2023年广东省肇庆市广宁县中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省肇庆市广宁县中考二模数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省肇庆市广宁县中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列各数中，最小的数是（    ）
A． B．2 C．0 D．
2．下面是由七巧板拼成的图形（只考虑外形，忽略内部轮廓），其中轴对称图形是（    ）
  
A．   B．   C．   D．  
3．环境监测中PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如果1微米=0.000001米，那么数据0.0000025用科学记数法可以表示为（　　）
A．2.5×105 B．2.5×106 C．2.5×10﹣5 D．2.5×10﹣6
4．下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
5．劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数（单位：次），按劳动次数分为4组：，，，，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足6次的概率是（    ）
  
A． B． C． D．
6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（    ）
  
A． B． C．2 D．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）
  
A．y1随x的增大而减小 B．
C．当时， D．关于x，y的方程组的解为
9．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇，行酒各得几何？”译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒）1斗，价格10钱．现有30钱，买2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒x斗，行酒y斗，可列二元一次方程组为（    ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD中，，将沿AE对折至，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（    ）
  
A．3 B．4 C．4.5 D．5

二、填空题
11．分解因式： ．
12．二次根式中字母x的取值范围是 ．
13．如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处．树折断之前有 米．

14．如图，这是“太极”图案的一部分，也称为“阴阳鱼”，其柔和而流畅的曲线构造既包含了国人的智慧文化，同时也蕴藏着很多的数学知识．该图案可以看作是三段弧线的组合，即以为直径的半圆弧，以为直径的半圆弧，以为直径的半圆弧．且满足，A，B，C三点在同一直线上，若，则该图案的面积为 ．

15．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E是AD的中点，点P是BE上的动点，点Q是PC的中点，连接AQ，则AQ长的最小值为 ．


三、解答题
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分（满分为10分），根据获取的样本数据，制作了如图的统计图（1）和图（2）．
请根据相关信息，解答下列问题：
  
(1)本次随机抽查的学生人数为_____，在图（2）中，“①”的描述应为“7分”，其中m的值为______；
(2)求抽取的学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数；
(3)若该校九年级共有名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？
19．给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．
  
(1)当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）；
(2)请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
20．每年4月份，柳州的紫荆花陆续绽放，引来众多游客前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光，小王抓住这一商机，计划从市场购进A、B两种型号的手机自拍杆进行销售，据调查，购进1件A型号和1件B型号自拍杆共需45元，其中1件B型号自拍杆价格是1件A型号自拍杆价格的2倍．
(1)求1件A型号和1件B型号自拍杆的进价各是多少元？
(2)若小王计划购进A、B两种型号自拍杆共100件，并将这两款手机自拍杆分别以20元，50元的价钱进行售卖，为了保证全部售卖完后的总利润不低于1100元，求最多购进A型号自拍杆多少件？
21．如图，已知点A，B，C，D都在上，连接与交于点F，平分，交的延长线于点E，且．
  
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求证；
(3)若，当为何值时，为等腰三角形．
22．综合与实践
问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．
  
猜想证明：
(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
问题解决：
(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出的长；
(3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
  
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点M是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线轴于点D，交线段于点N．是否存在点M使得线段的长度最大，若存在，求线段长度的最大值，若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t的值．

参考答案：
1．A
【分析】先根据实数的大小比较方法比较各数大小，进而可求解．
【详解】解：根据实数大小的比较方法，得，
∴最小的数是，
故选：A．
【点睛】本题考查实数的大小比较，解答的关键是要熟知比较方法：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．C
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．D
【分析】由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：0.0000025=2.5×10﹣6
故选D．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．D
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，逐一计算判断即可．
【详解】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方法则，是解题的关键．
5．A
【分析】利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：；
故选A．
【点睛】本题考查直方图，求概率．解题的关键是从直方图中有效的获取信息．
6．A
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出m的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
∵，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
7．B
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论．
【详解】解：如图，在中，，
  
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．B
【分析】结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A：由图象得随x的增大而减小，故A正确；
B：由图象得：，故B错误；
C：由图象得：当时，，故C正确；
D：由图象得：的解为：，故D正确；
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
9．B
【分析】利用总价=单价×数量，结合用30钱共买2斗酒，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设能买醇酒x斗，行酒y斗．
∵买2斗酒，
∴x+y=2；
∵醇酒1斗，价格50钱；行酒1斗，价格10钱，且共花费30钱，
∴50x+10y=30．
联立两方程组成方程组．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
10．B
【分析】连接，证明，得到，折叠，得到，设，则，，则中根据勾股定理列方程可求出的值．
【详解】解：如图，连接，
  
∵四边形是正方形，
∴．
∵沿对折至，
∴，，
∴，，
又是公共边，
∴，
∵G刚好是边的中点，
∴，
设，则，，
在中，根据勾股定理列方程：
，解得：．
所以的长是4，
故选B．
【点睛】本题考查了正方形和全等三角形的综合知识，根据勾股定理列方程是本题的解题关键．
11．
【分析】直接提取公因式进行分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
12．
【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是理解二次根式有意义的条件为：被开方数为非负数．
13．8
【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．
【详解】解：，，，
树折断之前的高度为8米．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是善于观察题目的信息，利用勾股定理求解．
14．
【分析】根据半圆与半圆相等，可得，即有，问题随之得解．
【详解】∵半圆与半圆相等，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积，根据半圆与半圆相等，可得，是解答本题的关键．
15．
【分析】取BC的中点F，连接DF，则BF＝DE，当AQ⊥DF时，AQ最短，根据勾股定理，进而可以解决问题．
【详解】解：取BC的中点F，连接DF，
则BF＝DE，
∵BF∥DE，

∴四边形BFDE是平行四边形，
∴DF∥BE，
∵Q是CP中点，F是BC中点，
∴FQ∥BE，
∴点Q在DF上，
当AQ⊥DF时，AQ最短，如图所示，
∵BC∥AD，
∴∠ADQ＝∠DFC，
在Rt△CDF中，CD＝AB＝3，CF＝BC＝2，根据勾股定理得：
DF＝，
∴sin∠DFC＝，
∴sin∠ADQ＝，
∴AQ＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，最短路线问题，勾股定理，解直角三角形，解决本题的关键是找到运动到哪个位置AQ最短．
16．

【分析】按照有理数的运算法则和运算顺序进行计算即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查了绝对值和含有乘方的有理数的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
17．，
【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法，约分后可得结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：原式，
当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．
18．(1)
(2)平均数为分，众数是9分，中位数为8分
(3)估计该校理化生实验操作得满分的学生有人

【分析】（1）根据条形统计图可求出抽查学生人数；根据扇形统计图即可求出m的值；
（2）根据条形统计图即可求出平均数、众数和中位数；
（3）根据样本估计总体的原则即可求解．
【详解】（1）解：本次随机抽查的学生人数为（人），
，即；
故答案为：40，15；
（2）解：平均数为：（分），
由图表得知，众数是9分．
名同学，中位数为从小到大排名第和第名同学的平均数，
由图表得知，排名后第和第名同学得分均为8分，
因此，中位数为8分；
（3）解：根据题意得：
（人），
答：估计该校理化生实验操作得满分的学生有人．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图信息关联．掌握各统计数据的意义是解题关键．
19．(1)气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．

【分析】（1）设函数关系式为，用待定系数法可得，即可得当时，，从而求出；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【详解】（1）设函数关系式为，
根据图象可得：，
，
当时，，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
要使气球不会爆炸，，此时，
气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．
20．(1)1件A型号自拍杆的进价为15元，1件B型号自拍杆的进价为30元
(2)最多购进A型号自拍杆60件

【分析】（1）设A型号自拍杆的进价是x元，B型号自拍杆的进价是2x元，根据购进1件A型号和1件B型号自拍杆共需45元，其中1件B型号自拍杆价格是1件A型号自拍杆价格的2倍列方程即可得到结论；
（2）设购进A型号自拍杆m件，则购进B型号自拍杆件，根据全部售卖完后的总利润不低于1100元列方程，即可得到结论．
【详解】（1）解：1件A型号自拍杆的进价为a元，1件B型号自拍杆的进价为b元，
根据题意得，，
解得：，
答：1件A型号自拍杆的进价为15元，1件B型号自拍杆的进价为30元．
（2）设购进A型号自拍杆x件，则购进B型号自拍杆件，根据题意得，
，
解得：，
x取最大整数解60，
答：最多购进A型号自拍杆60件．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，正确地理解题意列出方程组和不等式是解题的关键．
21．(1)与相切，理由见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）连接，易得，根据，得到，进而得到，即可得证；
（2）证明，即可得证；
（3）设交于点，连接，过点作于点，垂径定理求出的长，再利用垂径定理求出的长，即可求出的长．
【详解】（1）解：与相切，理由如下：
∵平分，
∴，
∴，
∴为的中点，
连接，则：，
  
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴与相切；
（2）由（1）知：，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设交于点，连接，过点作于点，则：，
  
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
当为等腰三角形时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即：当时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定和性质，垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
22．(1)四边形是矩形，理由见解析
(2)
(3)

【分析】（1）由三角形中位线定理可得，可证，即可求解；
（2）由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由锐角三角函数可求解；
（3）通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由直角三角形的性质可求的长，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
点是的中点，点是的中点，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）如图2，过点作于，
  
，，，
，
点是的中点，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
；
（3）如图③，连接，，过点作于，
  
，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．(1)
(2)存在点M使得线段的长度最大，最大值是
(3)或

【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再将点A、B的坐标代入函数表达式，求出a，b值，即可得答案；
（2）由题意巧设坐标，用未知数m表示出来的长度，根据二次函数最值问题即可解决问题；
（3）分4种情况，当时， ，解得：；当时，，解得：；当，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意；当时，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意．
【详解】（1）解：，
点A、B的坐标分别为，
将点A、B的坐标代入函数表达式，
，解得：
抛物线的表达式为；
（2）当时，，
点C的坐标为，
设直线的关系式为，将代入，
，解得
直线的关系式为，
设，则，

当时，线段长度有最大值，
存在点M使得线段MN的长度最大，最大值是；
（3），
，
二次函数的顶点坐标是，
当时，，当时，，
当时，即，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：；
当时，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：；
当，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：（舍去）或（舍去）；
当时，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：（舍去）或（舍去）；
综上所述：或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，函数图像平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．