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北师大版数学八年级上册期中精品模拟试卷（含详细解析）
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这是一份北师大版数学八年级上册期中精品模拟试卷（含详细解析），共38页。试卷主要包含了下列是直角三角形的有个，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共32小题）
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（ ）
A．5 B．9 C．16 D．25
2．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（ ）
A． B． C． D．
3．△ABC在下列条件下不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝a2﹣c2 B．a2：b2：c2＝1：2：3
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B﹣∠C
4．如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（ ）
A．15m B．9m C．7m D．8m
5．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
6．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列是直角三角形的有（ ）个
①△ABC中a2＝c2﹣b2
②△ABC的三内角的度数之比为3：4：7
③△ABC的三边长平方之比为1：2：3
④三角形三边长之比为3：4：5
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列说法正确的是（ ）
A．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5则第三边的长度一定是4
B．三边长度分别为1，1，的三角形是直角三角形，且1，1，是一组勾股数
C．三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形
D．一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形
9．若3、4、a为勾股数，则a的值为（ ）
A． B．5 C．5或7 D．5或
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC﹣AC＝2cm，AB＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
12．如图，在2×2的网格中，有一个格点△ABC，若每个小正方形的边长为1，则△ABC的边AB上的高为（ ）
A． B． C． D．1
13．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（ ）
A．128 B．64 C．32 D．144
14．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
15．的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．2
16．下列关于的说法中，错误的是（ ）
A．是无理数 B．2＜＜3
C．5的平方根是 D．
17．一影院观众席中的9排23号记作（9，23），那么15排42号的位置应记作（ ）
A．（42，15） B．（1，4） C．（15，42） D．（15，4）
18．已知：点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且点P在x轴的上方，则点P的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2）
C．（2，3）或（﹣2，3） D．（3，2）或（﹣3，2）
19．点P（﹣5，3）到y轴的距离是（ ）个单位长度．
A．5 B．3 C．2 D．以上都不对
20．已知点P在第四象限内，到x轴的距离等于3，到y轴的距离等于4，则点P坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣4，3） D．（4，﹣3）
21．点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度，则点A的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）
22．在下列点中，与点A（﹣2，﹣4）的连线平行于y轴的是（ ）
A．（2，﹣4） B．（4，﹣2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，2）
23．已知正方形ABCD中，A（﹣3，1），B（1，1），C（1，﹣3），则D点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，1） C．（﹣3，3） D．（1，3）
24．点（5，﹣6）在第几象限？（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
25．在平面直角坐标系中，点A（x，y）在第三象限，则点B（x，﹣y）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
26．在平面直角坐标系中，点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，2）
27．若点A（a，2）与点B（4，﹣2）关于原点对称，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
28．如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（6，0），点P为线段AB的中点，将线段AB绕点O逆时针旋转90°后点P的对应点P′的坐标是（ ）
A．（﹣3，） B．（，3） C．（，﹣3） D．（﹣1，）
29．已知点A（﹣2，﹣1）与点B关于直线x＝1对称，则点B的坐标为（ ）
A．（4，﹣1） B．（﹣4，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（4，1）
30．在平面直角坐标系中，下列各点中到x轴的距离是4，且在第四象限的是（ ）
A．（4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4）
31．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）
32．已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（ ）
A．x＝﹣1，y＝2 B．x＝﹣1，y＝8 C．x＝﹣1，y＝﹣2 D．x＝1，y＝8
二．填空题（共14小题）
33．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝3，BC＝4时，则阴影部分的面积为 ．
34．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是 cm．
35．如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米长．
36．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
37．直角三角形中，若两条边的长分别为3，5，则第三条边的长为 ．
38．如图，长方形纸片ABCD，沿折痕AE折叠边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8，S△ABF＝24，则EC的长为 ．
39．若一个正数m的两个平方根分别是3a+2和a﹣10，则m的值为 ．
40．已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7，则a＝ ，正数x＝ ．
41．已知实数a、b，满足，则ab的值 ．
42．在实数﹣2，π，﹣，3.14，无理数有 个．
43．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是 ．
44．计算：＝ ．
45．已知点A（﹣4，5），（2，﹣3），则线段AB的长是 ．
46．已知在平面直角坐标系中有动点A（3，y）（y是任意实数），则点B（﹣2，﹣3）与点A的距离的最小值为 ．
三．解答题（共14小题）
47．如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝．
（1）求CD的长；
（2）求AD的长；
（3）求证：△ABC是直角三角形．
48．如图，在△ABC中，BC＝15，D是线段AB上一点，BD＝9，连接CD，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB．
（2）若S△ABC＝84，求△ABC的周长．
49．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝5，BD＝4，CD＝．
（1）求AD的长．
（2）求△ABC的周长．
50．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
51．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D，且CB2＝AD2﹣CD2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．
52．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
53．计算：
（1）﹣﹣；
（2）﹣+|1﹣|；
（3）﹣+|π﹣3|．
54．计算：．
55．计算：÷×÷．
56．计算：2﹣+﹣．
57．计算：（1）+|﹣3|+（π﹣1）0；
（2）．
58．解方程：3（x﹣1）2＝27．
59．计算：
（1）4x2﹣81＝0；
（2）8（x+3）3＝﹣27．
60．计算：
（1）（﹣1）2011+（﹣2）2×﹣（）2；
（2）25x2﹣36＝0．
参考答案与试题解析
一．选择题（共32小题）
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（ ）
A．5 B．9 C．16 D．25
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据勾股定理得出这两个正方形的面积和等于BC的平方解答即可．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，
∴阴影部分的面积和为AC2+AB2＝BC2＝25．
故选：D．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据这两个正方形的面积和等于BC的平方解答．
2．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（ ）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：∵＝4，
∵BC＝，
∴BC边长的高＝，
故选：C．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答．
3．△ABC在下列条件下不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝a2﹣c2 B．a2：b2：c2＝1：2：3
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B﹣∠C
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项A，选项B；根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D．
【解答】解：A．∵b2＝a2﹣c2，
∴b2+c2＝a2，
即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a2：b2：c2＝1：2：3，
∴a2+b2＝c2，
即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4．如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（ ）
A．15m B．9m C．7m D．8m
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】利用勾股定理进行解答．求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离．
【解答】解；梯子顶端距离墙角地距离为＝24（m），
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为＝15（m），
15﹣7＝8（m）．
故选：D．
【点评】考查了勾股定理的应用，主要先求出两边，利用勾股定理求出第三边．
5．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
6．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论．
【解答】解：将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，
∵圆柱的底面直径为AB，
∴点B是展开图的一边的中点，
∵蚂蚁爬行的最近路线为线段，
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，最短路径问题，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
7．下列是直角三角形的有（ ）个
①△ABC中a2＝c2﹣b2
②△ABC的三内角的度数之比为3：4：7
③△ABC的三边长平方之比为1：2：3
④三角形三边长之比为3：4：5
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：①∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
②∵△ABC的三内角之比为3：4：7，
∴△ABC中最大角的度数为：180°×＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵△ABC的三边平方之比为1：2：3，
∴设三边的平方分别为k，2k，3k，
∵k+2k＝3k，
∴△ABC是直角三角形；
④∵三角形三边之比为3：4：5，
∴设三边分别为3a，4a，5a，
∵（3a）2+（4a）2＝（5a）2，
∴△ABC是直角三角形，
所以，上列是直角三角形的有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理是解题的关键．
8．下列说法正确的是（ ）
A．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5则第三边的长度一定是4
B．三边长度分别为1，1，的三角形是直角三角形，且1，1，是一组勾股数
C．三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形
D．一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形
【考点】勾股数．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据勾股数的定义及勾股定理的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5则第三边的长度是4或，原命题错误，不符合题意；
B、因勾股数必须都是整数，故原命题错误，不符合题意；
C、∵122+352≠362，
∴三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形，错误，不符合题意；
D、A、一个三角形的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】考查了勾股数的定义及勾股定理的知识，解题的关键是了解勾股数的定义，难度不大．
9．若3、4、a为勾股数，则a的值为（ ）
A． B．5 C．5或7 D．5或
【考点】勾股数．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数求解即可．
【解答】解：∵3、4、a为勾股数，
∴当a最大时，此时a＝＝5，
当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数，
故选：B．
【点评】本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE＝EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BE＝BC＝4，
∴AE＝＝3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC﹣AC＝2cm，AB＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2＝100，根据完全平方公式求出2AC•BC＝96，得到AC•BC＝24，得到答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2＝100，
∵BC﹣AC＝2cm，
∴（BC﹣AC）2＝4，
即AC2+BC2﹣2AC•BC＝4，
∴2AC•BC＝96，
∴AC•BC＝24，即Rt△ABC的面积是24cm2，
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
12．如图，在2×2的网格中，有一个格点△ABC，若每个小正方形的边长为1，则△ABC的边AB上的高为（ ）
A． B． C． D．1
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】如图，过点C作CD⊥AB于D，首先利用勾股定理求得AB的长度，然后利用等面积法求得CD的长度．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，
在直角△ABE中，∠AEB＝90°，AE＝1，BE＝2，则由勾股定理知，AB＝＝＝．
由AE•BC＝AB•CD知，CD＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求得AB边的长度．
13．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（ ）
A．128 B．64 C．32 D．144
【考点】勾股定理的证明．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】方法一：根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知EF2的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决．
方法二：根据此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，可以得到小正方形的边长，然后根据勾股定理即可得到EF2的值．
【解答】解：方法一：∵AE＝5，BE＝13，
∴AB＝＝＝，
∴小正方形的面积为：（）2﹣×4＝194﹣130＝64，
由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍，
∴EF2的值是64×2＝128，
故选：A．
方法二：∵此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，
∴小正方形的边长为13﹣5＝8，
∴EF2＝82+82＝128，
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确EF2的值等于小正方形的面积的2倍．
14．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
15．的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．2
【考点】算术平方根；平方根．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】先计算，再求4的平方根．
【解答】解：∵，
∴的平方根是±．
故选：C．
【点评】本题主要考查算术平方根以及平方根的定义，熟练掌握算术平方根以及平方根的定义是解决本题的关键．
16．下列关于的说法中，错误的是（ ）
A．是无理数 B．2＜＜3
C．5的平方根是 D．
【考点】实数．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据平方根，可得答案．
【解答】解：5的平方根是：，故C错误，
故选：C．
【点评】本题考查了实数，注意一个正数的平方根有两个．
17．一影院观众席中的9排23号记作（9，23），那么15排42号的位置应记作（ ）
A．（42，15） B．（1，4） C．（15，42） D．（15，4）
【考点】坐标确定位置．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据9排23号记作（9，23），可以得到15排42号的位置应记作什么，本题得以解决．
【解答】解：∵9排23号记作（9，23），
∴15排42号的位置应记作（15，42），
故选：C．
【点评】本题考查坐标位置的确定，解题的关键是明确题意，由已知可以推出未知．
18．已知：点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且点P在x轴的上方，则点P的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2）
C．（2，3）或（﹣2，3） D．（3，2）或（﹣3，2）
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【答案】D
【分析】先判断出点P在第一或第二象限，再根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值求解．
【解答】解：∵点P在x轴上方，
∴点P在第一或第二象限，
∵点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，
∴点P的横坐标为3或﹣3，纵坐标为2，
∴点P的坐标为（﹣3，2）或（3，2）．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
19．点P（﹣5，3）到y轴的距离是（ ）个单位长度．
A．5 B．3 C．2 D．以上都不对
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【答案】A
【分析】由点P的坐标（﹣5，3）确定点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，在平面直角坐标系中距离的单位为几个单位长度，即可得解．
【解答】解：∵点P的坐标为（﹣5，3），
∴点P到y轴的距离为5个单位长度．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
20．已知点P在第四象限内，到x轴的距离等于3，到y轴的距离等于4，则点P坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣4，3） D．（4，﹣3）
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【答案】D
【分析】先判断出点P的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断点的具体坐标．
【解答】解：∵点P在第四象限内，
∴点P的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，
∴点P的横坐标是4，纵坐标是﹣3，即点P的坐标为（4，﹣3）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．
21．点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度，则点A的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）
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【答案】B
【分析】由于点A在y轴上，则点A的横坐标为0，又由于点A位于原点上方，距离原点2个单位长度，得到点A的纵坐标为2．
【解答】解：∵点A在y轴上，
∴点A的横坐标为0，
而点A位于原点上方，距离原点2个单位长度，
∴点A的纵坐标为2，
∴点A的坐标为（0，2）．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标：在y轴上所有点的横坐标为0．
22．在下列点中，与点A（﹣2，﹣4）的连线平行于y轴的是（ ）
A．（2，﹣4） B．（4，﹣2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，2）
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【答案】C
【分析】平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，根据这一性质进行选择．
【解答】解：∵平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，
已知点A（﹣2，﹣4）横坐标为﹣2，
所以结合各选项所求点为（﹣2，4）．
故选：C．
【点评】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标特点：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等．
23．已知正方形ABCD中，A（﹣3，1），B（1，1），C（1，﹣3），则D点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，1） C．（﹣3，3） D．（1，3）
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【答案】A
【分析】因为四边形为正方形，四条边相等，根据正方形的性质与边长为：|AB|＝4，从而可计算出D的坐标．
【解答】解：设D点的坐标为（x，y），
已知四边形为正方形，四条边相等，且易知|AB|＝4，AB∥CD，
∴C，D两点的从坐标相等，∴y＝﹣3，
又∵AD∥BC，∴A，D两点的横坐标相等，∴x＝﹣3，
∴D的坐标为（﹣3，﹣3），
故选：A．
【点评】主要考查了坐标与图形的性质和正方形的性质，属于基础题，做题关键要会根据平行线的特点找到点的坐标规律．
24．点（5，﹣6）在第几象限？（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
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【答案】D
【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【解答】解：∵点A的横坐标为正数、纵坐标为负数，
∴点A（5，﹣6）在第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
25．在平面直角坐标系中，点A（x，y）在第三象限，则点B（x，﹣y）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
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【答案】B
【分析】根据第三象限内的点的纵坐标小于零，纵坐标小于零，可得x、y的取值范围，根据不等式的性质，可得答案；
【解答】解：由点A（x，y）在第三象限，得
x＜0，y＜0．
x＜0，﹣y＞0，
则点B（x，﹣y）在 第二象限；
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记各象限内点的坐标符号是解题关键．
26．在平面直角坐标系中，点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，2）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标是（3，2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
27．若点A（a，2）与点B（4，﹣2）关于原点对称，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【考点】关于原点对称的点的坐标．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出答案．
【解答】解：∵点A（a，2）与点B（4，﹣2）关于原点对称，
∴a的值是：﹣4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
28．如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（6，0），点P为线段AB的中点，将线段AB绕点O逆时针旋转90°后点P的对应点P′的坐标是（ ）
A．（﹣3，） B．（，3） C．（，﹣3） D．（﹣1，）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】先利用线段中点坐标公式得到P点坐标，然后利用旋转的性质可写出P′点的坐标．
【解答】解：∵点P为线段AB的中点，
∴P点坐标为（3，），
∵线段AB绕点O逆时针旋转90°后点P的对应点为P′，如图，
∴点P′的坐标（﹣，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
29．已知点A（﹣2，﹣1）与点B关于直线x＝1对称，则点B的坐标为（ ）
A．（4，﹣1） B．（﹣4，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（4，1）
【考点】坐标与图形变化﹣对称．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】设出点B的坐标为（a，﹣1），然后根据轴对称的性质，列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵点A与点B关于直线x＝1对称，A（﹣2，﹣1），
∴设点B的坐标为（a，﹣1），
∴﹣2+a＝2×1，
解得a＝4，
∴点B的坐标为（4，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，根据轴对称的性质判断出A、B关于直线y＝﹣1对称是解题的关键．
30．在平面直角坐标系中，下列各点中到x轴的距离是4，且在第四象限的是（ ）
A．（4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4）
【考点】点的坐标．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据点的坐标特点解决此题．
【解答】解：A．根据点的坐标的特点，（4，﹣5）到x轴距离是5，且在第四象限，故A不符合题意．
B．根据点的坐标的特点，（﹣4，5）到x轴距离是5，且在第二象限，故B不符合题意．
C．根据点的坐标的特点，（﹣5，4）到x轴距离是4，且在第二象限，故C不符合题意．
D．根据点的坐标的特点，（5，﹣4）到x轴距离是4，且在第四象限，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特点是解决本题的关键．
31．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得对应点坐标．
【解答】解：点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
32．已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（ ）
A．x＝﹣1，y＝2 B．x＝﹣1，y＝8 C．x＝﹣1，y＝﹣2 D．x＝1，y＝8
【考点】关于原点对称的点的坐标．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值进而得出答案．
【解答】解：∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，
∴x﹣2+x+4＝0，y﹣5＝﹣3，
解得：x＝﹣1，y＝2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握坐标特点是解题关键．
二．填空题（共14小题）
33．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝3，BC＝4时，则阴影部分的面积为 6 ．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+π×（）2+﹣π×（）2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．
34．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是 15 cm．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，过A点和B点的平面展开图分三种情况，再根据两点之间线段最短和勾股定理可以分别求得三种情况下的最短路线，然后比较大小，即可得到A点到B点的最短路线，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
当展开前面和右面时，最短路线长是：＝＝15（cm）；
当展开前面和上面时，最短路线长是：＝＝7（cm）；
当展开左面和上面时，最短路线长是：＝（cm）；
∵15＜7＜，
∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm，
故答案为：15．
【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是明确两点之间线段最短，利用分类讨论的方法解答．
35．如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 14 米长．
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
【解答】解：根据勾股定理，可得楼梯水平长度为＝8米，
则红地毯至少要8+6＝14米．
故答案为：14．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求得直角边的长是解决问题的关键．
36．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ 20 ．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
37．直角三角形中，若两条边的长分别为3，5，则第三条边的长为 或4 ．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】或4．
【分析】分5为斜边和直角边，分别利用勾股定理可得答案．
【解答】解：当5为直角边时，第三边为＝，
当5为斜边时，第三边为＝4，
故答案为：或4．
【点评】本题主要考查了勾股定理，运用分类思想是解题的关键．
38．如图，长方形纸片ABCD，沿折痕AE折叠边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8，S△ABF＝24，则EC的长为 3 ．
【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用面积求出BF的长，再根据勾股定理求出AF，也就是BC的长，CF＝BC﹣BF，再利用勾股定理即可求出CE的长．
【解答】解：∵AB＝8，S△ABF＝24
∴BF＝6
在Rt△ABF中，AF＝＝10
∴AD＝AF＝BC＝10
∴CF＝10﹣6＝4
设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x
在Rt△ECF中，（8﹣x）2＝x2+42
解之得，x＝3；故应填3．
【点评】本题综合考查了勾股定理与方程，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．
39．若一个正数m的两个平方根分别是3a+2和a﹣10，则m的值为 64 ．
【考点】平方根．菁优网版权所有
【答案】64．
【分析】根据平方根的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：3a+2+a﹣10＝0，
∴a＝2，
∴3a+2＝8，a﹣10＝﹣8，
∴m＝82＝64，
故答案为：64．
【点评】本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的性质，本题属于基础题型．
40．已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7，则a＝ 2 ，正数x＝ 9 ．
【考点】平方根．菁优网版权所有
【答案】2，9．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数解答即可．
【解答】解：根据题意知：a+1+2a﹣7＝0，
解得：a＝2，
∴这个正数为（a+1）2＝32＝9，
故答案为：2，9．
【点评】本题考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解决本题的关键．
41．已知实数a、b，满足，则ab的值 ﹣6 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．菁优网版权所有
【答案】﹣6．
【分析】根据绝对值及算术平方根的非负性求解a，b的值，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵（a+2）2+＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣2，b＝3，
∴ab＝（﹣2）×3＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查偶次方的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值，正确求解a，b的值是解题的关键．
42．在实数﹣2，π，﹣，3.14，无理数有 1 个．
【考点】无理数．菁优网版权所有
【答案】1．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义解答即可．
【解答】解：﹣2、﹣＝﹣5是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
3.14是有限小数，属于有理数；
无理数有π，共有1个．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
43．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是 25 ．
【考点】平方根．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】利用平方根定义即可求出这个数．
【解答】解：如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是25，
故答案为：25
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
44．计算：＝ ．
【考点】算术平方根．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】先将被开方数化简，可得结果．
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是关键．
45．已知点A（﹣4，5），（2，﹣3），则线段AB的长是 10 ．
【考点】两点间的距离公式．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】直接根据两点间的距离公式求解．
【解答】解：线段AB的长＝＝10．
故答案为10．
【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
46．已知在平面直角坐标系中有动点A（3，y）（y是任意实数），则点B（﹣2，﹣3）与点A的距离的最小值为 5 ．
【考点】两点间的距离公式．菁优网版权所有
【答案】5．
【分析】根据已知条件得出AB∥x轴时，A、B两点的距离最小，再根据两点间的距离公式即可得出答案．
【解答】解：∵点A（3，y）（y是任意实数），
∴点A在直线x＝3上，
∴当AB∥x轴时，A、B两点的距离最小，
∵点B（﹣2，﹣3），
∴B（﹣2，﹣3）与点A的距离的最小值为3﹣（﹣2）＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
三．解答题（共14小题）
47．如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝．
（1）求CD的长；
（2）求AD的长；
（3）求证：△ABC是直角三角形．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用勾股定理求出DC的长即可；
（2）利用（1）中所求，直接利用勾股定理求出DA的长即可；
（3）利用（2）中所求进而勾股定理的逆定理求出即可．
【解答】（1）解：在Rt△BCD中，DC＝＝＝；
（2）解：在Rt△CDA中
AD＝＝＝；
（3）证明：∵BC2＝9，AC2＝16，
（BD+AD）2＝25，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
48．如图，在△ABC中，BC＝15，D是线段AB上一点，BD＝9，连接CD，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB．
（2）若S△ABC＝84，求△ABC的周长．
【考点】勾股定理；三角形的面积．菁优网版权所有
【答案】（1）证明见解析；
（2）42．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据三角形面积公式得出AB，再利用勾股定理得出AC，进而解答即可．
【解答】（1）证明：在△BDC中，BC＝15，BD＝9，CD＝12，
∵BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴△ADC是直角三角形，
∵S△ABC＝84，CD＝12，
∴AB＝14，
∴AD＝AB﹣BD＝14﹣9＝5，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即52+122＝AC2，
解得AC＝13，
∴△ABC的周长是13+14+15＝42．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明△BDC是直角三角形．
49．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝5，BD＝4，CD＝．
（1）求AD的长．
（2）求△ABC的周长．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理求出AD；
（2）根据勾股定理求出AC，计算即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD＝＝3；
（2）在Rt△ACD中，AC＝＝2，
则△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5+4++2＝9+3．
【点评】本题考查的是勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．
50．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）3米；
（2）6米．
【分析】（1）由题意可知：AC+BC＝8米，根据勾股定理可得：AB2+AC2＝BC2，又因为AB＝4米，所以可求得AC，BC的长，
（3）易求D点距地面3﹣1.25＝1.75米，B'D＝8﹣1.75＝6.25米，再根据勾股定理可以求得AB'＝6米，所以6米内有危险．
【解答】解：（1）由题意可知：AC+BC＝8米，
∵∠A＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
又∵AB＝4米，
∴AC＝3米，BC＝5米，
故旗杆距地面3米处折断；
（2）如图，
∵D点距地面AD＝3﹣1.25＝1.75米，
∴B'D＝8﹣1.75＝6.25米，
∴AB′＝米，
∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
51．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D，且CB2＝AD2﹣CD2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．
【考点】勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）CD的长为．
【分析】（1）连接BD，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）设CD＝x，则AD＝BD＝4﹣x，在Rt△BCD中，根据BD2﹣CD2＝BC2列出方程计算即可求解．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB边上的垂直平分线为DE，
∴AD＝BD，
∵CB2＝AD2﹣CD2，
∴CB2＝BD2﹣CD2，
∴CB2+CD2＝BD2，
∴∠C＝90°；
（2）解：设CD＝x，则AD＝BD＝4﹣x，
在Rt△BCD中，BD2﹣CD2＝BC2，
∴（4﹣x）2﹣x2＝32，
解得：x＝，
∴CD的长为．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用．
52．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
【考点】勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．
【解答】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC＝36cm，
∴3x+4x+5x＝36，
得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ＝BP•BQ＝×6×6＝18（cm2）．
故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．
【点评】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
53．计算：
（1）﹣﹣；
（2）﹣+|1﹣|；
（3）﹣+|π﹣3|．
【考点】实数的运算．菁优网版权所有
【答案】（1）﹣1.8；（2）3；（3）﹣7．
【分析】（1）首先计算开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（3）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）﹣﹣
＝0.7﹣（﹣）﹣3
＝﹣1.8．
（2）﹣+|1﹣|
＝2﹣3+|1﹣5|
＝2﹣3+4
＝3．
（3）﹣+|π﹣3|
＝﹣4﹣π+（π﹣3）
＝﹣4﹣π+π﹣3
＝﹣7．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
54．计算：．
【考点】二次根式的乘除法．菁优网版权所有
【答案】a．
【分析】由二次根式的定义可得c＞0，则a≥0，b≥0，再利用二次根式的乘除法的法则进行求解即可．
【解答】解：由题意得c＞0，a≥0，b≥0，
∴
＝
＝a．
【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解答的关键是明确c＞0，a≥0，b≥0．
55．计算：÷×÷．
【考点】分母有理化；二次根式的乘除法．菁优网版权所有
【答案】21．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝××7×
＝21．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确运用二次根式的乘除运算法则是解题关键．
56．计算：2﹣+﹣．
【考点】二次根式的加减法．菁优网版权所有
【答案】2．
【分析】首先合并同类二次根式，然后利用分数的加减法则计算括号里面即可求解．
【解答】解：原式＝（2﹣+﹣）
＝
＝2．
【点评】本题主要考查了同类二次根式的合并，同时利用了乘法的分配律．
57．计算：（1）+|﹣3|+（π﹣1）0；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；零指数幂．菁优网版权所有
【答案】（1）+4；（2）10﹣4．
【分析】（1）先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）+|﹣3|+（π﹣1）0
＝2+3﹣+1
＝+4；
（2）
＝5﹣2+3﹣4+4
＝10﹣4．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
58．解方程：3（x﹣1）2＝27．
【考点】平方根．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方根，进行解方程，即可解答．
【解答】解：3（x﹣1）2＝27
（x﹣1）2＝9
x﹣1＝±3，
x＝4或﹣2．
【点评】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．
59．计算：
（1）4x2﹣81＝0；
（2）8（x+3）3＝﹣27．
【考点】立方根；平方根．菁优网版权所有
【答案】（1）；（2）x＝．
【分析】（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
（2）式子整理后，利用立方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）4x2﹣81＝0，
4x2＝81，
，
；
（2）8（x+3）3＝﹣27，
（x+3）3＝﹣，
x+3＝，
x＝．
【点评】本题考查了平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
60．计算：
（1）（﹣1）2011+（﹣2）2×﹣（）2；
（2）25x2﹣36＝0．
【考点】实数的运算；平方根．菁优网版权所有
【答案】（1）﹣12；（2）±．
【分析】（1）依据实数运算法则进行运算即可；
（2）按解方程方法先求出x2的值，再求x2的平方根即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+4×（﹣2）﹣3
＝﹣1﹣8﹣3
＝﹣12；
（2）∵25x2＝36，
∴x2＝，
∵＝，
∴x＝±．
【点评】此题考查了实数的运算以及平方根，熟记平方根的定义、实数的运算法则是解题的关键．
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一．选择题（共32小题）
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（ ）
A．5 B．9 C．16 D．25
2．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（ ）
A． B． C． D．
3．△ABC在下列条件下不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝a2﹣c2 B．a2：b2：c2＝1：2：3
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B﹣∠C
4．如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（ ）
A．15m B．9m C．7m D．8m
5．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
6．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列是直角三角形的有（ ）个
①△ABC中a2＝c2﹣b2
②△ABC的三内角的度数之比为3：4：7
③△ABC的三边长平方之比为1：2：3
④三角形三边长之比为3：4：5
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列说法正确的是（ ）
A．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5则第三边的长度一定是4
B．三边长度分别为1，1，的三角形是直角三角形，且1，1，是一组勾股数
C．三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形
D．一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形
9．若3、4、a为勾股数，则a的值为（ ）
A． B．5 C．5或7 D．5或
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC﹣AC＝2cm，AB＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
12．如图，在2×2的网格中，有一个格点△ABC，若每个小正方形的边长为1，则△ABC的边AB上的高为（ ）
A． B． C． D．1
13．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（ ）
A．128 B．64 C．32 D．144
14．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
15．的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．2
16．下列关于的说法中，错误的是（ ）
A．是无理数 B．2＜＜3
C．5的平方根是 D．
17．一影院观众席中的9排23号记作（9，23），那么15排42号的位置应记作（ ）
A．（42，15） B．（1，4） C．（15，42） D．（15，4）
18．已知：点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且点P在x轴的上方，则点P的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2）
C．（2，3）或（﹣2，3） D．（3，2）或（﹣3，2）
19．点P（﹣5，3）到y轴的距离是（ ）个单位长度．
A．5 B．3 C．2 D．以上都不对
20．已知点P在第四象限内，到x轴的距离等于3，到y轴的距离等于4，则点P坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣4，3） D．（4，﹣3）
21．点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度，则点A的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）
22．在下列点中，与点A（﹣2，﹣4）的连线平行于y轴的是（ ）
A．（2，﹣4） B．（4，﹣2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，2）
23．已知正方形ABCD中，A（﹣3，1），B（1，1），C（1，﹣3），则D点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，1） C．（﹣3，3） D．（1，3）
24．点（5，﹣6）在第几象限？（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
25．在平面直角坐标系中，点A（x，y）在第三象限，则点B（x，﹣y）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
26．在平面直角坐标系中，点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，2）
27．若点A（a，2）与点B（4，﹣2）关于原点对称，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
28．如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（6，0），点P为线段AB的中点，将线段AB绕点O逆时针旋转90°后点P的对应点P′的坐标是（ ）
A．（﹣3，） B．（，3） C．（，﹣3） D．（﹣1，）
29．已知点A（﹣2，﹣1）与点B关于直线x＝1对称，则点B的坐标为（ ）
A．（4，﹣1） B．（﹣4，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（4，1）
30．在平面直角坐标系中，下列各点中到x轴的距离是4，且在第四象限的是（ ）
A．（4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4）
31．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）
32．已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（ ）
A．x＝﹣1，y＝2 B．x＝﹣1，y＝8 C．x＝﹣1，y＝﹣2 D．x＝1，y＝8
二．填空题（共14小题）
33．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝3，BC＝4时，则阴影部分的面积为 ．
34．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是 cm．
35．如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米长．
36．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
37．直角三角形中，若两条边的长分别为3，5，则第三条边的长为 ．
38．如图，长方形纸片ABCD，沿折痕AE折叠边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8，S△ABF＝24，则EC的长为 ．
39．若一个正数m的两个平方根分别是3a+2和a﹣10，则m的值为 ．
40．已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7，则a＝ ，正数x＝ ．
41．已知实数a、b，满足，则ab的值 ．
42．在实数﹣2，π，﹣，3.14，无理数有 个．
43．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是 ．
44．计算：＝ ．
45．已知点A（﹣4，5），（2，﹣3），则线段AB的长是 ．
46．已知在平面直角坐标系中有动点A（3，y）（y是任意实数），则点B（﹣2，﹣3）与点A的距离的最小值为 ．
三．解答题（共14小题）
47．如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝．
（1）求CD的长；
（2）求AD的长；
（3）求证：△ABC是直角三角形．
48．如图，在△ABC中，BC＝15，D是线段AB上一点，BD＝9，连接CD，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB．
（2）若S△ABC＝84，求△ABC的周长．
49．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝5，BD＝4，CD＝．
（1）求AD的长．
（2）求△ABC的周长．
50．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
51．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D，且CB2＝AD2﹣CD2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．
52．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
53．计算：
（1）﹣﹣；
（2）﹣+|1﹣|；
（3）﹣+|π﹣3|．
54．计算：．
55．计算：÷×÷．
56．计算：2﹣+﹣．
57．计算：（1）+|﹣3|+（π﹣1）0；
（2）．
58．解方程：3（x﹣1）2＝27．
59．计算：
（1）4x2﹣81＝0；
（2）8（x+3）3＝﹣27．
60．计算：
（1）（﹣1）2011+（﹣2）2×﹣（）2；
（2）25x2﹣36＝0．
参考答案与试题解析
一．选择题（共32小题）
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（ ）
A．5 B．9 C．16 D．25
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据勾股定理得出这两个正方形的面积和等于BC的平方解答即可．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，
∴阴影部分的面积和为AC2+AB2＝BC2＝25．
故选：D．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据这两个正方形的面积和等于BC的平方解答．
2．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（ ）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：∵＝4，
∵BC＝，
∴BC边长的高＝，
故选：C．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答．
3．△ABC在下列条件下不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝a2﹣c2 B．a2：b2：c2＝1：2：3
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B﹣∠C
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项A，选项B；根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D．
【解答】解：A．∵b2＝a2﹣c2，
∴b2+c2＝a2，
即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a2：b2：c2＝1：2：3，
∴a2+b2＝c2，
即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4．如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（ ）
A．15m B．9m C．7m D．8m
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】利用勾股定理进行解答．求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离．
【解答】解；梯子顶端距离墙角地距离为＝24（m），
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为＝15（m），
15﹣7＝8（m）．
故选：D．
【点评】考查了勾股定理的应用，主要先求出两边，利用勾股定理求出第三边．
5．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
6．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论．
【解答】解：将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，
∵圆柱的底面直径为AB，
∴点B是展开图的一边的中点，
∵蚂蚁爬行的最近路线为线段，
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，最短路径问题，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
7．下列是直角三角形的有（ ）个
①△ABC中a2＝c2﹣b2
②△ABC的三内角的度数之比为3：4：7
③△ABC的三边长平方之比为1：2：3
④三角形三边长之比为3：4：5
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：①∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
②∵△ABC的三内角之比为3：4：7，
∴△ABC中最大角的度数为：180°×＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵△ABC的三边平方之比为1：2：3，
∴设三边的平方分别为k，2k，3k，
∵k+2k＝3k，
∴△ABC是直角三角形；
④∵三角形三边之比为3：4：5，
∴设三边分别为3a，4a，5a，
∵（3a）2+（4a）2＝（5a）2，
∴△ABC是直角三角形，
所以，上列是直角三角形的有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理是解题的关键．
8．下列说法正确的是（ ）
A．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5则第三边的长度一定是4
B．三边长度分别为1，1，的三角形是直角三角形，且1，1，是一组勾股数
C．三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形
D．一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形
【考点】勾股数．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据勾股数的定义及勾股定理的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5则第三边的长度是4或，原命题错误，不符合题意；
B、因勾股数必须都是整数，故原命题错误，不符合题意；
C、∵122+352≠362，
∴三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形，错误，不符合题意；
D、A、一个三角形的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】考查了勾股数的定义及勾股定理的知识，解题的关键是了解勾股数的定义，难度不大．
9．若3、4、a为勾股数，则a的值为（ ）
A． B．5 C．5或7 D．5或
【考点】勾股数．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数求解即可．
【解答】解：∵3、4、a为勾股数，
∴当a最大时，此时a＝＝5，
当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数，
故选：B．
【点评】本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE＝EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BE＝BC＝4，
∴AE＝＝3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC﹣AC＝2cm，AB＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2＝100，根据完全平方公式求出2AC•BC＝96，得到AC•BC＝24，得到答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2＝100，
∵BC﹣AC＝2cm，
∴（BC﹣AC）2＝4，
即AC2+BC2﹣2AC•BC＝4，
∴2AC•BC＝96，
∴AC•BC＝24，即Rt△ABC的面积是24cm2，
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
12．如图，在2×2的网格中，有一个格点△ABC，若每个小正方形的边长为1，则△ABC的边AB上的高为（ ）
A． B． C． D．1
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】如图，过点C作CD⊥AB于D，首先利用勾股定理求得AB的长度，然后利用等面积法求得CD的长度．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，
在直角△ABE中，∠AEB＝90°，AE＝1，BE＝2，则由勾股定理知，AB＝＝＝．
由AE•BC＝AB•CD知，CD＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求得AB边的长度．
13．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（ ）
A．128 B．64 C．32 D．144
【考点】勾股定理的证明．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】方法一：根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知EF2的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决．
方法二：根据此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，可以得到小正方形的边长，然后根据勾股定理即可得到EF2的值．
【解答】解：方法一：∵AE＝5，BE＝13，
∴AB＝＝＝，
∴小正方形的面积为：（）2﹣×4＝194﹣130＝64，
由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍，
∴EF2的值是64×2＝128，
故选：A．
方法二：∵此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，
∴小正方形的边长为13﹣5＝8，
∴EF2＝82+82＝128，
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确EF2的值等于小正方形的面积的2倍．
14．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
15．的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．2
【考点】算术平方根；平方根．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】先计算，再求4的平方根．
【解答】解：∵，
∴的平方根是±．
故选：C．
【点评】本题主要考查算术平方根以及平方根的定义，熟练掌握算术平方根以及平方根的定义是解决本题的关键．
16．下列关于的说法中，错误的是（ ）
A．是无理数 B．2＜＜3
C．5的平方根是 D．
【考点】实数．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据平方根，可得答案．
【解答】解：5的平方根是：，故C错误，
故选：C．
【点评】本题考查了实数，注意一个正数的平方根有两个．
17．一影院观众席中的9排23号记作（9，23），那么15排42号的位置应记作（ ）
A．（42，15） B．（1，4） C．（15，42） D．（15，4）
【考点】坐标确定位置．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据9排23号记作（9，23），可以得到15排42号的位置应记作什么，本题得以解决．
【解答】解：∵9排23号记作（9，23），
∴15排42号的位置应记作（15，42），
故选：C．
【点评】本题考查坐标位置的确定，解题的关键是明确题意，由已知可以推出未知．
18．已知：点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且点P在x轴的上方，则点P的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2）
C．（2，3）或（﹣2，3） D．（3，2）或（﹣3，2）
【考点】点的坐标．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】先判断出点P在第一或第二象限，再根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值求解．
【解答】解：∵点P在x轴上方，
∴点P在第一或第二象限，
∵点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，
∴点P的横坐标为3或﹣3，纵坐标为2，
∴点P的坐标为（﹣3，2）或（3，2）．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
19．点P（﹣5，3）到y轴的距离是（ ）个单位长度．
A．5 B．3 C．2 D．以上都不对
【考点】点的坐标．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】由点P的坐标（﹣5，3）确定点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，在平面直角坐标系中距离的单位为几个单位长度，即可得解．
【解答】解：∵点P的坐标为（﹣5，3），
∴点P到y轴的距离为5个单位长度．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
20．已知点P在第四象限内，到x轴的距离等于3，到y轴的距离等于4，则点P坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣4，3） D．（4，﹣3）
【考点】点的坐标．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】先判断出点P的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断点的具体坐标．
【解答】解：∵点P在第四象限内，
∴点P的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，
∴点P的横坐标是4，纵坐标是﹣3，即点P的坐标为（4，﹣3）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．
21．点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度，则点A的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）
【考点】点的坐标．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】由于点A在y轴上，则点A的横坐标为0，又由于点A位于原点上方，距离原点2个单位长度，得到点A的纵坐标为2．
【解答】解：∵点A在y轴上，
∴点A的横坐标为0，
而点A位于原点上方，距离原点2个单位长度，
∴点A的纵坐标为2，
∴点A的坐标为（0，2）．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标：在y轴上所有点的横坐标为0．
22．在下列点中，与点A（﹣2，﹣4）的连线平行于y轴的是（ ）
A．（2，﹣4） B．（4，﹣2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，2）
【考点】坐标与图形性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，根据这一性质进行选择．
【解答】解：∵平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，
已知点A（﹣2，﹣4）横坐标为﹣2，
所以结合各选项所求点为（﹣2，4）．
故选：C．
【点评】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标特点：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等．
23．已知正方形ABCD中，A（﹣3，1），B（1，1），C（1，﹣3），则D点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，1） C．（﹣3，3） D．（1，3）
【考点】坐标与图形性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】因为四边形为正方形，四条边相等，根据正方形的性质与边长为：|AB|＝4，从而可计算出D的坐标．
【解答】解：设D点的坐标为（x，y），
已知四边形为正方形，四条边相等，且易知|AB|＝4，AB∥CD，
∴C，D两点的从坐标相等，∴y＝﹣3，
又∵AD∥BC，∴A，D两点的横坐标相等，∴x＝﹣3，
∴D的坐标为（﹣3，﹣3），
故选：A．
【点评】主要考查了坐标与图形的性质和正方形的性质，属于基础题，做题关键要会根据平行线的特点找到点的坐标规律．
24．点（5，﹣6）在第几象限？（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【解答】解：∵点A的横坐标为正数、纵坐标为负数，
∴点A（5，﹣6）在第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
25．在平面直角坐标系中，点A（x，y）在第三象限，则点B（x，﹣y）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据第三象限内的点的纵坐标小于零，纵坐标小于零，可得x、y的取值范围，根据不等式的性质，可得答案；
【解答】解：由点A（x，y）在第三象限，得
x＜0，y＜0．
x＜0，﹣y＞0，
则点B（x，﹣y）在 第二象限；
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记各象限内点的坐标符号是解题关键．
26．在平面直角坐标系中，点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，2）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标是（3，2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
27．若点A（a，2）与点B（4，﹣2）关于原点对称，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【考点】关于原点对称的点的坐标．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出答案．
【解答】解：∵点A（a，2）与点B（4，﹣2）关于原点对称，
∴a的值是：﹣4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
28．如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（6，0），点P为线段AB的中点，将线段AB绕点O逆时针旋转90°后点P的对应点P′的坐标是（ ）
A．（﹣3，） B．（，3） C．（，﹣3） D．（﹣1，）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】先利用线段中点坐标公式得到P点坐标，然后利用旋转的性质可写出P′点的坐标．
【解答】解：∵点P为线段AB的中点，
∴P点坐标为（3，），
∵线段AB绕点O逆时针旋转90°后点P的对应点为P′，如图，
∴点P′的坐标（﹣，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
29．已知点A（﹣2，﹣1）与点B关于直线x＝1对称，则点B的坐标为（ ）
A．（4，﹣1） B．（﹣4，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（4，1）
【考点】坐标与图形变化﹣对称．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】设出点B的坐标为（a，﹣1），然后根据轴对称的性质，列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵点A与点B关于直线x＝1对称，A（﹣2，﹣1），
∴设点B的坐标为（a，﹣1），
∴﹣2+a＝2×1，
解得a＝4，
∴点B的坐标为（4，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，根据轴对称的性质判断出A、B关于直线y＝﹣1对称是解题的关键．
30．在平面直角坐标系中，下列各点中到x轴的距离是4，且在第四象限的是（ ）
A．（4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4）
【考点】点的坐标．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据点的坐标特点解决此题．
【解答】解：A．根据点的坐标的特点，（4，﹣5）到x轴距离是5，且在第四象限，故A不符合题意．
B．根据点的坐标的特点，（﹣4，5）到x轴距离是5，且在第二象限，故B不符合题意．
C．根据点的坐标的特点，（﹣5，4）到x轴距离是4，且在第二象限，故C不符合题意．
D．根据点的坐标的特点，（5，﹣4）到x轴距离是4，且在第四象限，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特点是解决本题的关键．
31．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得对应点坐标．
【解答】解：点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
32．已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（ ）
A．x＝﹣1，y＝2 B．x＝﹣1，y＝8 C．x＝﹣1，y＝﹣2 D．x＝1，y＝8
【考点】关于原点对称的点的坐标．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值进而得出答案．
【解答】解：∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，
∴x﹣2+x+4＝0，y﹣5＝﹣3，
解得：x＝﹣1，y＝2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握坐标特点是解题关键．
二．填空题（共14小题）
33．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝3，BC＝4时，则阴影部分的面积为 6 ．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+π×（）2+﹣π×（）2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．
34．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是 15 cm．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，过A点和B点的平面展开图分三种情况，再根据两点之间线段最短和勾股定理可以分别求得三种情况下的最短路线，然后比较大小，即可得到A点到B点的最短路线，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
当展开前面和右面时，最短路线长是：＝＝15（cm）；
当展开前面和上面时，最短路线长是：＝＝7（cm）；
当展开左面和上面时，最短路线长是：＝（cm）；
∵15＜7＜，
∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm，
故答案为：15．
【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是明确两点之间线段最短，利用分类讨论的方法解答．
35．如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 14 米长．
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
【解答】解：根据勾股定理，可得楼梯水平长度为＝8米，
则红地毯至少要8+6＝14米．
故答案为：14．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求得直角边的长是解决问题的关键．
36．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ 20 ．
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【答案】见试题解答内容
【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
37．直角三角形中，若两条边的长分别为3，5，则第三条边的长为 或4 ．
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【答案】或4．
【分析】分5为斜边和直角边，分别利用勾股定理可得答案．
【解答】解：当5为直角边时，第三边为＝，
当5为斜边时，第三边为＝4，
故答案为：或4．
【点评】本题主要考查了勾股定理，运用分类思想是解题的关键．
38．如图，长方形纸片ABCD，沿折痕AE折叠边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8，S△ABF＝24，则EC的长为 3 ．
【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用面积求出BF的长，再根据勾股定理求出AF，也就是BC的长，CF＝BC﹣BF，再利用勾股定理即可求出CE的长．
【解答】解：∵AB＝8，S△ABF＝24
∴BF＝6
在Rt△ABF中，AF＝＝10
∴AD＝AF＝BC＝10
∴CF＝10﹣6＝4
设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x
在Rt△ECF中，（8﹣x）2＝x2+42
解之得，x＝3；故应填3．
【点评】本题综合考查了勾股定理与方程，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．
39．若一个正数m的两个平方根分别是3a+2和a﹣10，则m的值为 64 ．
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【答案】64．
【分析】根据平方根的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：3a+2+a﹣10＝0，
∴a＝2，
∴3a+2＝8，a﹣10＝﹣8，
∴m＝82＝64，
故答案为：64．
【点评】本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的性质，本题属于基础题型．
40．已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7，则a＝ 2 ，正数x＝ 9 ．
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【答案】2，9．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数解答即可．
【解答】解：根据题意知：a+1+2a﹣7＝0，
解得：a＝2，
∴这个正数为（a+1）2＝32＝9，
故答案为：2，9．
【点评】本题考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解决本题的关键．
41．已知实数a、b，满足，则ab的值 ﹣6 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．菁优网版权所有
【答案】﹣6．
【分析】根据绝对值及算术平方根的非负性求解a，b的值，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵（a+2）2+＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣2，b＝3，
∴ab＝（﹣2）×3＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查偶次方的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值，正确求解a，b的值是解题的关键．
42．在实数﹣2，π，﹣，3.14，无理数有 1 个．
【考点】无理数．菁优网版权所有
【答案】1．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义解答即可．
【解答】解：﹣2、﹣＝﹣5是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
3.14是有限小数，属于有理数；
无理数有π，共有1个．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
43．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是 25 ．
【考点】平方根．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】利用平方根定义即可求出这个数．
【解答】解：如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是25，
故答案为：25
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
44．计算：＝ ．
【考点】算术平方根．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】先将被开方数化简，可得结果．
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是关键．
45．已知点A（﹣4，5），（2，﹣3），则线段AB的长是 10 ．
【考点】两点间的距离公式．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】直接根据两点间的距离公式求解．
【解答】解：线段AB的长＝＝10．
故答案为10．
【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
46．已知在平面直角坐标系中有动点A（3，y）（y是任意实数），则点B（﹣2，﹣3）与点A的距离的最小值为 5 ．
【考点】两点间的距离公式．菁优网版权所有
【答案】5．
【分析】根据已知条件得出AB∥x轴时，A、B两点的距离最小，再根据两点间的距离公式即可得出答案．
【解答】解：∵点A（3，y）（y是任意实数），
∴点A在直线x＝3上，
∴当AB∥x轴时，A、B两点的距离最小，
∵点B（﹣2，﹣3），
∴B（﹣2，﹣3）与点A的距离的最小值为3﹣（﹣2）＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
三．解答题（共14小题）
47．如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝．
（1）求CD的长；
（2）求AD的长；
（3）求证：△ABC是直角三角形．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用勾股定理求出DC的长即可；
（2）利用（1）中所求，直接利用勾股定理求出DA的长即可；
（3）利用（2）中所求进而勾股定理的逆定理求出即可．
【解答】（1）解：在Rt△BCD中，DC＝＝＝；
（2）解：在Rt△CDA中
AD＝＝＝；
（3）证明：∵BC2＝9，AC2＝16，
（BD+AD）2＝25，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
48．如图，在△ABC中，BC＝15，D是线段AB上一点，BD＝9，连接CD，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB．
（2）若S△ABC＝84，求△ABC的周长．
【考点】勾股定理；三角形的面积．菁优网版权所有
【答案】（1）证明见解析；
（2）42．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据三角形面积公式得出AB，再利用勾股定理得出AC，进而解答即可．
【解答】（1）证明：在△BDC中，BC＝15，BD＝9，CD＝12，
∵BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴△ADC是直角三角形，
∵S△ABC＝84，CD＝12，
∴AB＝14，
∴AD＝AB﹣BD＝14﹣9＝5，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即52+122＝AC2，
解得AC＝13，
∴△ABC的周长是13+14+15＝42．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明△BDC是直角三角形．
49．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝5，BD＝4，CD＝．
（1）求AD的长．
（2）求△ABC的周长．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理求出AD；
（2）根据勾股定理求出AC，计算即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD＝＝3；
（2）在Rt△ACD中，AC＝＝2，
则△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5+4++2＝9+3．
【点评】本题考查的是勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．
50．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）3米；
（2）6米．
【分析】（1）由题意可知：AC+BC＝8米，根据勾股定理可得：AB2+AC2＝BC2，又因为AB＝4米，所以可求得AC，BC的长，
（3）易求D点距地面3﹣1.25＝1.75米，B'D＝8﹣1.75＝6.25米，再根据勾股定理可以求得AB'＝6米，所以6米内有危险．
【解答】解：（1）由题意可知：AC+BC＝8米，
∵∠A＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
又∵AB＝4米，
∴AC＝3米，BC＝5米，
故旗杆距地面3米处折断；
（2）如图，
∵D点距地面AD＝3﹣1.25＝1.75米，
∴B'D＝8﹣1.75＝6.25米，
∴AB′＝米，
∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
51．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D，且CB2＝AD2﹣CD2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．
【考点】勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）CD的长为．
【分析】（1）连接BD，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）设CD＝x，则AD＝BD＝4﹣x，在Rt△BCD中，根据BD2﹣CD2＝BC2列出方程计算即可求解．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB边上的垂直平分线为DE，
∴AD＝BD，
∵CB2＝AD2﹣CD2，
∴CB2＝BD2﹣CD2，
∴CB2+CD2＝BD2，
∴∠C＝90°；
（2）解：设CD＝x，则AD＝BD＝4﹣x，
在Rt△BCD中，BD2﹣CD2＝BC2，
∴（4﹣x）2﹣x2＝32，
解得：x＝，
∴CD的长为．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用．
52．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
【考点】勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．
【解答】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC＝36cm，
∴3x+4x+5x＝36，
得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ＝BP•BQ＝×6×6＝18（cm2）．
故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．
【点评】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
53．计算：
（1）﹣﹣；
（2）﹣+|1﹣|；
（3）﹣+|π﹣3|．
【考点】实数的运算．菁优网版权所有
【答案】（1）﹣1.8；（2）3；（3）﹣7．
【分析】（1）首先计算开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（3）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）﹣﹣
＝0.7﹣（﹣）﹣3
＝﹣1.8．
（2）﹣+|1﹣|
＝2﹣3+|1﹣5|
＝2﹣3+4
＝3．
（3）﹣+|π﹣3|
＝﹣4﹣π+（π﹣3）
＝﹣4﹣π+π﹣3
＝﹣7．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
54．计算：．
【考点】二次根式的乘除法．菁优网版权所有
【答案】a．
【分析】由二次根式的定义可得c＞0，则a≥0，b≥0，再利用二次根式的乘除法的法则进行求解即可．
【解答】解：由题意得c＞0，a≥0，b≥0，
∴
＝
＝a．
【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解答的关键是明确c＞0，a≥0，b≥0．
55．计算：÷×÷．
【考点】分母有理化；二次根式的乘除法．菁优网版权所有
【答案】21．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝××7×
＝21．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确运用二次根式的乘除运算法则是解题关键．
56．计算：2﹣+﹣．
【考点】二次根式的加减法．菁优网版权所有
【答案】2．
【分析】首先合并同类二次根式，然后利用分数的加减法则计算括号里面即可求解．
【解答】解：原式＝（2﹣+﹣）
＝
＝2．
【点评】本题主要考查了同类二次根式的合并，同时利用了乘法的分配律．
57．计算：（1）+|﹣3|+（π﹣1）0；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；零指数幂．菁优网版权所有
【答案】（1）+4；（2）10﹣4．
【分析】（1）先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）+|﹣3|+（π﹣1）0
＝2+3﹣+1
＝+4；
（2）
＝5﹣2+3﹣4+4
＝10﹣4．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
58．解方程：3（x﹣1）2＝27．
【考点】平方根．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方根，进行解方程，即可解答．
【解答】解：3（x﹣1）2＝27
（x﹣1）2＝9
x﹣1＝±3，
x＝4或﹣2．
【点评】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．
59．计算：
（1）4x2﹣81＝0；
（2）8（x+3）3＝﹣27．
【考点】立方根；平方根．菁优网版权所有
【答案】（1）；（2）x＝．
【分析】（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
（2）式子整理后，利用立方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）4x2﹣81＝0，
4x2＝81，
，
；
（2）8（x+3）3＝﹣27，
（x+3）3＝﹣，
x+3＝，
x＝．
【点评】本题考查了平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
60．计算：
（1）（﹣1）2011+（﹣2）2×﹣（）2；
（2）25x2﹣36＝0．
【考点】实数的运算；平方根．菁优网版权所有
【答案】（1）﹣12；（2）±．
【分析】（1）依据实数运算法则进行运算即可；
（2）按解方程方法先求出x2的值，再求x2的平方根即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+4×（﹣2）﹣3
＝﹣1﹣8﹣3
＝﹣12；
（2）∵25x2＝36，
∴x2＝，
∵＝，
∴x＝±．
【点评】此题考查了实数的运算以及平方根，熟记平方根的定义、实数的运算法则是解题的关键．
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