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九年级数学上册一元二次方程练习-(含答案)
展开这是一份九年级数学上册一元二次方程练习-(含答案)，共61页。
22.1一元二次方程
◆随堂检测
1、判断下列方程，是一元二次方程的有____________.
（1）； （2）； （3）；
（4）；（5）；（6）.
（提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断.）
2、下列方程中不含一次项的是（ ）
A． B．
C． D．
3、方程的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项_________.
4、1、下列各数是方程解的是（ ）
A、6 B、2 C、4 D、0
5、根据下列问题，列出关于的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长.
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长.
（3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长.
◆典例分析
已知关于的方程．
（1）为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
分析：本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解.
解：（1）由题意得，时，即时，
方程是一元一次方程.
（2）由题意得，时，即时，方程是一元二次方程.此方程的二次项系数是、一次项系数是、常数项是.
◆课下作业
●拓展提高
1、下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、是关于的一元二次方程，则的值应为（ ）
A、＝2 B、 C、 D、无法确定
3、根据下列表格对应值：
3.24
3.25
3.26
-0.02
0.01
0.03
判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
A、＜3.24 B、3.24＜＜3.25
C、3.25＜＜3.26 D、3.25＜＜3.28
4、若一元二次方程有一个根为1，则_________；若有一个根是-1，则b与、c之间的关系为________；若有一个根为0，则c=_________.
5、下面哪些数是方程的根？
-3、-2、-1、0、1、2、3、
6、若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值是多少？
●体验中考
1、已知是一元二次方程的一个解，则的值是（ ）
A．-3 B．3 C．0 D．0或3
（点拨：本题考查一元二次方程的解的意义.）
2、若是关于的方程的根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
（提示：本题有两个待定字母和，根据已知条件不能分别求出它们的值，故考虑运用整体思想，直接求出它们的和.）
参考答案：
◆随堂检测
1、（2）、（3）、（4） （1）中最高次数是三不是二；（5）中整理后是一次方程；（6）中只有在满足的条件下才是一元二次方程．
2、D 首先要对方程整理成一般形式，D选项为.故选D.
3、3；-11；-7 利用去括号、移项、合并同类项等步骤，把一元二次方程化成一般形式，同时注意系数符号问题.
4、B 将各数值分别代入方程，只有选项B能使等式成立．故选B.
5、解：（1）依题意得，，
化为一元二次方程的一般形式得，.
（2）依题意得，，
化为一元二次方程的一般形式得，.
（3）依题意得，，
化为一元二次方程的一般形式得，.
◆课下作业●拓展提高
1、D A中最高次数是三不是二；B中整理后是一次方程；C中只有在满足的条件下才是一元二次方程；D选项二次项系数恒成立.故根据定义判断D.
2、C 由题意得，，解得.故选D.
3、B 当3.24＜＜3.25时,的值由负连续变化到正,说明在3.24＜＜3.25范围内一定有一个的值,使,即是方程的一个解.故选B.
4、0；；0 将各根分别代入简即可.
5、解：将代入方程，左式=，即左式右式.故不是方程的根.
同理可得时,都不是方程的根.
当时,左式=右式.故都是方程的根.
6、解:由题意得，时，即时，的常数项为0.
●体验中考
1、A 将带入方程得，∴.故选A.
2、D 将带入方程得，∵，∴，
∴.故选D.
22．2降次--解一元二次方程（第一课时）
22.2.1 配方法(1)
◆随堂检测
1、方程3+9=0的根为（ ）
A、3 B、-3 C、±3 D、无实数根
2、下列方程中，一定有实数解的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、若，那么p、q的值分别是（ ）
A、p=4，q=2 B、p=4，q=-2 C、p=-4，q=2 D、p=-4，q=-2
4、若，则的值是_________．
5、解一元二次方程是．
6、解关于x的方程（x+m）2=n．
◆典例分析
已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值．
分析：本题中一个方程、两个未知数，一般情况下无法确定、的值．但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零，可以挖掘出隐含条件x=-2和y=3，从而使问题顺利解决．
解：原方程可化为（x+2）2+（y-3）2=0，
∴（x+2）2=0，且（y-3）2=0，
∴x=-2，且y=3，
∴原式=．
◆课下作业
●拓展提高
1、已知一元二次方程，若方程有解，则________．
2、方程（b＞0）的根是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2
4、若是完全平方式，则m的值等于________．
5、解下列方程：（1）(1+x)2-2=0；(2)9(x-1)2-4=0．
6、如果x2-4x+y2+6y++13=0，求的值．
●体验中考
1、一元二次方程可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是，则另一个一次方程是_____________.
2、用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
◆随堂检测
1、D 依据方程的根的定义可判断此方程无实数根，故选D．
2、B D选项中当时方程无实数根，只有B正确．
3、B 依据完全平方公式可得B正确．
4、±．
5、解：方程两边同除以2，得，
∴，∴．
6、解：当n≥0时，x+m=±，∴x1=-m，x2=--m．当n<0时，方程无解．
◆课下作业
●拓展提高
1、 原方程可化为，∴．
2、A 原方程可化为，∴．
3、根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2．
4、10或-4 若是完全平方式，则，
∴．
5、（1）；（2）．
6、解：原方程可化为（x-2）2+（y+3）2+=0，
∴x=2，y=-3，z=-2，∴=．
●体验中考
1、 原方程可化为，∴另一个一次方程是．
2、B 原方程可化为，∴.故选B.
22．2降次--解一元二次方程（第二课时）
22.2.1 配方法(2)
◆随堂检测
1、将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
2、已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）
A、x2-8x+42=31 B、x2-8x+42=1
C、x2+8x+42=1 D、x2-4x+4=-11
3、代数式的值为0，求x的值．
4、解下列方程：（1）x2+6x+5=0；（2）2x2+6x-2=0；（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0.
点拨：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得
x=±或mx+n=±（p≥0）.
◆典例分析
用配方法解方程，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．
解：方程两边都除以2并移项，得，
配方，得，
即，
解得，
即．
分析：配方法中的关键一步是等式两边同时加上一次项系数一半的平方。本题中一次项系数是，因此，等式两边应同时加上或才对
解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下：
配方，得，
即，
解得，
即．
◆课下作业
●拓展提高
1、配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ）
A、（x-）2= B、（x-）2=0 C、（x-）2= D、（x-）2=
2、用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（ ）
A、（x-）2=，x=± B、（x-）2=-，原方程无解
C、（x-）2=，x1=+，x2= D、（x-）2=1，x1=，x2=-
3、无论x、y取任何实数，多项式的值总是_______数．
4、如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．
5、用配方法解下列方程：（1）x2+4x+1=0；（2）2x2-4x-1=0；
（3）9y2-18y-4=0；（4）x2+3=2x.
6、如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，求ab的值．
●体验中考
1、用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
2、解方程：．
3、方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
4、用配方法解一元二次方程：.
参考答案：
◆随堂检测
1、B.
2、B.
3、解:依题意,得,解得．
4、解：（1）移项，得x2+6x=-5，
配方，得x2+6x+32=-5+32，即（x+3）2=4，
由此可得：x+3=±2，∴x1=-1，x2=-5
（2）移项，得2x2+6x=-2，
二次项系数化为1，得x2+3x=-1，
配方x2+3x+（）2=-1+（）2，
即（x+）2=，由此可得x+=±，
∴x1=-，x2=--
（3）去括号整理，得x2+4x-1=0，
移项，得x2+4x=1，
配方，得（x+2）2=5，
由此可得x+2=±，∴x1=-2，x2=--2
◆课下作业
●拓展提高
1、D.
2、B.
3、正 .
4、x-y= 原方程可化为，∴x-y=.
5、解：（1）x1=-2，x2=--2；（2）x1=1+，x2=1-；
（3）y1=+1，y2=1-；（4）x1=x2=.
6、解：原等式可化为，∴，
∴，，∴.
●体验中考
1、 B.分析：本题考查配方，，，，故选B．
2、解：
∴
3、A ∵，∴,∴.故选A.
4、解得.
22．2降次--解一元二次方程（第三课时）
22.2.2 公式法
◆随堂检测
1、一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2、若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3、若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_____________.
4、用公式法解下列方程.
（1）；（2）；（3）.
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后正确代入求根公式，即可.
◆典例分析
解方程：．
有一位同学解答如下：
这里，，，,
∴,
∴,
∴，．
请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的结果．
分析：本题所反映的错误是非常典型的,在用公式法求解方程时,一定要求先将方程化为一元二次方程的一般形式才行.
解：这位同学的解答有错误,错误在,而不是,并且导致以后的计算都发生相应的错误．
正确的解答是:
首先将方程化为一般形式，
∴，，,
∴,
∴,
∴，．
◆课下作业
●拓展提高
1、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
2、如果关于的方程没有实数根，则的取值范围为_____________.
3、用公式法解下列方程.
（1）；（2）；（3）.
4、求证：关于的方程有两个不相等的实数根．
5、若关于x的一元二次方程没有实数解，求的解集（用含的式子表示）．
提示：不等式中含有字母系数，要想求的解集，首先就要判定的值是正、负或0．利用条件一元二次方程没有实数根可以求出的取值范围．
●体验中考
1、如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
注意:一元二次方程的二次项系数含有字母.
2、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
◆随堂检测
1、B ∵△＝，∴方程有两个不相等的实数根，故选B．
2、C ∵△＝，∴．故选C．
3、 ∵△＝，∴．
4、解：（1），，,
∴,
∴,
∴，．
（2）将方程化为一般形式，
∴，，,
∴,
∴，∴，．
（3），，,
∴，
∵在实数范围内，负数不能开平方，∴此方程无实数根．
◆课下作业
●拓展提高
1、D 只有选项D中△＝，方程有两个不相等的实数根．故选D．
2、 ∵△＝，∴．
3、（1）将方程化为一般形式，
∴，，,
∴,
∴，∴，．
（2）将方程化为一般形式，
∴，，,
∴,
∴，∴，．
（3）将方程化为一般形式，
∴，，,
∴,
∴，∴，．
4、证明：∵△＝恒成立，∴方程有两个不相等的实数根．
5、解：∵关于的一元二次方程没有实数根，
∴，∴．
∵即，∴．
∴所求不等式的解集为．.
●体验中考
1、B 依题意得,,解得且.故选B．
2、A 依题意得,,代入得,
∴,∴.故选A．
22．2降次--解一元二次方程（第四课时）
22.2.3 因式分解法
◆随堂检测
1、下面一元二次方程的解法中，正确的是（ ）
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x 两边同除以x，得x=1
2、x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．
3、用因式分解法解方程:（1）；（2）．
点拨：用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式．
4、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，求这个三角形的周长．
◆典例分析
方程较大根为，方程较小根为，求的值.
分析：本题中两个方程的系数都较大，用配方法和公式法都会遇到烦琐的运算，因此考虑到系数的特点，选用因式分解法最合适．
解：将方程因式分解，得：，
∴或，∴，.
∴较大根为1，即.
将方程变形为：
，
∴，
∴，∴∴
∴，
∴或，
∴，.
∴较小根为-1，即.∴.
◆课下作业
●拓展提高
1、二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．
2、下列命题:①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3.其中正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3、已知，求的值.
点拨:将看作一个整体,不妨设，则求出的值即为的值.
4、我们知道，那么就可转化为，请你用上面的方法解下列方程：
（1）；（2）；（3）.
5、已知，求代数式的值．
分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出与的关系后代入即可．
6、已知是一元二次方程的一个解，且，求的值.
●体验中考
1、方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
2、小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是________.
（提示：方程两边不能同除以含有未知数的式子，否则会失根的.）
参考答案：
◆随堂检测
1、B 用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积等于0的形式．只有B是正确的.
2、x（x-5）；（x-3）（2x-5）.
3、解：（1）移项，得：，
因式分解，得：
于是，得：或，∴，.
（2）移项，得，即，
因式分解，得：，整理，得：，
于是，得或，∴，.
4、解方程:，得，∴，.
∵三角形两边长分别为2和4，∴第三边只能是3.∴三角形周长为9.
◆课下作业
●拓展提高
1、（x+12）（x+8）；x1=-12，x2=-8.
2、A ①中方程当k=0时不是一元二次方程；②中x=1比方程x2=1少一个解x=-1；③中方程x2=x比方程x=1多一个解x=0；④中由（x+1）（x-1）=3不能必然地得到x+1=3或x-1=3.因此没有正确的命题，故选A.
3、解：设，则方程可化为,∴,
∴,∴，.∴的值是或2.
4、解（1）∵，∴，
∴或，∴，.
（2）∵，∴，
∴或，∴，.
（3）∵，∴，
∴或，∴，.
5、解：原式=
∵，∴，
∴或，∴或，
∴当时，原式=-=3；当时，原式=-3．
6、解：把代入方程，得：＋＝40，又∵，
∴＝＝＝20.
●体验中考
1、C 先移项，得，因式分解，得：，∴，.
故选C.
2、 将方程因式分解，得，∴，.∴被他漏掉的根是.
22．2降次---解一元二次方程（第五课时）
22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
◆随堂检测
1、已知一元二次方程的两根为、，则______．
2、关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和2，则______，______．
3、一元二次方程的两实数根相等，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
4、已知方程的两个根为、，求的值.
◆典例分析
已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求的值．
（提示：如果、是一元二次方程的两根，那么有，）
分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第（2）问中,所求的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出错的地方.
解:（1）∵一元二次方程有两个实数根,
∴△＝,∴.
（2）当时，即,∴或.
当时，依据一元二次方程根与系数的关系可得,
∴,∴.
又∵由（1）一元二次方程有两个实数根时的取值范围是,∴不成立,故无解；
当时，,方程有两个相等的实数根,
∴△＝,∴.
综上所述,当时，.
◆课下作业
●拓展提高
1、关于的方程的两根同为负数，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
2、若关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则的值为（ ）
A、－1或 B、－1 C、 D、不存在
(注意:的值不仅须满足,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即的值必须使得△才可以.)
3、已知、是方程的两实数根，求的值.
4、已知关于的方程的一个根是另一个根的2倍，求的值.
5、已知，是关于的方程的两个实数根．
（1）求，的值；
（2）若，是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
●体验中考
1、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．9
(提示：如果直接解方程，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用勾股定理求出直角三角形的斜边长.但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分利用一元二次方程根与系数的关系进行简便求解.)
2、已知是关于的一元二次方程的两个实数根,则式子的值是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
◆随堂检测
1、. 依据一元二次方程根与系数的关系可得.
2、－3,2 依据一元二次方程根与系数的关系可得，
∴.
3、B. △＝，∴或，故选B.
4、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，
∴.
◆课下作业
●拓展提高
1、A. 由一元二次方程根与系数的关系可得：，当方程的两根同为负数时，，∴且，故选A.
2、C. 由一元二次方程根与系数的关系可得：，
∵，∴，解得，.
当时,△＝,此时方程无实数根,故不合题意,舍去.
当时,△＝,故 符合题意.综上所述,.故选C.
3、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，
∴.
4、解：设方程的两根为、，且不妨设.
则由一元二次方程根与系数的关系可得：，
代入,得,∴,.
5、解：（1）原方程变为：
∴，
∴，
即，
∴，．
（2）∵直角三角形的面积为=
=
=，
∴当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为或．
●体验中考
1、B. 设和是方程的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得： ∴，∴这个直角三角形的斜边长是3，故选B.
2、D 由一元二次方程根与系数的关系可得：，
∴.故选D.
22．2降次--解一元二次方程（第六课时）
（习题课）
◆随堂检测
1、关于的方程是一元二次方程，则（ ）
A、 B、 C、 D、
2、用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、方程的根是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______________．
5、用适当的方法解下列方程：
（1）；（2）；
（3）；（4）.
◆典例分析
解方程.
分析:本题是含有绝对值的方程,可以转化为一元二次方程求解.转化的方法可以不同,请同学们注意转化的技巧.
解法一:分类讨论
（1）当时，原方程化为，
解得：（不合题意，舍去）
（2）当时，原方程化为
解得：（不合题意，舍去）
∴原方程的解为.
解法二:化归换元
原方程可化为,
令，则（），解得（舍去），
当时,,∴,
∴原方程的解为.
◆课下作业
●拓展提高
1、方程的解是__________________．
2、已知是关于的方程的一个根，则_______．
3、12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_________________．
4、当代数式的值为7时，代数式的值为（ ）
A、4 B、2 C、-2 D、-4
5、已知是一元二次方程的实数根，求代数式的值．
6、阅读材料，解答问题：
材料：为解方程,我们可以视为一个整体.
然后设,原方程可化为①.解得.
当时，,即，∴.
当时，,即，∴.
∴原方程的解为.
解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的，体现了_______的数学思想.（2）解方程.
●体验中考
1、请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．
2、如图，在中，于且是一元二次方程的根，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
A
D
C
EC
B
3、已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个正根 B．有两个负根
C．有一个正根一个负根 D．没有实数根
(提示：本题综合了反比例函数和一元二次方程根与系数的关系两个重要的知识点，请认真思考，细心解答.)
4、三角形的每条边的长都是方程的根,则三角形的周长是_________________．
(点拨：本题综合考查了一元二次方程的解法和三角形的有关知识，特别要注意应用三角形任意两边之和大于第三边这个定理.)
参考答案：
◆随堂检测
1、B. 依据一元二次方程的定义可得.
2、C.
3、D. 注意不能在等式两边同除以含有未知数的式子.本题用因式分解法好.
4、 依据一元二次方程根与系数的关系可得∴方程的另一个根是.
5、解：（1）用因式分解法解得:；
（2）用因式分解法解得:；
（3）用配方法解得:；
（4）用公式法解得:.
◆课下作业
●拓展提高
1、. 选用因式分解法较好.
2、或 将代入方程得:,
解得.
3、答案不唯一：如.
4、A. 当时，即，
∴代数式.故选A.
5、解：∵，∴.
化简:
∵∵∴
，
∴代数式的值是．
6、解:（1）换元法,转化.
（2）设,原方程可化为①.解得.
当时，即,∴.
当时，无解.
∴原方程的解为.
●体验中考
1、答案不唯一，如
2、A.解析：本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，∵是一元二次方程的根，∴，∴AE=EB=EC=1，∴AB=，BC=2，∴的周长为，故选A。
3、C ∵，当时，随的增大而增大，
∴，∴方程中△＝，方程有两个不相等的实数根.又依据一元二次方程根与系数的关系可得，∴方程有一个正根一个负根.故选C.
4、6或10或12. 解方程，得,.∴三角形的每条边的长可以为2、2、2或2、4、4或4、4、4（2、2、4不能构成三角形，故舍去），∴三角形的周长是6或10或12.
22．3实际问题与一元二次方程（第一课时）
◆随堂检测
1、一台电视机成本价为元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）
A．（1+25%）（1+70%）元 B．70%（1+25%）元
C．（1+25%）（1-70%）元 D．（1+25%+70%）元
2、某商品原价200元，连续两次降价％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200=148 B．200=148
C．200=148 D．200=148
3、某商场的标价比成本高%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过%，则可用表示为（ ）
A． B．p C． D．
4、某农户的粮食产量，平均每年的增长率为，第一年的产量为千克，第二年的产量为_______千克，第三年的产量为_______千克，三年总产量为_______千克．
5、据报道，我国农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，某地区2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定该地区每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率.(取≈1.41)
◆典例分析
某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．
（1）如果第一年的年获利率为，那么第一年年终的总资金是多少万元?（用代数式来表示）（注：年获利率=×100%）
（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．
分析:列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审题，（2）设设出未知数，（3）找等量关系列出方程，（4）用适当方法解方程，（5）检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去，（6）答题.要注意各个环节的准确性.
解:（1）∵年获利率=×100%,
∴第一年年终的总资金是万元，即万元.
（2）则依题意得：
把（1+）看成一个整体，整理得：，
解得:或，
∴(不合题意舍去).
∴=0.2=20%.
∴第一年的年获利率是20%.
◆课下作业
●拓展提高
1、一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）人.
A．12 B．10 C．9 D．8
2、县化肥厂第一季度增产吨化肥，以后每季度比上一季度增产，则第三季度化肥增产的吨数为（ ）
A． B． C． D．
3、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为，则可列出方程为________________________．
4、甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．
5、某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
（分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为，那么二月份的营业额就应该是，三月份的营业额应是10．）
6、上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利润为121万元，乙商场七月份利润为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的月平均上升率较大?
●体验中考
1、某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由3200元降到了2500元.设平均每月降价的百分率为,根据题意列出的方程是________________________．
（注意:要理解增长率或降低率问题中的数量关系.）
2、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
参考答案：
◆随堂检测
1、B．
2、B.
3、A． 由题意得：，解得.故选A.
4、第二年的产量为千克，第三年的产量为千克，三年总产量为千克．
5、解：设该地区每年产出的农作物秸杆总量为，合理利用量的增长率是.
由题意得：30%=60%，即=2,
∴≈0.41，≈－2.41(不合题意舍去).
∴≈0.41.
答:该地区每年秸秆合理利用量的增长率约为41%.
◆课下作业
●拓展提高
1、C 设这个小组共有个人.由题意得：,解得(不合题意,舍去).故选C.
2、B.
3、.
4、199 甲第一次将这手股票转卖给乙，获利10%为100元；乙而后又将这手股票返卖给甲时乙损失了10%，返卖的价格为1100（1-10%）=990；最后甲按9900.9的价格将这手股票卖出，甲又盈了9900.1=99(元).故在上述股票交易中，甲共盈了199元．
5、解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为．
则依题意得：33.1
把（1+）看成一个整体，配方得：
=2.56，即=2．56,
∴+=±1.6，即+=1.6或+=-1.6.
∴=0.1=10%，=-3.1
∵因为增长率为正数，∴取=10%.
答:该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．
6、解：设甲商场的月平均上升率为.乙商场的月平均上升率为.
则依题意得：
解得:(不合题意舍去).
∴=0.1=10%.
设乙商场的月平均上升率为.
则依题意得：
解得:(不合题意舍去).
∴=0.2=20%.
∵0.10.2，∴乙商场的月平均上升率较大.
答:乙商场的月平均上升率较大.
●体验中考
1、.
2、解:设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．
则依题意得：
整理,得：
解得:(不合题意舍去).
∴=8.
3轮感染后,被感染的电脑有.
答:每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会超过700台.
22．3实际问题与一元二次方程（第二课时）
◆随堂检测
1、长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．
2、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长是第一块宽的3倍，宽比第一块的长少2米，已知第二块木板的面积比第一块大108，这两块木板的长和宽分别是（ ）
A、第一块木板长18米，宽9米，第二块木板长27米，宽16米
B、第一块木板长12米，宽6米，第二块木板长18米，宽10米
C、第一块木板长9米，宽4.5m，第二块木板长13.5m，宽7米
D、以上都不对
3、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，求原来的正方形铁片的面积是多少？
4、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
（点拨：设秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．）
B
C
A
Q
P
◆典例分析
如图①，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
20cm
20cm
30cm
D
C
A
B
图②
图①
30cm
分析:由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽为．为更好地寻找题目中的等量关系，通过平移可将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形．
解:设每个横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽为．
∴，，
∴矩形的面积为（cm）.
根据题意，得.
整理，得.
解方程，得,
∵不合题意，舍去.∴.
则．
答：每个横、竖彩条的宽度分别为cm，cm.
◆课下作业
●拓展提高
1、矩形的周长为8，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．
2、如图，在中，于且是一元二次方程的根，则的周长为（ ）
A、 B、 C、 D、
A
D
C
EC
B
3、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m2吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
4、某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
(分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为m.)
5、如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
（1）小岛D和小岛F相距多少海里?
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）
(分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长．
（2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．)
●体验中考
1、在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）
A、1米 B、1.5米 C、2米 D、2.5米
3、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共化了多少元？
参考答案：
◆随堂检测
1、32cm. 设长方形铁片的宽是cm，则长是cm．
根据题意，得：，
解得，.
∵不合题意，舍去．∴.∴长方形铁片的长是10cm，宽是6cm，则它的周长为32cm.
2、B. 设第一块木板的宽是米，则长是米，第二块木板的长是米，宽是米．
根据题意，得：
整理，得：，
因式分解得，，
解得，.
∵不合题意，舍去．∴.
∴第一块木板的宽是6米，则长是12米，第二块木板的长是18米，宽是10米．故选B.
3、解：原来的正方形铁片的边长是cm，则面积是cm2．
根据题意，得：，
整理，得：，
因式分解得，，
解得，.
∵不合题意，舍去．∴.∴.
答：原来的正方形铁片的面积是64cm2．
4、解：设秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
根据题意，得：（8-）（6-）=××8×6
整理，得：，
配方得，，
解得，.
∵不合题意，舍去．∴.
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
◆课下作业
●拓展提高
1、,. 设矩形的长，则宽为．
根据题意，得.
整理，得.
用公式法解方程，得,
当长为时,则宽为.
当长为时,则宽为,不合题意，舍去.
∴矩形的长和宽分别为和.
2、A. ∵是一元二次方程的根，∴，∴AE=EB=EC=1，∴AB=，BC=2.∴的周长为，故选A。
3、解：（1）都能达到．
设宽为m，则长为（40-2）m，
依题意，得：（40-2）=180
整理，得：2-20+90=0，1=10+，2=10-；
同理（40-2）=200，1=2=10．
（2）不能达到210m2．∵依题意，（40-2）=210，整理得，2-20+105=0，
b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．
4、解：（1）设渠深为m，则上口宽为(+2)m，渠底为(+0.4)m.
根据梯形的面积公式可得:（+2++0.4）=1.6,
整理，得：52+6-8=0,
解得：1==0.8，2=-2（舍）
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
（2）如果计划每天挖土48m3，需要=25(天)才能把这条渠道挖完.
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
5、解：（1）连结DF，则DF⊥BC.
∵AB⊥BC，AB=BC=200海里．
∴AC=AB=200海里，∠C=45°.
∴CD=AC=100海里.
DF=CF，DF=CD.
∴DF=CF=CD=×100=100（海里）.
∴小岛D和小岛F相距100海里．
（2）设相遇时补给船航行了海里，那么DE=海里，AB+BE=2海里.
EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2）海里.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程2=1002+（300-2）2
整理，得32-1200+100000=0.
解这个方程，得：1=200-,2=200+.
∵2=200+不合题意，舍去.
∴=200-≈118.4.
∴相遇时补给船大约航行了118.4海里．
●体验中考
1、B. 依题意,满足的方程是,
整理得.故选B.
2、A. 设修建的路宽应为米．
根据题意，得：，
整理，得：，
因式分解得，，
解得，.
∵不合题意，舍去．∴.
∴则修建的路宽应为1米.故选A.
3、解：设此长方体箱子的底面宽是米，则长是米．
根据题意，得：，
整理，得：，
因式分解得，，
解得，.
∵不合题意，舍去．∴.
∴此矩形铁皮的面积是（平方米），∴购回这张矩形铁皮共化了（元）.
答：张大叔购回这张矩形铁皮共化了700元.
22．3实际问题与一元二次方程（第三课时）
◆随堂检测
1、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．-25或-36
2、一个多边形有9条对角线，则这个多边形有多少条边（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
3、为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4、某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间（s）之间的关系为：s=，那么行驶200m需要多长时间?
(分析：这是一个加速运动，根据已知的路程求时间.因此，只要把s=200代入求关于的一元二次方程即可．)
◆典例分析
一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间?
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?
分析:本题涉及到物理学中的运动知识,具体分析如下:
（1）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0．因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为=10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间．（2）刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs．由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出的值．
解:（1）从刹车到停车所用的路程是25m；
从刹车到停车的平均车速是=10（m/s）.
那么从刹车到停车所用的时间是=2.5（s）.
（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20.
从刹车到停车每秒平均车速减少值是=8（m/s）.
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了s，这时车速为（20-8）m/s.
则这段路程内的平均车速为=（20-4）m/s.
∴（20-4）=15,整理得：,
解方程：得=,∴≈4.08（不合题意，舍去），≈0.9（s）.
∴刹车后汽车滑行到15m时约用了0.9s.
◆课下作业
●拓展提高
1、为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为提高到若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ）
A． B． C． D．
P
A
B
Q
C
2、如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
4、有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：
（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？
（2）若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？
●体验中考
1、在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43）的解．
（点拨：本题是新定义运算，将一元二次方程的求解问题应用到了新定义运算的领域，具有一定的综合性.）
2、随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.
（1）若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.
(提示:本题综合了二元一次方程及不等式的有关知识解决问题.)
参考答案：
◆随堂检测
1、C． 设这个两位数的十位数字为，则个位数字为.
依题意得：
解得:.∴这个两位数为25或36.故选C.
2、A． 设这个多边形有条边.
依题意,得：,
解得:(不合题意,舍去).∴这个多边形有6条边.故选A.
3、C.
4、解：当s=200时，，
整理，得，解得:(不合题意,舍去).
∴=（s）
答：行驶200m需s．
◆课下作业
●拓展提高
1、B. 设年增长率，可列方程，解得，（不合题意，舍去），所以年增长率10%，故选B.
2、解：设秒后△PBQ的面积等于8cm2．
这时PB=，BQ=2
依题意，得：，
解得，即，
∵移动时间不能是负值，∴不合题意，舍去．∴.
答：2秒后△PBQ的面积等于8cm2．
3、解：（1）设每件衬衫应降价元.
则依题意，得：（40-）（20+2）=1200，
整理，得，解得:.
∴若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价10元或20元．
（2）设每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多为y，
则y=（40-）（20+2）=
∵，∴=15时，赢利最多，此时y=1250元．
∴每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多.
4、解：（1）在甲公司购买6台图形计算器需要用（元）；在乙公司购买需要用（元）（元）．应去乙公司购买.（2）设该单位买台，若在甲公司购买则需要花费元；若在乙公司购买则需要花费元.
①若该单位是在甲公司花费7500元购买的图形计算器，
则有，解之得．
当时，每台单价为，符合题意.
当时，每台单价为，不符合题意，舍去．
②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器，则有，解之得，不符合题意，舍去．
故该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台．
●体验中考
1、解：∵，
∴．
∴．∴．∴．
2、解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为.
则依题意得：，
解得：%，（不合题意，舍去）.
∴.
答：该小区到2009年底家庭轿车将达到125辆．
(2)设该小区可建室内车位个，露天车位个.
则：
由①得：=150-5代入②得：，
是正整数，∴=20或21.
当时，当时.
∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个；方案二：室内车位21个，露天车位45个.
22.2 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
●基础训练
1.已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图所示,请根据图象回答下列问题:
(1)a=_______,c=______.
(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________.
(3)该函数有最______值,当x=______时,y最值=________.
(4)当x_____时,y随x的增大而减小.
当x_____时,y随x的增大而增大.
(5)抛物线与x轴交点坐标A_______,B________;
与y轴交点C 的坐标为_______;
=_________,=________.
(6)当y>0时,x的取值范围是_________;当y<0时,x的取值范围是_________.
(7)方程ax2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax2-5x+c=0的两根分别为_____,____.
(8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0.
2.已知下表:
x
0
1
2
ax2
1
ax2+bx+c
3
3
(1)求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；
(2)请你根据上面的结果判断:
①是否存在实数x,使二次三项式ax2+bx+c的值为0?若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.
②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图,由图象确定,当x取什么实数时,ax2+ bx+c>0?
3.请画出适当的函数图象,求方程x2=x+3的解.
4.若二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0).
(1)求这个二次函数的关系式;
(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x轴只有一个交点,那么应该怎样平移?向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?
5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.
速度V(km/h)
48
64
80
96
112
…
刹车距离s(m)
22.5
36
52.5
72
94.5
…
(1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数, 在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;
(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么?
(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式;
(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.
●能力提升
6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x 轴上,点C 在直线y=x-2上.
(1)求矩形各顶点坐标;
(2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式;
(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部,并说明理由.
7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=.
(1)求这条抛物线的关系式.
(2)证明:这条抛物线与x轴的两个交点中,必存在点C,使得对x轴上任意点D都有AC+BC≤AD+BD.
8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;
(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m处出手.问:球出手时,他跳离地面多高?
9.某工厂生产A产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元, 已知P=x2+5x+1000,Q=-+45.
(1)该厂生产并售出x吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式;
(2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格又是多少元?
10.已知抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k的取值范围.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2= 17, 且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.
(1)求C点的坐标;
(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过A、B、E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.
(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等?若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明理由.
●综合探究
12.已知抛物线L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的顶点P的坐标是,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.
(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:
伴随抛物线的关系式_________________
伴随直线的关系式___________________
(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:
(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;
(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.
答案：
1.(1)a=1;c=4 (2)直线x=, (3)小; ;
(4) (5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; ; (6)x<1或x>4;1
2.(1)由表知,当x=0时,ax2+bx+c=3;当x=1时,ax2=1;当x=2时,ax2+bx+c=3.
∴,∴,
∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2.
(2)①在x2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0,
∴不存在实数x能使ax2+bx+c=0.
②函数y=x2-2x+3的图象示意图如答图所示,
观察图象得出,无论x取什么实数总有ax2+bx+c>0.
3.:在同一坐标系中如答图所示,
画出函数y=x2的图象,画出函数y=x+3 的图象,
这两个图象的交点为A,B,交点A,B的横坐标和2
就是方程x2=x+3的解.
4.:(1)∵y=x2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得
∴,,
∴y=.
(2)∵y==
∴顶点坐标为(-3,2),
∴欲使函数的图象与x轴只有一个交点,应向下平移2个单位.
5.:(1)函数的图象如答图所示.
(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数.
(3)设所求函数关系式为:s=av2+bv+c,
把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av2+bv+c,
得, 解得.
∴
(4)当v=80时,
∵s=52.5, ∴
当v=112时,
∵s=94.5,∴
经检验,所得结论是正确的.
6.:(1)如答图所示.
∵y=x-2,AD=BC=2,设C点坐标为(m,2),
把C(m,2)代入y=x-2,
2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1,
∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).
(2)∵y=x-2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).
设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c,
∴, 解得
∴y=.
(3)抛物线顶点在矩形ABCD内部.
∵y=, ∴顶点为.
∵, ∴顶点 在矩形ABCD内部.
7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax2+bx+c,
∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x=.
∴, 解得
∴y=.
(2)证明:令y=0,得=0, ∴
∵A(0,3),取A点关于x轴的对称点E,∴E(0,-3).
设直线BE的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,
∴k=,∴y=x-3 .
由 x-3=0,得x= .
故C为,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合,
在x轴上任取一点D,在△BED中,BE< BD+DE.
又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC
8:(1)图中各点字母表示如答图所示.
∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5.
∴点D坐标为(1.5,3.05).
∵抛物线顶点坐标(0,3.5),
∴设所求抛物线的关系式为y=ax2+3.5,
把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5,
∴a=-0.2,∴y=-0.2x2+3.5
(2)∵OA=2.5,∴设C点坐标为(2.5,m),
∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5,
得m=- 0.2×2.52+3.5=2.25.
∴该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).
9:(1)∵P=x2+5x+1000,Q=-+45.
∴W=Qx-P=(-+45)-(x2+5x+1000)= .
(2)∵W==-(x-150)2+2000.
∵-<0,∴W有最大值.
当x=150吨时,利润最多,最大利润2000元.
当x=150吨,Q=-+45=40(元).
10:∵y=2x2-kx-1,∴△=(-k)2-4×2×(-1)=k2+8>0,
∴无论k为何实数, 抛物线y=2x2-kx-1与x轴恒有两个交点.
设y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标分别为x1,x2,且规定x1<2,x2> 2,
∴x1-2<0,x2-2>0.
∴(x1-2)(x2-2)<0,∴x1x2-2(x1+x2)+4<0.
∵x1,x2亦是方程2x2-kx-1=0的两个根,
∴x1+x2=,x1·x2=-,
∴,∴k>.
∴k的取值范围为k>.
法二:∵抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,
∴此函数的图象大致位置如答图所示.
由图象知:当x=2时,y<0.
即y=2×22-2k-1<0,∴k>.∴k的取值范围为k>.
11:(1)线段OA,OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0 的两个根,
∴
又∵OA2+OB2=17,∴(OA+OB)2-2·OA·OB=17.③
把①,②代入③,得m2-4(m-3) =17,∴m2-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.
又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.
∴当m=5时,得方程:x2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4.
∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,
∴OC2=OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2)
(2)∵OA=1,OB=4,C,E两点关于x轴对称,
∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).
设经过A,B,E三点的抛物线的关系式为
y=ax2+bx+c,则 ,解之,得
∴所求抛物线关系式为y=.
(3)存在.∵点E是抛物线与圆的交点.
∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合条件.
∵圆心的坐标(,0 )在抛物线的对称轴上.
∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.
∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意.
∴可求得E′(3,-2).
∴抛物线上存在点P符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2)
12.(1)y=-2x2+1,y=-2x+1.
(2)y=x2-2x-3
(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c),
∴设它的解析式为y=m(x-0)2+c(m≠0).
∴设抛物线过P,
∴
解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax2+c.
设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).
∵P在此直线上,∴, ∴k=.
∴伴随直线关系式为y=x+c
(4)∵抛物线L与x轴有两交点,∴△1=b2-4ac>0,∴b2<4ac.
∵x2>x1>0,∴x1+ x2= ->0,x1x2=>0,∴ab<0,ac>0.
对于伴随抛物线y=-ax2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax2+c=0,得x=.
∴,∴CD=2.
又AB=x2-x1=.
由AB=CD,得 =2, 整理得b2=8ac,综合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,得a,b,c满足的条件为b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).
第2课时 二次函数与一元二次方程
●基础练习
1.如果抛物线y=－2x2+mx－3的顶点在x轴正半轴上，则m=______.
2.二次函数y=－2x2+x－，当x=______时，y有最______值，为______.它的图象与x轴______交点(填“有”或“没有”).
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示.
①这个二次函数的表达式是y=______；②当x=______时，y=3；③根据图象回答：当x______时，y>0.
图1 图2
4.某一元二次方程的两个根分别为x1=－2，x2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可)
5.不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x2－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x2－6x+m=0的解的情况是______(填“有解”或“无解”).
6.某一抛物线开口向下，且与x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”).
7.如图2，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m).
8.若抛物线y=x2－(2k+1)x+k2+2，与x轴有两个交点，则整数k的最小值是______.
9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1所示，由抛物线的特征你能得到含有a、b、c三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可).
10.等腰梯形的周长为60 cm，底角为60°，当梯形腰x=______时，梯形面积最大，等于______.
11.找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上.
(1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是______.
(2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______.
(3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应的图象是______.
(4)在220 V电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______.
12.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个.若这种商品的
零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价______元，最大利润为______元.
13.关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ）
①当c=0时，函数的图象经过原点; ②当b=0时，函数的图象关于y轴对称;
③函数的图象最高点的纵坐标是;
④当c>0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
14.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c－8=0的根的情况是
A.有两个不相等的正实数根 ; B.有两个异号实数根;
C.有两个相等的实数根 ; D.没有实数根.
15.抛物线y=kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )
A.k>－; B.k≥－且k≠0; C.k≥－; D.k>－且k≠0
16.如图6所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为( )
A. m B.6 m C.15 m D. m
图4 图5 图6
17.二次函数y=x2－4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为( )
A.1 B.3 C.4 D.6
18.无论m为任何实数，二次函数y=x2+(2－m)x+m的图象总过的点是( )
A.(－1，0); B.(1，0) C.(－1，3) ; D.(1，3)
19.为了备战2008奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c(如图5所示)，则下列结论正确的是( )
①a<－ ②－
20.把一个小球以20 m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t－5t2.当h=20 m时，小球的运动时间为（ ）
A.20 s B.2 s C.(2+2) s D.(2－2) s
21.如果抛物线y=－x2+2(m－1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴正半轴上，B点在x轴的负半轴上，则m的取值范围应是( )
A.m>1 B.m>－1 C.m<－1 D.m<1
22.如图7，一次函数y=－2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数y=x2+bx+c的图象过点c且与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC∶CB=1∶2，那么，这个二次函数的顶点坐标为( )
A.(－，) B.(－，) C.(，) D.(，－)
23.某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为( )
A.y=25x+15 B.y=2.5x+1.5 C.y=2.5x+15 D.y=25x+1.5
24.如图8，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=－x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A.6 m B.12 m C.8 m D.10 m
图7 图8 图9
25.某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图9，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是( )
A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m
26.求下列二次函数的图像与x轴的交点坐标,并作草图验证.
(1)y=x2+x+1; (2)y=4x2-8x+4; (3)y=-3x2-6x-3; (4)y=-3x2-x+4
27.一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图像有什么关系? 试把方程的根在图像上表示出来.
28. 利用二次函数的图像求下列一元二次方程的根.
(1)4x2-8x+1=0; (2)x2-2x-5=0; (3)2x2-6x+3=0; (3)x2-x-1=0.
29.已知二次函数y=-x2+4x-3,其图像与y轴交于点B,与x轴交于A, C 两点. 求△ABC的周长和面积.
●能力提升
30.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x.
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
31.已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象的对称轴是x=2，且最高点在直线y=x+1上，求这个二次函数的表达式.
32.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？
33.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度;
(1)列表表示I与v的关系.
(2)当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？
34.如图7，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.
35.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).
(1)根据图象你可获得哪些关于该公司的具体信息？(至少写出三条)
(2)还能提出其他相关的问题吗？若不能，说明理由；若能，进行解答，并与同伴交流.
36.把一个数m分解为两数之和，何时它们的乘积最大？你能得出一个一般性的结论吗？
●综合探究
37.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天.如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元.
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式;
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式.
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？
38.图中a是棱长为a的小正方体，图b、图c由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层……，第n层，第n层的小正方形的个数记为S，解答下列问题：
(1)按照要求填表：
n
1
2
3
4
…
S
1
3
6
…
(2)写出当n=10时，S=______;
(3)根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点;
(4)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式；若不在，说明理由.
参考答案
1.2 2. 大 － 没有
3.①x2－2x ②3或－1 ③<0或>2 4. y=x2－3x－10
5. m> 无解 6.y=－x2+x－1 最大
7.y=－x2+2x+1 16.5
8. 2 9.b2－4ac>0(不唯一)
10 . 15 cm cm2
11.(1)A (2)D (3)C (4)B
12. 5 625
13.B 14.C 15.B 16.D 17.B 18.D 19.B
20.B 21.B 22.A 23.C 24.D
25.B〔提示：设水流的解析式为y=a(x－h)2+k,
∴A(0，10)，M(1，).
∴y=a(x－1)2+，10=a+.
∴a=－.
∴y=－(x－1)2+.
令y=0得x=－1或x=3得B(3，0),
即B点离墙的距离OB是3 m
26.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0);(3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),(,0),草图略.
27.该方程的根是该函数的图像与直线y=1的交点的横坐标.
28.(1)x1≈1.9,x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4;(3)x1≈2.7,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0 .6
29.令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0,-3).
解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3.
故A、C两点的坐标为(1,0),(3,0).
所以AC=3-1=2,AB=,BC=, OB=│-3│=3.
C△ABC=AB+BC+AC=.
S△ABC=AC·OB=×2×3=3.
30．(1)y=－2x2+180x－2800.
(2)y=－2x2+180x－2800
=－2(x2－90x)－2800
=－2(x－45)2+1250.
当x=45时，y最大=1250.
∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.
31．∵二次函数的对称轴x=2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y=x+1上.
∴y=×2+1=2.
∴y=(m2－2)x2－4mx+n的图象顶点坐标为(2，2).
∴－=2.∴－=2.
解得m=－1或m=2.
∵最高点在直线上，∴a<0,
∴m=－1.
∴y=－x2+4x+n顶点为(2，2).
∴2=－4+8+n.∴n=－2.
则y=－x2+4x+2.
32(1)依题意得
鸡场面积y=－
∵y=－x2+x=(x2－50x)
=－(x－25)2+,
∴当x=25时，y最大=,
即鸡场的长度为25 m时，其面积最大为m2.
(2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为m.
∴y=·x=－x2+x
=－(x2－50x) =－(x－25)2+,
当x=25时，y最大=,
即鸡场的长度为25 m时，鸡场面积为 m2.
结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m.
33(1)如下表
v
…
－2
－1
－
0
1
2
3
…
I
…
8
2
0
2
8
18
…
(2)I=2·(2v)2=4×2v2 .
当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的4倍.
34(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.
由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).
∴抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为
h+1.8+0.25=(h+2.05) m,
∴h+2.05=－0.2×(－2.5)2+3.5,
∴h=0.2(m).
35 (1)信息：
①1、2月份亏损最多达2万元.
②前4月份亏盈吃平.
③前5月份盈利2.5万元.
④1~2月份呈亏损增加趋势.
⑤2月份以后开始回升.(盈利)
⑥4月份以后纯获利
……
(2)问题：6月份利润总和是多少万元？由图可知，抛物线的表达式为
y=(x－2)2－2,
当x=6时，y=6(万元)(问题不唯一).
36．设m=a+b y=a·b,
∴y=a(m－a)=－a2+ma=－(a－)2+,
当a=时，y最大值为.
结论：当两个数的和一定，这两个数为它们和的一半时，两个数的积最大.
37．(1)由题意知：p=30+x,
(2)由题意知
活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,
死蟹的销售额为200x元.
∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x2+900x+30000.
(3)设总利润为
L=Q－30000－400x=－10x2+500x
=－10(x2－50x) =－10(x－25)2+6250.
当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元.
38．(1)10 (2)55 (3)(略).
(4)经猜想，所描各点均在某二次函数的图象上.
设函数的解析式为S=an2+bn+c.
由题意知
∴S=
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