数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时复习练习题

这是一份数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时复习练习题，共5页。

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时 空间中直线、平面的平行
A级　基础巩固
1.若平面α,β的一个法向量分别为a=（,-1,3）,b=(-1,2,-6),则 (　　)
A.α∥β
B.α与β相交但不垂直
C.α⊥β
D.α∥β或α与β重合
解析:因为b=-2a,所以α∥β或α与β重合.
答案:D
2.已知直线l1,l2的方向向量分别为a,b,且a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若l1∥l2,则λ与μ的值可以分别为 (　　)
A.2,　B.-,　C.-3,2　D.2,2
解析:由题意可知,当λ=0时,不满足要求,故解得或
答案:A
3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面BB1C1C的位置关系是 (　　)

A.相交 B.平行
C.垂直 D.不能确定
解析:如图,建立空间直角坐标系,

则A(2,2,2),A1(2,2,0),C(0,0,2),B(2,0,2).
因为M,N分别为A1B,AC的中点,
所以M(2,1,1),N(1,1,2),所以=(-1,0,1).
易知平面BB1C1C的一个法向量为n=(0,1,0),
因为-1×0+0×1+1×0=0,即·n=0,
所以⊥n.
又因为MN⊄平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.故选B.
答案:B
4.若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z=-3.
解析:因为α∥β,所以u1∥u2,所以==,所以y=1,z=-4.所以y+z=-3.
5.如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,Q,R分别是棱O1B1,AE的中点.求证:PQ∥RS.

证明:如图,建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0).

易求得P,Q(0,2,2),R(3,2,0),S,
所以=,=.
所以=,所以∥.
因为R∉PQ,所以PQ∥RS.
6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点.求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.

证明:如图所示,建立空间直角坐标系,则有D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).

(1)设平面ADE的法向量是n1=(x1,y1,z1),
则n1⊥,n1⊥,
即所以
取z1=2,则x1=0,y1=-1,所以n1=(0,-1,2)是平面ADE的一个法向量.
因为·n1=-2+2=0,所以⊥n1.
又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE.
(2)易知=(2,0,0).
设平面B1C1F的法向量是n2=(x2,y2,z2),
则n2⊥,n2⊥,
即所以
取z2=2,则x2=0,y2=-1,所以n2=(0,-1,2)是平面B1C1F的一个法向量.
因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.
B级　能力提升
7.若a=（x,2y-1,-）是平面α的一个法向量,且b=(-1,2,1),c=（3,,-2）都与平面α平行,则a等于 (　　)
A.（-,-,-）
B.（-,-,-）
C.（-,,-）
D.（-,,-）
解析:由题意,知a·b=0,a·c=0,
即解得
所以a==（-,,-）.
答案:D
8.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为 a=(2,m,1),若A,B,C三点的坐标分别为(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),则实数m的值为-3.
解析:因为l∥平面ABC,所以存在实数x,y,使a=x+y.
由题意知=(1,0,-1),=(0,1,-1),
所以(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),
所以解得
9.已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n=k,k+3,,若a∥b,则k=-2.
解析:当k=0或k=-3时,易知a与b不平行;
当k≠0,且k≠-3时,由a∥b,得==,解得k=-2.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点.设Q是CC1上的点,则当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?

解:如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,

则O(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2),所以=(1,-1,0),=(-1,-1,1),=(-2,-2,2).
设平面PAO的法向量为n1=(x,y,z),
则即
取x=1,则y=1,z=2.
所以平面PAO的一个法向量为n1=(1,1,2).
设Q(0,2,c),n2是平面D1BQ的一个法向量,则=(-2,0,c).
若平面D1BQ∥平面PAO,则n1∥n2,故n2=λn1.
又因为BQ⊂平面D1BQ,所以n2·=0,
所以n1·=0,即-2+2c=0,所以c=1,
这时n1·=-2-2+4=0.
所以当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
11.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M分别是BC,AE的中点,AD=AA1=a,
AB=2a.试问在线段CD1上是否存在一点N,使MN∥平面ADD1A1?若存在,确定N的位置;若不存在,请说明理由.

解:如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0),A(a,0,0),D1(0,0,a),C(0,2a,0),E,M,所以=(0,2a,0),=,=(0,-2a,a).
假设CD1上存在点N使MN∥平面ADD1A1,并设=λ=(0,-2aλ,aλ)(0<λ<1),
则=+=(0,2a,0)+(0,-2aλ,aλ)=,
=-=.
由题意知=(0,2a,0)是平面ADD1A1的一个法向量,
所以⊥,即2a(a-2aλ)=0,解得λ=.
因为MN⊄平面ADD1A1,
所以当N为CD1的中点时,MN∥平面ADD1A1.
C级　挑战创新
12.多选题如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等.下列结论正确的是 (　　)

A.A1M∥D1P
B.A1M∥B1Q
C.A1M∥平面DCC1D1
D.A1M∥平面QB1B
解析:因为=+=+,=+=+=,
所以∥,从而A1M∥D1P,可得A,C两项正确.
因为B1Q与D1P不平行,所以B1Q与A1M不平行,所以B,D两项不正确.
答案:AC