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2021-2022学年湖南省长沙市周南中学高二（上）入学数学试卷
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这是一份2021-2022学年湖南省长沙市周南中学高二（上）入学数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省长沙市周南中学高二（上）入学数学试卷
一、单选题：（每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）.
1．（5分）函数f（x）的定义域为（ ）
A．[﹣2，2] B．[0，2] C．（0，2] D．[﹣2，0）∪（0，2]
2．（5分）已知集合A＝{x|1＜2x≤16}，B＝{x|x＜a（a＞4）}，则“x∈A”是“x∈B”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）东方设计中的“白银比例”是1：，它的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”，传达出一种独特的东方审美观．折扇的纸面可看作是从一个大扇形纸面中剪掉一个小扇形纸面后剩下的图形，如图所示，设制作折扇剪下的小扇形纸面面积为S1，折扇纸面面积为S2，当S1：S2＝1：时，扇面看上去较为美观，那么剪下的小扇形半径与原大扇形半径之比的平方为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知非零向量、，且2，56，72，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
5．（5分）已知a，b表示不同的直线，α，β，γ表示不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β
B．若a⊂α，a垂直于β内两条直线，则α⊥β
C．若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b
D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β
6．（5分）若从A、B、C、D四个字母中任选一个字母，再从1，2，3，4四个数字中任选两个数字组成一组“代码”，则该组“代码”恰好包含两个奇数或两个偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知向量（cosα，sinα），（﹣sinα，cosα），，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）定义域在[a，b]的函数y＝f（x）图象的两个端点为A，B，向量，设M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x＝λa+（1﹣λ）b，λ∈[0，1]，若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阈值．下列定义在[1，2]上的函数中，线性近似阈值最小的是（ ）
A．y B．y＝x2 C．y＝x D．y＝sinx
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
（多选）9．（5分）设复数z（a，b∈R且b≠0），则下列结论正确的是（ ）
A．z可能是实数 B．恒成立
C．若z2∈R，则a＝0 D．若，则|z|＝2
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．已知x＞1，则y＝2x1的最小值为41
C．若实数x，y为正数，且x+2y＝3xy，则2x+y的最小值是1
D．设x，y为实数，若9x2+y2+xy＝1
（多选）11．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．g（x）的最小正周期为π
B．g（x）在区间上单调递减
C．是函数g（x）图象的对称轴
D．g（x）在上的最小值为
（多选）12．（5分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，将△ABE，△ADF分别沿AE，AF折起，使B，D两点重合于H，下列说法正确的是（ ）
A．若把△CEF沿EF继续折起，C与H恰好重合
B．AH⊥EF
C．四面体A﹣HEF的外接球体积为
D．点H在面AEF上的射影为△AEF的重心
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知2x＝3y＝6，则 ．
14．（5分）已知点A（﹣1，1），B（3，y），向量（1，2），若与成锐角，则y的取值范围为 ．
15．（5分）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为 ．
16．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PA＝PB＝PC＝PD，AB＝2，若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则以点P为球心，以为半径的球的表面与四棱锥侧面PAB交线的长度约为 ，该四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为 .（参考数据tan35°）
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP．
（1）求直线AP与平面BCC1B1所成的角的正弦值大小；
（2）求点P到平面ABD1的距离．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（a2+c2﹣b2）sinBaccosB．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且b＝1，求2a﹣c的取值范围．
19．（12分）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
（ⅰ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
20．（12分）已知向量，，函数f（x）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数y＝f（x）﹣k在区间有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
21．（12分）如图1，平面四边形ABCD中，AB＝AC，AB⊥AC，AC⊥CD，E为BC的中点，将△ACD沿对角线AC折起，使CD⊥BC，连接BD，得到如图2所示的三棱锥D﹣ABC．
（1）证明：平面ADE⊥平面BCD；
（2）已知直线DE与平面ABC所成角为，求平面ABD与平面CBD夹角的余弦值．
22．（12分）函数f（x）的定义域为D，若存在正实数k，对任意的x∈D，总有|f（x）﹣f（﹣x）|≤k，则称函数f（x）具有性质P（k）．
（1）判断下列函数是否具有性质P（1），并说明理由；
①f（x）＝2022；②g（x）＝x；
（2）已知f（x）为二次函数，若存在正实数k，使得函数f（x）具有性质P（k），求证：f（x）是偶函数；
（3）已知a＞0，k为给定的正实数，若函数f（x）＝log2（4x+a）﹣x具有性质P（k），求a的取值范围．
2021-2022学年湖南省长沙市周南中学高二（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：（每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）.
1．（5分）函数f（x）的定义域为（ ）
A．[﹣2，2] B．[0，2] C．（0，2] D．[﹣2，0）∪（0，2]
【解答】解：由题意，，解得0＜x≤2．
∴函数f（x）的定义域为（0，2]．
故选：C．
2．（5分）已知集合A＝{x|1＜2x≤16}，B＝{x|x＜a（a＞4）}，则“x∈A”是“x∈B”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：A＝{x|0＜x≤4}，
∴集合A真包含于集合B，
∴“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．
故选：A．
3．（5分）东方设计中的“白银比例”是1：，它的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”，传达出一种独特的东方审美观．折扇的纸面可看作是从一个大扇形纸面中剪掉一个小扇形纸面后剩下的图形，如图所示，设制作折扇剪下的小扇形纸面面积为S1，折扇纸面面积为S2，当S1：S2＝1：时，扇面看上去较为美观，那么剪下的小扇形半径与原大扇形半径之比的平方为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设剪下的小扇形的半径为r，原大扇形半径为R，扇形的弧度为α，
则S1αr2，S2αR2−αr2，
所以，则（1）r2＝R2，
所以1，
故选：B．
4．（5分）已知非零向量、，且2，56，72，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【解答】解：由向量的加法原理知5672242，
又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．
故选：A．
5．（5分）已知a，b表示不同的直线，α，β，γ表示不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β
B．若a⊂α，a垂直于β内两条直线，则α⊥β
C．若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b
D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β
【解答】解：A选项，若α∩β＝a，b⊂α，b⊥β，则α⊥β，故A错误；
B选项，若a⊂α，a垂直于β内两条相交直线，则α⊥β，B错误；
C选项，若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a与b可能垂直、平行或相交，C错误；
D选项，若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β，D正确．
故选：D．
6．（5分）若从A、B、C、D四个字母中任选一个字母，再从1，2，3，4四个数字中任选两个数字组成一组“代码”，则该组“代码”恰好包含两个奇数或两个偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：所有“代码”有24组，分别为：
A12，A13，A14，A23，A24，A34，B12，B13，
B14，B23，B24，B34，C12，C13，C14，C23，
C24，C34，D12，D13，D14，D23，D24，D34，
其中恰好包含两个奇数或两个偶数的“代码”有8组，
故该组“代码”恰好包含两个奇数或两个偶数的概率为：
P．
故选：D．
7．（5分）已知向量（cosα，sinα），（﹣sinα，cosα），，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵（cosα，sinα），（﹣sinα，cosα），
∴，，，
∵，，
∴，
2，同理可得，||＝2，
设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∴，
∴，
故与的夹角为．
故选：A．
8．（5分）定义域在[a，b]的函数y＝f（x）图象的两个端点为A，B，向量，设M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x＝λa+（1﹣λ）b，λ∈[0，1]，若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阈值．下列定义在[1，2]上的函数中，线性近似阈值最小的是（ ）
A．y B．y＝x2 C．y＝x D．y＝sinx
【解答】解：由题意可得点M，N的横坐标相等，点N在线段AB上，所以|MN|＝|yM﹣yN|，
对于A，因为，所以A（1，2），B（2，1），直线AB的方程为y＝﹣x+3，
所以N（x，﹣x+3），因为，
所以，当且仅当时等号成立所以，所以该函数的线性近似阈值为；
对于B，因为y＝x2，所以A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为y＝3x﹣2，
所以N（x，3x﹣2），因为M（x，x2），
所以，当且仅当时等号成立，
所以，所以该函数的线性近似阈值为；
对于C，由函数，得，
∴直线AB方程为，
∴，线性近似阈值为；
对于D，由函数可得方程为，由三角函数图象与性质可知，线性近似阈值为，
因为，所以线性近似阈值最小的是；
故选：C．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
（多选）9．（5分）设复数z（a，b∈R且b≠0），则下列结论正确的是（ ）
A．z可能是实数 B．恒成立
C．若z2∈R，则a＝0 D．若，则|z|＝2
【解答】解：∵z，且b≠0，
∴z不可能是实数，故A错误；
|z|＝||，故B正确；
若z2∈R，则a2﹣b2+2abi∈R，
∵b≠0，∴a＝0，故C正确；
取z，则，则z0∈R，此时|z|＝1，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．已知x＞1，则y＝2x1的最小值为41
C．若实数x，y为正数，且x+2y＝3xy，则2x+y的最小值是1
D．设x，y为实数，若9x2+y2+xy＝1
【解答】解：对于A，当x＜0时，y0，故A选项错误；
对于B，当x＞1时，x﹣1＞0，
则y＝2x1＝2（x﹣1）1≥21＝4，
当且仅当x时，等号成立，故B正确；
对于C，∵正数x，y满足x+2y＝3xy，则3，
2x+y（2x+y）（），
当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故C错误；
对于D，1＝9x2+y2+xy＝（3x+y）2（3x+y）2，
∴（3x+y）2，当且仅当y＝3x时，等号成立，可得3x+y，
x，y时，取最大值，∴3x+y的最大值为，故D正确．
故选：BD．
（多选）11．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．g（x）的最小正周期为π
B．g（x）在区间上单调递减
C．是函数g（x）图象的对称轴
D．g（x）在上的最小值为
【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数g（x）＝cos（2x）＝cos（2x）的图象，
故g（x）的最小正周期为π，故A正确；
当x∈[0，]，2x∈[，]，g（x）没有单调性，故B错误；
当x时，g（x）＝0，不是最值，故C错误；
当x∈[，]，2x∈[0，]，g（x）单调递减，故当2x时，g（x）取得最小值为，
故选：AD．
（多选）12．（5分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，将△ABE，△ADF分别沿AE，AF折起，使B，D两点重合于H，下列说法正确的是（ ）
A．若把△CEF沿EF继续折起，C与H恰好重合
B．AH⊥EF
C．四面体A﹣HEF的外接球体积为
D．点H在面AEF上的射影为△AEF的重心
【解答】解：如图：
因为HE＝HF＝CE＝CF，故把△CEF沿着EF继续折起，C与H恰好重合，A正确；
由题意可知AH⊥EF，AG⊥EF，∴EF⊥平面AGH，所以AH⊥EF，B正确；
对于C，由翻折的性质可知，AH，HE，HF两两垂直，将其补成长方体，
则长方体外接球和四面体外接球相同，其体对角线长l，
所以长方体外接球的半径为R，故外接球的体积为V•（）3π，故C正确；
对于D，因为AH，HE，HF两两互相垂直，所以点H在平面AEF上的射影为△AEF的垂心，故选项D错误；
故选：ABC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知2x＝3y＝6，则 1 ．
【解答】解：∵2x＝3y＝6，
∴x＝log26，y＝log36；
∴log62+log63
＝log66＝1，
故答案为：1．
14．（5分）已知点A（﹣1，1），B（3，y），向量（1，2），若与成锐角，则y的取值范围为 （﹣1，9）∪（9，+∞） ．
【解答】解：∵点A（﹣1，1），B（3，y），
∴，
又∵向量（1，2），与成锐角，
∴，解得y＞﹣1且y≠9，
故y的取值范围为（﹣1，9）∪（9，+∞）．
故答案为：（﹣1，9）∪（9，+∞）．
15．（5分）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为 0.228 ．
【解答】解：记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai（i＝1，2，3），
则P（A1）＝0.8，P（A2）＝0.7，P（A3）＝0.6，P（）＝1﹣0.8＝0.2，，
这名同学得300分的概率
＝0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6
＝0.228．
故答案为：0.228．
16．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PA＝PB＝PC＝PD，AB＝2，若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则以点P为球心，以为半径的球的表面与四棱锥侧面PAB交线的长度约为 ，该四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为 .（参考数据tan35°）
【解答】解：如图，连接AC，交BD于G，连接PG，
由底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，得PG⊥底面ABCD，
可得PG为四棱锥P﹣ABCD的高，
SABCD＝4，又四棱锥P﹣ABCD的体积为，∴，即PG＝1．
AGAC，则PA，
取AB中点E，连接PE，则PE⊥AB，可得PE，即tan∠APE，
则∠APE≈35°，∠APB≈70°，
∴以点P为球心，以为半径的球的表面与四棱锥侧面PAB交线的长度约为；
设四棱锥P﹣ABCD外接球的球心为O，半径为R，连接OC，
在Rt△OGC中，可得（PG﹣R）2+GC2＝R2，
即，解得R．
∴该四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为V．
故答案为：，．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP．
（1）求直线AP与平面BCC1B1所成的角的正弦值大小；
（2）求点P到平面ABD1的距离．
【解答】解：（1）如图，连接PB，由正方体的性质知∠APB即为所求的线面角，
∵CC1＝4CP，∴CP＝1，由勾股定理知BP，AB
∴sin∠APB；
（2）建立如图的空间坐标系，由已知D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），D（0，0，4），B（4，4，0）
如图（0，4，0），（﹣4，0，4）（﹣4，4，1）
令面ABD1的法向量为（x，y，z）
故有
令x＝1，则z＝1，故（1，0，1）
故点P到平面ABD1的距离d．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（a2+c2﹣b2）sinBaccosB．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且b＝1，求2a﹣c的取值范围．
【解答】解：（1）由（a2+c2﹣b2）sinBaccosB，
由余弦定理可得cosBsinBcosB，
∴cosB＝0或sinB，∵0＜B＜π，
∴B或B 或B．
（2）∵△ABC为锐角三角形，由（1）可得B；
在△ABC中，根据正弦定理，
得：asinA，csinC，
∵2a﹣c（2sinA﹣sinC）[2sinA﹣sin（A）]
（sinAcosA）＝2sin（A）．
又∵△ABC为锐角三角形，
∴A，0＜A，
∴2a﹣c∈（0，）．
19．（12分）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
（ⅰ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
【解答】解：（1）设这m人的平均年龄为，则（岁）．
设第80百分位数为a，
方法一：由5×0.02+（40﹣a）×0.04＝0.2，解得a＝37.5．
方法二：由0.05+0.35+0.3+（a﹣35）×0.04＝0.8，解得a＝37.5．
（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙．
对应的样本空间为：
Ω＝{（A，B），（A，C），（A，甲），（A，乙），（A，D），（B，C），（B，甲），（B，乙），（B，D），（C，甲），（C，乙），（C，D），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）}，共15个样本点．
设事件M＝“甲、乙两人至少一人被选上”，
则M＝{（A，甲），（A，乙），（B，甲），（B，乙），（C，甲），（C，乙），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）}，共有9个样本点．
所以，．
（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为s2．
则，．
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10．
据此，可估计这m人中年龄在35～45岁的所有人的年龄方差约为10．
20．（12分）已知向量，，函数f（x）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数y＝f（x）﹣k在区间有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）由于，，
所以函数f（x）．
令（k∈Z），
整理得（k∈Z），
故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．
（2）由于，
故，
所以．
如图所示：
根据函数的性质，参数k的取值范围为（0，1）．
21．（12分）如图1，平面四边形ABCD中，AB＝AC，AB⊥AC，AC⊥CD，E为BC的中点，将△ACD沿对角线AC折起，使CD⊥BC，连接BD，得到如图2所示的三棱锥D﹣ABC．
（1）证明：平面ADE⊥平面BCD；
（2）已知直线DE与平面ABC所成角为，求平面ABD与平面CBD夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：∵AC⊥CD，CD⊥BC，且AC∩BC＝C，
∴CD⊥平面ABC，又AE⊂平面ABC，
∴AE⊥CD，又AB＝AC，AB⊥AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，且CD∩BC＝C，
∴AE⊥平面BCD，且AE⊂平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCD；
（2）由（1）知CD⊥平面ABC，
∴直线DE与平面ABC所成角为∠CED，
∴CD＝CE，又E为CB的中点，
∵AB＝AC，AB⊥AC，∴CBAB＝2，
∴CD＝CE＝EBCB＝1，∴BD，
由（1）知AE⊥平面BCD，
过E作EH⊥BD，垂足点为H，连接AH，
则由三垂线定理可得∠AHE即为所求，
设∠EBH＝θ，则在Rt△BCD中，sinθ，
∴在Rt△BEH中，EH＝EB×sinθ＝1，
又AEBC＝1，∴在Rt△AEH中，AH，
∴cos∠AHE，
∴平面ABD与平面CBD夹角的余弦值为．
22．（12分）函数f（x）的定义域为D，若存在正实数k，对任意的x∈D，总有|f（x）﹣f（﹣x）|≤k，则称函数f（x）具有性质P（k）．
（1）判断下列函数是否具有性质P（1），并说明理由；
①f（x）＝2022；②g（x）＝x；
（2）已知f（x）为二次函数，若存在正实数k，使得函数f（x）具有性质P（k），求证：f（x）是偶函数；
（3）已知a＞0，k为给定的正实数，若函数f（x）＝log2（4x+a）﹣x具有性质P（k），求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）＝2021，定义域为R，
则有|f（x）﹣f（﹣x）|＝0，
显然存在正实数k＝1，对任意的x∈R，总有|f（x）﹣f（﹣x）|≤1，
故f（x）＝2021具有性质P（1）；
∵g（x）＝x，定义域为R，
则|g（x）﹣g（﹣x）|＝|x﹣（﹣x）|＝|2x|，
当x＝2时，|g（2）﹣g（﹣2）|＝|2×2|＝4＞k＝1，
故不具有性质P（1）．
（2）证明：假设二次函数f（x）不是偶函数，
设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），其定义域为R，即b≠0，
则|f（x）﹣f（﹣x）|＝|ax2+bx+c﹣（a（﹣x）2+b（﹣x）+c）|＝|2bx|，
易知，|f（x）﹣f（﹣x）|＝|2bx|是无界函数，
故不存在正实数k，使得函数f（x）具有性质P（k），与题设矛盾，
故f（x）是偶函数．
（3）的定义域为R，
|f（x）﹣f（﹣x）|
，
∵具有性质P（k），
即存在正实数k，对任意的x∈R，总有|f（x）﹣f（﹣x）|≤k，
即，即，
即，即，即，
即2﹣k﹣x+a⋅2x﹣k≤2x+a⋅2﹣x≤2k﹣x+a⋅2k+x，
解得2﹣k≤a≤2k，即a∈[2﹣k，2k]．
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2021-2022学年湖南省长沙市周南中学高二（上）入学数学试卷
一、单选题：（每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）.
1．（5分）函数f（x）的定义域为（ ）
A．[﹣2，2] B．[0，2] C．（0，2] D．[﹣2，0）∪（0，2]
2．（5分）已知集合A＝{x|1＜2x≤16}，B＝{x|x＜a（a＞4）}，则“x∈A”是“x∈B”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）东方设计中的“白银比例”是1：，它的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”，传达出一种独特的东方审美观．折扇的纸面可看作是从一个大扇形纸面中剪掉一个小扇形纸面后剩下的图形，如图所示，设制作折扇剪下的小扇形纸面面积为S1，折扇纸面面积为S2，当S1：S2＝1：时，扇面看上去较为美观，那么剪下的小扇形半径与原大扇形半径之比的平方为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知非零向量、，且2，56，72，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
5．（5分）已知a，b表示不同的直线，α，β，γ表示不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β
B．若a⊂α，a垂直于β内两条直线，则α⊥β
C．若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b
D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β
6．（5分）若从A、B、C、D四个字母中任选一个字母，再从1，2，3，4四个数字中任选两个数字组成一组“代码”，则该组“代码”恰好包含两个奇数或两个偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知向量（cosα，sinα），（﹣sinα，cosα），，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）定义域在[a，b]的函数y＝f（x）图象的两个端点为A，B，向量，设M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x＝λa+（1﹣λ）b，λ∈[0，1]，若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阈值．下列定义在[1，2]上的函数中，线性近似阈值最小的是（ ）
A．y B．y＝x2 C．y＝x D．y＝sinx
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
（多选）9．（5分）设复数z（a，b∈R且b≠0），则下列结论正确的是（ ）
A．z可能是实数 B．恒成立
C．若z2∈R，则a＝0 D．若，则|z|＝2
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．已知x＞1，则y＝2x1的最小值为41
C．若实数x，y为正数，且x+2y＝3xy，则2x+y的最小值是1
D．设x，y为实数，若9x2+y2+xy＝1
（多选）11．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．g（x）的最小正周期为π
B．g（x）在区间上单调递减
C．是函数g（x）图象的对称轴
D．g（x）在上的最小值为
（多选）12．（5分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，将△ABE，△ADF分别沿AE，AF折起，使B，D两点重合于H，下列说法正确的是（ ）
A．若把△CEF沿EF继续折起，C与H恰好重合
B．AH⊥EF
C．四面体A﹣HEF的外接球体积为
D．点H在面AEF上的射影为△AEF的重心
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知2x＝3y＝6，则 ．
14．（5分）已知点A（﹣1，1），B（3，y），向量（1，2），若与成锐角，则y的取值范围为 ．
15．（5分）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为 ．
16．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PA＝PB＝PC＝PD，AB＝2，若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则以点P为球心，以为半径的球的表面与四棱锥侧面PAB交线的长度约为 ，该四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为 .（参考数据tan35°）
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP．
（1）求直线AP与平面BCC1B1所成的角的正弦值大小；
（2）求点P到平面ABD1的距离．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（a2+c2﹣b2）sinBaccosB．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且b＝1，求2a﹣c的取值范围．
19．（12分）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
（ⅰ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
20．（12分）已知向量，，函数f（x）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数y＝f（x）﹣k在区间有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
21．（12分）如图1，平面四边形ABCD中，AB＝AC，AB⊥AC，AC⊥CD，E为BC的中点，将△ACD沿对角线AC折起，使CD⊥BC，连接BD，得到如图2所示的三棱锥D﹣ABC．
（1）证明：平面ADE⊥平面BCD；
（2）已知直线DE与平面ABC所成角为，求平面ABD与平面CBD夹角的余弦值．
22．（12分）函数f（x）的定义域为D，若存在正实数k，对任意的x∈D，总有|f（x）﹣f（﹣x）|≤k，则称函数f（x）具有性质P（k）．
（1）判断下列函数是否具有性质P（1），并说明理由；
①f（x）＝2022；②g（x）＝x；
（2）已知f（x）为二次函数，若存在正实数k，使得函数f（x）具有性质P（k），求证：f（x）是偶函数；
（3）已知a＞0，k为给定的正实数，若函数f（x）＝log2（4x+a）﹣x具有性质P（k），求a的取值范围．
2021-2022学年湖南省长沙市周南中学高二（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：（每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）.
1．（5分）函数f（x）的定义域为（ ）
A．[﹣2，2] B．[0，2] C．（0，2] D．[﹣2，0）∪（0，2]
【解答】解：由题意，，解得0＜x≤2．
∴函数f（x）的定义域为（0，2]．
故选：C．
2．（5分）已知集合A＝{x|1＜2x≤16}，B＝{x|x＜a（a＞4）}，则“x∈A”是“x∈B”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：A＝{x|0＜x≤4}，
∴集合A真包含于集合B，
∴“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．
故选：A．
3．（5分）东方设计中的“白银比例”是1：，它的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”，传达出一种独特的东方审美观．折扇的纸面可看作是从一个大扇形纸面中剪掉一个小扇形纸面后剩下的图形，如图所示，设制作折扇剪下的小扇形纸面面积为S1，折扇纸面面积为S2，当S1：S2＝1：时，扇面看上去较为美观，那么剪下的小扇形半径与原大扇形半径之比的平方为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设剪下的小扇形的半径为r，原大扇形半径为R，扇形的弧度为α，
则S1αr2，S2αR2−αr2，
所以，则（1）r2＝R2，
所以1，
故选：B．
4．（5分）已知非零向量、，且2，56，72，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【解答】解：由向量的加法原理知5672242，
又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．
故选：A．
5．（5分）已知a，b表示不同的直线，α，β，γ表示不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β
B．若a⊂α，a垂直于β内两条直线，则α⊥β
C．若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b
D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β
【解答】解：A选项，若α∩β＝a，b⊂α，b⊥β，则α⊥β，故A错误；
B选项，若a⊂α，a垂直于β内两条相交直线，则α⊥β，B错误；
C选项，若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a与b可能垂直、平行或相交，C错误；
D选项，若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β，D正确．
故选：D．
6．（5分）若从A、B、C、D四个字母中任选一个字母，再从1，2，3，4四个数字中任选两个数字组成一组“代码”，则该组“代码”恰好包含两个奇数或两个偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：所有“代码”有24组，分别为：
A12，A13，A14，A23，A24，A34，B12，B13，
B14，B23，B24，B34，C12，C13，C14，C23，
C24，C34，D12，D13，D14，D23，D24，D34，
其中恰好包含两个奇数或两个偶数的“代码”有8组，
故该组“代码”恰好包含两个奇数或两个偶数的概率为：
P．
故选：D．
7．（5分）已知向量（cosα，sinα），（﹣sinα，cosα），，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵（cosα，sinα），（﹣sinα，cosα），
∴，，，
∵，，
∴，
2，同理可得，||＝2，
设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∴，
∴，
故与的夹角为．
故选：A．
8．（5分）定义域在[a，b]的函数y＝f（x）图象的两个端点为A，B，向量，设M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x＝λa+（1﹣λ）b，λ∈[0，1]，若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阈值．下列定义在[1，2]上的函数中，线性近似阈值最小的是（ ）
A．y B．y＝x2 C．y＝x D．y＝sinx
【解答】解：由题意可得点M，N的横坐标相等，点N在线段AB上，所以|MN|＝|yM﹣yN|，
对于A，因为，所以A（1，2），B（2，1），直线AB的方程为y＝﹣x+3，
所以N（x，﹣x+3），因为，
所以，当且仅当时等号成立所以，所以该函数的线性近似阈值为；
对于B，因为y＝x2，所以A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为y＝3x﹣2，
所以N（x，3x﹣2），因为M（x，x2），
所以，当且仅当时等号成立，
所以，所以该函数的线性近似阈值为；
对于C，由函数，得，
∴直线AB方程为，
∴，线性近似阈值为；
对于D，由函数可得方程为，由三角函数图象与性质可知，线性近似阈值为，
因为，所以线性近似阈值最小的是；
故选：C．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
（多选）9．（5分）设复数z（a，b∈R且b≠0），则下列结论正确的是（ ）
A．z可能是实数 B．恒成立
C．若z2∈R，则a＝0 D．若，则|z|＝2
【解答】解：∵z，且b≠0，
∴z不可能是实数，故A错误；
|z|＝||，故B正确；
若z2∈R，则a2﹣b2+2abi∈R，
∵b≠0，∴a＝0，故C正确；
取z，则，则z0∈R，此时|z|＝1，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．已知x＞1，则y＝2x1的最小值为41
C．若实数x，y为正数，且x+2y＝3xy，则2x+y的最小值是1
D．设x，y为实数，若9x2+y2+xy＝1
【解答】解：对于A，当x＜0时，y0，故A选项错误；
对于B，当x＞1时，x﹣1＞0，
则y＝2x1＝2（x﹣1）1≥21＝4，
当且仅当x时，等号成立，故B正确；
对于C，∵正数x，y满足x+2y＝3xy，则3，
2x+y（2x+y）（），
当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故C错误；
对于D，1＝9x2+y2+xy＝（3x+y）2（3x+y）2，
∴（3x+y）2，当且仅当y＝3x时，等号成立，可得3x+y，
x，y时，取最大值，∴3x+y的最大值为，故D正确．
故选：BD．
（多选）11．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．g（x）的最小正周期为π
B．g（x）在区间上单调递减
C．是函数g（x）图象的对称轴
D．g（x）在上的最小值为
【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数g（x）＝cos（2x）＝cos（2x）的图象，
故g（x）的最小正周期为π，故A正确；
当x∈[0，]，2x∈[，]，g（x）没有单调性，故B错误；
当x时，g（x）＝0，不是最值，故C错误；
当x∈[，]，2x∈[0，]，g（x）单调递减，故当2x时，g（x）取得最小值为，
故选：AD．
（多选）12．（5分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，将△ABE，△ADF分别沿AE，AF折起，使B，D两点重合于H，下列说法正确的是（ ）
A．若把△CEF沿EF继续折起，C与H恰好重合
B．AH⊥EF
C．四面体A﹣HEF的外接球体积为
D．点H在面AEF上的射影为△AEF的重心
【解答】解：如图：
因为HE＝HF＝CE＝CF，故把△CEF沿着EF继续折起，C与H恰好重合，A正确；
由题意可知AH⊥EF，AG⊥EF，∴EF⊥平面AGH，所以AH⊥EF，B正确；
对于C，由翻折的性质可知，AH，HE，HF两两垂直，将其补成长方体，
则长方体外接球和四面体外接球相同，其体对角线长l，
所以长方体外接球的半径为R，故外接球的体积为V•（）3π，故C正确；
对于D，因为AH，HE，HF两两互相垂直，所以点H在平面AEF上的射影为△AEF的垂心，故选项D错误；
故选：ABC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知2x＝3y＝6，则 1 ．
【解答】解：∵2x＝3y＝6，
∴x＝log26，y＝log36；
∴log62+log63
＝log66＝1，
故答案为：1．
14．（5分）已知点A（﹣1，1），B（3，y），向量（1，2），若与成锐角，则y的取值范围为 （﹣1，9）∪（9，+∞） ．
【解答】解：∵点A（﹣1，1），B（3，y），
∴，
又∵向量（1，2），与成锐角，
∴，解得y＞﹣1且y≠9，
故y的取值范围为（﹣1，9）∪（9，+∞）．
故答案为：（﹣1，9）∪（9，+∞）．
15．（5分）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为 0.228 ．
【解答】解：记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai（i＝1，2，3），
则P（A1）＝0.8，P（A2）＝0.7，P（A3）＝0.6，P（）＝1﹣0.8＝0.2，，
这名同学得300分的概率
＝0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6
＝0.228．
故答案为：0.228．
16．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PA＝PB＝PC＝PD，AB＝2，若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则以点P为球心，以为半径的球的表面与四棱锥侧面PAB交线的长度约为 ，该四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为 .（参考数据tan35°）
【解答】解：如图，连接AC，交BD于G，连接PG，
由底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，得PG⊥底面ABCD，
可得PG为四棱锥P﹣ABCD的高，
SABCD＝4，又四棱锥P﹣ABCD的体积为，∴，即PG＝1．
AGAC，则PA，
取AB中点E，连接PE，则PE⊥AB，可得PE，即tan∠APE，
则∠APE≈35°，∠APB≈70°，
∴以点P为球心，以为半径的球的表面与四棱锥侧面PAB交线的长度约为；
设四棱锥P﹣ABCD外接球的球心为O，半径为R，连接OC，
在Rt△OGC中，可得（PG﹣R）2+GC2＝R2，
即，解得R．
∴该四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为V．
故答案为：，．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP．
（1）求直线AP与平面BCC1B1所成的角的正弦值大小；
（2）求点P到平面ABD1的距离．
【解答】解：（1）如图，连接PB，由正方体的性质知∠APB即为所求的线面角，
∵CC1＝4CP，∴CP＝1，由勾股定理知BP，AB
∴sin∠APB；
（2）建立如图的空间坐标系，由已知D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），D（0，0，4），B（4，4，0）
如图（0，4，0），（﹣4，0，4）（﹣4，4，1）
令面ABD1的法向量为（x，y，z）
故有
令x＝1，则z＝1，故（1，0，1）
故点P到平面ABD1的距离d．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（a2+c2﹣b2）sinBaccosB．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且b＝1，求2a﹣c的取值范围．
【解答】解：（1）由（a2+c2﹣b2）sinBaccosB，
由余弦定理可得cosBsinBcosB，
∴cosB＝0或sinB，∵0＜B＜π，
∴B或B 或B．
（2）∵△ABC为锐角三角形，由（1）可得B；
在△ABC中，根据正弦定理，
得：asinA，csinC，
∵2a﹣c（2sinA﹣sinC）[2sinA﹣sin（A）]
（sinAcosA）＝2sin（A）．
又∵△ABC为锐角三角形，
∴A，0＜A，
∴2a﹣c∈（0，）．
19．（12分）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
（ⅰ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
【解答】解：（1）设这m人的平均年龄为，则（岁）．
设第80百分位数为a，
方法一：由5×0.02+（40﹣a）×0.04＝0.2，解得a＝37.5．
方法二：由0.05+0.35+0.3+（a﹣35）×0.04＝0.8，解得a＝37.5．
（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙．
对应的样本空间为：
Ω＝{（A，B），（A，C），（A，甲），（A，乙），（A，D），（B，C），（B，甲），（B，乙），（B，D），（C，甲），（C，乙），（C，D），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）}，共15个样本点．
设事件M＝“甲、乙两人至少一人被选上”，
则M＝{（A，甲），（A，乙），（B，甲），（B，乙），（C，甲），（C，乙），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）}，共有9个样本点．
所以，．
（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为s2．
则，．
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10．
据此，可估计这m人中年龄在35～45岁的所有人的年龄方差约为10．
20．（12分）已知向量，，函数f（x）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数y＝f（x）﹣k在区间有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）由于，，
所以函数f（x）．
令（k∈Z），
整理得（k∈Z），
故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．
（2）由于，
故，
所以．
如图所示：
根据函数的性质，参数k的取值范围为（0，1）．
21．（12分）如图1，平面四边形ABCD中，AB＝AC，AB⊥AC，AC⊥CD，E为BC的中点，将△ACD沿对角线AC折起，使CD⊥BC，连接BD，得到如图2所示的三棱锥D﹣ABC．
（1）证明：平面ADE⊥平面BCD；
（2）已知直线DE与平面ABC所成角为，求平面ABD与平面CBD夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：∵AC⊥CD，CD⊥BC，且AC∩BC＝C，
∴CD⊥平面ABC，又AE⊂平面ABC，
∴AE⊥CD，又AB＝AC，AB⊥AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，且CD∩BC＝C，
∴AE⊥平面BCD，且AE⊂平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCD；
（2）由（1）知CD⊥平面ABC，
∴直线DE与平面ABC所成角为∠CED，
∴CD＝CE，又E为CB的中点，
∵AB＝AC，AB⊥AC，∴CBAB＝2，
∴CD＝CE＝EBCB＝1，∴BD，
由（1）知AE⊥平面BCD，
过E作EH⊥BD，垂足点为H，连接AH，
则由三垂线定理可得∠AHE即为所求，
设∠EBH＝θ，则在Rt△BCD中，sinθ，
∴在Rt△BEH中，EH＝EB×sinθ＝1，
又AEBC＝1，∴在Rt△AEH中，AH，
∴cos∠AHE，
∴平面ABD与平面CBD夹角的余弦值为．
22．（12分）函数f（x）的定义域为D，若存在正实数k，对任意的x∈D，总有|f（x）﹣f（﹣x）|≤k，则称函数f（x）具有性质P（k）．
（1）判断下列函数是否具有性质P（1），并说明理由；
①f（x）＝2022；②g（x）＝x；
（2）已知f（x）为二次函数，若存在正实数k，使得函数f（x）具有性质P（k），求证：f（x）是偶函数；
（3）已知a＞0，k为给定的正实数，若函数f（x）＝log2（4x+a）﹣x具有性质P（k），求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）＝2021，定义域为R，
则有|f（x）﹣f（﹣x）|＝0，
显然存在正实数k＝1，对任意的x∈R，总有|f（x）﹣f（﹣x）|≤1，
故f（x）＝2021具有性质P（1）；
∵g（x）＝x，定义域为R，
则|g（x）﹣g（﹣x）|＝|x﹣（﹣x）|＝|2x|，
当x＝2时，|g（2）﹣g（﹣2）|＝|2×2|＝4＞k＝1，
故不具有性质P（1）．
（2）证明：假设二次函数f（x）不是偶函数，
设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），其定义域为R，即b≠0，
则|f（x）﹣f（﹣x）|＝|ax2+bx+c﹣（a（﹣x）2+b（﹣x）+c）|＝|2bx|，
易知，|f（x）﹣f（﹣x）|＝|2bx|是无界函数，
故不存在正实数k，使得函数f（x）具有性质P（k），与题设矛盾，
故f（x）是偶函数．
（3）的定义域为R，
|f（x）﹣f（﹣x）|
，
∵具有性质P（k），
即存在正实数k，对任意的x∈R，总有|f（x）﹣f（﹣x）|≤k，
即，即，
即，即，即，
即2﹣k﹣x+a⋅2x﹣k≤2x+a⋅2﹣x≤2k﹣x+a⋅2k+x，
解得2﹣k≤a≤2k，即a∈[2﹣k，2k]．
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