2022-2023学年广西河池市凤山县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广西河池市凤山县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广西河池市凤山县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算： 3−2 3=(    )
A. 3 B. − 3 C. 1 D. 0
2. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，已知BC=2，则DE的长为(    )
A. 4
B. 6
C. 1
D. 3
3. 下列各点中，在正比例函数y=23x的图象上的是(    )
A. (3,2) B. (2,3) C. (−3,2) D. (2,−3)
4. 一组数据5，6，8，6，3的中位数和众数是(    )
A. 8，6 B. 7，6 C. 6，6 D. 7，8
5. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(    )
A. 对边平行 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线相等
6. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，则AC2+AB2+BC2的值为(    )
A. 8
B. 2
C. 4
D. 2 2
7. 已知一次函数y=−2x+1，当−1≤x≤2时，y的最小值为(    )
A. −3 B. −5 C. 4 D. 0
8. 某同学使用计算器求10个数的平均数时，错误将其中一个数据12输入为22，那么由此求出的平均数比实际平均数多(    )
A. 1 B. 10 C. 2 D. −1
9. 已知2，3，m是某三角形三边的长，则 (m−1)2+ (m−5)2的值为(    )
A. 2m−6 B. 6 C. 4 D. 4−2m
10. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是(    )
A. 5 3尺 B. 6.25尺 C. 4.75尺 D. 3.75尺
11. 如图，已知直线y=kx+b的图象经过点P(1,−1)，则关于x的不等式kx+b≥−x的解集是(    )
A. x≥−1
B. x≥1
C. x≤1
D. x≤−1
12. 如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，点E是DA中点，F是对角线AC上的一点，且∠DEF=45°，则CD：CF的值是(    )

A. 2− 3 B. 3+1 C. 3−1 D. 2+ 3
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13. 化简： 254= ______ ．
14. 有一组数据：1，2，3，4，5，则这组数据的方差是______．
15. 已知四边形ABCD是平行四边形，AB，BC，CD的长度分别为x+1，2x，2x−1，则x的值为______ ．
16. 在△ABC中，AC=3，AB=4，当BC= ______ 时，△ABC是直角三角形．
17. 如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2)，则关于x的方程2x=kx+b的解是______ ．

18. 如图，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM.若AB=2，则线段EA′的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：( 43+ 3)× 6．
20. (本小题6.0分)
已知一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的图象经过点A(2,−3)和点B(−1,6)，求k，b的值．
21. (本小题8.0分)
如图所示，点E是矩形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，DE=DF．
(1)求证：矩形ABCD是正方形；
(2)判断线段BF与线段CD，AE之间的数量关系．

22. (本小题10.0分)
当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且32+42=52，所以3，4，5是勾股数.观察下列各勾股数有哪些规律；
3，4，5；

9，40，41；
5，12，13；
……；
7，24，25；
a，b，c．
(1)当a=11时，求b，c的值
(2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
23. (本小题10.0分)
4月23日是“世界读书日”，某中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放50份调查问卷，并全部收回.根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如表：
月阅读册数(本)
1
2
3
4
5
被调查的学生数(人)
8
15
14
10
3
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)被调查的学生月平均阅读册数为______ 本；
(2)被调查的学生月阅读册数的中位数是______ ；
(3)在平均数、中位数这两个统计量中，______ 更能反映被调查学生月阅读的一般水平；
(4)若该中学共有学生1000人，用样本平均数估计四月份该校学生共阅读课外书籍多少本？
24. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD是边BC上的中线，AE//BC，DE//AB．
(1)求证：四边形ABDE是菱形；
(2)若AE=2，求△ADC的面积．

25. (本小题10.0分)
为深入贯彻习近平总书记关于劳动教育的重要论述，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代中小学劳动教育的意见》，某校计划租用甲、乙两种客车送234名学生和6名教师去学校劳动教育基地开展劳动实践活动.已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需680元，租用2辆甲型汽车和3辆乙型客车共需1640元.甲型客车每辆可坐45名师生，乙型客车每辆可坐30名师生．
(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
(2)若每辆汽车上至少要有1名教师，怎样租车可使总费用最少？
26. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA−8|+(OB−6)2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若△ABC的面积为15，求点C的坐标；
(3)在(2)的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以O，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解： 3−2 3=− 3．
故选：B．
直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．

2.【答案】C 
【解析】解：∵△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
故DE=12BC=12×2=1．
故选：C．
由D，E分别是边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得DE的值即可．
考查三角形中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．

3.【答案】A 
【解析】解：把点(3,2)代入y=23x中，2=23×3，
∴点(3,2)在y=23x图象上；
把点(2,3)代入y=23x中，3≠23×2，
∴点(2,3)不在y=23x图象上；
把点(−3,2)代入y=23x中，2≠23×(−3)，
∴点(−3,2)不在y=23x图象上；
把点(2,−3)代入y=23x中，−3≠23×2，
∴点(2,−3)不在y=23x图象上；
故选：A．
把每一个点的坐标代入y=23x中，如果等式左右两边相等的点在这个函数图象上，否则就不在这个函数图象上，据此逐一判断即可．
本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握判断点在图象上的方法是解决问题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：这组数据3，5，6，6，8中6出现2次，次数最多，
所以这组数据的众数为6，
中位数为6．
故选：C．
根据中位数和众数的概念求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

5.【答案】D 
【解析】解：∵平行四边形的性质有对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，矩形的性质有对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等，
故选：D．
利用矩形的性质可直接求解．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键．

6.【答案】A 
【解析】解：在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴AC2+AB2+BC2=2BC2=2×4=8．
故选：A．
先根据勾股定理得出AB2+AC2=BC2，再把BC=2代入进行计算即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：∵一次函数y=−2x+1，
∴y随x的增大而减小，
∵−1≤x≤2，
∴当x=2时，y的最小值为−2×2+1=−3，
故选：A．
根据一次函数的性质和x的取值范围，可以求得y的最小值．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．

8.【答案】A 
【解析】解：∵将其中一个数据12输入为22，
∴10个数的总和增加了10，
∴10个数的平均数增加了10÷10=1，
故选A．
抓住10个数的总和如何变化去判断平均数如何变化．
关键是由总和如何变化去判断平均数如何变化．

9.【答案】C 
【解析】解：∵2，3，m是三角形三边的长，
∴3−2 ∴1 ∴ (m−1)2+ (m−5)2
=|m−1|+|m−5|
=m−1+5−m
=4，
故选：C．
根据三角形的三边关系定理求出3−2 本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意： a2=|a|=a(a≥0)−a(a<0)．

10.【答案】D 
【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，
根据勾股定理得：x2+52=(10−x)2．
解得：x=3.75，
∴折断处离地面的高度为3.75尺，
故选：D．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．

11.【答案】B 
【解析】解：∵直线y=kx+b和直线y=−x的交点P的坐标是(1,−1)，
∴kx+b≥−x的解集为：x≥1；
故选：B．
根据P点的坐标和函数的图象求出不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．

12.【答案】B 
【解析】解：连接DB，交AC于点O，连接OE，

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=12∠DAB=30°，AC⊥BD，OD=12BD，AC=2AO，AB=AD，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴DB=AD，
∵∠AOD=90°，点E是DA中点，
∴OE=AE=DE=12AD，
∴设OE=AE=DE=a，
∴AD=BD=2a=CD，
∴OD=12BD=a，
在Rt△AOD中，AO= AD2−DO2= 3a，
∴AC=2AO=2 3a，
∵EA=EO，
∴∠EAO=∠EOA=30°，
∴∠DEO=∠EAO+∠EOA=60°，
∵∠DEF=45°，
∴∠OEF=∠DEO−∠DEF=15°，
∴∠EFO=∠EOA−∠OEF=15°，
∴∠OEF=∠EFO=15°，
∴OE=OF=a，
∴AF=AO+OF= 3a+a，
∴CF=AC−AF= 3a−a，
∴CDCF=2a 3a−a= 3+1，
故选：B．
根据菱形的性质可得∠DAC=12∠DAB=30°，AC⊥BD，OD=12BD，AC=2AO，AB=AD，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得DB=AD，再根据直角三角形斜边上的中线可得OE=AE=DE=12AD，然后设OE=AE=DE=a，则AD=BD=2a，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，最后利用等腰三角形的性质，以及三角形的外角求出∠OEF=∠EFO=15°，从而可得OE=OF=a，即可求出AF，CF的长，进行计算即可解答．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．

13.【答案】52 
【解析】解： 254= (52)2=52．
故答案为：52．
根据二次根式的性质进行计算即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意： a2=|a|=a(a≥0)−a(a<0)．

14.【答案】2 
【解析】解：由平均数的公式得：(1+2+3+4+5)÷5=3，
∴方差=[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2]÷5=2．
故答案为：2．
先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
本题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．

15.【答案】2 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴x+1=2x−1，
∴x=2，
故答案为：2．
由平行四边形的性质可得AB=CD，列出方程可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．

16.【答案】5或 7 
【解析】解：分两种情况：
当BC是斜边时，则BC= AC2+BC2= 32+42=5；
当AB是斜边时，则BC= AB2−AC2= 42−32= 7；
综上所述：当BC=5或 7时，△ABC是直角三角形，
故答案为：5或 7．
分两种情况：当BC是斜边时；当AB是斜边时；然后分别进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，分两种情况讨论是解题的关键．

17.【答案】x=1 
【解析】解：∵直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2)，
∴2=2m，
∴m=1，
∴P(1,2)，
∴关于x的方程kx+b=2x的解是x=1，
故答案为：x=1．
首先利用函数解析式y=2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b=2的解可得答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．

18.【答案】 3 
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，
由折叠的性质得：AE=BD=12AB=1，AB=A′B=2，∠AEF=∠BEF，
∵∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠AEF=∠BEF=90°，
在Rt△A′BE中，BE=1，A′B=2，
由勾股定理得：EA′= A′B2−BE2= 3．
即线段EA′的长为 3．
故答案为： 3．
先由折叠的性质得：AE=BD=1，AB=A′B=2，∠AEF=∠BEF=90°，然后在Rt△A′BE中由勾股定理求出EA′即可．
此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的折叠变换及其性质．

19.【答案】解：原式= 43×6+ 3×6
=2 2+3 2
=5 2． 
【解析】先根据乘法的分配律和二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．

20.【答案】解：将点A(2,−3)和点B(−1,6)代入y=kx+b，
得：2k+b=−3−k+b=6，解得：k=−3b=3， 
【解析】将点A(2,−3)和点B(−1,6)代入y=kx+b之中，得到关于k，b的方程组，解方程组即可求出k，b的值．
此题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上是解答此题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠DCB=∠DCF=∠ADC=90°，
∵DF⊥DE，
∴∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠1+∠3=∠3+∠2，
∴∠1=∠2，
在△ADE和△CDF中，
∠1=∠2∠A=∠DCF=90°DE=DF，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴AD=CD，
∴矩形ABCD为正方形；
(2)解：BF=CD+AE．
理由如下：
由(1)可知：△ADE≌△CDF(AAS)，矩形ABCD为正方形，
∴AE=CF，AB=CD=BC，
∴BF=BC+CF=CD+AE． 
【解析】(1)先证∠1=∠2，进而可依据“AAS”判定△ADE和△CDF全等，从而得AD=CD，据此即可得出结论；
(2)由(1)可知△ADE≌△CDF(AAS)，矩形ABCD为正方形，由此得AE=CF，AB=CD=BC，据此即可得出线段BF与线段CD，AE之间的数量关系．
此题主要考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；邻边相等的矩形时正方形．

22.【答案】解：(1)由表格中勾股数的规律，得到c=b+1，
∵a2+b2=c2，a=11，
∴b2+112=(b+1)2，
∴b=60，
∴c=61；
(2)10，24，26是一组勾股数，理由如下：
∵102+242=676，262=676，
∴102+242=262，
∴10，24，26是一组勾股数． 
【解析】(1)由表格中勾股数的规律，勾股数的定义得到b2+112=(b+1)2，求出b=60，得到c=61；
(2)直角三角形的三边长都是正整数时，则这三个数为勾股数，因此即可判断．
本题考查勾股数，关键是掌握勾股数的定义；发现表格中勾股数的规律．

23.【答案】2.7  3本  平均数 
【解析】解：(1)被调查的学生月平均阅读册数为1×8+2×15+3×14+4×10+5×350=2.7(本)，
故答案为：2.7；
(2)被调查的学生月阅读册数的中位数是3+32=3(本)，
故答案为：3本；
(3)在平均数、中位数这两个统计量中，平均数更能反映被调查学生月阅读的一般水平，
故答案为：平均数；
(4)1000×2.7=2700(本)，
答：估计四月份该校学生共阅读课外书籍2700本．
(1)根据加权平均数的定义列式计算即可；
(2)根据中位数的定义求解即可；
(3)根据中位数和平均数的定义求解即可；
(4)总人数乘以样本平均数即可．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握加权平均数、中位数的定义与意义及样本估计总体．

24.【答案】(1)证明：∵AE//BC，DE//AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∵∠BAC=90°，∠C=30°，AD是边BC上的中线，
∴∠B=90°−∠C=60°，AD=12BC=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，
∴平行四边形ABDE是菱形；
(2)解：由(1)得：四边形ABDE是菱形，
∴AB=AE=2，
∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴BC=2AB=2×2=4，
∴AC= BC2−AB2= 42−22=2 3，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×2×2 3=2 3，
∵AD是边BC上的中线，
∴S△ADC=12S△ABC=12×2 3= 3． 
【解析】(1)先证四边形ABDE为平行四边形，再证△ABD是等边三角形，得AB=BD，然后由菱形的判定即可得出结论；
(2)由菱形的性质得AB=AE=2，再由含30°角的直角三角形的性质得BC=2AB=4，则AC=2 3，然后求出S△ABC=2 3，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

25.【答案】解：(1)设租用甲客车每辆x元，租用乙客车每辆y元．
由题意得x+y=6802x+3y=1640，解得x=400y=280．
∴租用甲、乙两种客车每辆各400元和280元．
(2)由题意知，最多租6辆汽车．设租甲种客车a辆，那么租乙种客车(6−a)辆．则有
45a+30(6−a)≥(234+6)，解得a≥4．
总费用m=400a+280(6−a)=120a+1680(a≥4)．
∵m随a的减小而减小，
∴当a=4时，m最小．
∴租用甲客车4辆、乙客车2辆可使总费用最少． 
【解析】(1)设租用甲客车每辆x元，租用乙客车每辆y元．由题意列方程组并求解即可；
(2)由题意知，最多租6辆汽车．设租甲种客车a辆，那么租乙种客车(6−a)辆．根据这6辆汽车载客人数不小于234+6=240(人)，可列关于a的一元一次不等式，解之得到a的取值范围．再写出租车总费用m关于a的表达式，根据m随a的变化特点，确定当a取何值时m值最小，并求出该最小值．
本题考查一次函数、二元一次方程组及一元一次不等式的应用，是必考内容，一定要深刻理解，灵活运用．

26.【答案】解：(1)∵|OA−8|+(OB−6)2=0，
∴OA=8，OB=6，
∴A(−8,0)，B(0,6)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
代入A点和B点的坐标得−8k+b=0b=6，
解得k=34b=6，
∴直线AB的解析式为y=34x+6；
(2)∵△ABC的面积为15，
∴12AC⋅OB=15，
即12AC×6=15，
∴AC=5，
∵OA=8，
∴OC=OA−AC=8−5=3，
即C(−3,0)；
(3)存在，
∵D点在直线AB上，
设D(a,34a+6)，
∵BC平分∠ABO，
∴CD=OC，
即 (a+3)2+(34a+6)2=3，
解得a=−245，
∴D(−245,125)，
设直线DE的解析式为y=sx+t，
∴−3s+t=0−245s+t=125，
解得s=−43t=−4，
∴直线DE的解析式为y=−43x−4，
∴E(0,−4)，
设点P的坐标为(m,n)，
①以CE为对角线时，此时以O，C，E，P为顶点的四边形是矩形，
∵O(0,0)，C(−3,0)，E(0,−4)，
∴P(−3,−4)；
②以OE为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，
0+0=m−30−4=n+0，
解得m=3n=−4，
即P′(3,−4)；
③以OC为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，
0−3=m+00+0=n−4，
解得m=−3n=4，
即P′′(−3,4)；
综上所述，符合条件的P点坐标为(−3,−4)或(3,−4)或(−3,4)． 
【解析】(1)根据绝对值和完全平方式的非负性得出OA和OB的值，然后确定A点和B点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
(2)根据△ABC的面积为15，得出AC的长，确定C点的坐标即可；
(3)分情况根据平行四边形的性质分别求出P点的坐标即可．
本题主要考查一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．