第27讲 圆锥曲线中定直线问题-【同步题型讲义】2023-2024学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

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第27讲 圆锥曲线中定直线问题
【典型例题】
【例1】（2022·重庆八中高三开学考试）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.
【答案】(1)(2)是，证明见解析
【分析】（1）依题意，根据椭圆的定义可知的轨迹是以、为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），从而求出椭圆方程；
（2）设直线的方程为：，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到，再求出直线、的方程，联立求出交点的横坐标，整理可得求出定直线方程.
（1）
解：因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，
所以，
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，
所以的轨迹的方程为；
（2）
解：设直线的方程为：，，，
联立方程得：，
则，，
所以，
又直线的方程为：，
又直线的方程为：，
联立方程，解得，
把代入上式得：，
所以当点运动时，点恒在定直线上
【例2】（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点.
(1)设的斜率分别为，求的值;
(2)求证：点在定直线上.
【答案】(1)，(2)证明见解析
【分析】（1）设，表示出，结合点在椭圆上，代入即可得出答案.
（2）设直线为，与椭圆联立消去得到关于的一元二次方程，列出韦达定理，写出直线，的方程，联立这两条直线的方程，求出点的纵坐标，即可得出答案.
（1）
设，，
，
，
所以.
（2）
设 ，
得到，
，
，
直线，
直线，
联立得:，
法一：，
解得.
法二：由韦达定理得，
.
解得，
所以点在定直线上.
【例3】（2022·山东聊城·三模）已知椭圆C：的离心率为，左顶点为，左焦点为，上顶点为，下顶点为，M为C上一动点，面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点，），直线，相交于点Q，证明：点Q在一条平行于x轴的直线上.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由椭圆的离心率，及的面积最大值，结合求出，作答.
（2）设出直线l的方程及，，求出直线和的交点的纵坐标关系式，联立直线l与椭圆C的方程并消元，借助韦达定理计算作答.
(1)
由椭圆C的离心率为得   ①，
由椭圆的几何性质知，当M为椭圆上（或下）顶点时，的面积最大，
   ②，
又，结合①②可解得，，
所以椭圆C的方程为.
(2)
由过的直线l不过，，可设其直线方程为，把代入，得，，即，
设，，则，，
直线的方程为，
直线的方程为，
设直线和的交点为，则
，
把及代入上式，得
，整理得，
故点Q在一条平行于x轴的直线上，得证.
【点睛】思路点睛：证明两直线交点在平行于x轴的直线上，先写出对应的两条相交直线方程并消去，目标转为证关于的表达式为常数即可.
【例4】（2022·全国·高三专题练习（文））已知为椭圆的左焦点，直线与C交于A，B两点，且的周长为，面积为2.

(1)求C的标准方程；
(2)若关于原点的对称点为Q，不经过点P且斜率为的直线l与C交于点D，E，直线PD与QE交于点M，证明：点M在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将代入曲线C的方程中求得，继而由三角形的面积公式得.再由椭圆的对称性和椭圆的定义得，由此可求得C的标准方程；
（2）设，，直线l的方程为，，联立直线l与椭圆C的方程，并消去y得，得出直线PD的方程，直线QE的方程，联立直线PD与直线QE的方程，求得点M的坐标，继而求得，可得证.
(1)
解：将代入中，解得，则，
所以的面积为，所以.①
设C的右焦点为，连接，由椭圆的对称性可知，
所以的周长为，所以，②
由①②解得，，
所以C的标准方程为.
(2)
解：设，，直线l的方程为，，联立直线l与椭圆C的方程，并消去y得，
则，得且，且，
，，
所以直线PD的方程为，即，
直线QE的方程为，即，
联立直线PD与直线QE的方程，得，
得，，所以
.
所以，即点M在定直线上.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考命题的热点，解决此类问题要做好两点：一是转化，把题中的已知条件和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化；二是设而不求，即联立直线方程与圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解.
【例5】（2021·贵州六盘水·一模（理））已知椭圆的离心率为，短轴的下端点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆上异于且不关于轴对称的两点，，的中点为，求证：点在定直线上运动.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】(1)运用椭圆的离心率和下端点即可得出结果.
(2)设直线的方程和B、C、G的坐标，与椭圆方程联立并消元，得到一元二次方程，利用韦达定理求出的值，结合得出，进而解出G的坐标和k的取值范围.
【详解】(1)设椭圆的半焦距为，由椭圆短轴的下端点的坐标为，
得，即；
由，得，
代入上式，解得，从而，
所以椭圆的方程为.
(2)若轴，不符合题意；
若与轴不垂直，设直线的方程为，
代入并整理，得，
；
设，，则，
设的中点，则，
得，
由，得，
则，即，化简得，
代入，得，解得且.
所以，，即，
故点在定直线上运动.
【例6】（2020·浙江·浙鳌高级中学高二期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为.
（1）求，的值；
（2）当过点的动直线与椭圆交于不同的点，时，在线段上取点，使得，问点是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.
【答案】（1），；（2）直线恒在定直线上.
【分析】（1）利用椭圆关系、离心率和三角形面积可构造方程求得结果；
（2）根据四点的位置关系可知，由此可得中，将直线方程代入椭圆方程，得到韦达定理形式，整理可求得，代入直线方程可知恒成立，由此可确定结论.
【详解】（1）以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大时，三角形另一顶点为椭圆短轴的端点，
，解得：，.
（2）设，，，
，，
，即，
即，整理可得：，
设直线：，
联立直线与椭圆：，整理得：，
，，
在线段上，则，
点恒在定直线上.

【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出所求量，通过化简整理确定所求的定直线.
【例7】（2022·河南驻马店·高三期末（理））已知椭圆的左、右端点分别为，，其离心率为，过的右焦点的直线与交于异于，的，两点，当直线的斜率不存在时，．
(1)求的方程．
(2)若直线与交于点，试问点是否在一条定直线上？若是，求出此定直线方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点在定直线上
【分析】（1）解方程组可得答案；
（2）设直线的方程为，，，与椭圆方程联立，求出直线、的方程消去得到，利用韦达定理可得，化简可得答案．
(1)
由题意可设椭圆的半焦距为，
因为直线 斜率不存在时，可得，
由题意得，解得，故椭圆的方程为．
(2)
设直线的方程为，，，
联立整理得，
则，，所以，
由题意可得直线的方程为，直线的方程为，
则，
即，
把代入上式，得，
即，故点在定直线上．
【例8】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的离心率为，椭圆C的一个顶点是抛物线的焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P（4，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点，在线段AB上一点存在点Q，满足，证明：点Q在一定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意求出抛物线的焦点为，则可得，由离心率为得，再结合求出的值，从而可求出椭圆方程，
（2）设直线的方程为代入椭圆方程，得，利用根与系数的关系结合已知向量等式即可证明Q在一定直线上
（1）
因为抛物线的焦点为，所以，
因为椭圆的离心率为，
所以，即，解得，
所以椭圆方程为
（2）
由题意可得直线的方程为，即，
代入椭圆方程得，
化简整理得，，
设，则，
设，由，得
，
所以，
所以，
化简得，
因为，
所以，即，
所以点总在直线上，
【例9】（2022·全国·高三专题练习）曲线上任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点．
（1）求的方程；
（2）求证：内切圆的圆心在定直线上．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）设点，根据条件建立等式，化简即可；
（2）设出直线和点，将代入C，消元后根据根与系数的关系得到两根间的关系，设出直线AF与BF的斜率然后求和，化为两根关系结合根与系数的关系化简，进而得到答案.
【详解】（1）设，由题意：，
化简得：，即C的方程为：.
（2）设直线，，将代入C得：，
∴
设直线AF与BF的斜率分别为，则
.
∴，则，∴直线平分，而三角形内心在的角平分线上，∴内切圆的圆心在定直线上.
【点睛】本题可以事先将直线分别取几个特殊的位置，进而判断圆心的位置，得到结论后发现只需要证明AF与BF的斜率满足即可，进而将代入C用根与系数的关系解决.
【例10】（2022·全国·高二课时练习）如图，椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，过点A与垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且恰是的中点，若过A，Q，三点的圆与直线相切．

（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N为椭圆C的长轴两端点，直线m过点交C于不同两点G，H，证明：四边形MNHG的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程．
【答案】（1）；（2）证明见解析， .
【解析】（1）设椭圆C的半焦距为，由圆的定义可求得圆的半径，再由直线与圆的相切的条件可求得， ，，可求得椭圆方程．
（2）设其方程为，设，，直线与椭圆的方程联立整理得，得出根与系数的关系，表示直线MH的方程和直线GN的方程。求得两直线的交点的横坐标，代入，可得交点所过的定直线.
【详解】（1）设椭圆C的半焦距为，由为线段中点，，
所以A，Q，三点圆的圆心为，半径为，
又因为该圆与直线l相切，所以，∴，所以，，
故所求椭圆方程．
（2）由对称性可知，若存在，则必为垂直于x轴的直线．
依题意，直线l斜率必存在且不为0，设其方程为，
设，，联立，得，
所以，故，
不妨设，，
所以直线MH的方程为，直线GN的方程为
消去y，得


故四边形MNHG的对角线交点在定直线上．
【点睛】关键点点睛：解决直线与圆锥曲线相交的相关问题时，关键在于将目标条件转化为交点的坐标间的关系，交点坐标的韦达定理上去可得以解决.
【题型专练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】(1)
(2)证明见解析；定直线
【分析】（1）利用椭圆过点，离心率，结合，即可得解；
（2）由题意得直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求根公式可求得，联立直线的方程与直线的方程，化简可求得直线与的交点在定直线上．
(1)
由椭圆过点，且离心率为，所以，解得
故所求的椭圆方程为．
(2)
由题意得，，
直线的方程，设，
联立，整理得，
∴，．
由求根公式可知，不妨设，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立，得
代入，得，
解得，即直线与的交点在定直线上．
2．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为．
(1)求椭圆的标准方程，
(2)设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线交椭圆于、两点，直线、相交于点，证明：点在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进一步可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出直线、的方程，联立这两条直线的方程，求出点的横坐标，可得出结论.
(1)
解：由题可知，、，则，
直线的方程为，即，所以，
解得，，又，所以椭圆的标准方程为．
(2)
解：若直线与轴重合，则、、、四点共线，不合乎题意.
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，解得或，
由韦达定理可得，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立可得，
因为，所以，，
所以
，解得.
即点在定直线上．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
3.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右焦点为F，，过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点．
(1)若直线l的斜率为3，求的值．
(2)过点M且与y轴垂直的直线交直线EN于点G，探究：点G是否在某一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点G在定直线上，该直线的方程为x＝4
【分析】（1）根据题意写出直线l的方程，再联立直线l与椭圆方程，利用弦长公式即可解出；
（2）设出直线MN的方程，与椭圆方程联立，找寻与的关系，再根据点G是直线与直线EN的交点，解出点的横坐标，即可知点G在定直线上．
（1）
设，，依题意，，直线l：y＝3x－6，
联立，消去y整理得：，
，则，，
故．
（2）
由题易知直线l不与y轴垂直，设直线MN的方程为x＝my＋2，
联立，消去x整理得：，，则，，得．由，可知点E的坐标为，则直线EN的方程为，①，直线的方程为，②
（根据点G是直线与直线EN的交点，联立方程求解即可）
联立①②可得，，
故点G在定直线上，该直线的方程为x＝4．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率，长轴的左、右端点分别为
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线 与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)恒在直线
【分析】（1）设椭圆的标准方程为，由且，求得的值，即可求解；
（2）设直线的方程为，取，得到点在同一直线上，结合结论作出证明：联立方程组求得，设和与交于点和，结合，即可求解.
（1）
解：设椭圆的标准方程为，
根据题意，可得且，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
解：根据题意，可设直线的方程为，
取，可得，
可得直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组，可得交点为；
若，由对称性可知交点，
若点在同一直线上，则直线只能为；
以下证明：对任意的，直线与直线的交点均在直线上，
由，整理得，
设，则，
设与交于点，由，可得，
设与交于点，由，可得，
因为
，
因为，即与重合，
所以当变化时，点均在直线上，.
5．（2021·河北·藁城新冀明中学高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A，B分别是C的左、右顶点．
(1)求C的方程；
(2)已知过点的直线交C于M，N两点（异于点A，B），试证直线MA与直线NB的交点在定直线上．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】(1)将点的坐标代入椭圆方程得出关于a、b的方程，结合离心率列出方程组，解方程组即可；
(2)设过点G的直线方程为、，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，根据直线的点斜式方程求出直线AM与BN的方程，两式相除，化简计算可得直线AM与BN的交点的横坐标为4，即可证明.
(1)
由题意知，
，化简得，
解得，故椭圆的方程为；
(2)
设过点G的直线方程为，
，消去x，得，
，设，
则，所以
又，得，
所以直线AM的方程为，
直线BN的方程为，两式相除，
得，即，
又，
即，解得，
即直线AM与BN的交点的横坐标为4，
所以直线AM与BN的交点在定直线上.

6．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆经过点，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，椭圆C的左、右顶点为，，不与坐标轴垂直且不过原点的直线l与C交于M，N两点（异于，），点M关于原点O的对称点为点P，直线与直线交于点Q，直线与直线l交于点R.证明：点R在定直线上.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由椭圆所过的点及其离心率求椭圆参数，即可得方程.
（2）设，，直线l为并联立椭圆方程，由及韦达定理可得、，根据三点共线及斜率的两点式得求的斜率，进而得到直线方程，联立直线l即可证结论.
(1)
由题意知，，解得，
故椭圆C的方程为.
(2)
设，，则.
直线l的方程为，其中且，
将代入椭圆，整理得，
由与韦达定理得：，，.
由（1）知：，，
设，由、P、Q三点共线得：，由、N、Q三点共线得：，
则，
于是直线的斜率为，直线的方程为，
联立，解得：，即点R在定直线上.
7．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知椭圆的左、右顶点分别为，且过点．
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于M，N两点，直线与相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，.
【分析】（1）由椭圆的长轴长及所过的点列方程组求参数，即可得椭圆方程.
（2）设则，，联立直线l与椭圆方程，由判别式、韦达定理求k的范围及、关于k的表达式，再联立直线与求交点坐标，即可证结论并确定直线方程.
(1)
因为，所以，解得．
因为C过点，所以，解得．
所以C的方程为．
(2)
由题意，设，则，．
由，整理得，则，
解得且，，．
由得：，
所以点G在定直线上．
8．（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））已知椭圆（a>b>0）的离心率为，短轴的下端点A的坐标为（0，－1）.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设B，C是椭圆E上异于A的两点，且|AB|=|AC|，BC 的中点为G ，求证：点G在定直线上运动.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可得，再根据离心率及，即可求出，从而得解；
（2）设直线BC的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，设的中点，即可得到，且 ，当时，轴，当时，由AG⊥BC ，得，即可得到，从而得到，即可得解；
(1)
解：由椭圆E短轴的下端点A的坐标为，得，即；
由，得，
代入上式，解得，从而，
所以椭圆E的方程为.
(2)
解：若 轴，不符合题意；
若 与 轴不垂直，设直线BC的方程为，代入并整理，得

一方面，必须；
另一方面，设，，则，
设的中点 ，则 ，
且 ，
①当时，轴，显然点G在y轴上.
②当时，由AG⊥BC ，得，
则即 ，化简得，
代入，得，解得.
所以 ，，即，
故点（）在定直线上运动.
综上，当轴时，显然点G在y轴上运动；当BC与不平行不垂直时，点G在直线上运动.
9．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，证明：直线，的交点在一定直线上，并求出该直线方程．
【答案】(1)
(2)证明见解析；直线
【分析】(1)根据题意可得，进而解出，，即可得出椭圆方程；
(2)设直线的方程为：，设，，联立椭圆方程消去得到关于的一元二次方程，根据韦达定理表示出；利用直线的点斜式方程求出直线、的方程，两直线方程联立方程组并消去，整理化简即可得出结果.
(1)
由题得：，，，
解得：，，
故椭圆的方程为．
(2)
设直线的方程为：，设，，
联立，得，，
由韦达定理得，，∴．
因为，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立消去，得，
整理得
，
所以直线，的交点一定在直线上．
10．（2021·安徽宿州·三模（文））已知点，，动点满足，点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）已知圆上任意一点处的切线方程为：，类比可知椭圆：上任意一点处的切线方程为：．记为曲线在任意一点处的切线，过点作的垂线，设与交于，试问动点是否在定直线上？若在定直线上，求出此直线的方程；若不在定直线上，请说明理由．
【答案】（1）；（2）动点在定直线上．
【分析】（1）根据椭圆的定义得到点的轨迹为以 ，为焦点，长轴长为4的椭圆，进而求得的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设，得到直线的方程，进而得到，联立方程组，求得动点在定直线上；当时，求得，即可得到动点在定直线上．
【详解】（1）由题意，点，，动点满足，
根据椭圆的定义知点的轨迹为以 ，为焦点，长轴长为4的椭圆
设椭圆方程为：，则，所以，
曲线的方程为：．
（2）设，可得直线的方程为：
当时，，
所以的斜率为，可得，
由与的方程联立，消得，
可得，解得，
所以动点在定直线上，
当时，可得，此时，，
联立方程组，可得，此时在直线上，
综上所述，动点在定直线上．
【点睛】解答圆锥曲线的定点、定直线问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
11．（2021·全国·高二专题练习）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足.
（1）求椭圆以及抛物线的标准方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆的左焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程.
【答案】（1）；；（2）证明见解析，.
【分析】（1）根据椭圆的一个焦点与抛物线焦点重合，可得，的关系，又根据联立椭圆与抛物线可得第一象限交点的横坐标，进而可得关于的方程，解方程求的值，进而可得椭圆和抛物线的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去得到，由直线与椭圆相切可得其判别式等于0，整理得，代入求得的坐标，然后写出直线的方程为，联立方程组，求得，则说明点在定直线上.
【详解】（1）∵椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，
∴，解得，∴椭圆方程为，
，解得，，
∵点在第一象限，∴点的横坐标为，
又∵，∴，解得.
∴椭圆，抛物线；
（2）由①，
由直线与椭圆相切可得且，
整理得，
将代入①式得，
即，解得，∴，
又，∴，则，
∴直线的方程为，
联立得.
∴点在定直线上.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.
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