专题04 数字问题-2024年新高考数学题型全归纳之排列组合

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专题04 数字问题
【方法总结】
某个或某几个元素要或不要排在指定位置，可先排这个或这几个元素，再排其他的元素（元素代先法）；也可针对特殊元素，先把指定位置安排好元素，再排其他的元素（位置化先法）．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（    ）
A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】C
【解析】当个位数为0时，有个，
当个位数为2或4时，有个，
所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，
故选：C.
例2．（2023·全国·高二专题练习）用数字、、组成五位数，且数字、、至少都出现一次，这样的五位数共有（    ）个
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先考虑全部的情况，即每个数位均有种选择，共有个，
其中包含数字全部相同只有种情况，
还有只含有个数字的共有个，
因此，满足条件的五位数的个数为个.
故选：B.
例3．（2023·全国·高二专题练习）罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：
数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
形式
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ
其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示. （如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（    ）
A．87 B．95 C．100 D．103
【答案】D
【解析】用6根火柴表示数字，所有搭配情况如下：
1根火柴和5根火柴：1根火柴可表示的数为1；5根火柴可表示的数为8，和0一起，能表示的数共有4个（108,180,801,810）.
2根火柴和4根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数有 个.
3根火柴和3根火柴：3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数分为2类：除0外的两个数字相同，可表示的数有个；除0外的两个数字不同，则有个，所以共有 个.
1根火柴、1根火柴和4根火柴：即有1、1、7组成的数，共有3个（117,171,711）.
1根火柴、2根火柴和3根火柴：即由1,2或5中的一个，3、4、6、9中的一个数字组成的三位数，共有 个.
2根火柴、2根火柴、2根火柴：即由2或5组成的三位数，分为两类：三个数字都相同，共有2个（222,555）；三个数字中的两个数字相同，则有个，共有 个.
综上可知，可组成的三位数共有 个.
故选：D.
例4．（2023·全国·高二专题练习）我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等（如图所示），我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（    ）

A．9 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解析】因为所有数的和为，所以每行每列以及对角线的和都是15，采用列举法：492、357、816；276、951、438；294、753、618；438、951、276；816、357、492；618、753、294；672、159、834；834、159、672.共8种方法，
故选：B.
例5．（2023·全国·高二专题练习）用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（    ）
A．可组成个不重复的四位数
B．可组成个不重复的四位偶数
C．可组成个能被整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第个数字为
【答案】BC
【解析】A选项，有个，错，
B选项，分为两类：在末位，则有种，不在末位，则有种，
∴共有种，对，
C选项，先把四个相加能被整除的四个数从小到大列举出来，
即先选：，、、、，
它们排列出来的数一定可以被整除，∴共有：种，对，
D选项，首位为的有个，前两位为的有个，前两位为的有个，此时共有个，
因而第个数字是前两位为的最小数，即为，错，
故选：BC.
例6．（2023秋·北京·高二北京八中校考期末）用三个数字组成一个四位数，要求每个数字至少出现一次，共可组成个不同的四位数__________（用数字作答）.
【答案】36
【解析】已知用三个数字组成一个四位数且每个数字至少出现一次，
所以包含一下三种形式：
①两个1，一个2，一个3；
②一个1，两个2，一个3；
③一个1，一个2，两个3.
其余情况①可以组成种情况.
同理情况②③均可以组成种情况.
因此一共可以组成个不同数字.
故答案为：
例7．（2023·全国·高三专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位､十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）.
【答案】
【解析】当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；
当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，
根据分类计数原理得到共有个．
故答案为：．
例8．（2023·全国·高三专题练习）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）
【答案】504
【解析】当四个数字中没有奇数时，则这样的四位数有种，
当四个数字中有一个奇数时，则从5个奇数中选一个奇数，再从4个偶数中选3个数，然后对这4个数排列即可，所以有种，
所以由分类加法原理可得共有种，
故答案为：504
例9．（2023·全国·高三专题练习）用数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____ ．
【答案】
【解析】要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有3种排法，然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理得，由组成的无重复数字的五位数中奇数有个.故答案为：.
例10．（2023·全国·高三对口高考）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．
【答案】30
【解析】当时，，，或，，共2种情况，
当时，，，或，，共2种情况，
当时，，，共1种情况，
所以的排列方法有5种方法，再排，有种方法，
所以不同的排列方法种数为种.
故答案为：30
例11．（2023·高二课时练习）用0、1、2，3、4、5组成无重复数字的四位数，求分别满足下列条件的四位数的个数．
(1)能被25整除的数；
(2)十位数字比个位数字大的数．
【解析】（1）能被25整除的四位数的末两位数字只能为25或50两种，末尾为50的四位数有个，末尾为25的有个，所以一共有（个）．
（2）用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的四位数，一共有（个）．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的数有（个）．
例12．（2023·高二课时练习）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？
【解析】若没有取到零，则有个四位数；
若取到零，则有个四位数．
由加法原理得一共可以组成（个）符合条件的四位数．
例13．（2023·高二课时练习）（1）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个三位数？
（3）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（4）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位奇数？
（5）用1、1、1、2、3、4这六个数字各一次，可以组成多少个六位数？
【解析】（1）先排百位数，有5种选择，再排十位，有5种选择，最后排个位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，
所以，可以组成100个无重复数字的三位数；
（2）先排百位数，有5种选择，再排十位，有6种选择，最后排个位，有6种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，
所以，可以组成个三位数；
（3）先排百位数，有5种选择，再排十位，有6种选择，最后排个位，有6种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，
所以，可以组成个数字允许重复的三位数；
（4）先排个位数，有3种选择，再排百位，有4种选择，最后排十位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，
所以，可以组成个数字允许重复的三位数；
（5）根据题意，只需从六个位置中选取三个位置排序2,3,4，剩下的三个位置自然都为1，故有种，
所以，可以组成个六位数.
例14．（2023·全国·高二专题练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：
(1)这些数的数字和；
(2)这些数的和．
【解析】（1）共可组成4×3×2×1＝24个四位数，这24个四位数的数字和为．
（2）这24个四位数中，数字2在千位的有3×2×1＝6个，同样，3、5、7在千位的各有6个．
同理，2、3、5、7在百位、十位、个位各出现6次．
所以所有数之和为
例15．（2023·全国·高三专题练习）有0，1，2，3，4，5六个数字．
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？
(3)能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？
【解析】（1）由题意组成无重复数字的四位偶数分为三类：
第一类：0在个位时，有个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个，有种，十位和百位从余下的数字中选，有种，共有个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个，
由分类加法计数原理知，共有个无重复数字的四位偶数．
（2）组成无重复数字且为5的倍数的四位数分为两类：
个位上的数字是0时，满足条件的四位数有个；
个位数上的数字是5时，满足条件的四位数有个，
故满足条件的四位数有（个）．
（3）组成无重复数字且比1230大的四位数分为四类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个；
第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个；
第三类：形如124□，125□，共有个；
第四类：形如123□，共有 个．
由分类加法计数原理知，共有（个）．
例16．（2023·全国·高三专题练习）盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6. 现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个位数字.
(1)一共能组成多少个不同的三位数？
(2)一共能组成多少个不同的大于500的三位数？
【解析】（1）（1）因为抽取的三位数各不同，所以组成三位数的总数为.
（2）百位为或，则个位、十位是剩余5个数字中的两个，
则有个大于500的三位数.
例17．（2023·全国·高二专题练习）由1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成多少个无重复数字的三位偶数与三位奇数？
【解析】当个位上的数是偶数时，该三位数就是偶数，可分步完成．
第一步，先排个位，个位上的数只能是2，4，6，8中的1个，有4种取法；
第二步，排十位，从剩余的8个数字中取1个，有8种取法；
第三步，排百位，从剩余的7个数字中取1个，有7种取法．
所以可以组成无重复数字的三位偶数的个数为个．
当个位上的数是奇数时，该三位数就是奇数，可分步完成．
第一步，先排个位，个位上的数只能是1，3，5，7，9中的1个，有5种取法；
第二步，排十位，从剩余的8个数字中取1个，有8种取法；
第三步，排百位，从剩余的7个数字中取1个，有7种取法．
所以可以组成无重复数字的三位奇数的个数为个．
例18．（2023·全国·高三专题练习）1.已知一个三位数从0，1，2，3，4中任意选取.如果三位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个三位数？如果三位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个三位数？
【解析】若不重复，三位数先考虑百位情况，共4种选择，十位除去百位已选一个数，也是4种不同选择，个位共3种不同选择，故总共能得到4×4×3＝48个不同的三位数.
若重复，三位数先考虑百位，共4种不同选择，十位共5种不同选择，个位共5种不同选择，故共有4×5×5＝100个不同的三位数.
例19．（2023·全国·高三专题练习）用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数.
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；
（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.
【解析】（1）根据题意，分2步进行分析：
①三位偶数的个位必须是2或4，有2种情况，
②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位､十位，有种情况，
则有个三位偶数，
（2）根据题意，分2步进行分析：
①要求四位数大于2000，其千位数字必须为2､3､4､5，有4种情况，
②在剩下的4个数字中任选3个，作为三位数的百位､十位､个位，有种情况，
则有个符合题意的四位数；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①选出1个偶数，夹在两个奇数之间，有种情况，
②将这个整体与其他2个数字全排列，有种情况，其中有2个偶数夹在奇数之间的情况有2种，
则有种恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的情况，
故有个符合题意的五位数.
例20．（2023·全国·高三专题练习）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问
（1）能够组成多少个五位奇数？
（2）能够组成多少个正整数？
（3）能够组成多少个大于40000的正整数？
【解析】（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有种，其余4个数全排列有种，按照分步乘法计数原理可得有个五位奇数；
（2）根据题意，
若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数；
若组成两位数，有种情况，即可以有20个两位数；
若组成三位数，有种情况，即可以有60个三位数；
若组成四位数，有种情况，即可以有120个四位数；
若组成五位数，有种情况，即可以有120个五位数；
则可以有个正整数；
（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况；
在剩下的4个数，安排在后面四位，共有种情况，
则有个比40000大的正整数；
例21．（2023·全国·高二专题练习）已知集合，，从A中取一个数作为十位数字，从B中取一个数作为个位数字，能组成______个不同的两位数，能组成______个十位数字小于个位数字的两位数．
【答案】     20     10
【解析】①从A中取一个数作为十位数字，有4种不同的取法，从B中取一个数作为个位数字，有5种不同的取法．由乘法原理可知，能组成4×5＝20个不同的两位数．
②要组成十位数字小于个位数字的两位数，可分如下情况：
当个位数字为9时，十位上的数字有4种取法，能组成4个十位数字小于个位数字的两位数；
当个位数字为7时，十位上的数字有3种取法，能组成3个十位数字小于个位数字的两位数；
当个位数字为5时，十位上的数字有2种取法，能组成2个十位数字小于个位数字的两位数；
当个位数字为3时，十位上的数字有1种取法，能组成1个十位数字小于个位数字的两位数．
所以组成的十位数字小于个位数字的两位数有1＋2＋3＋4＝10个．
故答案为：20，10．