专题10 几何问题-2024年新高考数学题型全归纳之排列组合

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专题10 几何问题
例1．（2023·全国·高三专题练习）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（    ）
A． B． C． D．

例2．（2023·高二课时练习）一只蚂蚁从正四面体的顶点出发，沿着正四面体的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点，第4秒后又回到点的不同爬行路线有（    ）

A．6条 B．7条 C．8条 D．9条

例3．（2023·全国·高三专题练习）如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的正方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（   ）条

A．40 B．60 C．80 D．120

例4．（1997·全国·高考真题）四面体的一个顶点为A，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法共有（    ）
A．30种 B．33种 C．36种 D．39种

例5．（2023·全国·高二专题练习）凸八边形的对角线有（   ）条
A．20 B．28 C．48 D．56

例6．（2023·全国·高三专题练习）一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（　　）

A．至多能剪成19块“L”形骨牌
B．至多能剪成20块“L”形骨牌
C．最多能剪成21块“L”形骨牌
D．前三个答案都不对

例7．（2023·全国·高三专题练习）已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（    ）个.

A．10 B．12
C．16 D．20

例8．（2023·高二课时练习）设凸n (n≥3)棱锥中任意两个顶点的连线段的条数为f(n)，则f(n＋1)－f(n)＝(　　)
A．n－1 B．n
C．n＋1 D．n＋2

例9．（2023秋·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）在正方体的8个顶点中，任意两点可连成直线，其中异面直线有______对．

例10．（2023·高二课时练习）已知两条异面直线上分别有个点和个点，则这个点可以确定______个平面．

例11．（2023·全国·高三专题练习）从正四面体的四个面的中心以及四个顶点共八个点中取出四个点，则这四个点不共面的取法总数为___________种.

例12．（2023·高二课时练习）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面点，不同取法有________种.

例13．（2023·全国·高三专题练习）一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是__________．

例14．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）若平面上有7条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，则共有______个交点（用数字作答）.

例15．（2023·高二课时练习）设为正六边形，一只青蛙开始在顶点处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一，若在5次之内跳到点，则停止跳动；若5次之内不能到达点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共____种．

例16．（2023·江苏·高三开学考试）格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”（如：，则点到原点的格点距离为）.格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为6时，格点圆的半径有______条（用数字作答）.

例17．（2023·高二课时练习）已知两条异面直线，上分别有个点和个点，用这个点可确定多少个不同的平面？




例18．（2023·全国·高三专题练习）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有多少对？




例19．（2023·高二课时练习）空间有10个点，其中任意4点不共面．
(1)过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？
(2)以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？




例20．（2023·高二课时练习）四面体的顶点和各棱的中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种？




例21．（2023·高二课时练习）（1）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？
（2）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？




例22．（2023·高二课时练习）（1）已知圆上有个点，过任意个点都可画一个圆内接三角形，一共可画多少个圆内接三角形？
（2）已知空间中个点，且任意个点都不共面，即以任意个点为顶点都可构造一个四面体，则一共可以构造多少个四面体？




例23．（2023·高二课时练习）（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面？
（2）空间中有10个点，其中任何4个点不共面，过每4个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面体？




例24．（2023·全国·高三专题练习）平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上（4个点之间的距离各不相等），此外任何三点不共线．
（1）过每两点连线，可得几条直线？　　　
（2）以每三点为顶点作三角形可作几个？；
（3）以一点为端点，作过另一点的射线，这样的射线可作出几条？
（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量？

例25．（2023·江西·高二期中）如图为正方体，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意跳到相邻三顶点之一，若在五次内跳到点，则停止跳动；若5次内不能跳到点，跳完五次也停止跳动，求：

（1）5次以内能到点的跳法有多少种？
（2）从开始到停止，可能出现的跳法有多少种？




例26．（2023·高二课时练习）平面内有9个数，有4 点在同一直线上，其余则无三点或三点以上的点共线，则可连成___________条线段，___________________条射线(用数字作答)．