北师大版数学八年级上册精品期末模拟试卷（含详细解析）

这是一份北师大版数学八年级上册精品期末模拟试卷（含详细解析），共53页。试卷主要包含了下列各组数不是勾股数的是，下列命题中，属于假命题的是，小红连续5天的体温数据如下，下列各数中是无理数的是，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

A．3，4，5B．5，12，13C．2，4，D．6，8，10
2．点（2，﹣3）关于y轴的对称点是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
3．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．三角形三个内角和等于180°
4．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是（ ）
A．10B．8C．6D．5
5．已知直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点的坐标为（1，2），则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
6．小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是36.5℃B．众数是36.2℃
C．平均数是36.3℃D．极差是0.3℃
7．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝﹣kx﹣k（k≠0）的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．下列各数中是无理数的是（ ）
A．3.5B．C．D．
9．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．对于一次函数y＝3x+2，①图象必经过点（﹣1，﹣1）；②图象经过第一、二、四象限；③当x＞1时，y＜0；④y的值随着x值的增大而增大，以上结论正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
11．下列计算，正确的是（ ）
A．（﹣2）﹣2＝4B．
C．46÷（﹣2）6＝64D．
12．如图，根据尺规作图痕迹，判断数轴上点C所表示的数是（ ）
A．2B．3.7C．3.8D．
13．《九章算术》中有这样一个题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？其意思为：1斗优质酒价值50钱，1斗劣质酒价值10钱．用30钱恰好买得优质酒和劣质酒共2斗，问优质酒和劣质酒各能买得多少斗？设买优质酒x斗，劣质酒y斗，则可建立方程组为（ ）
A．B．
C．D．
14．若代数式在实数范围内有意义，则一次函数y＝（k﹣3）x﹣k+3的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
15．已知等腰三角形的底边长为10，底边上的中线长为12，则它的腰长为（ ）
A．6B．8C．10D．13
16．下列叙述正确的是（ ）
A．0.4的平方根是±0.2
B．﹣（﹣2）3的立方根不存在
C．±6是36的算术平方根
D．﹣27的立方根是﹣3
17．函数的自变量取值范围是（ ）
A．﹣2≤x≤2B．x≥﹣2且x≠1
C．x﹣2D．﹣2≤x≤2且x≠1
18．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等B．同旁内角互补
C．内错角相等D．对顶角相等
19．函数y＝+中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x≥2且x≠9C．x≠9D．2≤x＜9
二．填空题（共21小题）
20．化简：
＝ ；
＝ ．
21．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是 ．（结果保留根号）
22．若，则＝ ．
23．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+8分别与x轴、y轴交于点M、N，点A、B分别在y、x轴上，且∠B＝30°，AB＝8，将△ABO绕原点O顺时针转动一周，当AB与直线MN平行时点A的坐标为 ．
24．函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
25．如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B′，B′C与AD交于点E．若AB＝2，BC＝4，则AE的长是 ．
26．定义一种新的运算“※”，规定：x※y＝mx+ny2，其中m、n为常数，已知2※3＝﹣1，3※2＝8，则m※n＝ ．
27．已知，则值为 ．
28．比较大小：4 （填“＞”或“＜”）．
29．直线y＝2x+1的图象沿y轴向下平移3个单位后得到的直线解析式为 ．
30．已知平面直角坐标系中，点P（3m，8）到坐标原点距离为10，则m的值为 ．
31．如图，长方形ABCD纸片的边CD上有一点E，将长方形ABCD纸片沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，若AB＝5，AD＝13，则CF＝ ．
32．已知y＝﹣+2，则xy＝ ．
33．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+y＝12的解，则k的值为 ．
34．当m，n是正实数，且满足m+n＝mn时，就称点为“美好点”．已知点A（9，0）与点B的坐标满足y＝﹣x+b，且点B是“美好点”，则△OAB的面积为 ．
35．如果正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣8，2），那么k的值为 ．
36．已知点（﹣1，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣2x+6上，则y1与y2大小关系是 ．
37．比较大小： ．（填“＞”，“＜”或“＝”）
38．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差是 ．
39．已知直线y＝2x﹣4与两坐标分别交于点A，B，若点P是直线AB上的一个动点，则点P到原点O的最短距离是 ．
40．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，EF⊥AM．若∠ACB＝26°，∠CBE＝25°，则∠AED＝ ．
三．解答题（共20小题）
41．计算：
（1）；
（2）|﹣2|+（2023+π）0+﹣（﹣）﹣2．
42．计算题
（1）解方程组：
（2）解不等式组（并把解集在数轴上表示出来）
43．习近平总书记指出，“红色是中国共产党、中华人民共和国最鲜亮的底色”，要用好红色资源，赓续红色血脉，为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织了一次以“赓续红色血脉，强国复兴有我”为主题的演讲比赛，比赛成绩分为以下5个等级：A．100分、B.90分、C.80分、D.70分、E.60分，比赛结束后随机抽取部分参赛选手的成绩，整理并绘制成如图统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）所抽取学生比赛成绩的众数是 分，中位数是人 分；
（2）求所抽取学生比赛成绩的平均数；
（3）若参加此次比赛的学生共100名，且学校计划为比赛成绩进入A、B两个等级的学生购买奖品，请估计学校共需要准备多少份奖品？
44．2022年，新冠病毒感染严重，大家纷纷都在抢购家庭消毒仪．某商场计划同时购进一批甲、乙两种型号的高效消毒仪器，若购进1台甲型消毒仪和2台乙型消毒仪，共需要资金2600元；若购进2台甲型消毒仪和3台乙型消毒仪，共需要资金4400元．
（1）求甲、乙型号的消毒仪每台进价为多少元？
（2）该商场计划购进甲、乙两种型号的消毒仪销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的消毒仪共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
（3）甲型消毒仪的售价为1400元，售出一台乙型消毒仪的利润率为45%．为了促销，商场决定甲型消毒仪九折出售，而每售出一台乙型消毒仪，返还顾客现金m元，要使（2）中所有方案获利相同，则m的值应为多少？
45．计算：
（1）；
（2）．
46．解方程组：．
47．我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示：
（1）根据图示填写下表：
（2）结合两队成绩的平均数中中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手的成绩较为稳定．
48．已知：如图所示，AB∥CD，∠A＝∠F，∠D＝∠E．求证：AF⊥DE．
49．甜蜜公司要把240吨白砂糖运往江浙的A，B两地，先用大小两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批白砂糖．已知这两种货车的载重量分别为15吨每辆和10吨每辆，运往A地的费用为：大车630元每辆，小车420元每辆，运往B地的费用为：大车750元每辆，小车550元每辆．
（1）求这两种货车各多少辆？
（2）如果安排10辆货车前往A地，其余货车前往B地，且运往A地的白砂糖不少于115吨．请你设计出使总运费最少的方案并求出最少的总运费？
50．（1）计算：﹣﹣|1﹣|+（1+π）0．
（2）解方程组：．
（3）已知，，求a2﹣ab+b2的值．
51．为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，树西组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．
（1）本次抽查的学生人数是 ，并补全条形统计图；
（2）本次捐款金额的众数为 元，中位数为 元；
（3）若树西八年级学生为300名，捐款总金额约有多少元？
52．甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回
答下列问题：
（1） 先到达终点（填“甲”或“乙”）：甲的速度是 米/分钟；
（2）求出乙比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式；
（3）甲与乙何时相遇？
53．在一条笔直的城市绿道上有A，B两地．甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后立刻以原速度原路返回A地，乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动）．甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地相距 米，甲的速度为 米/分，乙的速度为 米/分；
（2）求线段MN的函数解析式；
（3）在运动过程中，当两人相距80米时，请直接写出x的值．
54．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题；
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式．
（2）求出B点坐标．
（3）洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场消费，请问选择哪种消费卡划算？
55．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
56．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；请根据图象解答下列问题：
（1）货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为 ；
（2）求线段CD的解析式；
（3）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
（4）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．
57．春节即将来临，抗击新冠疫情防控工作至关重要，某公司加紧生产酒精消毒液与额温枪两种抗疫物质，其两种物资的生产成本和销售单价如表所示：
（1）若该公司2020年12月生产两种物资共100万件，生产总成本为7280万元，请用列二元一次方程组的方法，
求该月酒精消毒液和额温枪两种物资各生产了多少万件？
（2）该公司2021年1月生产两种物资共150万件，根据市场需求，该月将举办迎新年促销活动，其中酒精消毒液的销售单价降低2元，额温枪打9折销售．若设该月生产酒精消毒液x万件，该月销售完这两种物资的总利润为y万元，求y与x之间的函数关系式．
58．（1）计算；
（2）解方程组：．
59．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F，连接CF．
（1）判断△BCF的形状，并说明理由；
（2）若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
60．临近春节，各大商场内虎年吉祥物、红灯笼、春联等商品需求量大增，各大工厂为应对“年货”模式，提高商品生产量以满足广大群众的需求．某工厂计划租用A、B两种型号的货车运送一批年货商品到外地进行销售，已知3辆A型货车和4辆B型货车一次可以运送850箱商品，6辆A型货车和5辆B型货车一次可以运送1400箱商品．
（1）求一辆A型货车和一辆B型货车一次分别可以运送多少箱商品；
（2）工厂计划租用A、B两种型号的货车共15辆，A型货车的租车费用为每辆500元，B型货车的租车费用为每辆300元，若运送的商品不少于1850箱，且租车费用小于6500元，请问工厂应该选择哪种租车方案所需费用最少，最少费用是多少元？
参考答案与试题解析
一．选择题（共19小题）
1．下列各组数不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．2，4，D．6，8，10
【答案】C
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意；
B、52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意；
C、2，4，，不都是正整数，故不是勾股数，符合题意；
D、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
故选：C．
2．点（2，﹣3）关于y轴的对称点是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
【答案】C
【分析】让两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变可得所求点的坐标．
【解答】解：∵所求点与点A（2，﹣3）关于y轴对称，
∴所求点的横坐标为﹣2，纵坐标为﹣3，
∴点A（2，﹣3）关于y轴的对称点是（﹣2，﹣3）．
故选：C．
3．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．三角形三个内角和等于180°
【答案】A
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质及判定及三角形的内角和等知识分别判断后即可确定答案．
【解答】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
B、两直线平行，同位角相等，正确，是真命题；
C、同位角相等，两直线平行，正确，是真命题；
D、三角形三个内角和等于180°，正确，是真命题；
故选：A．
4．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是（ ）
A．10B．8C．6D．5
【答案】D
【分析】作PE⊥BC于E，根据平行线的性质得到AD⊥CD，根据角平分线的性质计算，得到答案．
【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC，
∴PA＝PE＝PD，
∵AD＝10，
∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，
故选：D．
5．已知直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点的坐标为（1，2），则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据方程组的解是一次函数的交点坐标解答即可．
【解答】解：∵直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点坐标为（1，2），
∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
∴方程组的解为，
故选：A．
6．小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是36.5℃B．众数是36.2℃
C．平均数是36.3℃D．极差是0.3℃
【答案】B
【分析】根据中位数、众数、平均数、极差的计算方法，分别求出结果即可．
【解答】解：把小红连续5天的体温从小到大排列得，36.2，36.2，36.3，36.5，36.6，
处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3℃；
出现次数最多的是36.2℃，因此众数是36.2℃；
平均数为：＝（36.2+36.2+36.3+36.5+36.6）÷5＝36.36（℃），
极差为：36.6﹣36.2＝0.4（℃），
∴说法正确的是B．
故选：B．
7．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝﹣kx﹣k（k≠0）的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分k＞0、k＜0两种情况找出函数y＝kx及函数y＝﹣kx﹣k的图象经过的象限，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：当k＞0时，正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过第二、三、四象限；
当k＜0时，正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过第一、二、三象限．
故选：C．
8．下列各数中是无理数的是（ ）
A．3.5B．C．D．
【答案】C
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
【解答】解：A、3.5是小数，即分数，属于有理数；
B、是分数，属于有理数；
C、﹣是无理数；
D、＝2，是整数，属于有理数；
故选：C．
9．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法对B、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝2，所以A选项错误；
B、原式＝2﹣＝，所以B选项正确；
C、1与不能合并，所以C选项错误；
D、原式＝6＝6，所以D选项错误．
故选：B．
10．对于一次函数y＝3x+2，①图象必经过点（﹣1，﹣1）；②图象经过第一、二、四象限；③当x＞1时，y＜0；④y的值随着x值的增大而增大，以上结论正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】①当x＝﹣1时，y＝﹣3+2＝﹣1，即可求解；
②k＝3＞0，b＝2＞0，即可求解；
③y＝0时，x＝﹣，故x＜﹣时，即可求解；
④k＝3＞0，故y的值随着x值的增大而增大，即可求解．
【解答】解：①当x＝﹣1时，y＝﹣3+2＝﹣1，故正确；
②k＝3＞0，b＝2＞0，故图象经过第一、二、三象限，故错误；
③y＝0时，x＝﹣，故x＜﹣时，y＜0，故错误；
④k＝3＞0，故y的值随着x值的增大而增大，正确；
故选：C．
11．下列计算，正确的是（ ）
A．（﹣2）﹣2＝4B．
C．46÷（﹣2）6＝64D．
【答案】C
【分析】依次根据负整指数幂的运算，整式的除法，二次根式的化简和合并进行判断即可．
【解答】解：A、（﹣2）﹣2＝，所以选项A错误，
B、＝2，所以选项B错误，
C、46÷（﹣2）6＝（22）6÷26＝212÷26＝26＝64，所以选项C正确；
D、﹣＝2﹣＝，所以选项D错误，
故选：C．
12．如图，根据尺规作图痕迹，判断数轴上点C所表示的数是（ ）
A．2B．3.7C．3.8D．
【答案】D
【分析】由图可得AB的长度和点A到原点的长度，即可得出点B到原点的距离，即可得到答案．
【解答】解：∵点A表示的数为3，
∴点A到原点的距离为3，
由图可得AB＝3﹣1＝2，
∴点B到原点的距离＝＝，
∵点C到原点的距离和点B到原点的距离相等，
∴点C到原点的距离为，
∴点C表示的数为，
故选：D．
13．《九章算术》中有这样一个题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？其意思为：1斗优质酒价值50钱，1斗劣质酒价值10钱．用30钱恰好买得优质酒和劣质酒共2斗，问优质酒和劣质酒各能买得多少斗？设买优质酒x斗，劣质酒y斗，则可建立方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
【解答】解：依题意得：，
故选：A．
14．若代数式在实数范围内有意义，则一次函数y＝（k﹣3）x﹣k+3的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件，求出一次函数中k﹣3和﹣k+3的值，再判断出一次函数所经过的象限．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴3﹣k≥0，
即：k≤3．
又∵y＝（k﹣3）x﹣k+3是一次函数，
∴k﹣3≠0，
即：k≠3．
∴k的取值范围：k＜3．
∴k﹣3＜0，
﹣k+3＞0，
∴一次函数y＝（k﹣3）x﹣k+3的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
15．已知等腰三角形的底边长为10，底边上的中线长为12，则它的腰长为（ ）
A．6B．8C．10D．13
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，如图所示：AB＝AC，AD为BC边的中线，AD＝12，BC＝10，利用三线合一得到AD垂直与BC，在直角三角形ABD中，由AD与BD的长，利用勾股定理求出AB的长，即为腰长．
【解答】解：如图所示：AB＝AC，AD为BC边的中线，AD＝12，BC＝10，
∴BD＝CD＝5，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，BD＝5，AD＝12，
根据勾股定理得：AB＝，
则等腰三角形的腰长为13．
故选：D．
16．下列叙述正确的是（ ）
A．0.4的平方根是±0.2
B．﹣（﹣2）3的立方根不存在
C．±6是36的算术平方根
D．﹣27的立方根是﹣3
【答案】D
【分析】根据平方根的定义，立方根的定义，算术平方根的定义，对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：A、应为0.04的平方根是±0.2，故本选项错误；
B、﹣（﹣2）3＝8，立方根是2，存在，故本选项错误；
C、应为6是36的算术平方根，故本选项错误；
D、﹣27的立方根是﹣3，正确．
故选：D．
17．函数的自变量取值范围是（ ）
A．﹣2≤x≤2B．x≥﹣2且x≠1
C．x﹣2D．﹣2≤x≤2且x≠1
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x﹣1≠0；根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可知：x+2≥0，据此解得x的范围．
【解答】解：要使函数有意义，
则，
解得x≥﹣2且x≠1．
故选：B．
18．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等B．同旁内角互补
C．内错角相等D．对顶角相等
【答案】D
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、错误，两直线平行，同位角相等；
B、错误，两直线平行，同旁内角互补；
C、错误，两直线平行，内错角相等；
D、对顶角相等，正确，是真命题，
故选：D．
19．函数y＝+中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x≥2且x≠9C．x≠9D．2≤x＜9
【答案】B
【分析】函数式中含有分式和二次根式，分式的分母≠0，二次根式的被开方数≥0．
【解答】解：，
解得x≥2且x≠9．
故选：B．
二．填空题（共21小题）
20．化简：
＝ ﹣4 ；
＝ ．
【答案】﹣4；．
【分析】利用立方根的定义及分母有理化的步骤即可求得答案．
【解答】解：＝﹣4；
＝＝；
故答案为：﹣4；．
21．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是 ．（结果保留根号）
【答案】见试题解答内容
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．
【解答】解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．
∵AB＝π•＝2，CB＝3．
∴AC＝．
故答案为：
22．若，则＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先对所求的根式进行化简，然后代入数值计算即可．
【解答】解：原式＝＝|x﹣1|，
当x＝2﹣时，原式＝1﹣x＝1﹣（2﹣）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
23．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+8分别与x轴、y轴交于点M、N，点A、B分别在y、x轴上，且∠B＝30°，AB＝8，将△ABO绕原点O顺时针转动一周，当AB与直线MN平行时点A的坐标为 （2，2）或（﹣2，﹣2） ．
【答案】（2，2）或（﹣2，﹣2）．
【分析】本题需先根据题意画出图形，再根据∠B＝30°，AB＝8求出OC和AC的长，即可得出点A的第一个坐标，再根据第二个图与第一个图的联系，得出点A的第二个坐标，即可求出正确答案．
【解答】解：①如图1，
∵AB＝8，∠ABO＝30°，
∴OA＝AB＝4，∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∴∠OAD＝120°，
∵直线MN的解析式为y＝﹣x+8，
∴∠NMO＝30°，
∵AB∥MN，
∴∠ADO＝∠NMD＝30°，
∴∠AOC＝30°，
∴AC＝OA＝2，
∴OC＝AC＝2，
∴点A的坐标为（2，2）；
②如图2，
∵图2中的点A与图1中的点A关于原点对称，
∴点A的坐标为：（﹣2，﹣2），
故答案为：（2，2）或（﹣2，﹣2）．
24．函数y＝的自变量x的取值范围是 x＞2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案为：x＞2．
25．如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B′，B′C与AD交于点E．若AB＝2，BC＝4，则AE的长是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，AD∥BC，根据平行线的性质和折叠的性质可得∠EAC＝∠ACE＝∠ACB，即AE＝EC，根据勾股定理可求AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵折叠，
∴∠ACE＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠ACE，
∴AE＝CE，
在Rt△DEC中，CE2＝DE2+CD2，
AE2＝（4﹣AE）2+4，
∴AE＝
故答案为：
26．定义一种新的运算“※”，规定：x※y＝mx+ny2，其中m、n为常数，已知2※3＝﹣1，3※2＝8，则m※n＝ 15 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由2※3＝﹣1、3※2＝8可得，解之得出m、n的值，再根据公式求解可得．
【解答】解：根据题意，得：，
解得：，
则x※y＝4x﹣y2，
∴4※（﹣1）＝4×4﹣（﹣1）2＝15，
故答案为：15
27．已知，则值为 8 ．
【答案】8．
【分析】由二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，进而得出x，y的值，再代入所求式子中求解即可．
【解答】解：由题意知，，解得x≤2且x≥2，
∴x＝2，
∴y＝3，
∴＝＝＝＝＝8．
故答案为：8．
28．比较大小：4 ＞ （填“＞”或“＜”）．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的性质求出＝4，比较和的值即可．
【解答】解：4＝，
＞，
∴4＞，
故答案为：＞．
29．直线y＝2x+1的图象沿y轴向下平移3个单位后得到的直线解析式为 y＝2x﹣2 ．
【答案】y＝2x﹣2．
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线y＝2x+1的图象沿y轴向下平移3个单位后得到的直线解析式为：y＝2x+1﹣3＝2x﹣2．
故答案为：y＝2x﹣2．
30．已知平面直角坐标系中，点P（3m，8）到坐标原点距离为10，则m的值为 ±2 ．
【答案】±2．
【分析】根据点P的坐标和勾股定理可以得到＝10，然后求解即可．
【解答】解：∵点P（3m，8）到坐标原点距离为10，
∴＝10，
解得m＝±2，
故答案为：±2．
31．如图，长方形ABCD纸片的边CD上有一点E，将长方形ABCD纸片沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，若AB＝5，AD＝13，则CF＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】由翻折可得AF＝AD＝13，DE＝EF，通过勾股定理求出BF长度即可得到结论．
【解答】解：由翻折可得AF＝AD＝13，DE＝EF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝13，∠B＝∠C＝90°，
在Rt△ABF中，由勾股定理得BF＝＝＝12，
∴CF＝BC﹣BF＝13﹣12＝1，
故答案为：1．
32．已知y＝﹣+2，则xy＝ 9 ．
【答案】9．
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x的值，再代入求出y的值，继而代入计算即可．
【解答】解：根据题意得，
解得x＝3，
当x＝3时，y＝2，
∴xy＝32＝9，
故答案为：9．
33．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+y＝12的解，则k的值为 4 ．
【答案】4．
【分析】求方程组的解，将它代入方程x+y＝12，求出k的值即可．
【解答】解：解方程组，得，
将代入方程x+y＝12，得3k＝12，解得k＝4．
故答案为：4．
34．当m，n是正实数，且满足m+n＝mn时，就称点为“美好点”．已知点A（9，0）与点B的坐标满足y＝﹣x+b，且点B是“美好点”，则△OAB的面积为 18 ．
【答案】18．
【分析】根据题意可得：把点A（9，0）代入y＝﹣x+b中得：0＝﹣9+b，从而可得b＝9，进而可得y＝﹣x+9，然后设点B的坐标为（a，﹣a+9），再根据“美好点”进行计算，从而可得点B的坐标为（5，4），最后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：把点A（9，0）代入y＝﹣x+b中得：0＝﹣9+b，
解得：b＝9，
∴y＝﹣x+9，
∵点B的坐标满足y＝﹣x+9，
∴设点B的坐标为（a，﹣a+9），
∵点B是“美好点”，
∴，
∵m，n是正实数，且满足m+n＝mn，
∴+1＝m，
∴＝m﹣1，
∴m﹣1＝﹣a+9，
∴a﹣1＝﹣a+9，
解得：a＝5，
∴点B的坐标为（5，4），
∴△OAB的面积＝OA•yB＝×9×4＝18，
故答案为：18．
35．如果正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣8，2），那么k的值为 ﹣ ．
【答案】﹣．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出2＝﹣8k，解之即可得出k的值．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣8，2），
∴2＝﹣8k，
解得：k＝﹣，
∴k的值为﹣．
故答案为：﹣．
36．已知点（﹣1，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣2x+6上，则y1与y2大小关系是 y1＞y2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+6中，k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣1＜2，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
37．比较大小： ＜ ．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求出两个数的差是多少；然后根据求出的差的正、负，判断出、的大小关系即可．
【解答】解：﹣
＝
＝
∵，
∴4，
∴，
∴﹣＜0，
∴＜．
故答案为：＜．
38．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差是 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先设数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为，由方差S2＝，则另一组新数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数为3﹣2，方差为S′2，代入公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，计算即可．
【解答】解：设数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为，则另一组新数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数为3﹣2，
∵S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x5﹣）2]＝，
∴方差为S′2＝[（3x1﹣2﹣3+2）2+（3x2﹣2﹣3+2）2+…+（3x5﹣2﹣3+2）2]
＝[9（x1﹣）2+9（x2﹣）2+…+9（x5﹣）2]
＝×9
＝3，
故答案为3．
39．已知直线y＝2x﹣4与两坐标分别交于点A，B，若点P是直线AB上的一个动点，则点P到原点O的最短距离是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】设直线y＝2x﹣4与x轴交点为A，与y轴交点为B，过点O作OC⊥AB于点C，当点P与点C重合时，OP最短，根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求出AB的长度，利用面积法即可求出OC的长度，此题得解．
【解答】解：设直线y＝2x﹣4与x轴交点为A，与y轴交点为B，过点O作OC⊥AB于点C，当点P与点C重合时，OP最短，如图所示．
当x＝0时，y＝﹣4，
∴B（0，﹣4）；
当y＝0时，2x﹣4＝0，
∴A（2，0）．
在Rt△AOB中，OA＝2，OB＝4，OC⊥AB，
∴AB＝＝2，OC＝＝．
故答案为：．
40．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，EF⊥AM．若∠ACB＝26°，∠CBE＝25°，则∠AED＝ 39° ．
【答案】39°．
【分析】连接CE，过E作ER⊥AC于R，交CD于Q，AE交BC于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CE＝BE，ER＝EF，根据全等求出∠RCE＝∠EBF，求出∠ACB＝∠QED＝26°，求出∠BED＝∠CED＝65°，求出∠REF的度数，再求出∠CAB，求出∠CAE，根据三角形的外角性质求出∠DOE，再求出答案即可．
【解答】解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，交CD于Q，AE交BC于O，
∵DE是线段BC的中垂线，
∴∠EDC＝90°，CE＝BE，
∴∠ECB＝∠CBE，
∵∠CBE＝25°，
∴∠ECB＝25°，
∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，
∵ER⊥AC，ED⊥BC，
∴∠QRC＝∠QDE＝90°，
∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，
∵∠CQR＝∠EQD，
∴∠ACB＝∠QED，
∵∠ACB＝26°，
∴∠QED＝26°，
∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，
∴ER＝EF，
在Rt△ERC和Rt△EFB中，
，
∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），
∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝26°+25°＝51°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣51°＝39°，
∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝26°+65°+39°＝130°，
∵∠ARE＝∠AFE＝90°，
∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∵AE平分∠CAM，
∴∠CAE＝CAM＝25°，
∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+26°＝51°，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣51°＝39°，
故答案为：39°．
三．解答题（共20小题）
41．计算：
（1）；
（2）|﹣2|+（2023+π）0+﹣（﹣）﹣2．
【答案】（1）3﹣2；
（2）2﹣．
【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）
＝2+﹣3+
＝3﹣2；
（2）|﹣2|+（2023+π）0+﹣（﹣）﹣2
＝2﹣+1+﹣4
＝2﹣+1+3﹣4
＝2﹣．
42．计算题
（1）解方程组：
（2）解不等式组（并把解集在数轴上表示出来）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用加减消元法求解可得；
（2）首先分别解出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集即可．
【解答】解：（1），
②×2得：8x+2y＝20 ③，
①+③，得：11x＝33，
解得x＝3，
将x＝3代入②，得：12+y＝10，解得y＝﹣2，
所以方程组的解为；
（2）解不等式4x﹣12≥5x﹣10，得：x≤﹣2，
解不等式2（2x﹣3）﹣3（x+1）≥﹣12，得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x≤﹣2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
43．习近平总书记指出，“红色是中国共产党、中华人民共和国最鲜亮的底色”，要用好红色资源，赓续红色血脉，为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织了一次以“赓续红色血脉，强国复兴有我”为主题的演讲比赛，比赛成绩分为以下5个等级：A．100分、B.90分、C.80分、D.70分、E.60分，比赛结束后随机抽取部分参赛选手的成绩，整理并绘制成如图统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）所抽取学生比赛成绩的众数是 80 分，中位数是人 80 分；
（2）求所抽取学生比赛成绩的平均数；
（3）若参加此次比赛的学生共100名，且学校计划为比赛成绩进入A、B两个等级的学生购买奖品，请估计学校共需要准备多少份奖品？
【答案】（1）80，80；
（2）78分；
（3）25份．
【分析】（1）根据中位数、众数的定义进行计算即可；
（2）根据算术平均数的计算方法进行计算即可；
（3）求出样本中A、B等级的人数占调查人数的几分之几，再进行计算即可．
【解答】解：（1）这次调查成绩出现次数最多的是80分，共出现8次，因此众数是80分，
这次调查的总人数为1+4+8+4+3＝20（人），
将这20人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是80分，因此中位数是80分，
故答案为：80，80；
（2）这20人的平均成绩为＝78（分），
答：所抽取学生比赛成绩的平均数为78分；
（3）100×＝25（份），
答：估计学校大约需要准备25份奖品．
44．2022年，新冠病毒感染严重，大家纷纷都在抢购家庭消毒仪．某商场计划同时购进一批甲、乙两种型号的高效消毒仪器，若购进1台甲型消毒仪和2台乙型消毒仪，共需要资金2600元；若购进2台甲型消毒仪和3台乙型消毒仪，共需要资金4400元．
（1）求甲、乙型号的消毒仪每台进价为多少元？
（2）该商场计划购进甲、乙两种型号的消毒仪销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的消毒仪共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
（3）甲型消毒仪的售价为1400元，售出一台乙型消毒仪的利润率为45%．为了促销，商场决定甲型消毒仪九折出售，而每售出一台乙型消毒仪，返还顾客现金m元，要使（2）中所有方案获利相同，则m的值应为多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设甲型消毒仪每台进价为x元，乙型消毒仪每台进价为y元，根据“购进1台甲型消毒仪和2台乙型消毒仪，共需要资金2600元；购进2台甲型消毒仪和3台乙型消毒仪，共需要资金4400元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进a台甲型消毒仪，则购进（20﹣a）台乙型消毒仪，利用进货总价＝进货单价×数量，结合进货总价不多于1.8万元且不少于1.74万元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出各进货方案；
（3）设购进的两种型号的消毒仪全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每台的销售利润×销售数量（购进数量），可找出w关于a的函数关系式，结合（2）中所有方案获利相同，可得出m﹣100＝0，解之即可得出m的值．
【解答】解：（1）设甲型消毒仪每台进价为x元，乙型消毒仪每台进价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲型消毒仪每台进价为1000元，乙型消毒仪每台进价为800元；
（2）设购进a台甲型消毒仪，则购进（20﹣a）台乙型消毒仪，
根据题意得：，
解得：7≤a≤10，
又∵a为正整数，
∴a可以为7，8，9，10，
∴该商场共有4种进货方案，
方案1：购进7台甲型消毒仪，13台乙型消毒仪；
方案2：购进8台甲型消毒仪，12台乙型消毒仪；
方案3：购进9台甲型消毒仪，11台乙型消毒仪；
方案4：购进10台甲型消毒仪，10台乙型消毒仪；
（3）设购进的两种型号的消毒仪全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（1400×0.9﹣1000）a+（800×45%﹣m）（20﹣a），
即w＝（m﹣100）a+7200﹣20m，
∵（2）中所有方案获利相同，即w的值与a无关，
∴m﹣100＝0，
∴m＝100．
答：m的值为100．
45．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）﹣2+4．
【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可．
【解答】解：（1）
＝﹣1+2﹣+2+
＝；
（2）
＝12﹣1﹣（1﹣4+12）
＝12﹣1﹣1+4﹣12
＝﹣2+4．
46．解方程组：．
【答案】．
【分析】利用加减消元法进行求解即可．
【解答】解：由①得：4x﹣3y＝12③，
②整理得：3x﹣4y＝2④，
③×3得：12x﹣9y＝36⑤，
④×4得：12x﹣16y＝8⑥，
⑤﹣⑥得：7y＝28，
解得：y＝4，
把y＝4代入②得：3（x﹣1）＝16﹣1，
解得：x＝6，
故原方程组的解是：．
47．我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示：
（1）根据图示填写下表：
（2）结合两队成绩的平均数中中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手的成绩较为稳定．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）按着中位数、众数的定义，分别找出两组数据的中位数和众数；
（2）根据中位数的特点做出分析即可；
（3）利用方差的计算公式，分别计算出两个队的方差，比较方差得到结论．
【解答】解：（1）初中部的五名选手的成绩分别是：75、80、85、85、100，该组数据的中位数和众数分别是85、85；
高中部的五名选手的成绩分别是：70、75、80、100、100，该组数据的中位数和众数分别是80、100；
故答案为：85，85，80，100
（2）初中部成绩好些．因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，
所以在平均数相同的情况下，中位数高的初中部成绩好些．
（3）∵S＝[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
S＝[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160，
∴S＜S
∴初中代表队选手的成绩较为稳定．
48．已知：如图所示，AB∥CD，∠A＝∠F，∠D＝∠E．求证：AF⊥DE．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠A＝∠CHF，加上∠A＝∠F，则∠CHF＝∠F，于是利用三角形外角性质可得∠DCE＝2∠F，接着根据三角形内角和定理可得∠E+∠F＝90°，则∠EOF＝90°，于是根据垂直的定义可判断AF⊥DE．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CHF，
而∠A＝∠F，
∴∠CHF＝∠F，
∴∠DCE＝∠F+∠CHF＝2∠F，
∵∠E+∠D+∠ECD＝180°，∠D＝∠E，
∴2∠E+2∠F＝180°，
∴∠E+∠F＝90°，
∴∠EOF＝90°，
∴AF⊥DE．
49．甜蜜公司要把240吨白砂糖运往江浙的A，B两地，先用大小两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批白砂糖．已知这两种货车的载重量分别为15吨每辆和10吨每辆，运往A地的费用为：大车630元每辆，小车420元每辆，运往B地的费用为：大车750元每辆，小车550元每辆．
（1）求这两种货车各多少辆？
（2）如果安排10辆货车前往A地，其余货车前往B地，且运往A地的白砂糖不少于115吨．请你设计出使总运费最少的方案并求出最少的总运费？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设大车x辆，则小车（20﹣x）辆，根据“大车装的货物数量+小车装的货物数量＝240吨”作为相等关系列方程即可求解；
（2）设总运费为W元，调往A地的大车a辆，小车（10﹣a）辆；调往B地的大车（8﹣a）辆，小车（a+2）辆，根据运费的求算方法列出关于运费的函数关系式W＝10a+11300，再结合一次函数的单调性得出W的最小值即可求解．
【解答】解：（1）设大车用x辆，小车用（20﹣x）辆，由题意得：
15x+10（20﹣x）＝240，
解得x＝8．
20﹣8＝12，
答；大车8辆小车12辆．
（2）设总费用为W 元，调往A地的大车a辆，小车（10﹣a）辆：调往B地的大车（8﹣a） 辆，小车（a+2）辆，
则W＝630a+420（10﹣a）+750（8﹣a）+550（a+2）；
即W＝10a+11300（0≤a≤8，a为整数），
∵15a+10（10﹣a）≥115，
∴a≥3，
∵W随a的增大而增大，
∴当a＝3时，W 最小＝11330，
因此应派3辆大车和7辆小车前往 A 地，安排5辆大车和5辆小车前往B地．最少的总运费是11330元．
50．（1）计算：﹣﹣|1﹣|+（1+π）0．
（2）解方程组：．
（3）已知，，求a2﹣ab+b2的值．
【答案】（1）﹣；
（2）；
（3）5．
【分析】（1）根据运算顺序计算即可；
（2）利用加减消元法求解即可；
（3）利用分母有理化可得a＝+1，b＝﹣1，进而计算即可．
【解答】解：（1）
＝2﹣4﹣+1+1
＝﹣；
（2），
①×2﹣②得：3y＝15，
∴y＝5，
将y＝5代入2x﹣y＝﹣3得：2x＝2，
∴x＝1，
∴方程组的解为：；
（3）∵a＝，b＝，
∴a＝，b＝，
∴a2﹣ab+b2
＝（a﹣b）2+ab
＝（）2+（）（）
＝4+2﹣1
＝5．
51．为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，树西组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．
（1）本次抽查的学生人数是 50 ，并补全条形统计图；
（2）本次捐款金额的众数为 15 元，中位数为 15 元；
（3）若树西八年级学生为300名，捐款总金额约有多少元？
【答案】（1）50；（2）15，15；（3）4020元．
【分析】（1）从两个统计图中可知，样本中“捐款为5元”的学生有8人，占调查人数的16%，根据频率＝可求出答案；
（2）根据众数、中位数的定义进行计算即可；
（3）求出样本平均数，估计总体平均数，再进行计算即可．
【解答】解：（1）8÷16%＝50（人），
“捐款为15元”的学生有50﹣8﹣14﹣6﹣4＝18（人），补全条形统计图如下：
（2）学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，
将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，
故答案为：15，15；
（3）样本平均数为＝13.4（元/人），
所以全校八年级学生为300名，捐款总金额为13.4×300＝4020（元），
答：全校八年级学生为400名，捐款总金额为4002元．
52．甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回
答下列问题：
（1） 乙 先到达终点（填“甲”或“乙”）：甲的速度是 250 米/分钟；
（2）求出乙比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式；
（3）甲与乙何时相遇？
【答案】（1）乙；250；
（2）y＝；
（3）甲与乙在12分钟时相遇．
【分析】（1）依据函数图象可得到两人跑完全程所用的时间，从而可知道谁先到达终点，依据速度＝路程÷时间可求得甲的速度；
（2）分为0≤x≤10与10＜x≤16两段函数，利用待定系数法解答即可；
（3）先求得甲的路程与时间的函数关系式，然后求得10＜x＜16 时，乙的路程与时间的函数关系式，最后，再求得两个函数图象交点坐标即可．
【解答】解：（1）由函数图象可知甲跑完全程需要20分钟，乙跑完全程需要16分钟，所以乙先到达终点；
甲的速度＝＝250 米/分钟．
故答案为：乙；250；
（2）0≤x≤10时，设y＝kx，把（10，2000）代入得：
2000＝10k，
解得：k＝200，
∴y＝200x（0≤x≤10）；
当10＜x≤16时，设y＝mx+n，把（2000，10），（5000，16）代入得：
，
解得，
∴y＝500x﹣3000（10＜x≤16），
综上，乙比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式为y＝；
（3）设甲跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式为y＝kx，
根据图象，可得y＝x＝250x，
由（2）知：甲乙相遇后（即10＜x＜16 ），乙跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式为：y＝500x﹣3000，
联立两直线的解析式，
解得，
答：甲与乙在12分钟时相遇．
53．在一条笔直的城市绿道上有A，B两地．甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后立刻以原速度原路返回A地，乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动）．甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地相距 1200 米，甲的速度为 80 米/分，乙的速度为 60 米/分；
（2）求线段MN的函数解析式；
（3）在运动过程中，当两人相距80米时，请直接写出x的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由（0，1200）知，A，B两地相距1200米，甲的速度为1200×2÷30＝80（米/分），乙的速度为1200÷20＝60（米/分）；
（2）求出M（15，900），N（20，800），再用待定系数法可得线段MN解析式为y＝﹣20x+1200（15≤x≤20）；
（3）分三种情况：当两人相遇前，80x+60x＝1200﹣80，当两人相遇后，80x+60x＝1200+80，当乙到A地，甲返回距A地80米时，80x＝1200×2﹣80，分别解方程可得答案．
【解答】解：（1）由（0，1200）知，A，B两地相距1200米，
由图象可得，甲用30分钟回到A地，
∴甲的速度为1200×2÷30＝80（米/分），
乙用20分钟到达A地，
∴乙的速度为1200÷20＝60（米/分），
故答案为：1200，80，60；
（2）M表示甲到达B地，
∴a＝30÷2＝15（分），
此时乙所走路程是15×60＝900（米），
∴b＝900米；
∴M（15，900），
N表示乙到达A地，
此时甲返回所走路程为80×（20﹣15）＝400（米），
∴两人相距1200﹣400＝800（米），即c＝800米，
∴N（20，800），
设线段MN解析式为y＝kx+n，
∴，
解得，
∴线段MN解析式为y＝﹣20x+1200（15≤x≤20）；
（3）当两人相遇前，80x+60x＝1200﹣80，
解得x＝8；
当两人相遇后，80x+60x＝1200+80，
解得x＝；
当乙到A地，甲返回距A地80米时，80x＝1200×2﹣80，
解得x＝29；
综上所述，当两人相距80米时，x的值为8或或29．
54．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题；
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式．
（2）求出B点坐标．
（3）洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场消费，请问选择哪种消费卡划算？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；
（3）把y＝240分别代入（1）的结论即可解答．
【解答】解：（1）设y甲＝k1x，
根据题意得5k1＝100，解得k1＝20，
∴y甲＝20x；
设y乙＝k2x+100，
根据题意得：20k2+100＝300，解得k2＝10，
∴y乙＝10x+100；
（2）解方程组，得，
∴B点坐标为（10，200）；
（3）甲：20x＝240，解得x＝12，即甲种消费卡可玩12次；
乙：10x+100＝240，解得x＝14，即乙种消费卡可玩14次；
14＞12，
∴洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场消费，选择乙种消费卡划算．
55．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
【答案】（1）y甲＝20x；
y乙＝10x+80；
（2）出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；
（3）选择乙种更合算．
【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；
（3）分别令（1）中的y＝240，求出对应的x的值，再比较即可．
【解答】解：（1）设y甲＝k1x，
根据题意得4k1＝80，解得k1＝20，
∴y甲＝20x；
设y乙＝k2x+80，
根据题意得：12k2+80＝200，
解得k2＝10，
∴y乙＝10x+80；
（2）解方程组
解得：，
∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；
（3）当y＝240时，y甲＝20x＝240，
∴x＝12；
当y＝240时，y乙＝10x+80＝240，
解得x＝16；
∵12＜16，
∴选择乙种更合算．
56．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；请根据图象解答下列问题：
（1）货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为 y＝60x ；
（2）求线段CD的解析式；
（3）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
（4）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．
【答案】（1）y＝60x；
（2）y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）3.9；
（4）3.5或4.3．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）设CD段函数解析式为y＝kx+b（k≠0），函数图象过C、D两点，用待定系数法求解析式即可；
（3）利用CD对应的函数关系式，根据两直线的交点即可解答；
（4）分三种情形列出方程即可解决问题．
【解答】（1）设货车离甲地距离y（干米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝k1x，
根据题意得5k1＝300，
解得k1＝60，
∴y＝60x，
即货车离甲地距离y（干米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝60x；
故答案为：y＝60x；
（2）设CD段函数解析式为y＝kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．
∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，，
解得，
∴CD段函数解析式：y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）解方程组，
得，
∴当x＝3.9时，轿车与货车相遇；
（4）80÷60＝1，即点B的坐标（1，0），
∴轿车开始的速度为：80÷（2.5﹣1）＝（千米/时），
当x＝2.5时，y货＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20，
由题意60x﹣（x﹣1）＝20或60x﹣（110x﹣195）＝20或110x﹣195﹣60x＝20，
解得x＝3.5或4.3小时．
答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时．
57．春节即将来临，抗击新冠疫情防控工作至关重要，某公司加紧生产酒精消毒液与额温枪两种抗疫物质，其两种物资的生产成本和销售单价如表所示：
（1）若该公司2020年12月生产两种物资共100万件，生产总成本为7280万元，请用列二元一次方程组的方法，
求该月酒精消毒液和额温枪两种物资各生产了多少万件？
（2）该公司2021年1月生产两种物资共150万件，根据市场需求，该月将举办迎新年促销活动，其中酒精消毒液的销售单价降低2元，额温枪打9折销售．若设该月生产酒精消毒液x万件，该月销售完这两种物资的总利润为y万元，求y与x之间的函数关系式．
【答案】（1）该月酒精消毒液生产了40万件，额温枪生产了60万件；
（2）y＝﹣2x+900．
【分析】（1）设该月酒精消毒液生产了a万件，额温枪生产了b万件，根据“该公司2020年12月生产两种物资共100万件，生产总成本为7280万元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该月生产酒精消毒液x万件，该月销售完这两种物资的总利润为y万元，则该月生产额温枪（150﹣x）万件，根据总利润＝每件的销售利润×销售数量（生产数量），即可得出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：（1）设该月酒精消毒液生产了a万件，额温枪生产了b万件，
依题意得：，
解得：．
答：该月酒精消毒液生产了40万件，额温枪生产了60万件．
（2）设该月生产酒精消毒液x万件，该月销售完这两种物资的总利润为y万元，则该月生产额温枪（150﹣x）万件，
依题意得：y＝（62﹣56﹣2）x+（100×0.9﹣84）（150﹣x）＝﹣2x+900．
答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+900．
58．（1）计算；
（2）解方程组：．
【答案】（1）4；
（2）．
【分析】（1）先将分母有理化，再根据乘法分配律去括号，并将二次根式化为最简，最后合并即可．
（2）利用加减消元求解即可．
【解答】解：（1）
＝+3﹣+
＝
＝4；
（2），
①+2②，得7x﹣14＝0，
解得x＝2，
将x＝2代入②，得y＝3，
∴此方程组的解为．
59．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F，连接CF．
（1）判断△BCF的形状，并说明理由；
（2）若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
【答案】（1）△BCF为等腰直角三角形；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝CD，AD垂直平分BC，由线段垂直平分线的性质可得BF＝CF，即可求解；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．
【解答】（1）解：△BCF为等腰直角三角形．
理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴∠BCF＝∠CBF＝45°，
∴∠CFB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△BCF为等腰直角三角形；
（2）证明：在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CH，
在△CHB和△AEF中，
，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
60．临近春节，各大商场内虎年吉祥物、红灯笼、春联等商品需求量大增，各大工厂为应对“年货”模式，提高商品生产量以满足广大群众的需求．某工厂计划租用A、B两种型号的货车运送一批年货商品到外地进行销售，已知3辆A型货车和4辆B型货车一次可以运送850箱商品，6辆A型货车和5辆B型货车一次可以运送1400箱商品．
（1）求一辆A型货车和一辆B型货车一次分别可以运送多少箱商品；
（2）工厂计划租用A、B两种型号的货车共15辆，A型货车的租车费用为每辆500元，B型货车的租车费用为每辆300元，若运送的商品不少于1850箱，且租车费用小于6500元，请问工厂应该选择哪种租车方案所需费用最少，最少费用是多少元？
【答案】（1）一辆A型货车一次可以运送150箱，一辆B型货车一次可以运送100箱商品．
（2）租用A种型号货车7辆，则租用B型货车8辆，租车费用最少，为5900元．
【分析】（1）设一辆A型货车一次可以运送a箱，一辆B型货车一次可以运送b箱商品，根据题意可列出二元一次方程组，解之即可；
（2）设租用A种型号货车x辆，则租用B型货车（15﹣x）辆，租车费为w元，根据题意列出不等式组，解之即可．
【解答】解：（1）设一辆A型货车一次可以运送a箱，一辆B型货车一次可以运送b箱商品，
根据题意可得，，解得，
∴一辆A型货车一次可以运送150箱，一辆B型货车一次可以运送100箱商品．
（2）设租用A种型号货车x辆，则租用B型货车（15﹣x）辆，租车费为w元
∴w＝500x+300（15﹣x）＝200x+4500，
根据题意可得，，
解得7≤x＜10且x为整数，
∵200＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝7时，w最小，
此时15﹣x＝8，w＝200×7+4500＝5900（元），
∴租用A种型号货车7辆，则租用B型货车8辆，租车费用最少，为5900元．
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平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
85


高中部
85


种类
生产成本（元/件）
销售单价（元/件）
酒精消毒液
56
62
额温枪
84
100
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
85
85
85
高中部
85
80
100
种类
生产成本（元/件）
销售单价（元/件）
酒精消毒液
56
62
额温枪
84
100