【专项复习】高考数学专题04 解三角形（中线问题）（题型训练）.zip

这是一份【专项复习】高考数学专题04 解三角形（中线问题）（题型训练）.zip，文件包含专项复习高考数学专题04解三角形中线问题题型训练原卷版docx、专项复习高考数学专题04解三角形中线问题题型训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc5792" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc5792 \h 1
\l "_Tc2620" 二、典型题型 PAGEREF _Tc2620 \h 1
\l "_Tc31521" 方法一：向量化(三角形中线向量化） PAGEREF _Tc31521 \h 1
\l "_Tc6902" 方法二：角互补 PAGEREF _Tc6902 \h 4
\l "_Tc8924" 三、专项训练 PAGEREF _Tc8924 \h 7
一、必备秘籍
1、向量化(三角形中线问题）
如图在中，为的中点，(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）
2、角互补
二、典型题型
方法一：向量化(三角形中线向量化）
1．（2023·四川泸州·校考三模）在中，角所对的边分别为，，．
(1)求的值；
(2)若，求边上中线的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得：，
，
，，，又，
，解得：.
（2），，
由余弦定理得：，
，，，即边上中线的长为.
2．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）的内角所对边分别为，，，已知，.
(1)若，求的周长；
(2)若边的中点为，求中线的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，由正弦定理可得：，则，
若，则，解得，
故的周长.
（2）∵，
∴，
由（1）可得：，即，
∵，当且仅当时，等号成立，
∴，则，
故，则，
所以的最大值为.
3．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)记分别为内角的对边，且，的中线，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
由，
解得，
的单调递增区间为；
（2）因为，可得，
因为，所以即，
由及可得，
，
所以
所以
即，当且仅当时取到等号，
所以，
故面积的最大值为.
方法二：角互补
1．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求角C的大小；
(2)若，求的中线长度的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）选择条件①：由及正弦定理，得：，
即，由余弦定理，得,
因为，所以；
选择条件②：由及正弦定理，
得：，
即.
即.
在中，，所以，
即，因为，所以，所以,
因为，所以；
选择条件③：由及正弦定理，
得：，
因为,，所以.
在中，，则，
故.
因为，所以，则，
故；
（2）因为，所以，
整理得，
在三角形中，由余弦定理得.
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以，即，
即长度的最小值为.
2．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若AD为BC边上中线，，求△ABC的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
∴，
∴,
∴，
∵，∴，
又∵, ∴,
（2）由已知得，，
在△中，由余弦定理得，
在△中，由余弦定理得，
又∵,
∴，
在△中，由余弦定理得，
以上两式消去得, 解得或（舍去），
则.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.
请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【详解】（1），
由，得，，
∴函数的单调递增区间为，；
（2）由，得，
又中，，可知；
若选①：
由，可知，可化为，
又，则，
又中，故，所以，
则，故；
若选②：为的中线，且
在中，，，则有，
在中，，
在中，，
又，
则
则，又知，故；
故；
若选③：为的角平分线，且.
由题意知，，
即，整理得
又在中，，，则有，
故
解之得，，故.
三、专项训练
1．（2023·全国·高三专题练习）在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】A
【详解】设，，
由于，
在和中应用余弦定理可得：
，整理可得：，
结合勾股定理可得的面积：
，
当且仅当时等号成立．
则面积的最大值为6．
故选：A.
2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求边中线的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得，
由余弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，又，
所以．
（2）因为M为的中点，所以，
则，
即．
因为，所以．
所以，
所以．
3．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）已知在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，．
(1)若BC边上的高等于，求；
(2)若，求AB边上的中线CD长度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）过作，垂足为，则，
，
，
在三角形中，由余弦定理得.
（2），
，两边平方得
，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
4．（2023·浙江杭州·统考一模）已知中角 、、所对的边分别为、、，且满足，．
(1)求角A；
(2)若，边上中线，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，
所以由正弦定理得，
，
，即，
，，
，；
（2），
则， 即，
而，边上中线，
故，解得，
．
5．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
(1)求角A的大小；
(2)若，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：,
即，
,
因为，所以，
所以，
因为,所以.
（2）由（1）得，
则，
所以，即，
当且仅当时等号成立，
因为点D是边BC中点，
所以,
两边平方可得：,
则，
所以，
中线AD长的最大值为.
6．（2023·四川内江·校考模拟预测）在△ABC中，D是边BC上的点，，，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍．
(1)求△ACD的面积；
(2)求△ABC的边BC上的中线AE的长．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由已知及正弦定理可得：，
化简得：．
又因为：
，所以， 所以，
所以△ACD的面积为．
（2）由（1）可知，因为AE是△ABC的边BC上的中线，
所以，
所以，
所以△ABC的边BC上的中线AE的长为．
7．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若边上的中线，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意有
，又，
，又，
解得，，
；
（2）因为
所以，
当且仅当时成立，
故面积的最大值为.
8．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）在中，角所对的边分别为.
(1)求；
(2)若，求的中线的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
所以，
由正弦定理可得，所以，因为，
则；
（2）由题意，
则，
则，即的中线的最小值为（当且仅当取最小值）；
综上，的最小值为.
9．（2023·安徽淮南·统考一模）已知内角所对的边分别为，面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），求：
(1)求角的大小；
(2)求边中线长的最小值.
条件①：;
条件②：.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选条件①：,
因为中，所以，
由正弦定理可得，
即，，
又,所以.
选条件②：
由余弦定理可得即，
由正弦定理可得，
因为，所以，所以，即，
又,所以.
（2）由（1）知，的面积为，所以，解得，
由平面向量可知，
所以
，
当且仅当时取等号，
故边中线的最小值为.
10．（2023·全国·高三专题练习）如图,已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求B；
(2)若AC边上的中线，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，
由余弦定理可得，
∴，
∴，由，
∴.
（2）如图，
由（1）得，，①
由余弦定理知，即，②
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③
由①②③，得，
所以，
所以的周长．
11．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）在中，角，，对边分别为，，，且，.
(1)求；
(2)若，边上中线，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理有，
因为，有，
因为，故，；
（2）法一：在和中，，
因为，，则，
因为，所以，
所以；
法二：因为，所以，
有，
因为，所以，
所以；
法三：如图，作交于，则是的中点，
所以，，，
即，解得，
所以.
12．（2023·全国·高三专题练习）在中，.
(1)求；
(2)求边上的中线.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，故，
所以，解得，
故，故.
（2）如图所示，是中点，连接，
，，，
故，解得，即边上的中线为.
13．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，，的面积.
(1)求；
(2)若，边的中线，求，.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）的面积，
由题意，，
由正弦定理得，
，，为三角形内角，，，，
，
又因为为锐角，.
（2）由题意知，，
在中，即，
在中，，即.
.，.
由（1）知，，.
由，解得.
14．（2023·全国·高三专题练习）在中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线，且，求的周长
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由已知，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
在中，因为，
所以；
（2）由，得①，
由（1）知，即②，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③，
由①②③，得，
所以，
所以的周长.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，，若为上一点，满足为的中线，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）；
令，解得：，
的单调递增区间为.
（2）由（1）知：，即，
又，，，解得：；
在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：；
，，即，
；
在中，由余弦定理得：，解得：；
，，
的周长为.