专题06 染色问题-2024年新高考数学题型全归纳之排列组合

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专题06 染色问题
【方法技巧与总结】
涂色问题常用方法：
(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；
(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；
(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.
种颜色圆周染色问题
如图，把一个圆分成个扇形，每个扇形用种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有种方法.

正常着色定理
如图，用（为正整数）种颜色给图的个顶点着色，则正常着色的方法为：，.

【典型例题】

例1．（2023·全国·高三专题练习）如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）

A．72 B．48 C．36 D．24

例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ）

A． B． C． D．

例3．（2023·全国·高三专题练习）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案.

A．96 B．144 C．240 D．360

例4．（2023·全国·高三专题练习）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（    ）

A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种

例5．（2023·全国·高三专题练习）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（　　）

A．种 B．种 C．种 D．种

例6．（2023·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）

A．120种 B．720种 C．840种 D．960种

例7．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为（    ）

A．6 B．10 C．16 D．20

例8．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（    ）

A．1440 B．720 C．1920 D．960

例9．（2023·全国·高三专题练习）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（    ）

A．480 B．720 C．1080 D．1200

例10．（2023·全国·高三专题练习）用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（    ）
A．种 B．种 C．种 D．种

例11．（2023·全国·高三专题练习）正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（    ）种.
A．420 B．600 C．720 D．780

例12．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（    ）.

A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种

例13．（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）

A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不对

例14．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是(　　)

A．420 B．210 C．70 D．35

例15．（2023·全国·高二专题练习）如图，给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有______种.


例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G，H八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有___________种.


例17．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)．


例18．（2023·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域，，，和，，，分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有_________种；区域，，，和，，，分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种.


例19．（2023·陕西宝鸡·统考一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种.


例20．（2023秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有_____________种.


例21．（2023·高二课时练习）如图，用5种不同的颜色给图中的、、、、、6个不同的点涂色，要求每个点涂1种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有______种.


例22．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的十一面体中，用种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．


例23．（2023·全国·高二专题练习）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．





例24．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个正方形花圃被分成5份．

(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？
(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？




例25．（2023·全国·高三专题练习）用种不同的颜色给如图所示的、、、四个区域涂色．

（1）若相邻区域能用同一种颜色，则图①有多少种不同的涂色方案？
（2）若相邻区域不能用同一种颜色，当时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？
（3）若相邻区域不能用同一种颜色，图③有种不同的涂色方案，求的值．




例26．（2023·全国·高二专题练习）如图所示的，，，按照下列要求涂色．

（1）用3种不同颜色填涂图中，，，四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？
（2）若恰好用3种不同颜色给，，，四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？
（3）若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？




例27．（2023·全国·高二专题练习）（1）从5种颜色种选出3种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每一个顶点涂一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点异色，则不同的涂色方法有______种；
（2）从5种颜色种选出4种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每一个顶点涂一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点异色，则不同的涂色方法有______种．