山东省泰安市岱岳区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份山东省泰安市岱岳区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省泰安市岱岳区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共16小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（3分）若x＞y，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．x﹣5＜y﹣5 B．﹣2x＞﹣2y C．x﹣y＜0 D．
2．（3分）由x﹣可以得到用x表示y的式子为（　　）
A．y＝2x﹣1 B．y＝2x﹣2 C．y＝x+1 D．y＝2x+2
3．（3分）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）

A．∠3＝∠4 B．∠2＝∠3 C．∠1+∠4＝180° D．∠3＝∠5
4．（3分）某日我市最高气温是25℃，最低气温是12℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　）
A．t＜25 B．t≥12 C．12≤t≤25 D．12＜t＜25
5．（3分）如图，在△ABC与△EBF中，若AB＝BE，BC＝BF，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（　　）

A．∠A＝∠E B．∠CBF＝∠ABF C．∠ABE＝∠CBF D．∠C＝∠F
6．（3分）将一粒大豆抛在印有正方体小方格的桌面上，大豆落在阴影区域的概率是（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝125°，则∠2的度数为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．55°
8．（3分）若是关于x，y的方程2x﹣3y﹣4a＝0的一个解，则常数a为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．4
9．（3分）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝8，则BD的长为（　　）

A．1 B．2 C．2.5 D．3
10．（3分）在一个不透明的袋子中放入15个红球和若干个白球（球除了颜色不同外其余都相同），如果从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中白球有（　　）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，根据图中作图痕迹得到直线EF，BF＝1，则△CEF的周长为（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15
12．（3分）如果点P（m，2﹣m）在第四象限，那么m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜2 B．﹣2＜m＜0 C．m＜0 D．m＞2
13．（3分）抛掷一枚质地均匀的骰子1次，下列事件发生的可能性最大的是（　　）
A．向上一面的点数是1
B．向上一面的点数是2的整数倍
C．向上一面的点数是3的整数倍
D．向上一面的点数大于4
14．（3分）如图，甲和乙的杯子中均装有一定量的水，以下是他们的对话：
甲说：“如果把你杯子中的水的一半倒入我的杯中，我的杯子就装满了．”
乙说：“如果把你杯子中水的倒入我的杯中，我的杯子也装满了．”
问：甲和乙的杯子中各装有多少水？
设甲和乙的杯子中分别装水xm1，yml，可列方程组为（　　）

A． B．
C． D．
15．（3分）如果不等式组有且仅有3个整数解．那么m的取值范围是（　　）
A．4≤m≤5 B．4≤m＜5 C．4＜m＜5 D．4＜m≤5
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是角平分线，CF是中线，BE交AD于点G，交CF于点H，以下结论：①△ACF的面积＝△BCF的面积；②AG＝AE；③∠GAE＝2∠ABE；④BH＝CH；其中正确的结论个数是（　　）

A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
17．（4分）“a，b两数的差是负数”用不等式表示为 　 　．
18．（4分）在一个不透明的袋子里装着3个白球、1个黄球、4个红球，它们除颜色不同外其余都相同，现从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为 　 　．
19．（4分）如图，AB∥CD，∠A+∠E＝65°，则∠C为 　 　°．

20．（4分）满足方程组的x，y互为相反数，则m＝　 　．
21．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，在斜边AC上截取AE＝AB，过点E作ED⊥AC交BC于点D．已知BD＝3，CE＝4，则AB的长为 　 　​．

22．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝4，AC＝6，则AD的取值范围是 　 　．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必菱的文字说明、证明过程或演步骤）
23．（10分）解方程组：
（1）；
（2）．
24．（11分）（1）解不等式：；
（2）解不等式组并求不等式组的整数解．
25．（8分）如图，EF，MN分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

26．（11分）在等边△ABC中，点D、E分别是AC、AB边上的点．
（1）如图1，点D、E分别是AC、AB边上的中点时，连接BD、CE，求∠BOC的度数；
（2）如图2，当D、E分别是AC、AB边上的点，且满足AE＝CD时，求∠BOC的度数．
27．（12分）某中学为筹备校园读书节诗歌明诵比赛，计划购买A、B两种精美笔记本作为奖品，若购买8个A种笔记本和5个B种笔记本共需用220元；若购买4个A笔记本和6个B种笔记本需用152元．
（1）求每个A种笔记本和每个B种笔记本各多少元；
（2）学校决定购买A种笔记本和B种笔记本共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A种笔记本？
28．（13分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线OA、BA相交于点A，A点坐标（3，4），B点坐标（﹣1，0）．
（1）分别求直线OA、BA的表达式；
（2）作x轴的垂线分别交直线OA，BA于点M（x，m），N（x，n），当0＜m＜n时，求x的取值范围；
（3）求△AOC的面积；
（4）P是x轴上的一个点，当△AOP是等腰三角形时，直接写出P点的坐标．

29．（13分）小明在学习了“命题”“逆命题”相关知识后发现有的平面图形的判定方法，是通过研究其性质定理的逆命题得出的，在学习等腰三角形的相关知识时，小明发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”也存在互逆关系，如图1，用几何语言表达就是：
性质：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
判定：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为三个不同的真命题，即：
（1）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线；
（2）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线：
（3）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线；
由此3个真命题，小明得到三个新命题，即：
Ⅰ．如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形；
Ⅱ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形；
Ⅲ． 　 　．
（1）请你根据前面的命题3写出小明猜想的第Ⅲ个命题：　 　；
（2）小明认为这三个命题如果是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对三个命题进行证明，他把前两个命题根据图2写出了已知，求证：
命题Ⅰ：△ABC中，D是BC边上的中点，AD⊥BC，求证：△ABC是等腰三角形；
命题Ⅱ：△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC，求证：△ABC是等腰三角形；
命题Ⅲ：　 　；
①请你写出命题Ⅲ的几何语言；
②小明猜想的三个命题是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明．














2022-2023学年山东省泰安市岱岳区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（3分）若x＞y，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．x﹣5＜y﹣5 B．﹣2x＞﹣2y C．x﹣y＜0 D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质3对A选项进行判断；根据不等式的性质1对B选项、C选项进行判断；根据不等式的性质2对D选项进行判断．
【解答】解：A．因为x＞y，则﹣2x＜﹣2y，所以A选项不符合题意；
B．因为x＞y，则x﹣6＞y﹣6，所以B选项不符合题意；
C．因为x＞y，则x﹣y＞0，所以C选项不符合题意；
D．因为x＞y，则＞，所以D选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）由x﹣可以得到用x表示y的式子为（　　）
A．y＝2x﹣1 B．y＝2x﹣2 C．y＝x+1 D．y＝2x+2
【答案】B
【分析】先移项，再方程两边都乘﹣2即可．
【解答】解：x﹣＝1，
移项，得﹣＝1﹣x，
系数化成1，得y＝2x﹣2，
故选：B．
3．（3分）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）

A．∠3＝∠4 B．∠2＝∠3 C．∠1+∠4＝180° D．∠3＝∠5
【答案】D
【分析】由平行线的判定定理易知A、B都能判定AB∥CD；
选项C中可得出∠1＝∠5，从而判定AB∥CD；
选项D中同旁内角相等，但不一定互补，所以不能判定AB∥CD．
【解答】解：∠3＝∠5是同旁内角相等，但不一定互补，所以不能判定AB∥CD．
故选：D．
4．（3分）某日我市最高气温是25℃，最低气温是12℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　）
A．t＜25 B．t≥12 C．12≤t≤25 D．12＜t＜25
【答案】C
【分析】根据最高气温和最低气温得出答案即可．
【解答】解：∵某日我市最高气温是25℃，最低气温是12℃，
∴当天气温t（℃）的变化范围是12≤t＜25，
故选：C．
5．（3分）如图，在△ABC与△EBF中，若AB＝BE，BC＝BF，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（　　）

A．∠A＝∠E B．∠CBF＝∠ABF C．∠ABE＝∠CBF D．∠C＝∠F
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法分别判断即可．
【解答】解：添加∠A＝∠E，不能判定△ABC≌△EBF，
故A不符合题意；
添加∠CBF＝∠ABF，不能判定△ABC≌△EBF，
故B不符合题意；
添加∠ABE＝∠CBF，根据SAS可证△ABC≌△EBF，
故C符合题意；
添加∠C＝∠F，不能判定△ABC≌△EBF，
故D不符合题意，
故选：C．
6．（3分）将一粒大豆抛在印有正方体小方格的桌面上，大豆落在阴影区域的概率是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用面积公式分别表示出阴影部分和大正方形的面积，再利用面积比求概率即可．
【解答】解：设每个小正方形的边长为1，
则阴影区域面积为3，
正方形面积为3×3＝9，
故大豆子落在阴影区域的概率为＝．
故选：C．
7．（3分）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝125°，则∠2的度数为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．55°
【答案】A
【分析】由平行线的性质可得∠3＝∠1＝125°，再利用三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：如图，

由题意得：∠E＝90°，AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝125°，
∵∠3是△ABE的外角，
∴∠2＝∠3﹣∠E＝35°，
故选：A．
8．（3分）若是关于x，y的方程2x﹣3y﹣4a＝0的一个解，则常数a为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【分析】将代入方程中计算，即可求出a的值．
【解答】解：把代入2x﹣3y﹣4a＝0得：
10+6﹣4a＝0，
解得a＝4．
故选：D．
9．（3分）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝8，则BD的长为（　　）

A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得BC的长，再据含30°角的直角三角形的性质可得BD的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝AB＝4，∠B＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝2，
故选：B．
10．（3分）在一个不透明的袋子中放入15个红球和若干个白球（球除了颜色不同外其余都相同），如果从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中白球有（　　）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
【答案】B
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得：
＝0.6，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是分式方程的解，
答：袋中白球约有10个．
故选：B．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，根据图中作图痕迹得到直线EF，BF＝1，则△CEF的周长为（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】A
【分析】利用勾股定理求出EF，可得结论．
【解答】解：由作图可知，EF垂直平分线段AC，
∴FA＝FC，AE＝EC＝3，
∵AB＝AC＝6，BF＝1，'
∴AF＝FC＝AB﹣BF＝6﹣1＝5，
在Rt△ECF中，EF＝＝＝4，
∴△ECF的周长＝EC+CF+EF＝3+5+4＝12．
故选：A．
12．（3分）如果点P（m，2﹣m）在第四象限，那么m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜2 B．﹣2＜m＜0 C．m＜0 D．m＞2
【答案】D
【分析】根据第四象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，解之即可得出答案．
【解答】解：由题意知，
解得m＞2，
故选：D．
13．（3分）抛掷一枚质地均匀的骰子1次，下列事件发生的可能性最大的是（　　）
A．向上一面的点数是1
B．向上一面的点数是2的整数倍
C．向上一面的点数是3的整数倍
D．向上一面的点数大于4
【答案】B
【分析】分别计算各选项中事件的概率，然后比较大小即可．
【解答】解：A中向上一面的点数是1的概率为，
B中向上一面的点数是2的整数倍的概率为，
C中向上一面的点数是3的整数倍的概率为，
D中向上一面的点数大于4的概率为，
∵，
∴向上一面的点数是2的整数倍的概率最大．
故选：B．
14．（3分）如图，甲和乙的杯子中均装有一定量的水，以下是他们的对话：
甲说：“如果把你杯子中的水的一半倒入我的杯中，我的杯子就装满了．”
乙说：“如果把你杯子中水的倒入我的杯中，我的杯子也装满了．”
问：甲和乙的杯子中各装有多少水？
设甲和乙的杯子中分别装水xm1，yml，可列方程组为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意：甲说：“如果把你杯子中的水的一半倒入我的杯中，我的杯子就装满了．”乙说：“如果把你杯子中水的倒入我的杯中，我的杯子也装满了．”列出二元一次方程组即可．
【解答】解：由题意得：，
故选：B．
15．（3分）如果不等式组有且仅有3个整数解．那么m的取值范围是（　　）
A．4≤m≤5 B．4≤m＜5 C．4＜m＜5 D．4＜m≤5
【答案】B
【分析】由不等式组有且仅有3个整数解，知不等式组的整数解为7、6、5，据此可得答案．
【解答】解：∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴不等式组的整数解为7、6、5，
∴4≤m＜5，
故选：B．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是角平分线，CF是中线，BE交AD于点G，交CF于点H，以下结论：①△ACF的面积＝△BCF的面积；②AG＝AE；③∠GAE＝2∠ABE；④BH＝CH；其中正确的结论个数是（　　）

A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
【答案】A
【分析】根据三角形中线的定义得到AF＝BF，求得△ACF的面积＝△BCF的面积；故①正确；根据余角的性质得到∠BAD＝∠ACB，根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBE，根据三角形外角的性质得到∠AGE＝∠AEG，求得AG＝AE，故②正确；根据余角的性质得到∠ABD＝∠GAE，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误．
【解答】解：∵CF是中线，
∴AF＝BF，
∴△ACF的面积＝△BCF的面积；故①正确；
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵BE是角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠AGE＝∠BAD+∠ABE，∠AEG＝∠ACB+∠CBE，
∴∠AGE＝∠AEG，
∴AG＝AE，故②正确；
∵∠BAG+∠GAE＝∠BAG+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠GAE，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
17．（4分）“a，b两数的差是负数”用不等式表示为 　a﹣b＜0　．
【答案】a﹣b＜0．
【分析】根据“a，b两数的差”为a﹣b，“负数”即小于0的数，列不等式即可．
【解答】解：根据题意得：a﹣b＜0．
故答案为：a﹣b＜0．
18．（4分）在一个不透明的袋子里装着3个白球、1个黄球、4个红球，它们除颜色不同外其余都相同，现从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为 　　．
【答案】．
【分析】用黄球的个数除以球的总数即可．
【解答】解：∵袋子里装着3个白球、1个黄球、4个红球，
∴从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为 ＝．
故答案为：．
19．（4分）如图，AB∥CD，∠A+∠E＝65°，则∠C为 　65　°．

【答案】65．
【分析】设AB与EC相交于点F，先利用三角形的外角性质可得∠EFB＝65°，然后再利用平行线的性质可得∠EFB＝∠C＝65°，即可解答．
【解答】解：设AB与EC相交于点F，

∵∠EFB是△AEF的一个外角，∠A+∠E＝65°，
∴∠EFB＝∠A+∠E＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠EFB＝∠C＝65°，
故答案为：65．
20．（4分）满足方程组的x，y互为相反数，则m＝　1　．
【答案】1．
【分析】由x与y互为相反数，得到y＝﹣x，代入方程组计算即可求出m的值．
【解答】解：由题意得：y＝﹣x，
代入方程组得：，
消去x得：3m＝m+2，
解得：m＝1．
故答案为：1．
21．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，在斜边AC上截取AE＝AB，过点E作ED⊥AC交BC于点D．已知BD＝3，CE＝4，则AB的长为 　6　​．

【答案】6．
【分析】由“HL”可证Rt△ABD≌Rt△AED，可得BD＝DE＝3，由勾股定理可求CD的长，AB的长．
【解答】解：连接AD，
在Rt△ABD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴BD＝DE＝3，
∴DC＝＝＝5，
∴BC＝8，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴（AB+4）2＝AB2+64，
∴AB＝6，
故答案为：6．

22．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝4，AC＝6，则AD的取值范围是 　1＜AD＜5　．

【答案】1＜AD＜5．
【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接CE，证明△ADB≌△EDC（SAS），推出AB＝CE＝4，在△ACE中，根据三角形三边关系定理得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，代入求出即可．
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接CE，

∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDC中，
，
∴△ADC≌△EDC（SAS），
∴AB＝CE＝4，
在△ABE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必菱的文字说明、证明过程或演步骤）
23．（10分）解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【解答】解：（1），
①﹣②得：﹣2x＝﹣4，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：2+y＝1，
解得：y＝﹣1，
故原方程组的解是：；
（2），
①×2得：x+1.4y＝70③，
③﹣②得：y＝30，
把y＝30代入②得：x+12＝40，
解得：x＝28，
故原方程组的解是：．
24．（11分）（1）解不等式：；
（2）解不等式组并求不等式组的整数解．
【答案】（1）x＞﹣1；
（2）﹣2＜x，﹣1，0，1，2，3，4．
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的整数解即可．
【解答】解：（1），
（x﹣1）﹣（2x+3）＜﹣3，
x﹣1﹣2x﹣3＜﹣3，
x﹣2x＜﹣3+3+1，
﹣x＜1，
x＞﹣1；
（2），
解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤，
所以不等式组的解集是﹣2＜x，
即不等式组的整数解是﹣1，0，1，2，3，4．
25．（8分）如图，EF，MN分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

【答案】AB∥CD，理由见解析．
【分析】先根据MN∥EF得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故可得出∠1+∠2＝∠3+∠4，再由∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），故可得出∠ABC＝∠BCD，据此得出结论．
【解答】解：AB∥CD．
理由：∵MN∥EF，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），
∴∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD．
26．（11分）在等边△ABC中，点D、E分别是AC、AB边上的点．
（1）如图1，点D、E分别是AC、AB边上的中点时，连接BD、CE，求∠BOC的度数；
（2）如图2，当D、E分别是AC、AB边上的点，且满足AE＝CD时，求∠BOC的度数．
【答案】（1）120°；
（2）120°．
【分析】（1）根据等边三角形的性质及三角形内角和定理求解即可；
（2）根据等边三角形的性质得到∠A＝∠ACB＝∠ABC＝60°，AC＝BC，利用SAS证明△AEC≌△CDB，根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠DBC，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：（1）∵在等边△ABC中，点D、E分别是AC、AB边上的中点，
∴∠OBC＝∠OCB＝×60°＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝∠ABC＝60°，AC＝BC，
在△AEC与△CDB中，
，
∴△AEC≌△CDB（SAS），
∴∠ACE＝∠DBC，
∴∠EOB＝∠DBC+∠OCB＝∠ACE+∠OCB＝∠ACB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°．
27．（12分）某中学为筹备校园读书节诗歌明诵比赛，计划购买A、B两种精美笔记本作为奖品，若购买8个A种笔记本和5个B种笔记本共需用220元；若购买4个A笔记本和6个B种笔记本需用152元．
（1）求每个A种笔记本和每个B种笔记本各多少元；
（2）学校决定购买A种笔记本和B种笔记本共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A种笔记本？
【答案】（1）每个A种笔记本20元，每个B种笔记本12元；
（2）最多可以购买35个A种笔记本．
【分析】（1）设每个A种笔记本x元，每个B种笔记本y元，根据“购买8个A种笔记本和5个B种笔记本共需用220元；购买4个A笔记本和6个B种笔记本需用152元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个A种笔记本，则购买（75﹣m）个B种笔记本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1180元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个A种笔记本x元，每个B种笔记本y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A种笔记本20元，每个B种笔记本12元；
（2）设购买m个A种笔记本，则购买（75﹣m）个B种笔记本，
根据题意得：20m+12（75﹣m）≤1180，
解得：m≤35，
∴m的最大值为35．
答：最多可以购买35个A种笔记本．
28．（13分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线OA、BA相交于点A，A点坐标（3，4），B点坐标（﹣1，0）．
（1）分别求直线OA、BA的表达式；
（2）作x轴的垂线分别交直线OA，BA于点M（x，m），N（x，n），当0＜m＜n时，求x的取值范围；
（3）求△AOC的面积；
（4）P是x轴上的一个点，当△AOP是等腰三角形时，直接写出P点的坐标．

【答案】（1）直线OA的解析式为，直线BA的解析式为y＝x+1；
（2）当0＜m＜n时，0＜x＜3；
（3）S△AOC＝；
（4）P点的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（6，0）或．
【分析】（1）直接利用待定系数法即可求解；
（2）结合函数图象即可得到结论；
（3）先求出点C（0，1），得到OC＝1，利用三角形面积公式可得S△AOC＝，代入计算即可求解；
（4）分三种情况：①当OA＝OP时；②当AO＝AP时；③当PO＝PA时．分别画出不同情况的图形，利用数形结合思想即可求解，或则直接利用两点间距离公式即可求解．
【解答】解：（1）设直线OA的解析式为y＝k1x（k1≠0），
将点A（3，4）代入，得3k1＝4，
解得：，
∴直线OA的解析式为，
设直线BA的解析式为y＝k2x+b，
将点B（﹣1，0），A（3，4）代入，得，
解得：，
∴直线BA的解析式为y＝x+1；
（2）如图，

结合函数图象可知，当0＜m＜n时，0＜x＜3；
（3）由y＝x+1，令x＝0，得y＝0，
∴C（0，1），
∴OC＝1，
∴S△AOC＝＝＝；
（4）①当OA＝OP时，且点P在x轴正半轴上，如图，

∵A（3，4），O（0，0），
∴OA＝＝5，
∵OA＝OP＝5，
∴P（5，0）；
当OA＝OP时，且点P在x轴负半轴上，如图，

∵OA＝OP＝5，
∴P（﹣5，0）；
②当AO＝AP时，如图，过点A作AD⊥x轴于点D，

∴OD＝PD，
∵A（3，4），
∴OD＝PD＝3，
∴OP＝6，
∴P（6，0）；
③当PO＝PA时，如图，过点A作AD⊥x轴于点E，

∵A（3，4），
∴OE＝3，AE＝4，
设PE＝a，则PO＝PA＝3+a，
在Rt△AEP中，AE2+PE2＝PA2，
∴42+a2＝（3+a）2，
解得：a＝，
则PO＝，
∴P；
综上，P点的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（6，0）或．
29．（13分）小明在学习了“命题”“逆命题”相关知识后发现有的平面图形的判定方法，是通过研究其性质定理的逆命题得出的，在学习等腰三角形的相关知识时，小明发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”也存在互逆关系，如图1，用几何语言表达就是：
性质：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
判定：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为三个不同的真命题，即：
（1）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线；
（2）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线：
（3）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线；
由此3个真命题，小明得到三个新命题，即：
Ⅰ．如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形；
Ⅱ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形；
Ⅲ． 　如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形　．
（1）请你根据前面的命题3写出小明猜想的第Ⅲ个命题：　如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形　；
（2）小明认为这三个命题如果是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对三个命题进行证明，他把前两个命题根据图2写出了已知，求证：
命题Ⅰ：△ABC中，D是BC边上的中点，AD⊥BC，求证：△ABC是等腰三角形；
命题Ⅱ：△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC，求证：△ABC是等腰三角形；
命题Ⅲ：　△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC边上的中点，求证：△ABC是等腰三角形　；
①请你写出命题Ⅲ的几何语言；
②小明猜想的三个命题是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明．
【答案】Ⅲ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形；
（1）如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形；
（2）△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC边上的中点，求证：△ABC是等腰三角形；
①见解析；
②都是真命题，证明见解析．
【分析】Ⅲ、由真命题即可得到新命题；
（1）根据前面的命题猜想第Ⅲ个命题即可；
（2）根据命题Ⅲ的题设和结论写出已知、求证即可；
①用几何语言写出题设、结论即可；
②命题Ⅰ、证△ADB≌△ADC（SAS），得AB＝AC，即可得出结论；
命题Ⅱ、证△ADB≌△ADC（ASA），得AB＝AC，即可得出结论；
命题Ⅲ、过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，由角平分线的性质得DE＝DF，再证Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），得∠B＝∠C，即可得出结论．
【解答】解：Ⅲ．由等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线，得到新命题：如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形；
故答案为：如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形；
（1）根据前面的命题3写出小明猜想的第Ⅲ个命题：如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形；
故答案为：如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形；
（2）已知，△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC边上的中点，求证：△ABC是等腰三角形；
故答案为：△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC边上的中点，求证：△ABC是等腰三角形；
①∵∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，
∴AB＝AC；
②小明猜想的三个命题都是真命题，证明如下：
命题Ⅰ、∵D是BC边上的中点，
∴BD＝CD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
命题Ⅱ、∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（ASA），
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
命题Ⅲ、过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形．