2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高二（上）入学数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高二（上）入学数学试卷，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高二（上）入学数学试卷
一、单项选择题（共8个小题，每个小题5分，共40分）
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜4}，则集合A的非空子集个数是（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
2．（5分）命题p：x2+2x﹣8＜0，命题q：|x+1|≤3，则p是q的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
3．（5分）已知tan（α+β）＝5，tan（α﹣β）＝3，则tan2β＝（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且A'B'＝1，O'C'＝3，O'A'＝2，则原梯形的面积为（　　）

A． B． C．8 D．4
5．（5分）有17名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前8名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道17名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6．（5分）若实数a，b满足，则ab的最小值为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
7．（5分）四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体．现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）从直线l：3x+4y＝15上的动点P作圆x2+y2＝1的两条切线，切点分别为C，D，则角CPD最大时，四边形OCPD（O为坐标原点）面积是（　　）
A． B．2 C．2 D．2
二、多项选择题（共4个小题，每个小题全对5分，选对不全对3分，共20分）
9．（5分）与直线l：3x﹣4y﹣1＝0平行且到直线l的距离为2的直线方程是（　　）
A．3x﹣4y﹣11＝0或3x﹣4y+9＝0
B．3x﹣4y﹣11＝0
C．3x﹣4y+11＝0或3x﹣4y﹣9＝0
D．3x﹣4y+9＝0
（多选）10．（5分）已知空间向量（﹣2，﹣1，1），（3，4，5），则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
（多选）11．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．g（x）的最小正周期为π
B．g（x）在区间上单调递减
C．是函数g（x）图象的对称轴
D．g（x）在上的最小值为
（多选）12．（5分）某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（　　）
A．P1•P2 B．P1＝P2 C．P1+P2 D．P1＞P2
三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）
13．（5分）设复数z满足z（1﹣i）＝4i（i为虚数单位），则复数z的模为　 　．
14．（5分）若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m＜0”为真命题，则实数m的取值范围为 　 　．
15．（5分）对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图．由图可知，这一批电子元件中寿命的85%分位数为 　 　h．

16．（5分）已知直线l：mx+y+3m0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝　 　．
四、解答题（共6个小题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分）
17．（10分）设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）＝2．
（1）求a的值及f（x）的定义域．
（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．
18．（12分）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
（Ⅰ）求这名同学得300分的概率；
（Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率．
19．（12分）已知向量，，设，．
（1）求的值；
（2）求，夹角的大小．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC1与平面A1BA的夹角的余弦值．

21．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bcosB﹣acosC＝ccosA．
（1）求角B的大小；
（2）若D为BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．

22．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
（1）若，求|MQ|及直线MQ的方程；
（2）求证：直线AB恒过定点．

2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高二（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（共8个小题，每个小题5分，共40分）
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜4}，则集合A的非空子集个数是（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜4}＝{0，1，2，3}，
∴集合A的非空子集个数为：24﹣1＝15．
故选：C．
2．（5分）命题p：x2+2x﹣8＜0，命题q：|x+1|≤3，则p是q的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【解答】解：命题p，由x2+2x﹣8＜0，得﹣4＜x＜2，
命题q，由|x+1|≤3，得﹣4≤x≤2，
∵（﹣4，2）⫋[﹣4，2]，
∴p是q的充分不必要条件．
故选：B．
3．（5分）已知tan（α+β）＝5，tan（α﹣β）＝3，则tan2β＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为tan（α+β）＝5，tan（α﹣β）＝3，
所以tan2β＝tan[（α+β）﹣（α﹣β）]．
故选：C．
4．（5分）一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且A'B'＝1，O'C'＝3，O'A'＝2，则原梯形的面积为（　　）

A． B． C．8 D．4
【解答】解：根据题意，设原梯形的面积为S，
等腰梯形O′A′B′C′中，A'B'＝1，O'C'＝3，O'A'＝2，
则其高h＝O′A′×sin45°＝2，
故其面积S′2，
又，所以S＝8；
故选：C．
5．（5分）有17名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前8名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道17名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【解答】解：因为共有17个人，且他们的分数各不相同，第9名的成绩是中位数，
故要判断是否能进入决赛，他还需要知道17名同学成绩的中位数．
故选：C．
6．（5分）若实数a，b满足，则ab的最小值为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
【解答】解：实数a，b满足，则a，b＞0．
∴，可得ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号．
故选：D．
7．（5分）四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体．现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，
设正四面体的棱长为a，高为h，内切球的半径为r，
如图，设底面正三角形的中心为O′，
则CD，CO′CD，ha，
正四面体的表面积S＝4a×a，
由等体积法得VP﹣ABCrS，
即a×aar，解得ra．
∴．
故选：C．

8．（5分）从直线l：3x+4y＝15上的动点P作圆x2+y2＝1的两条切线，切点分别为C，D，则角CPD最大时，四边形OCPD（O为坐标原点）面积是（　　）
A． B．2 C．2 D．2
【解答】解：如图所示，

由直线l：3x+4y﹣15＝0，圆O：x2+y2＝1；
求出圆心O到直线l的距离为d3，此时直线l上的点到圆心的距离最小；
过圆心O作OP⊥l，垂足为P，过点P作圆的切线PC、PD，切线长最短，
因为△OPD是直角三角形，所以张角CPD最大；
又因为S四边形OCPD＝2S△OPD，
计算S△OPD|PD|•|OD||OD|1，
所以四边形OCPD的面积为2．
故选：B．

二、多项选择题（共4个小题，每个小题全对5分，选对不全对3分，共20分）
9．（5分）与直线l：3x﹣4y﹣1＝0平行且到直线l的距离为2的直线方程是（　　）
A．3x﹣4y﹣11＝0或3x﹣4y+9＝0
B．3x﹣4y﹣11＝0
C．3x﹣4y+11＝0或3x﹣4y﹣9＝0
D．3x﹣4y+9＝0
【解答】解：由题意设所求的直线方程为3x﹣4y+c＝0，
根据与直线3x﹣4y﹣1＝0的距离为2得2，
解得c＝﹣11，或 c＝9，
故所求的直线方程为3x﹣4y﹣11＝0或3x﹣4y+9＝0．
故选：A．
（多选）10．（5分）已知空间向量（﹣2，﹣1，1），（3，4，5），则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，2（﹣1，2，7），而（﹣2，﹣1，1），故（2）∥不成立，A错误；
对于B，||，||5，5||||＝5，B正确；
对于C，56（8，19，35），•（56）＝﹣16﹣19+35＝0，则有⊥（56），C正确；
对于D，设与夹角为θ，则有•6﹣4+5＝﹣5，故cosθ，D错误；
故选：BC．
（多选）11．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．g（x）的最小正周期为π
B．g（x）在区间上单调递减
C．是函数g（x）图象的对称轴
D．g（x）在上的最小值为
【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数g（x）＝cos（2x）＝cos（2x）的图象，
故g（x）的最小正周期为π，故A正确；
当x∈[0，]，2x∈[，]，g（x）没有单调性，故B错误；
当x时，g（x）＝0，不是最值，故C错误；
当x∈[，]，2x∈[0，]，g（x）单调递减，故当2x时，g（x）取得最小值为，
故选：AD．
（多选）12．（5分）某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（　　）
A．P1•P2 B．P1＝P2 C．P1+P2 D．P1＞P2
【解答】解：方案一：三辆车到达酒店的顺序可能为（1号，2号，3号），（1号，3号，2号），（2号，1号，3号），（2号，3号，1号），
（3号，1号，2号），（3号，2号，1号），共6种．
嘉宾坐到“3号”车为：（1号，3号，2号），（2号，1号，3号），（2号，3号，1号），共3种，故概率为．
方案二：．
故选：ACD．
三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）
13．（5分）设复数z满足z（1﹣i）＝4i（i为虚数单位），则复数z的模为　　．
【解答】解：由z（1﹣i）＝4i，得z，
∴|z|．
故答案为：．
14．（5分）若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m＜0”为真命题，则实数m的取值范围为 　m＜1　．
【解答】解：若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m＜0”是真命题，
则判别式Δ＞0，即Δ＝4﹣4m＞0，
解得m＜1，
故答案为：m＜1
15．（5分）对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图．由图可知，这一批电子元件中寿命的85%分位数为 　500　h．

【解答】解：由频率分布直方图得[0，500）的频率为：
（）×100＝0.85，
∴由图可知，这一批电子元件中寿命的85%分位数为500h．
故答案为：500．
16．（5分）已知直线l：mx+y+3m0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝　4　．
【解答】解：由题意，|AB|＝2，
∴圆心到直线的距离d＝3，
∴3，∴m
∴直线l的倾斜角为30°，
∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，
∴|CD|4．
故答案为：4．

四、解答题（共6个小题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分）
17．（10分）设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）＝2．
（1）求a的值及f（x）的定义域．
（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．
【解答】解：（1）∵f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1），
∴f（1）＝loga2+loga2＝2loga2＝2，
∴a＝2；
∴f（x）＝log2（1+x）+log2（3﹣x），
∴，
解得﹣1＜x＜3；
∴f（x）的定义域是（﹣1，3）．
（2）∵f（x）＝log2（1+x）+log2（3﹣x）＝log2（1+x）（3﹣x）＝log2[﹣（x﹣1）2+4]，
且x∈（﹣1，3）；
∴当x＝1时，f（x）在区间[0，]上取得最大值，是log24＝2．
18．（12分）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
（Ⅰ）求这名同学得300分的概率；
（Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率．
【解答】解：记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai（i＝1，2，3），则
P（A1）＝0.8，P（A2）＝0.7，P（A3）＝0.6．
（Ⅰ）由题意知答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．
各题答对与否相互之间没有影响，
这名同学得300分包括两种情况，一是答对第一和第三两个题目，
二是答对第二和第三两个题目，
这两种情况是互斥的，
P1＝P（A1A3）+P（A2A3）
＝P（A1）P（）P（A3）+P（）P（A2）P（A3）
＝0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6
＝0.228．

（Ⅱ）这名同学至少得300分包括得300分或得400分，这两种情况是互斥的，
根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果．
P2＝P1+P（A1A2A3）
＝0.228+P（A1）P（A2）P（A3）
＝0.228+0.8×0.7×0.6
＝0.564．
19．（12分）已知向量，，设，．
（1）求的值；
（2）求，夹角的大小．
【解答】解：（1）∵，，
∴sinαcosα+sinαcosα＝0，||＝1，||＝1，
∴．
（2）•（）•（）42，
||2，
同理可得，||＝2，
∴cos，，
∴，，
故，的夹角为．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC1与平面A1BA的夹角的余弦值．

【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，

A1（0，0，4），B（2，0，0），C1（0，2，4），D（1，1，0），
（2，0，﹣4），（1，﹣1，﹣4），
设异面直线A1B与C1D所成角为θ，
则异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为：
cosθ．
（2）（1，1，0），（0，2，4），
设平面ADC1的法向量（x，y，z），
则，取x＝2，得（2，﹣2，1），
平面A1BA的法向量（0，1，0），
设平面ADC1与平面A1BA的夹角为α，
则平面ADC1与平面A1BA的夹角的余弦值为：cosα．
21．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bcosB﹣acosC＝ccosA．
（1）求角B的大小；
（2）若D为BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．

【解答】解：（1）∵，由正弦定理，
得，
即，
即．
∵0＜B＜π，
∴sinB＞0．
∴，即，
又∵0＜B＜π，
∴．………………………（6分）
（2）△ACD中，∵AD＝5，AC＝7，DC＝3，
∴．
∵0＜∠ADC＜π，
∴．
在△ABD中，AD＝5，，，
∴由正弦定理，得，
∴．…………………………（12分）
22．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
（1）若，求|MQ|及直线MQ的方程；
（2）求证：直线AB恒过定点．
【解答】解：（1）设直线MQ∩AB＝P，则|AP|，
又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，
∴|MP|，|AM|2＝|MQ|•|MP|，∴|MQ|＝3，
设Q（x，0），而点M（0，2），由3，得x，则Q（，0）或（，0），
从而直线MQ的方程为：2x20，或2x0．
（2）证明：设点Q（q，0），由几何性质可以知道，A，B在以QM为直径的圆上，
此圆的方程为x2+y2﹣qx﹣2y＝0，AB为两圆的公共弦，
两圆方程相减得qx﹣2y+3＝0，
∴直线AB：y恒过定点（0，）．
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