥﹣6 D．x≤6
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣6≥0，
∴x≥6，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
14．下列说法正确的是（ ）
A．﹣9的平方根是﹣3 B．9的平方根是3
C．9的算术平方根是3 D．9的算术平方根是±3
【考点】算术平方根；平方根．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：（A）负数没有平方根，故A错误；
（B）9的平方根是±3，故B错误；
（D）9的算术平方根是3，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查立方根与平方根，解题的关键是熟练运用立方根与平方根的定义，本题属于基础题型．
15．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意；
B．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
16．实数5的相反数是（ ）
A． B． C．﹣5 D．5
【考点】实数的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据互为相反数的定义即可判定选择项．
【解答】解：∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，
∴5的相反数是﹣5；
故选：C．
【点评】此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．
二．填空题（共37小题）
17．已知一个直角三角形两直角边长分别是1和2，则第三边的长为 ．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】利用勾股定理计算即可．
【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别是1和2，
∴斜边＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是记住勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
18．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 2 cm．
【考点】勾股定理的应用；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
19．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地面上，此处离树底部 8 m处．
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】首先设树顶端落在离树底部x米处，根据勾股定理可得62+x2＝（16﹣6）2，再解即可．
【解答】解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：
62+x2＝（16﹣6）2，
解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
20．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，AB＝13，则EF的值是 ．
【考点】勾股定理的证明．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知EF2的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决．
【解答】解：∵AE＝5，AB＝13，
∴BE＝＝12，
∴小正方形的面积为：132﹣4××5×12＝49，
由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍，
∴EF2的值是49×2＝98，
∴EF的值是7，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确EF2的值等于小正方形的面积的2倍．
21．已知直角三角形三边长分别是a+1，a+2，a+3，则a的值为 2 ．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】2．
【分析】直接根据勾股定理列出关于a的方程，求出a的值即可．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为a+1，a+2，a+3，△ABC是直角三角形，
∴（a+3）2＝（a+1）2+（a+2）2，
解得a＝2或a＝﹣2（舍去）．
∴a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
22．已知直角三角形的两条边为6cm、8cm，这个直角三角形第三边的长为 10cm或2cm ．
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【答案】见试题解答内容
【分析】此题有两种情况：一是当这个直角三角形的两直角边分别为6cm，8cm时；二是当这个直角三角形的一条直角边为6cm，斜边为8cm时．然后利用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：当这个直角三角形的两直角边分别为6cm，8cm时，
则该三角形的斜边的长为＝10cm；
当6cm为直角边，8cm为斜边时，则第三边长为＝2
故答案为：10cm或2cm．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
23．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝8，BE＝2，则AC＝ 4 ．
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【答案】见试题解答内容
【分析】连接CO，根据勾股定理求出CE的长，再根据勾股定理求出AC的长即可．
【解答】解：连接CO，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝ED，
∵AE＝8，BE＝2，
∴AB＝10，
∴CO＝AO＝5，OE＝AE﹣AO＝8﹣5＝3，
∴CE＝＝4，
AC＝＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了勾股定理，由垂径定理得出CD⊥AB，根据勾股定理得到CE是解题的关键．
24．△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上的高为12，则BC边的长为 25或7 ．
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【答案】25或7．
【分析】根据勾股定理可直接进行求解．
【解答】解：当B、C在点D异侧时，如图，
∵AB＝15，AC＝20，AD＝12，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴，，
∴BC＝BD+DC＝25；
当B、C在点D同侧时，如图所示：
∵AB＝15，AC＝20，AD＝12，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴，，
∴BC＝DC﹣BD＝7；
故答案为：25或7．
【点评】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
25．已知直角三角形ABC的一直角边长为1，斜边长为，则它的另一直角边长为 2 ．
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【答案】2．
【分析】根据勾股定理进行计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，一边直角边为1，斜边为．
∴另一条直角边长为：．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
26．在△ABC中，∠C＝90°，若，则AB2+BC2+AC2＝ 6 ．
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【答案】6．
【分析】利用勾股定理得BC2+AC2＝AB2，再代入计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴AB2+BC2+AC2＝2AB2＝2×（）2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理 解题的关键．
27．有两根木棒，分别长12cm，5cm，要再在14cm的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是 13或 cm．
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【答案】13或．
【分析】分2种情况：①12cm是直角边；②12cm是斜边；根据勾股定理求出第三根木棒的长即可求解．
【解答】解：①12cm是直角边，
第三根木棒要取的长度是＝13（cm）；
②12cm是斜边，
第三根木棒要取的长度是＝（cm）；
故答案为：13或．
【点评】考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
28．等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为 3 ，面积为 12 ．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等腰三角形的性质求得高的长，从而再根据面积公式求得面积即可．
【解答】解：根据等腰三角形的三线合一得底边上的高也是底边的中线，则底边的一半是4，
根据勾股定理求得底边上的高是3，则三角形的面积＝×8×3＝12．
【点评】综合运用等腰三角形的三线合一以及直角三角形的勾股定理．
29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 20 ．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】20．
【分析】由勾股定理求出AB2即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝42+22＝20，
∴正方形的面积是20，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
30．若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为 和3 ．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】考虑两种情况：4和5都是直角边或5是斜边．根据勾股定理进行求解．
【解答】解：当4和5都是直角边时，则第三边是＝；
当5是斜边时，则第三边是3．
故答案为：和3．
【点评】考查了勾股定理，此类题注意考虑两种情况，熟练运用勾股定理进行计算．
31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，AC＝3，BC＝4，则DC＝ 2.5 ．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】2.5．
【分析】由勾股定理求出AB的长，即可求得CD．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB＝，
∵D是AB中点，
∴CD＝．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键．
32．如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动 2 m．
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【答案】2．
【分析】根据题意画出图形，根据题意两次运用勾股定理即可解答．
【解答】解：如图所示：由题意可得，AC＝6m，AB＝10m，
则BC＝＝＝8（m），
A′C＝6+2＝8（m），A′B′＝10m，
故B′C＝＝＝6（m），
则梯子底端B向左滑动：BC﹣B′C′＝8﹣6＝2（m）．
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键．
33．在△ABC中，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高h＝ ．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据题意画出图形，再根据勾股定理计算出底边上的高，然后计算三角形的面积，再以AC为底，利用三角形的面积计算出AC边上的高h即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴DB＝DC＝CB＝3，
在Rt△ABD中，AD＝＝4，
∴△ABC的面积为•BC•AD＝×6×4＝12，
∴•AC•h＝12，
5•h＝12，
解得h＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高和中线重合．
34．若一个三角形的三边长之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 120 cm2．
【考点】勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知可求得三边的长，再根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
【点评】此题主要考查学生对直角三角形的判定及勾股定理的逆定理的理解及运用．
35．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB，若CB＝7，则DE+DB＝ 7 ．
【考点】勾股定理；角平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】7．
【分析】根据角平分线的性质，可以得到CD＝DE，再根据CB＝CD+BD＝7，从而可以得到DE+DB的值．
【解答】解：∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
∵CB＝7，
∴CD+DB＝7，
∴DE+DB＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
36．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝10，∠B＝60°，∠C＝30°，则AB的长为 3 ．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】3．
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，设AB＝2x，根据题意列出方程求出x的值即可．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴四边形ADFE是矩形，
设AB＝2x，
∵∠B＝60°，
∴BE＝x，
∴由勾股定理可知：AE＝x，
∴DF＝AE＝x，
∵∠C＝30°，
∴由勾股定理可知：CF＝3x，
∵BE+EF+CF＝10，AD＝EF，
∴x+4+3x＝10，
∴2x＝3，
即AB＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是正确根据题意列出方程，本题属于基础题型．
37．如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是 12 米．
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】梯子和建筑物之间可构成直角三角形，梯子长为斜边，梯子的底端离建筑物的距离为一直角边，运用勾股定理可将另一直角边求出，即梯子可以到达建筑物的高度．
【解答】解：∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，
∴另一直角边长＝＝12m，
故梯子可到达建筑物的高度是12m．
故答案为：12．
【点评】本题的关键是建立数学模型，使实际问题转化为数学问题，进行求解．
38．要登上12m高的建筑物，为了安全起见，需使梯子底端离建筑物5m，则至少需要 13 m的梯子．
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】建筑物与地面构成直角，要使梯子成为直角三角形的斜边，在直角三角形中，已知两直角边的长度，根据勾股定理即可求斜边的长．
【解答】解：由题意知：BC＝5m，AC＝12m，
在直角△ABC中，∠C＝90°，
则AB为斜边，存在AC2+BC2＝AB2，
解得：AB＝13m，
故答案为：13．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中正确的根据题目中给出的BC，AC求AB是解题的关键．
39．﹣的相反数是 ．
【考点】实数的性质；算术平方根．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：﹣的相反数是：﹣（﹣）＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的性质是解题关键．
40．16的算术平方根是 4 ．
【考点】算术平方根．菁优网版权所有
【答案】4．
【分析】根据算术平方根定义即可解答．
【解答】解：＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
41．计算的结果是 5 ．
【考点】二次根式的加减法．菁优网版权所有
【答案】5．
【分析】根据二次根式的加法进行计算即可．
【解答】解：原式＝（2+3）＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题的关键．
42．的立方根是 2 ．
【考点】立方根；算术平方根．菁优网版权所有
【答案】2．
【分析】先求出的值，再根据立方根的定义解答即可．
【解答】解：＝8，
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是立方根及算术平方根，熟知如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根是解题的关键．
43．若代数式有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x+1≥0，
解得：x≥﹣1．
故x的取值范围是x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握被开方数的符号是解题关键．
44．使二次根式有意义的x的取值范围是 x≥1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】x≥1．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
45．如果，那么x+2y的算术平方根为 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】先根据非负数的性质求出x，y的值，再代入x+2y求值，根据算术平方根的定义即可得出结论．
【解答】解：由题意得，x+5＝0，y﹣6＝0，
∴x＝﹣5，y＝6，
∴x+2y＝﹣5+12＝7，
∴x+2y的算术平方根为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是算术平方根和非负数的性质，熟知任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
46．化简：＝ 2 ．
【考点】算术平方根．菁优网版权所有
【答案】2．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：＝×＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的化简，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
47．﹣8的立方根是 ﹣2 ．
【考点】立方根．菁优网版权所有
【答案】﹣2．
【分析】根据立方根知识求解．
【解答】解：．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了立方根的知识，一个负数有一个负的立方根，难度不大．
48．如果在数轴上的点A到原点的距离是，那么表示点A的实数是 ．
【考点】实数与数轴．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】根据题意列出方程：|x|＝，进而求解．
【解答】解：设点A表示的数为x，
根据题意可得：|x|＝，
解得：x＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了绝对值的知识，难度不大，认真分析即可．
49．＝ 1 ．
【考点】二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【答案】1．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握：．
50．若一个数的平方等于，则这个数是 ± ．
【考点】平方根．菁优网版权所有
【答案】±．
【分析】根据平方根的定义得出即可．
【解答】解：±＝±．
故答案为：±．
【点评】本题考查了对平方根和实数的应用，主要考查学生的理解能力和记忆能力．
51．若二次根式有意义，则x的取值范围为 x≥1 ．
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【答案】x≥1．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，2x﹣2≥0，
解得x≥1，
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
52．若有意义，则m的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】m≥．
【分析】二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，据此可得结论．
【解答】解：∵有意义，
∴3m﹣1≥0，
解得m≥，
即m的取值范围是m≥．
故答案为：m≥．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
53．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x＜5 ．
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【答案】x＜5．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：5﹣x＞0，
解得：x＜5，
故答案为：x＜5．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
54．计算：．
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【答案】﹣3．
【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【解答】解：原式＝﹣1﹣+（2﹣1）
＝﹣1﹣3+1
＝﹣3．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
55．计算：
（1）；
（2）．
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【答案】（1）；
（2）7．
【分析】（1）化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先算乘除，化为最简二次根式，再合并即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣
＝；
（2）原式＝+（3﹣2）
＝+1
＝6+1
＝7．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
56．计算：
（1）；
（2）．
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【答案】（1）0；
（2）4﹣4．
【分析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣15×+
＝2﹣3+
＝0；
（2）原式＝3+1﹣2﹣2
＝4﹣4．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
57．如果最简二次根式与能进行合并．且a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．菁优网版权所有
【答案】4．
【分析】根据题意可知求出a的值以及x的范围，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：4a﹣5＝13﹣2a，
解得：a＝3，
∴3≤x≤6，
∴x﹣2＞0，x﹣6≤0，
∴原式＝|x﹣2|+
＝（x﹣2）﹣（x﹣6）
＝x﹣2﹣x+6
＝4．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．
58．计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【答案】（1）2+；
（2）3﹣．
【分析】（1）直接化简二次根式，进而计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式、二次根式的除法运算法则化简，再合并得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2+3
＝2+；
（2）原式＝2+1﹣2+
＝3﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
59．计算：
（1）；
（2）（）×．
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【答案】（1）5；
（2）﹣6．
【分析】（1）先把化为最简二次根式，再计算即可；
（2）先算乘法，再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝4+
＝5；
（2）原式＝×﹣2×﹣3
＝3﹣6﹣3
＝﹣6．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
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一．选择题（共16小题）
1．如图是课堂上同学们在探究勾股定理用到的图形，已知网格中小正方形的边长为1，则线段AB的长为（ ）
A． B．5 C．9 D．13
2．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，，2 B．2，4，6 C．4，5，6 D．6，7，8
3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，7，5 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，2
4．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，6，8 D．5，12，13
5．在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，则BC的长为（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或
6．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．17m B．18m C．25m D．26m
7．在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
8．已知一等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的面积为（ ）
A． B．16 C．6或16 D．3或
9．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a≥﹣2 D．a≤﹣2
10．估算的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
11．实数|﹣2|，﹣1，0，中，最小的是（ ）
A．|﹣2| B．0 C．﹣1 D．
12．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≥2
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥6 B．x≥0 C．x≥﹣6 D．x≤6
14．下列说法正确的是（ ）
A．﹣9的平方根是﹣3 B．9的平方根是3
C．9的算术平方根是3 D．9的算术平方根是±3
15．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
16．实数5的相反数是（ ）
A． B． C．﹣5 D．5
二．填空题（共37小题）
17．已知一个直角三角形两直角边长分别是1和2，则第三边的长为 ．
18．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
19．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地面上，此处离树底部 m处．
20．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，AB＝13，则EF的值是 ．
21．已知直角三角形三边长分别是a+1，a+2，a+3，则a的值为 ．
22．已知直角三角形的两条边为6cm、8cm，这个直角三角形第三边的长为 ．
23．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝8，BE＝2，则AC＝ ．
24．△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上的高为12，则BC边的长为 ．
25．已知直角三角形ABC的一直角边长为1，斜边长为，则它的另一直角边长为 ．
26．在△ABC中，∠C＝90°，若，则AB2+BC2+AC2＝ ．
27．有两根木棒，分别长12cm，5cm，要再在14cm的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是 cm．
28．等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为 ，面积为 ．
29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ．
30．若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为 ．
31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，AC＝3，BC＝4，则DC＝ ．
32．如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动 m．
33．在△ABC中，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高h＝ ．
34．若一个三角形的三边长之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 cm2．
35．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB，若CB＝7，则DE+DB＝ ．
36．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝10，∠B＝60°，∠C＝30°，则AB的长为 ．
37．如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是 米．
38．要登上12m高的建筑物，为了安全起见，需使梯子底端离建筑物5m，则至少需要 m的梯子．
39．﹣的相反数是 ．
40．16的算术平方根是 ．
41．计算的结果是 ．
42．的立方根是 ．
43．若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
44．使二次根式有意义的x的取值范围是 ．
45．如果，那么x+2y的算术平方根为 ．
46．化简：＝ ．
47．﹣8的立方根是 ．
48．如果在数轴上的点A到原点的距离是，那么表示点A的实数是 ．
49．＝ ．
50．若一个数的平方等于，则这个数是 ．
51．若二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
52．若有意义，则m的取值范围是 ．
53．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
三．解答题（共6小题）
54．计算：．
55．计算：
（1）；
（2）．
56．计算：
（1）；
（2）．
57．如果最简二次根式与能进行合并．且a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+．
58．计算：
（1）；
（2）．
59．计算：
（1）；
（2）（）×．
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．如图是课堂上同学们在探究勾股定理用到的图形，已知网格中小正方形的边长为1，则线段AB的长为（ ）
A． B．5 C．9 D．13
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】由勾股定理可直接求解．
【解答】解：由图可知：AC＝2，BC＝3，
∴AB＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
2．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，，2 B．2，4，6 C．4，5，6 D．6，7，8
【考点】勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵12+（）2＝22，
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵2+4＝6，
∴以2，4，6为边不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵62+72≠82，
∴以6，7，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，7，5 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，2
【考点】勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵42+52≠72，
∴以4，7，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵32+42＝52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵12+22≠22，
∴以1，2，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
4．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，6，8 D．5，12，13
【考点】勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】能构成直角三角形的三边满足勾股定理的逆定理．
【解答】解：能构成直角三角形的三边需满足两边的平方和等于第三边的平方．
选项A：22+32≠42，故A错误；
选项B：32+42≠62，故B错误；
选项C：52+62≠82，故C错误；
选项D：52+122＝132，故D正确．
故答案选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，即勾股数的记忆和计算．解题的关键是计算平方的运算能力和勾股数的认识．
5．在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，则BC的长为（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．17m B．18m C．25m D．26m
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5＝17（米）．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
7．在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
【考点】勾股数．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意．
B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意．
C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意．
D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
8．已知一等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的面积为（ ）
A． B．16 C．6或16 D．3或
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形，再根据勾股定理和三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：由题意得，当腰为4时，则第三边也为腰，为4，此时0＜6＜4+4＝8．故以4，4，6可构成三角形，所以底边上的高为＝，则三角形的面积＝×6×＝3；
当腰为6时，则第三边也为腰，此时0＜4＜6+6＝12，故以4，6，6可构成三角形，所以底边上的高为＝4，则三角形的面积＝×4×4＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系以及勾股定理的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
9．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a≥﹣2 D．a≤﹣2
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】直接利用二次根式有意义，则被开方数是非负数，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：a﹣2≥0，
解得：a≥2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
10．估算的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【考点】估算无理数的大小．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】先估算出的范围，进而估算出的范围即可．
【解答】解：∵16＜18＜25，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，熟知无理数的估算方法是解题的关键．
11．实数|﹣2|，﹣1，0，中，最小的是（ ）
A．|﹣2| B．0 C．﹣1 D．
【考点】实数大小比较；算术平方根．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据实数的大小得出结论即可．
【解答】解：由题意知，﹣1＜0＜|﹣2|＜，
故选：C．
【点评】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
12．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≥2
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数非负，解不等式即可完成．
【解答】解：由题意得，x+2≥0，
解得：x≥﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式被开方数的非负性，不等式的解法．二次根式两个非负：被开方数非负，二次根式本身非负，解题时要注意这两个非负性．
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥6 B．x≥0 C．x≥﹣6 D．x≤6
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣6≥0，
∴x≥6，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
14．下列说法正确的是（ ）
A．﹣9的平方根是﹣3 B．9的平方根是3
C．9的算术平方根是3 D．9的算术平方根是±3
【考点】算术平方根；平方根．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：（A）负数没有平方根，故A错误；
（B）9的平方根是±3，故B错误；
（D）9的算术平方根是3，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查立方根与平方根，解题的关键是熟练运用立方根与平方根的定义，本题属于基础题型．
15．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意；
B．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
16．实数5的相反数是（ ）
A． B． C．﹣5 D．5
【考点】实数的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据互为相反数的定义即可判定选择项．
【解答】解：∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，
∴5的相反数是﹣5；
故选：C．
【点评】此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．
二．填空题（共37小题）
17．已知一个直角三角形两直角边长分别是1和2，则第三边的长为 ．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】利用勾股定理计算即可．
【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别是1和2，
∴斜边＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是记住勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
18．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 2 cm．
【考点】勾股定理的应用；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
19．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地面上，此处离树底部 8 m处．
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】首先设树顶端落在离树底部x米处，根据勾股定理可得62+x2＝（16﹣6）2，再解即可．
【解答】解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：
62+x2＝（16﹣6）2，
解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
20．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，AB＝13，则EF的值是 ．
【考点】勾股定理的证明．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知EF2的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决．
【解答】解：∵AE＝5，AB＝13，
∴BE＝＝12，
∴小正方形的面积为：132﹣4××5×12＝49，
由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍，
∴EF2的值是49×2＝98，
∴EF的值是7，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确EF2的值等于小正方形的面积的2倍．
21．已知直角三角形三边长分别是a+1，a+2，a+3，则a的值为 2 ．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】2．
【分析】直接根据勾股定理列出关于a的方程，求出a的值即可．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为a+1，a+2，a+3，△ABC是直角三角形，
∴（a+3）2＝（a+1）2+（a+2）2，
解得a＝2或a＝﹣2（舍去）．
∴a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
22．已知直角三角形的两条边为6cm、8cm，这个直角三角形第三边的长为 10cm或2cm ．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】此题有两种情况：一是当这个直角三角形的两直角边分别为6cm，8cm时；二是当这个直角三角形的一条直角边为6cm，斜边为8cm时．然后利用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：当这个直角三角形的两直角边分别为6cm，8cm时，
则该三角形的斜边的长为＝10cm；
当6cm为直角边，8cm为斜边时，则第三边长为＝2
故答案为：10cm或2cm．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
23．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝8，BE＝2，则AC＝ 4 ．
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【答案】见试题解答内容
【分析】连接CO，根据勾股定理求出CE的长，再根据勾股定理求出AC的长即可．
【解答】解：连接CO，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝ED，
∵AE＝8，BE＝2，
∴AB＝10，
∴CO＝AO＝5，OE＝AE﹣AO＝8﹣5＝3，
∴CE＝＝4，
AC＝＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了勾股定理，由垂径定理得出CD⊥AB，根据勾股定理得到CE是解题的关键．
24．△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上的高为12，则BC边的长为 25或7 ．
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【答案】25或7．
【分析】根据勾股定理可直接进行求解．
【解答】解：当B、C在点D异侧时，如图，
∵AB＝15，AC＝20，AD＝12，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴，，
∴BC＝BD+DC＝25；
当B、C在点D同侧时，如图所示：
∵AB＝15，AC＝20，AD＝12，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴，，
∴BC＝DC﹣BD＝7；
故答案为：25或7．
【点评】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
25．已知直角三角形ABC的一直角边长为1，斜边长为，则它的另一直角边长为 2 ．
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【答案】2．
【分析】根据勾股定理进行计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，一边直角边为1，斜边为．
∴另一条直角边长为：．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
26．在△ABC中，∠C＝90°，若，则AB2+BC2+AC2＝ 6 ．
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【答案】6．
【分析】利用勾股定理得BC2+AC2＝AB2，再代入计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴AB2+BC2+AC2＝2AB2＝2×（）2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理 解题的关键．
27．有两根木棒，分别长12cm，5cm，要再在14cm的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是 13或 cm．
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【答案】13或．
【分析】分2种情况：①12cm是直角边；②12cm是斜边；根据勾股定理求出第三根木棒的长即可求解．
【解答】解：①12cm是直角边，
第三根木棒要取的长度是＝13（cm）；
②12cm是斜边，
第三根木棒要取的长度是＝（cm）；
故答案为：13或．
【点评】考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
28．等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为 3 ，面积为 12 ．
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【答案】见试题解答内容
【分析】根据等腰三角形的性质求得高的长，从而再根据面积公式求得面积即可．
【解答】解：根据等腰三角形的三线合一得底边上的高也是底边的中线，则底边的一半是4，
根据勾股定理求得底边上的高是3，则三角形的面积＝×8×3＝12．
【点评】综合运用等腰三角形的三线合一以及直角三角形的勾股定理．
29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 20 ．
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【答案】20．
【分析】由勾股定理求出AB2即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝42+22＝20，
∴正方形的面积是20，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
30．若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为 和3 ．
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【答案】见试题解答内容
【分析】考虑两种情况：4和5都是直角边或5是斜边．根据勾股定理进行求解．
【解答】解：当4和5都是直角边时，则第三边是＝；
当5是斜边时，则第三边是3．
故答案为：和3．
【点评】考查了勾股定理，此类题注意考虑两种情况，熟练运用勾股定理进行计算．
31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，AC＝3，BC＝4，则DC＝ 2.5 ．
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【答案】2.5．
【分析】由勾股定理求出AB的长，即可求得CD．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB＝，
∵D是AB中点，
∴CD＝．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键．
32．如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动 2 m．
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【答案】2．
【分析】根据题意画出图形，根据题意两次运用勾股定理即可解答．
【解答】解：如图所示：由题意可得，AC＝6m，AB＝10m，
则BC＝＝＝8（m），
A′C＝6+2＝8（m），A′B′＝10m，
故B′C＝＝＝6（m），
则梯子底端B向左滑动：BC﹣B′C′＝8﹣6＝2（m）．
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键．
33．在△ABC中，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高h＝ ．
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【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据题意画出图形，再根据勾股定理计算出底边上的高，然后计算三角形的面积，再以AC为底，利用三角形的面积计算出AC边上的高h即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴DB＝DC＝CB＝3，
在Rt△ABD中，AD＝＝4，
∴△ABC的面积为•BC•AD＝×6×4＝12，
∴•AC•h＝12，
5•h＝12，
解得h＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高和中线重合．
34．若一个三角形的三边长之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 120 cm2．
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【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知可求得三边的长，再根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
【点评】此题主要考查学生对直角三角形的判定及勾股定理的逆定理的理解及运用．
35．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB，若CB＝7，则DE+DB＝ 7 ．
【考点】勾股定理；角平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】7．
【分析】根据角平分线的性质，可以得到CD＝DE，再根据CB＝CD+BD＝7，从而可以得到DE+DB的值．
【解答】解：∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
∵CB＝7，
∴CD+DB＝7，
∴DE+DB＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
36．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝10，∠B＝60°，∠C＝30°，则AB的长为 3 ．
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【答案】3．
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，设AB＝2x，根据题意列出方程求出x的值即可．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴四边形ADFE是矩形，
设AB＝2x，
∵∠B＝60°，
∴BE＝x，
∴由勾股定理可知：AE＝x，
∴DF＝AE＝x，
∵∠C＝30°，
∴由勾股定理可知：CF＝3x，
∵BE+EF+CF＝10，AD＝EF，
∴x+4+3x＝10，
∴2x＝3，
即AB＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是正确根据题意列出方程，本题属于基础题型．
37．如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是 12 米．
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【答案】见试题解答内容
【分析】梯子和建筑物之间可构成直角三角形，梯子长为斜边，梯子的底端离建筑物的距离为一直角边，运用勾股定理可将另一直角边求出，即梯子可以到达建筑物的高度．
【解答】解：∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，
∴另一直角边长＝＝12m，
故梯子可到达建筑物的高度是12m．
故答案为：12．
【点评】本题的关键是建立数学模型，使实际问题转化为数学问题，进行求解．
38．要登上12m高的建筑物，为了安全起见，需使梯子底端离建筑物5m，则至少需要 13 m的梯子．
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【答案】见试题解答内容
【分析】建筑物与地面构成直角，要使梯子成为直角三角形的斜边，在直角三角形中，已知两直角边的长度，根据勾股定理即可求斜边的长．
【解答】解：由题意知：BC＝5m，AC＝12m，
在直角△ABC中，∠C＝90°，
则AB为斜边，存在AC2+BC2＝AB2，
解得：AB＝13m，
故答案为：13．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中正确的根据题目中给出的BC，AC求AB是解题的关键．
39．﹣的相反数是 ．
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【答案】．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：﹣的相反数是：﹣（﹣）＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的性质是解题关键．
40．16的算术平方根是 4 ．
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【答案】4．
【分析】根据算术平方根定义即可解答．
【解答】解：＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
41．计算的结果是 5 ．
【考点】二次根式的加减法．菁优网版权所有
【答案】5．
【分析】根据二次根式的加法进行计算即可．
【解答】解：原式＝（2+3）＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题的关键．
42．的立方根是 2 ．
【考点】立方根；算术平方根．菁优网版权所有
【答案】2．
【分析】先求出的值，再根据立方根的定义解答即可．
【解答】解：＝8，
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是立方根及算术平方根，熟知如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根是解题的关键．
43．若代数式有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x+1≥0，
解得：x≥﹣1．
故x的取值范围是x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握被开方数的符号是解题关键．
44．使二次根式有意义的x的取值范围是 x≥1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】x≥1．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
45．如果，那么x+2y的算术平方根为 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】先根据非负数的性质求出x，y的值，再代入x+2y求值，根据算术平方根的定义即可得出结论．
【解答】解：由题意得，x+5＝0，y﹣6＝0，
∴x＝﹣5，y＝6，
∴x+2y＝﹣5+12＝7，
∴x+2y的算术平方根为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是算术平方根和非负数的性质，熟知任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
46．化简：＝ 2 ．
【考点】算术平方根．菁优网版权所有
【答案】2．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：＝×＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的化简，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
47．﹣8的立方根是 ﹣2 ．
【考点】立方根．菁优网版权所有
【答案】﹣2．
【分析】根据立方根知识求解．
【解答】解：．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了立方根的知识，一个负数有一个负的立方根，难度不大．
48．如果在数轴上的点A到原点的距离是，那么表示点A的实数是 ．
【考点】实数与数轴．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】根据题意列出方程：|x|＝，进而求解．
【解答】解：设点A表示的数为x，
根据题意可得：|x|＝，
解得：x＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了绝对值的知识，难度不大，认真分析即可．
49．＝ 1 ．
【考点】二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【答案】1．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握：．
50．若一个数的平方等于，则这个数是 ± ．
【考点】平方根．菁优网版权所有
【答案】±．
【分析】根据平方根的定义得出即可．
【解答】解：±＝±．
故答案为：±．
【点评】本题考查了对平方根和实数的应用，主要考查学生的理解能力和记忆能力．
51．若二次根式有意义，则x的取值范围为 x≥1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】x≥1．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，2x﹣2≥0，
解得x≥1，
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
52．若有意义，则m的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】m≥．
【分析】二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，据此可得结论．
【解答】解：∵有意义，
∴3m﹣1≥0，
解得m≥，
即m的取值范围是m≥．
故答案为：m≥．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
53．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x＜5 ．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】x＜5．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：5﹣x＞0，
解得：x＜5，
故答案为：x＜5．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
54．计算：．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．菁优网版权所有
【答案】﹣3．
【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【解答】解：原式＝﹣1﹣+（2﹣1）
＝﹣1﹣3+1
＝﹣3．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
55．计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．菁优网版权所有
【答案】（1）；
（2）7．
【分析】（1）化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先算乘除，化为最简二次根式，再合并即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣
＝；
（2）原式＝+（3﹣2）
＝+1
＝6+1
＝7．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
56．计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【答案】（1）0；
（2）4﹣4．
【分析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣15×+
＝2﹣3+
＝0；
（2）原式＝3+1﹣2﹣2
＝4﹣4．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
57．如果最简二次根式与能进行合并．且a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．菁优网版权所有
【答案】4．
【分析】根据题意可知求出a的值以及x的范围，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：4a﹣5＝13﹣2a，
解得：a＝3，
∴3≤x≤6，
∴x﹣2＞0，x﹣6≤0，
∴原式＝|x﹣2|+
＝（x﹣2）﹣（x﹣6）
＝x﹣2﹣x+6
＝4．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．
58．计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【答案】（1）2+；
（2）3﹣．
【分析】（1）直接化简二次根式，进而计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式、二次根式的除法运算法则化简，再合并得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2+3
＝2+；
（2）原式＝2+1﹣2+
＝3﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
59．计算：
（1）；
（2）（）×．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【答案】（1）5；
（2）﹣6．
【分析】（1）先把化为最简二次根式，再计算即可；
（2）先算乘法，再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝4+
＝5；
（2）原式＝×﹣2×﹣3
＝3﹣6﹣3
＝﹣6．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
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