湖南省长沙市南雅中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题

南雅中学高一入学考试

参考答案

一、基础填空题（每小题5分，共计60分）

1、下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是________．

A． B． C． D．

答案：D

2、计算：=________．

答案：

3、将抛物线向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为________．

答案： （或）

4、若关于的一元二次方程有一个根为0，则实数________．

答案：

5、在半径为40cm的⊙O中，弦AB＝40cm，点P为圆上一动点，则P到AB的距离的最大值为　   　cm．

答案：

6、如图，在中，点D和E分别在线段AB和线段AC上，且，连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若，则的度数为______________

答案：

7、设＝－3n2＋8n－1，其中为整数，则的最大值是________．

答案：4

8、设实数满足：，则________．

答案：7

9、估计（）的值应在________．

A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间

答案：C

10、锐角三角形中，，则的大小范围是________．

答案：

11、若方程的两根之差为，则________．

答案：

12、已知，则________．

答案：

二、提升填空题（每小题3分，共计24分）

13、写出一个满足方程的解，________．

答案： 范围内任何一个数都行

14、均为正整数，且，则满足方程的有序实数对有________个？

答案：2

15、设，则________．

答案：

16、如果f(a＋b)＝f(a)·f(b) (a，b为实数)且f(1)＝2，则

________．

答案：

17、如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A（-1,0）、B（-3,1）、C（-2,3）现将△绕点A顺时针旋转90°后得到△，然后将△绕点逆时针旋转90°后得到△，然后将△绕点顺时针旋转90°后得到△，则此时点的坐标为________．

答案：

            第17题图                            第18题图

18、图中由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成标号分别为1,2,3,4,5的五个封闭区域，如果区域1的面积等于上下两块区域2和3的面积之和，则这两圆的圆心距为________．

答案：

19、张阿姨家里有两个小孩，已知其中有一个女孩，那另一个也是女孩的概率是________．

答案：

20、位九年级的同学一起参加围棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此 比赛一场。计分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，且平局数不超过比赛局数的一半，则的值为________．

答案：10

三、解答题（前三题每题11分，第24题3分，共计36分）

21、在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别在OA、OB边上，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）

（1）当OC∥AB时，旋转角α＝________度；

（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．

（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长．

解：（1）60或240；...........................................................................................3分（回答出一个给1分）

（2）结论：AC＝BD，…………………………………………………………4分

理由如下：如图2中，

∵∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠COA＝∠DOB，

在△AOC和△BOD中，，

∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD；...........................................................................7分

（3）①如图3中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．

在Rt△COH中，∵OC＝1，∠COH＝30°，

∴CH＝HD＝，OH＝，

在Rt△AOH中，

AH＝，

∴BD＝AC＝CH+AH＝．

②如图4中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．

易知AC＝BD＝AH﹣CH＝，

综上所述，当A、C、D三点共线时，BD的长为或...................11分（做对一种情况得2分）

22、在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，则两点间的距离.
（1）已知点，则最长的边的长度为________；

（2）有时候，我们也可以利用此公式解决二次根式的最值问题，例如：求的最小值时，可将转化为，则可理解为平面直角坐标系中点之间的距离，只要求出点（1,2）到x轴的最短距离，即可求得的最小值.请利用此方法完成下列各题.
①的最小值不能看作（      ）
A.点（2,0）到直线的最短距离 B.点（2,2）到x轴的最短距离
C.点（2,1）到直线的最短距离 D.点（4,0）到直线的最短距离的一半
②求代数式的最小值.

22.答案：（1） …………………………………………………………………………………3分

（2）①C  ………………………………………………………6分（多选只要选了C可得2分）

解法提示：根据

，可知的最小值可看作点（2,0）到直线的最短距离、点（2,2）到x轴的最短距离、点（2,1）到直线的最短距离点（4,0）到直线的最短距离的一半，故选C.
②，则求其最小值相当于求点到点（4,1）的距离与点到点（0,0）的距离之和的最小值.
如图，在平面直角坐标系中，设，

则点D在直线上，作点O关于直线的对称点，
则，连接，
则.
连接，则当点D在线段上时，的值最小，即的值最小，为的长，
.………………………………………………………11分

23、如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－5，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)求C点坐标；

(2)若点E(x，y)为抛物线上一点(图1)，且－5<x<－2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；

(3)如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)将点A，B坐标代入抛物线解析式，得

解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2－4x＋5    ...................................................2分

点C坐标为（0,5）     ……………………………………………………3分

(2)∵E(x，y)且E点为抛物线上一点，∴E(x，－x2－4x＋5).

∵y＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9，∴抛物线的对称轴是直线x＝－2.

由题意，易得F(－2，－x2－4x＋5)，H(x，0).

∴EF＝－2－x，EH＝－x2－4x＋5.

∴矩形EHDF的周长为2(－x2－4x＋5－2－x)＝－2x2－10x＋6＝－2(x＋)2＋.

∴当x＝－时，矩形EHDF的周长最大，为.................................7分

(3)满足条件的点P坐标为(－2，7)或(－2，－3)或(－2，6)或(－2，－1)………11分（写出一个得1分）

24、如图，已知点为的内心（三条内角平分线的交点），，线段的延长线交的外接圆于点，

（1）证明：为等腰三角形.

（2）若，求线段的长.

答案：（1）证明∵I是△ABC的内心，

∴∠BAD＝∠DAC，∠ABI＝∠CBI，

∴弧BD＝弧DC，

∴BD＝DC，

∵∠BID＝∠ABI＋∠BAD，∠IBD＝∠CBI＋∠DBC，

∵∠CAD＝∠BAD＝∠DBC，

∴∠DBI＝∠BID，

∴BD＝DI，

∴BD＝CD＝ID．

∴为等腰三角形………………………………1分

（2） …………………………………………3分