2022年广东省肇庆市广宁县元恺学校中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省肇庆市广宁县元恺学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 年月份我国多地雨水天气频发，部分地区平均雨水天数统计如下：

这五省月份雨水天数的中位数是

A.  B.  C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是

A.  B.  C.  D.

4. 在凸边形的所有内角中，锐角的个数最多是

A.  B.  C.  D.

5. 若代数式有意义，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，，，点，，分别是，，的中点，连结，，则四边形的周长为

A.  B.  C.  D.

7. 将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的抛物线解析式是

A.  B.
C.  D.

8. 不等式组的解集为

A.  B.  C.  D.

9. 如图：将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间不包括这两个点，对称轴为直线下列结论：；；；正确的结论是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共21分）

11. 分解因式：______．
12. 若与是同类项，则______．
13. 若、为实数，且满足，则的值为______．
14. 若当时，代数式的值为，则当时，代数式的值是______．
15. 如图，菱形的边长为，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为______．

16. 如图，的半径为，切于点，交于点，，则图中阴影部分的面积______．
     

17. 如图，若双曲线与边长为的等边的边、分别相交于、两点，且，则实数的值为______．
    
     

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

18. 新定义问题：已知实数，，定义“”运算规则如下：，求的值．
    先化简，再求值：，其中，．

四、解答题（本大题共7小题，共56分）

19. 受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召，开展线上教学活动．为了解学生上网课使用的设备类型．某校从“电脑、手机、电视、其它”四种类型的设备对学生进行了一次抽样调查，调查结果显示，每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种，现将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息．解答下列问题：
    
    抽取的总人数是______，在扇形统计图中，“手机”所对应的扇形的圆心角的度数为______；
    补全条形统计图；
    若该校共有名学生，估计全校用手机上网课的学生共有______名；
    在上网课时，老师在、、、四位同学中随机抽取一名学生回答问题．请用列表法或画树状图的方法求两次都抽取到同一名学生回答问题的概率．
20. 如图，在中，、分别平分和，和相交于点．
    求证：；
    如图，若，求证：．

21. 如图是在写字台上放置一个折叠式台灯时的截面示意图，已知台灯灯管长，灯杆长，台灯灯管、灯杆的夹角即，灯杆与写字台的夹角即．
    求台灯灯管与水平线的夹角锐角？
    求灯管顶端到写字台的距离，即的长？台灯底座的宽度、高度都忽略不计，，，，在同一条直线上，参数据：，，；结果精确到

22. 如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点．
    求证：是的切线；
    若，，求的半径．

23. 秋冬来临之际，天气开始慢慢变冷，某商家抓住商机，在十一月份力推甲、乙两款儿童棉服．已知十一月份甲款棉服的销售总额为元，乙款棉服的销售总额为元，乙款棉服的单价是甲款棉服单价的倍，乙款棉服的销售数最比甲款棉服的销售数量少件．
    求十一月份甲款棉服的单价是多少元？
    十二月份，为了加大推销力度，该商家将甲款棉服的单价在十一月份的基础上下调了，结果甲款棉服的销量比十一月份多卖了件；乙款棉服的单价在十一月份的基础上下调，结果乙款棉服的销量比十一月份多卖了件．要使十二月份的总销售额不低于元，求的最大值．
24. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点．
    求反比例函数的表达式；
    画出双曲线的示意图；
    若另一个交点的坐标为，则______；当时，的取值范围为______；
    观察反比例函数的图象，当时，自变量的取值范围是______．

25. 如图抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线顶点为点．
     

求抛物线的解析式；
是抛物线上直线上方的一点，过点作于点，求的最大值及此时点坐标；
抛物线上是否存在点，使得？若存在，求直线的解析式．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是：．
故选：．
利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：将这组数据按大小顺序，中间一个数为，
则这组数据的中位数是；
故选：．
根据中位数的定义求解即可．
此题考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

3.【答案】

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故选：．
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得对应点坐标．
此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 

4.【答案】

【解析】解：由于任意凸多边形的所有外角之和都是，
故外角中钝角的个数不能超过个，
又因为内角与外角互补，
因此，内角中锐角最多不能超过个，
则凸边形所有内角中锐角的个数最多有个．
故选：．
根据任意凸多边形的外角和是可知它的外角中，最多有个钝角，则内角中，最多有个锐角．
本题考查了多边形的内角问题．注意凸多边形的每个内角与其相邻的外角是邻补角，由于多边形的外角和是不变的，所以要分析内角的情况可以借助外角来分析．
 

5.【答案】

【解析】解：由题意可知：，

故选：．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

6.【答案】

【解析】解：点，，分别是，，的中点，
，，，，
四边形的周长，
故选：．
根据三角形中位线定理、线段中点的概念分别求出、、、，根据四边形的周长公式计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，熟知平移的规律是解题的关键．先把抛物线化成顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的法则得出即可．   
【解答】
解： ，
抛物线向上平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度后所得新抛物线的表达式为：
．
故选 A ．   

8.【答案】

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以这个不等式组的解集为，
故选：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：如图：

四边形是正方形，
，
，，设则，
在中，，
，
，
，
故选：．
设，在中利用勾股定理即可解决问题．
本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题．
 

10.【答案】

【解析】解：抛物线开口向上，
，
对称轴为，、异号，
，
与轴的交点在和之间，
，
，
故正确；
抛物线轴交于点，对称轴为，
与轴的另一个交点为，
当时，，
故不正确；
抛物线与轴有两个不同交点，
，即，
，
，
故正确；
由题意可得，方程的两个根为，，
又，即，
，
，
，
故正确，
综上所述，正确的结论有三个：，
故选：．
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．
考查二次函数的图象与系数的关系，掌握、、的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
 

11.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
直接找出公因式，进而提取公因式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】解：因为与是同类项，
所以，，
所以，，
所以．
故答案为：．
根据同类项的定义求出、的值，代入计算即可求出答案．
本题考查同类项，解题的关键是正确理解同类项的定义．
 

13.【答案】

【解析】解：，，，
，，
，，
．
故答案为．
通过，，，求出，的值再进行计算．
本题考查二次根式与绝对值的非负性，解题关键是熟练掌握二次根式与绝对值的运算．
 

14.【答案】

【解析】解：当时，代数式的值为，
，即，
，
当时，




，
故答案为：．
根据当时，的值为，可得，而当时，代数式，代入即可得答案．
本题考查整式求值，解题的关键是根据已知得出，再整体代入．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，连接．

由作图可知，垂直平分线段，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
故答案为．
如图，连接证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，即可．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】

【解析】解：切于点，
，
，
在中，，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
根据切线的性质得出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据三角形内的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、扇形面积公式，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
设，则，
在中，，
则，，
则点坐标为，
在中，，，
则，，
则点的坐标为，
将点的坐标代入反比例函数解析式可得：，
将点的坐标代入反比例函数解析式可得：，
则，
解得：，舍去，
故．
故答案为：．
过点作轴于点，过点作轴于点，设，则，分别表示出点、点的坐标，代入函数解析式求出，继而可建立方程，解出的值后即可得出的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题关键是利用的值相同建立方程，有一定难度．
 

18.【答案】解：原式



；
原式


，
当，时，
原式


．

【解析】根据新定义运算规则，结合实数的大小比较进行计算；
先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．
本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则是解题关键．
 

19.【答案】人   

【解析】解：抽取的总人数是：人，
手机的人数是：人，
在扇形统计图中，“手机”所对应的扇形的圆心角的度数为，
故答案为：人，；
补全统计图如下：

全校用手机上网课的学生共有：名；
故答案为：；
根据题意画树状图如下：

共有种等情况数，其中两次都抽取到同一名学生回答问题的有种，
则两次都抽取到同一名学生回答问题的概率为．
根据电脑的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它选项的人数求出手机的人数，用乘以“手机”人数所占比例即可；
根据中所求结果即可补全统计图；
用该校的总人数乘以用手机上网课的学生所占的百分比即可；
根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法、概率公式、扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，画出树状图．
 

20.【答案】证明：、分别平分和，
，，
在中，


．
如图，延长至，使得，连接，则．

，，
，
又，，
≌．
，
即．
，
．
．

【解析】由角平分线的性质及三角形内角和定理可得出答案；
延长至，使得，连接，则证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，过点作，交于，则，

，
，
，
，
答：台灯灯管与水平线的夹角为．
过点作于，

由题意得，四边形是矩形，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
．
答：灯管顶端到写字台的距离是．

【解析】过点作，交于，则，，进而可得的度数；
过点作于，利用三角函数分别求出和，可得答案．
本题考查解直角三角形、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答．
 

22.【答案】解：如图，连接，

与边相切于点，
，即，
在和中，
，
≌，
，
，
又是半径，
是的切线；
，
设，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故的半径为．

【解析】连接，由切线的性质可得，由“”可证≌，可得，可得结论；
由锐角三角函数可设，，由勾股定理可求，再由勾股定理可求解．
本题是考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，熟记切线的判定定理及锐角三角函数是解本题的关键．
 

23.【答案】解：设十一月份甲款棉服的单价是元，则十一月份乙款棉服的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：十一月份甲款棉服的单价是元．
十一月份甲款棉服的销售数量为件，
十一月份乙款棉服的销售数量为件．
依题意得：，
解得：．
答：的最大值为．

【解析】设十一月份甲款棉服的单价是元，则十一月份乙款棉服的单价是元，利用数量总价单价，结合乙款棉服的销售数最比甲款棉服的销售数量少件，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
利用数量总价单价结合乙款棉服的销售数最比甲款棉服的销售数量少件，即可求出十一月份甲、乙两款棉服的销售量，利用总销售额销售单价销售数量，结合十二月份的总销售额不低于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】  或  或

【解析】解：直线与双曲线相交于点，
，
．
，
把代入，
，
反比例函数的表达式为；
双曲线的示意图如图所示：

直线与双曲线相交于另一个交点的坐标为，
，
，
，
由图象可知：当时，的取值范围或，
故答案为，或．
观察图象，当时，自变量的取值范围是或，
故答案为或．
根据直线上点的坐标特征求出，把点的坐标代入反比例函数解析式，计算即可；
根据题意画出图象；
把代入求得的解析式，即可求得的值，然后结合图象求得当时，的取值范围；
根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法以及利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，
，解得，
抛物线的解析式为；
过作轴交于，如图：

，，
，
在中，，
轴，
，
，
，
最大时，的最大，
设直线为，
则，
解得，
直线为，
设，，则，
，
，
时，最大为，
当时，最大值为；
存在点，使得，
方法一：作的平分线交抛物线于，交轴于，过作于，作关于直线的对称点，连接交于，交轴于，过作轴于，连接交抛物线于，如图：

平分，
，，
是满足条件的点，
，且，
，
而，
，
，
设直线为，
则，解得，
直线为，即直线为，
关于直线的对称点为，
，
直线与抛物线交点也是满足条件的点，
由得或，
，
而，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，
是的中点，，
，
设直线为，
则，
解得，
为，即直线为，
综上所述，直线的解析式为或．
方法二：作的平分线交抛物线于，交轴于，过作于，作关于直线的对称点，过作交直线于，过作轴于，交抛物线于，如图：

直线解析式求法同方法一，
关于直线的对称点为，
，
∽，
，即，
，
，
，
∽，
，即，
，，
，
，
由，可得为，即解析式为．
综上所述，直线的解析式为或．

【解析】根据抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，用待定系数法即得抛物线的解析式为；
过作轴交于，在中，，即得，，故最大时，的最大，由、得直线为，设，，则，得，即得时，最大为，故时，最大值为；
方法一：作的平分线交抛物线于，交轴于，过作于，作关于直线的对称点，连接交于，交轴于，过作轴于，连接交抛物线于，根据平分，可得是满足条件的点，而，且，可得，即可求出，，即得直线为，根据关于直线的对称点为，知直线与抛物线交点也是满足条件的点，由得，即可得，，由，有，可得，，又，有，即，可得，，从而，根据是的中点，，得，即可得直线为．
方法二：作的平分线交抛物线于，交轴于，过作于，作关于直线的对称点，过作交直线于，过作轴于，交抛物线于，直线解析式求法同方法一，由∽，可得，，由∽，可得，，从而知，即得为，即解析式为．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是求出点关于的对称点的坐标．