专题05 分堆问题-2024年新高考数学题型全归纳之排列组合

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专题05 分堆问题
【方法技巧与总结】
分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成堆（组）
必须除以；如果有堆（组）元素个数相同，必须除以.
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）某研究机构采访了“—带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词表达对中国的印象，使用频率前12的关键词为高铁，移动支付，网购，共享单车、一带一路、无人机、大熊猫、广场舞、中华美食、长城、京剧、美丽乡村．其中使用频率排前4的关键词“高铁、移动支付、网购、共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”．若将这12个关键词平均分成3组，且各组都包含“新四大发明”关键词．则不同的分法种数为（    ）
A．1680 B．3360 C．6720 D．10080
【答案】B
【解析】先将4个“新四大发明”分成1，1，2三组，有种不同的分法，
再将余下的8个分成3，3，2三组，有种不同的分法，最后配成三组，所以共有种不同的分法．
故选：B.
例2．（2023·全国·高三专题练习）贵阳一中体育节中，乒乓球球单打12强中有4个种子选手，将这12人平均分成3个组（每组4个人）、则4个种子选手恰好被分在同一组的分法有（    ）
A．21 B．42 C．35 D．70
【答案】C
【解析】4个种子选手分在同一组，即剩下的8人平均分成2组，方法有种，
故选:C．
例3．（2023·高二课时练习）把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（　　）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【答案】A
【解析】分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法．
三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法．
三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的．
考点：本题主要考查分类计数原理的应用．
例4．（2022春·福建泉州·高二校联考期中）在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有（    ）
A．25种 B．30种 C．40种 D．50种
【答案】C
【解析】就Grace的实际参与情况进行分类计数：
第一类，Grace不参与该项任务，则满足题意的不同搜寻方案有种：
第二类，Grace参与搜寻近处投掷点的食物，则满足题意的不同搜寻方案有种，
因此由加法计数原理得知，满足题意的不同搜寻方案有30+10=40(种)，
故选：C.
例5．（2022春·山东淄博·高二山东省淄博第一中学校考期中）某市政府决定派遣名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，则不同的派遣方案共有（    ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、，
两组的人数为和的方法数为（种），
两组的人数都是的方法为（种），
则不同的派遣方案种数为（种)．
故选：C
例6．（2022·全国·高二专题练习）将12个不同的物体分成3组，每组4个，则不同的分法种数为（    ）.
A．34650 B．5940 C．495 D．5775
【答案】D
【解析】不同的分法种数为.
故选：D.
例7．（2022·全国·高二专题练习）某中学要给三个班级补发8套教具，先将其分成3堆，其中一堆4套，另两堆每堆2套，则不同的分堆方法种数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由条件可知，8套教具，分成4，2，2，共有种分法．
故选：C．
例8．（2022秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）将6名同学分成两个学习小组，每组至少两人，则不同的分组方法共有___________种.
【答案】25
【解析】由题知，6人分为两组共有两种分法：
（1）一组2人，一组4人：这种分法数为种；
（2）两组均为3人：这种分法数为种，
所以，由分类加法原理可得共有25种分法.
故答案为：25
例9．（2022·高二课时练习）某亲子栏目中，节目组给6位小朋友布置一项搜寻空投食物的任务，已知：①食物投掷点有远、近两处；②由于小朋友甲年纪尚小，所以要么不参与该项任务，要么参与搜寻近处投掷点的食物，但不参与时另需1位小朋友在大本营陪同；③所有参与搜寻任务的小朋友被均匀分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案共有______种．
【答案】40
【解析】若甲不参与任务，则需要先从剩下的5位小朋友中任意选出1位陪同，有种选择，再从剩下的4位小朋友中选出2位搜寻远处，有种选择，最后剩下的2位小朋友搜寻近处，因此搜寻方案有（种）；若甲参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小朋友中选出2位搜寻近处，有种选择，剩下的3位小朋友去搜寻远处，因此搜寻方案有（种）．综上，搜寻方案共有30＋10＝40（种）．
故答案为：40.
例10．（2022春·河北保定·高二校联考阶段练习）将11人分成4组，每组至少2人，则不同的分组方法种数为___________.
【答案】
【解析】依题意，将11人分成4组，可得各组的人数为2，2，2，5或2，2，3，4或2，3，3，3，故不同的分组方法种数为
.
故答案为：.
例11．（2022·全国·高三专题练习）8名学生平均分成两组，每组都围成一个个圆圈，有______种不同的围法．
【答案】1260或
【解析】8名学生平均分成两组，有种分组法，每组都围成一个圈，两个组有种围法，所以共有种不同的围法．
故答案为：1260或.
例12．（2022春·天津河西·高二天津市新华中学校考期中）10个人参加义务劳动，分成4组，各组分别为2人、2人、2人、4人，则不同的分组方案共有__________种（用数字作答）.
【答案】3150
【解析】先从10人抽出4人，有 种方法，
再将剩余的6人平均分为3组，有 种分法，
故共有种分组方案，
故答案为：3150
例13．（2022·高二课时练习）本不同的书平均分成堆，每堆本，共有______种分法.
【答案】
【解析】先分三次取书，每次取两本，则应是种方法，但是这里出现了重复.
不妨记本书分别为、、、、、，
若第一次取，第二次取，第三次，该种分法记为，
则种分法中还有、、、、，种情况，
而这种情况，仅是、、的顺序不同，因此只能作为一种分法，
故满足题意的分法共有（种）.
故答案为：.
例14．（2023·全国·高二专题练习）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)一堆1本，一堆2本，一堆3本；
(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；
(3)一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(4)平均分给甲、乙、丙三人；
(5)平均分成三堆.
【解析】（1）先从6本书中任取1本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有种取法，最后从余下的3本书中取3本作为一堆，有种取法，故共有分法种.
（2）由（1）知，分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，
故甲得1本，乙得2本，丙得3本的分法亦为种.
（3）由（1）知，分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种分配方法，
故一人得1本，一人得2本，一人得3本的分法有种.
（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取出2本的取法有种，乙再从余下的4本书中取2本书，有种取法，丙从余下的2本中取2本书，有种取法，
所以一共有种取法.
（5）把6本不同的书分成三堆，每堆2本与把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的区别在于，后者相当于把6本不同的书平均分成三堆后，再把书分给甲、乙、丙三人，
因此，设把6本不同的书，平均分成三堆的方法有x种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（4）知，把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有种.
所以，则.
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
【解析】6本书平均分成3堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
故答案为：.
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
【解析】从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
例17．（2022·全国·高三专题练习）现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．
(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；
(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；
(3)平均分成三个组每组两本．
【解析】（1）根据题意，第一组3本有种分法，第二组2本有种分法，第三组1本有1种分法，
所以共有种分法.
（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，有种分法，
再将分好的三组分给3人，有种情况，
所以共有种分法.
（3）根据题意，将6本书平均分为3组，有15种不同的分法．
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.
(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
【解析】（1）6本书平均分成3堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
例19．（2022·全国·高三专题练习）设有99本不同的书（用排列数、组合数作答）.
(1)分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？
(2)分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？
【解析】（1）99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，
谁都有得到93本的可能，所以不同的分法共有（种）.
（2）99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，
所以不同的分法共有（种）.
例20．（2022·全国·高三专题练习）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)平均分给甲、乙、丙三人；
(2)平均分成三堆.
【解析】（1）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取出2本的取法有种，乙再从余下的4本书中取2本书，有种取法，丙从余下的2本中取2本书，有种取法，
所以一共有种取法.
（2）把6本不同的书分成三堆，每堆2本与把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的区别在于，后者相当于把6本不同的书平均分成三堆后，再把书分给甲、乙、丙三人，
因此，设把6本不同的书，平均分成三堆的方法有x种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（1）知，把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有种.
所以，则.
例21．（2022·全国·高三专题练习）某班有一个5男4女组成的社会实践调查小组，准备在暑假进行三项不同的社会实践，若不同的组合调查不同的项目算作不同的调查方式，求按下列要求进行组合时，有多少种不同的调查方式？
(1)将9人分成人数分别为2人、3人、4人的三个组去进行社会实践；
(2)将9人平均分成3个组去进行社会实践；
(3)将9人平均分成每组既有男生又有女生的三个组去进行社会实践.
【解析】（1）将9人按分组，有种分组方法，再把各组分配到三个项目中去有方法，
由分步乘法计数原理得：，
所以不同的调查方式有.
（2）从9人中任取3人去调查第一个项目，从余下6人中任取3人去调查第二个项目，最后3人去调查第三个项目，
由分步乘法计数原理得：，
所以不同的调查方式有.
（3）把4个女生按分组，有种分法，再从5个男生中任取1个到两个女生的一组，
从余下4个男生中任取2人到1个女生的一组，最后2个男生到最后的1个女生组，分法种数为，
将分得的三个小组分配到三个项目中去有方法，
由分步乘法计数原理得：，
所以不同的调查方式有.