北师大版八年级上册数学期中综合测试卷（含答案解析）

这是一份北师大版八年级上册数学期中综合测试卷（含答案解析），共28页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1． 9的算术平方根是（ ）
A．±3B．﹣3C．3D．±81
2．下列不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＋b2－c2＝0B．a∶b∶c＝3∶4∶5
C．∠A∶∠B∶∠C＝3：4∶5D．∠A＋∠B＝∠C
3． 如果在y轴上，那么点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4． 估计+1的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
若是关于x 、y的二元一次方程ax－2y＝1的解，则a的值为（ ）
6 . 某校对部分参加研学活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：
则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15B．15，13C．15，14D．14，15
7 . 已知一次函数的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）

A．，B．，C．，D．，
8. 如图，等腰中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，
则的周长为（ ）

A．12B．8C．15D．13
如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）

A．B．C．D．
10. 甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，
乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，
为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．
甲乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：
①；②甲的速度是；③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地．
其中正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
填空题（每小题4分，共24分）
11 .如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是 ．
如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，
一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．

甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．
甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y（m）与无人机上升的时间 x（s）之间的关系
如图所示，甲无人机的飞行速度为 ；

如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，
与点B′重合，AE为折痕，则 ．

甲、乙两船沿直线航道AC匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道AC中途的点B出发，
向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图．
下列说法：
①乙船的速度是40千米/时；
②甲船航行1小时到达B处；
③甲、乙两船航行0.6小时相遇；
④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是0≤t≤2.5．
其中正确的说法的是______________

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，
连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；
⑤EF的最小值等于．
其中正确结论的个数是______________

二、解答题（共7小题，共86分）
17．计算：
(1)
(2)
18．解方程组．
(1)；
(2)．
19．已知：如图，，，求证：．

20． 已知：如图，在平面直角坐标系中．

(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
(2)直接写出△A1B1C1的面积为____________；
(3)在x轴上画点P，使PA＋PC最小(保留作图痕迹）．
21．为了解某校八年级学生的生物实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作的得分，
根据获取的样本数据，制作了下面的条形统计图和扇形统计图，
请根据相关信息，解答下列问题．
（1）这40个样本数据的众数是 分，中位数是 分；
（2）扇形统计图中m的值为 ；扇形统计图中“6分”所对的圆心角的度数是 ；
（3）若该校八年级共有480名学生，估计该校生物实验操作得满分的学生有多少人．

22．在△ABC中，D是BC中点，，，垂足分别是E，F，．
求证：△ABC是等腰三角形．

某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：
（1）若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件？
（2）若商场规定A种服装进货不少于50件，
应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？
24 .甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，
两人在比赛时所跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，
请你根据图象，回答下列问题：

(1)______先到达终点（填“甲”或“乙”）；
(2)根据图象，求出甲的函数表达式；
(3)求何时甲乙相遇？
(4)根据图象，直接写出何时甲与乙相距250米．
25. 如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，
点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．
①的度数为 °；
②线段之间的数量关系为 ．（直接写出答案，不需要说明理由）
如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，
与x轴交于点，直线与x轴交于点C．

(1)填空： ， ， ；
(2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．
①求线段的长度；
②当点E落在y轴上时，求点E的坐标；
③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标．
参 考 解 答
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．9的算术平方根是（ ）
A．±3B．﹣3C．3D．±81
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
解：∵32＝9，
∴9算术平方根为3．
故选：C．
2．下列不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＋b2－c2＝0B．a∶b∶c＝3∶4∶5
C．∠A∶∠B∶∠C＝3：4∶5D．∠A＋∠B＝∠C
【答案】C
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可．
【详解】解：A.由，可得，故是直角三角形，不符合题意；
B.可设，，，则，能构成直角三角形，不符合题意；
C. ，所以∠C最大，，故不是直角三角形，符合题意；
D.，，故是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
3．如果在y轴上，那么点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据点在y轴上，可知P的横坐标为0，即可得m的值，再确定点P的坐标即可．
【详解】解：∵在y轴上，
∴
解得，
∴点P的坐标是（0，-2）．
故选B．
4．估计+1的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【答案】C
【分析】先估算出的范围，即可得出答案．
【详解】解：∵3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
即+1在4和5之间，
故选：C．
5．若是关于x 、y的二元一次方程ax－2y＝1的解，则a的值为（ ）
A．3B．5C．－3D．－5
【答案】B
【分析】把代入ax-2y=1计算即可．
【详解】解：把代入ax-2y=1得，
a-4=1，
解得a=5，
故选：B．
6 .某校对部分参加研学活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：
则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15B．15，13C．15，14D．14，15
【答案】A
【分析】根据众数和中位数的定义计算判断即可．
【详解】∵数据15出现的次数最多，为4次，
∴该组数据的众数是15；
∵该组共有1+3+4+2=10个数据，
∴该组数据的中位数是第五个，第六个数据的平均数，
∵1+3＜5＜1+3+4，1+3＜6＜1+3+4，
∴第五个，第六个数据都在15这一组中，
∴该组数据的中位数是第五个，第六个数据的平均数为=15，
故选A．
7．已知一次函数的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】根据一次函数图象进行判断．
【详解】解：一次函数的图象经过第二、三、四象限，
，．
故选D．
8.如图，等腰中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（ ）

A．12B．8C．15D．13
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出周长，再根据等腰三角形两腰相等可得，代入数据计算即可得解．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
周长，
腰长，
，
周长．
故选：C．
9．如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形的长+小长方形的宽=50cm，小长方形的长+小长方形宽的4倍=小长方形长的2倍，根据这两个等量关系可列出方程组，进而求出小长方形的长与宽，最后求得小长方形的面积．
【详解】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm， 则可列方程组
,解得，
则一个小长方形的面积=40cm×10cm=400cm2．
故选A．
10. 甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：①；②甲的速度是；③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
，故①正确，
甲的速度是：，故②正确，
设乙刚开始的速度为，则，得，
则设经过，乙追上甲，
，
解得，，故③正确，
乙刚到达货站时，甲距B地：，故④正确，
综上，四个选项都是正确的，
故选：D．
二.填空题（每小题4分，共24分）
11．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是 ．
【分析】利用平方根定义即可求出这个数．
解：如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是25，
故答案为：25
如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，
一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．

【答案】13
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，
所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】如图所示，

AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE＝BD＝12，AE＝AB−CD＝5，
在直角三角形AEC中，
AC＝＝＝13．
答：小鸟至少要飞13米．
故答案为：13．
13．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y（单位：m）与无人机上升的时间 x（单位：s）之间的关系如图所示，甲无人机的飞行速度为 ；
【答案】8
【分析】根据函数图象可知，甲无人机上升了，据此计算即可．
【详解】解：由图象可得，甲无人机的飞行速度为：，
故答案为：8．
14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则 ．
【答案】1.5
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵将△ABC折叠得△AB′E
∴AB′＝AB，B′E＝BE
∴B′C＝5－3＝2
设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x
在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2
∴（4－x）2＝x2＋22
解得
故答案为：1.5
15．甲、乙两船沿直线航道AC匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道AC中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图．下列说法：
①乙船的速度是40千米/时；
②甲船航行1小时到达B处；
③甲、乙两船航行0.6小时相遇；
④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是0≤t≤2.5．其中正确的说法的是______________
【答案】①②④．
【解析】
【分析】结合图形，分从乙走的全程及时间得出乙的速度；从而可知t＝0.6时，乙走的路程，进而得出甲走的路程，从而可知甲的速度；根据题中对d与时间t的关系可判断甲乙两船航行0.6小时是否相遇；由前面求得的甲乙速度可判断甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段．
【详解】解：乙船从B到C共用时3小时，走过路程为120千米，因此乙船的速度是40千米/时，①正确；
乙船经过0.6小时走过0.6×40＝24千米，甲船0.6小时走过60﹣24＝36千米，所以甲船的速度是36÷0.6＝60千米/时，
开始甲船距B点60千米，因此经过1小时到达B点，②正确；
航行0.6小时后，甲乙距B点都为24千米，但乙船在B点前，甲船在B点后，二者相距48千米，因此③错误；
开始后，甲乙两船之间的距离越来越小，甲船经过1小时到达B点，此时乙离B地40千米，
航行2.5小时后，甲离B地：60×1.5＝90千米，乙离B地：40×2.5＝100千米，此时两船相距10千米，当2.5＜t≤3时，甲乙的距离小于10，因此④正确；
综上所述，正确的说法有①②④．
如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，
连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；
④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于．
其中正确结论的个数是______________
【答案】①②④⑤．
【解析】
【分析】延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M，只需要证明△ANP≌△FPE得到AP=EF，∠PFE=∠BAP即可判断①④；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据P的任意性可以判断③；根据AP=EF，当AP最小时，EF有最小值，即可判断⑤；
【详解】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD，∠ABC=90°，AB=BC，
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴∠PNB=∠NBE=∠PEB=90°，PN=PE，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF=90°，四边形BCFN是矩形，
∴NP=EP=BE，BC=NF，
∴AN=PF，
在△ANP与△FPE中，
，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP（故①④正确）；
在△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM，
∴∠PMF=∠ANP=90°，
∴AP⊥EF，（故②正确）；
∵P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形不一定成立，（故③错误）；
∵AP=EF，
∴当AP⊥BD时，AP有最小值即EF有最小值，
∵AB=AD，AP⊥BD，
∴此时P为BD的中点，
又∵∠BAD=90°，
∴，即EF的最小值为（故⑤正确）
故正确是：①②④⑤．
二、解答题（共7小题，共86分）
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）先根据二次根式的性质，二次根式的乘除法计算，然后合并同类项，即可得到答案；
（2）先根据二次根式的乘法、二次根式的性质进行化简，然后合并同类项，即可得到答案．
【详解】（1）
；
（2）
．
18．解方程组．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【详解】（1），
得：，
解得．
把代入①得：，
解得，
故原方程组的解是：；
（2），
得：③，
得：，
把代入①得：，
解得，
故原方程组的解是：．
19．已知：如图，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据，可得，根据平行线的性质可得，根据已知可得，等量代换即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
20． 已知：如图，在平面直角坐标系中．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
(2)直接写出△A1B1C1的面积为____________；
(3)在x轴上画点P，使PA＋PC最小(保留作图痕迹）．
【答案】(1)△ABC关于y轴对称的△A1B1C1见解析；，，
(2)
(3)见解析
【分析】（1）作出点A、B、C关于y轴对称的对应点、、，然后顺次连接即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出△A1B1C1三个顶点的坐标即可；
（2）根据网格利用割补法即可求出△A1B1C1的面积；
（3）取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，即可使PA＋PC最小．
【详解】（1）解：作出点A、B、C关于y轴对称的对应点、、，然后顺次连接，则△A1B1C1即为所求作的三角形，如图所示：
点，，．
（2）△A1B1C1的面积可以利用△A1B1C1所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积，则：
＝2×3−×1×2−×1×2−×1×3＝．
故答案为：．
（3）如图，取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求．
21．为了解某校八年级学生的生物实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作的得分，根据获取的样本数据，制作了下面的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题．
（1）这40个样本数据的众数是 分，中位数是 分；
（2）扇形统计图中m的值为 ；扇形统计图中“6分”所对的圆心角的度数是 ；
（3）若该校八年级共有480名学生，估计该校生物实验操作得满分的学生有多少人．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求出中位数、众数即可；
（2）用“9分”的频数12除以样本容量40即可求出“9分”所占的百分比，确定m的值，用360°乘以相应的占比即可；
（3）求出样本中“满分”所占的百分比，再求出总体中“满分”的频数．
解：（1）将这40人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是8分，因此中位数是8分，
这40人成绩出现次数最多的是“9分”共出现12次，因此众数是9分，
故答案为：9分，8分；
（2）“9分”所占的百分比为，即m＝30，
360°×＝36°，
故答案为：30，36°；
（3）480×＝84（人），
答：八年级全体同学物理和生物实验操作得满分的学生为84人．
【点评】本题主要考查读条形统计图与扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．在△ABC中，D是BC中点，，，垂足分别是E，F，．
求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】利用“”证明和全等，再根据全等三角形对应角相等可得，即可证明△ABC是等腰三角形．
【详解】证明：是的中点，
，
，，
和都是直角三角形，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形．
23．某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：
（1）若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件？
（2）若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出利润与A种服装数量的函数关系式，再根据A种服装数量的取值范围和一次函数的性质，可以计算出应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为多少元．
解：（1）设购进A种服装a件，B种服装b件，
，
解得，
答：购进A种服装75件，B种服装25件；
（2）设A种服装进货为x件，则B种服装进货为（100﹣x）件，总的利润为w元，
由题意可得：w＝（45﹣30）x+（70﹣50）（100﹣x）＝﹣5x+2000，
∴w随x的增大而减小，
∵商场规定A种服装进货不少于50件，购进A，B两种服装共100件，
∴50≤x≤100，
∴当x＝50时，w取得最大值，此时w＝1750，100﹣x＝50，
答：当购进A种服装50件，乙种服装50件时才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为1750元．
24 .甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，
两人在比赛时所跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，
请你根据图象，回答下列问题：
(1)______先到达终点（填“甲”或“乙”）；
(2)根据图象，求出甲的函数表达式；
(3)求何时甲乙相遇？
(4)根据图象，直接写出何时甲与乙相距250米．
【答案】(1)乙
(2)甲的表达式为：
(3)甲乙在12分钟时相遇
(4)5分钟或11分钟或13分钟或19分钟时甲乙相距250米
【分析】（1）依据函数图象可得到两人跑完全程所用的时间，从而可知道谁先到达终点；
（2）甲的函数图象是正比例函数，直线经过点，可求出解析式；
（3）当时，甲乙两人相遇，求得乙的路程与时间的函数关系式，再求得两个函数图象的交点坐标即可；
（4）根据题意列方程解答即可．
【详解】（1）解：由函数图象可以：甲跑完全程需要20分钟，乙跑完全程需要16分钟，所以乙先到达终点，
故答案为：乙；
（2）解：设甲跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系式为：，经过点，
，解得：，
甲的函数解析式为：；
（3）解：设甲乙相遇后（即），乙跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系式为：，经过点，，联立方程可得：
，解得，
乙的函数解析式为：，
再联立方程：，解得，
甲乙在12分钟时相遇；
（4）解：设此时起跑了分钟，
根据题意得，或或或，
解得：或或或，
5分钟或11分钟或13分钟或19分钟时甲乙相距250米．
25. 如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，
点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．
①的度数为 °；
②线段之间的数量关系为 ．（直接写出答案，不需要说明理由）
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)①90；②
【分析】（1）通过证明，可得；
（2）由得，又由，可得；
（3）同（1）的方法可得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由得：，
∵，
∴；
（3）解：①∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：90；
②由知：，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
26．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C．
(1)填空： ， ， ；
(2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．
①求线段的长度；
②当点E落在y轴上时，求点E的坐标；
③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标．
【答案】(1)8，，
(2)①；②点E的坐标为；③点D的坐标为或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）①过点A作轴于点H，作轴于点G，根据勾股定理得到，于是得到结论；
②利用勾股定理求出，可得，即可得答案；
③分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点D坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点D坐标．
【详解】（1）解：把代入，
∵，
∴，
∴直线：，
把代入，
∴，
∴，
把代入，
∵，
∴．
故答案为：8，，；
（2）解：①∵直线：，
∴点C的坐标为，
如下图，过点A作轴于点H，作轴于点G，则，，
∵翻折得到
∴，
∴
②当E点落在y轴上时，
在中，
∵
∴，
∴，
∴点E的坐标为；
③如下图，
当时，由翻折得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
如下图，
当时，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴点D的坐标为，
综上，点D的坐标为或．年龄
13
14
15
16
人数
1
3
4
2
价格
类型
进价（元/件）
售价（元/件）
A
30
45
B
50
70
年龄
13
14
15
16
人数
1
3
4
2
价格
类型
进价（元/件）
售价（元/件）
A
30
45
B
50
70